01 Línea recta y ángulos

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GEOMETRÍA 
LÍNEA RECTA 
Y ANGULOS 
DIDY RICRA OSORIO 
Editerial 
CUZCAN 
Aportando en la Ditusión de la Ciencia y la Cultra 
GEOMETRÍA 
LINEA RECTA Y ÁNGULOS 
Editor Editorial Cuzcano 
Composición, Diagramacióny Montaje: 
Area de cómputo y publicaciones de la Editorial Cuzcano 
EDITORIAL CUZCANO 
Derechos Reservados 
Jr. Coricancha N° 675 Zárate S. J. L. Lima - Perú 
Primera Edición Abril del 2008 
Tiraje 1 000 ejemplares 
"Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú" 
Obra editada, impresa y distribuida por: 
Editorial Cuzcano 
Jr. Coricancha N° 675 Zárate S. J. L. Lima - Perú 
Av. Alfonso Ugarte 1310 Of. 212- Breña 
Telefax 423-8154 
Prohibida la reproducción de esta obra por 
cualquier medio, total o parcialmente, sin 
permiso expreso de la Editorial. 
Editorial 
CUZCAN 
Aportando en la Dihusiós de la Ciencia y la Cultura 
LIMA PERU 
PRÓLOGGo 
a presente obra se ha realizado con la 
finalidad de cubrir espacios vacíos 
observados en el tema, tratando de satisfacer la 
caigencia más amplia, tanto para el que se inicia, como 
para el que tiene cierta información y experiencia de 
manera que el contenido de la obra sirva adernás al 
lector para encontrar la referencia adecuada y 
necesaria, así mismo enfocary Tesolver cualquiera de los 
problemas propuestos con éxito. 
Editorial 
CUZCANe 
Apostando ea la Ditusion de la Ciencia y la Cultura 
INDICE 
LINEA RECTA O RECTA 
Pág Axioma de la recta... ************* ****** ********************* ****** **************'*********** Postulado de la distancia.. 
Semirecta... ***********************.***** *************** ***************************************** **** ****************'**'*******'*'**" 
****.*** ********** ** **** *********** ** *********************** 
8 Rayo ... 
Segmento... ***************************** ******* ****** ********* *** *** Congruencia de Segmentos. ********** ****************°"***************************** ***'****°****** ******'******** 
Punto Medio de un Segmento . 
Operaciones con Longitudes de Segmentos 
****************************************** ******************** **************** ***** **** ** * 
9 
************°************ * ************** *************************** '*****''****** 10 
10 
División Armónica... ***** ********************************"************** ***** '*****'***** 
** ** **********' ***'** '**** 
10 
Teoremas.. ***************************************************************'************ ******'****""'**** División de un Segmento en Medio y Extrema Razón... . 13 * ****************'********* 
ANGULOS 
Definición. *********** '*********'******************* ***************** ************* **********'*******'**'*'*****'**** 14 Congruencia de Angulos... ****'* *** *** ******** * * ***** * 
Bisectriz de un Angulo 
14 
********** *** * * ****************** *****'********************** 15 
CLASIFICACIÓN...
6 
***** 
***'*****''************* ******* '*******'***'* '****************'********'** '* '''. 
I. POR SU MEDIDA 
6 ************''* ************************************************''** **********'************'**** 
1.A Angulo nulo o Perígono. 
I.B Angulo Convexo... **************** '** . 
6 ****** 
6 ** 
Angulo Agudo . 6 ************** ***************** *** .-.. **************************'*****:*************** 
Angulo Recto.. ******** ************************ ********' ********'********''** *'**** *** ****'************* ** 16 
I.C. Angulo Obtuso 
I.D. Angulo Llano. 
I.E. Angulo Cóncavo.. * ** .. ******************* 
II. POR LA POSICION DE SUS LADOS. 
II. A Angulos Adyacentes.. 
II. B Angulos Consecutivos.. 
*** ***** *********** 17 ****'*** ***'****** **** ******'************** 
* ** ******************:* **************'******** **********'****'*************** .17 
7 
18 
***'********************************'* ************** ****** ***'******************* 18 
18 
Angulos Consecutivos formados en un punto de una recta.... 19 
Angulos Consecutivos formados alrededor de un punto. **** ************************" 19 
II.C Angulos Opuestos por el Vértice.. 19 
II. POR ILA SUMA DE SUS MEDIDAS.. 19 ******** ******** ******** ***********'*********** ********** * 
II. A Angulos complementarios 9 **************************** **** **************************************************** ********* 
Complemento de un Angulo... 20 *****'''* *********'****'*** '*********'************* 
II. B Angulos Suplementarios..
Suplemento de un Angulo 
*********************************************** *********** ***********. 
******'************"******************************************* **************** ***** 
RECTAS PARALELAS.. 22 
Axioma del Paralelismo... 23 *********"***' '******** * ***** * 
Angulos Paralelos intersectados por una transversal. *************' ... *'** '**** * ************ ** . 
Angulos que tienen sus lados paralelos 
Congruentes... 
Suplementarios. 
Angulos de lados Perpendiculares 
Congruentes. 
'****'***************'*****'********** **************'**'********************* 
*******''***'***********'*****'******'**************** ******'*****'*'*********'''* *************** ** 
********'*** ***""*****"*****'**********'******'*** *****"***************************** 
6 
** ***'**** '****' 
Suplementarios * **'**'** 
,27 100 PROBLEMAS RESUELTOs. 
100 PROBLEMAS PROPUESTOos 
'****'*** ' *******''*****' ************* '****'* 
100 
'***' '*' '*'' '''''***** 
***** ****** 
*****'''*''* 
CAPITUL0 
LINEA RECTA 
Y ANGULOS 
LINEA RECTA O RECTA 
Es un conjunto de puntos que adoptan una misma dirección en virtud de dos términos 
previos la de precedencia y transitividad para el efecto de la mis 
Donde: T Recta L 
AXIOMA DE LA RECTA 
Cualesquiera que sean dos los puntos A, B, existe a lo sumo una recta que pasa por cada 
uno de los puntos A, B. 
Sea el gráfico: 
B 
A 
8 GEOMETRIA EDITORLAL CUZCANO 
POSTULADO DE LA DISTANCIA 
La mínima distancia entre dos puntos cualquiera A y B. Es la longitud 
del segmento 
AB. 
A 
SEMI RECTA 
Decimos que un punto P de una recta a, conjuntamente con algún 
otro punto N de la 
misma, de termina la semirecta PN. 
P 
Donde PN semirecta "PN" 
La circunferencia pequeña encima de "P' indica que este punto no es origen y la flecha 
de P hacia N señala el sentido 
RAYO 
Decimos que un punto C de una recta a, conjuntamente con algún otro punto M de la 
misma, determina el rayo CM 
C M 
Donde CM Rayo CM 
La región circular encima de "C" indica que este punto si es origen y la fle cha de C 
hacia M señala el sentido. 
SEGMENTO 
Un par no ordenado de puntos cualesquiera A y B se llamará segmento AB. 
sea el gráfico: 
A B 
DIDY RICRA OSORIO 9 LINEA RECTA 
Donde: 
AB se lee segmento AB para indicar la longitud del AB se omite la raya de encima de las 
letras, es decir AB (AB e R). Por lo tanto si el AB tiene por longitud a 8m. 
Entonces (AB = 8 m) Además los puntos que se encuentran entre A yB se llamarán 
puntos interiores, o simple mente puntos del segmento AB ;los puntos A y B, extremo0s 
del segmento. Los demás puntos de la recta AB se denominaran puntos exteriores del 
segmento AB. 
OBSERVACIONESS 
l.- Dados dos segmentos UN y CP, siempre se cumple algunas de las tres relaciones. 
UN = CP, UN > CP , UN < CP 
y cada una de ellas excluye a las otras dos. 
2- Si el punto R se encuentra entre el punto D yel 0, entonces D, R yO son puntos 
diferentes de una misma recta, y R se encuentra asimismo, entre O yD. 
3.- Cuale squiera que sean los puntos D y O existe al menos un punto R sobre la rec- 
ta DO tal que R esta entre D yO 
4. Si el punto R está entre D y 0, entonces o bien D precede a R y R a0,obien 
O pre- cede a R y R a D; reciprocamente, si D precede a R yR a 0, o bien si O 
precede a R y R aD, entonces R se encuentra entre D y O. 
CONGRUENCIA DE SEGMENTOS 
Si U; N son dos puntos sobre la recta a , y Ces un punto de la misma recta, o bien 
de otra recta a', siempre se puede encontrar , a un lado prefijado de C sobre la recta 
a', un punto P, y sólo uno, talque el segmento UN es congruente 
al segmento CP 
Tal relación entre los segmentos UN y CP se denota así: UN = CPP 
N 
U 
a 
EDITORLAL CUZCANO. 10 GEOMETRIA 
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 
***** wwwww.w********* 
***** 
Sean A yB puntos diferentes, Diremos que el punto O es el punto me dio del segmento 
AB, si está sobre la recta AB y satisface la condición AO = OB. 
Sea el gráfico 
Se observa que: AO= OB. Entonces "O" es el punto medio del AB 
Además 
AB 
= AO = OB 
2 
PROPIEDAD 
Si: DR > RO 
D MR 
Entonces "M" punto medio del RO se ubica en el segmento de mayor longitud. En virtud 
del dato le corresponde al DR. 
OPERACIONES CON LONGITUDES DE SEGMENTOS 
***** *** *************** 
Sea el gráfico: 
N C 
De la adición De la sustraccióbn 
UP = UN + NC + CP UC= UP -CP 
DIVISION ARMONICA 
Si los puntos consecutivos A, B, Cy D se encuentran sobre una recta y constituyen una 
CUATERNA A RM ONICA, se cumple la siguiente relación: 
AB AD 
y 
CD 
Además B yD son los conjugados armónicos de A y C. 
BC 
DIDY RICRA OSORIO 11 LINEA RECTA 
Sea el gráfico 
TOTAL 
A B C D 
IRO 2DO 3RO 
yA, B ,C y DD forman una cuaterna armónica 
AB AD 1ro TOTAL (Regla práctica) , de lo anterior se tiene = BC CD 2do 3ro 
OBSERVACION 
AB AD C Si y BC CD 
A,B,C y D cons tituyen una cuaterna armónica. 
TEOREMAS 
l- Si los puntos conse cutivos A ,B,C, D se encuentran sobre una recta y conforman 
una cuaterna armónica. 
Demostrar que L1-2 (Relación de Renato Descartes) 
AB AD AC 
Demostración 
Sea el gráfico 
A B 
AD AD AB x CD = AD x BC 
CD 
AB 
Dato . () 
BC 
Según el gráfico: BC = AC - AB 
CD = AD - AC 
En (6) AB (AD -AC) = AD ( AC - AB) 
GEOMETRIA 12 EDITORLAL CUZCANO 
2- 1| 
AC AB AD 
La d 
Efectuando : 
PROPIEDADES 
1 Si: 
A B C 
AD AB = K x (Ke R*) 
BC y además: CD 
K K+ AD 1 Se cumple AC AB AD 
*2 Si 
A D 
AD 
y además: KBC CD (Ke R*) BC CD 
K+1 1 K 
Se cumple: AC AB AD 
2. Si los puntos consecutivos A , B, C , D 
se encuentran sobre una recta 
conforman una cuaterna armónica, y "O" punto me dio del AC. Demostrar que 
OC = OB x OD (Relación de Isaac Newton) 
DEMOSTRACION
www***** ******** 
Sea el gráfico:
A 
DIDY RICRA OSORIO 
www 13 LINEA RECTA 
w.w.. 
ABAD ABx CD = AD x BC 
AD Dato .. (0) 
BC CD 
Según el gráfico: AB = OC + OB 
BC = OC OB 
CD = OD - OC 
AD OC +OD 
En (0): (OC+OB (OD -OC) = (OC -OB) ( OC +OD) 
Efectuando Oc2= OB x OD Lq d 
DIVISION DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTREMA RAZON 
seC- Si el punto "O" se encuentra entre A yB del AB del modo que AO > OB (AO 
ción aurea del AB), se cumple la siguiente relación AO = AB x OB. Entonces 
5-AB AO = ( 
2 
Sea el gráfico 
AO = AB x OB . (0) Se tiene 
Según el gráico: OB = AB - AO 
AO2 AB (AB -AO 
5 AB 
En (0) 
AO = ( 
2 
Efectuando: 
Donde AO Sección aurea del AB 
EDITORLAL CUZCANO 14 EOMETRIA 
ANGULOS 
DEFINICIÓN 
Es la reunión de dos rayos de origen común la cuál se denomina vértice del ángulo. 
Si el ángulo tiene abertura, es decir su medida es mayor que 0°. Entonces la medida del 
ángulo dependera unicamente de la abertura o separación de sus rayos (lados) y no de la 
longitud de estos. 
Sea el gráfico: 
D 
R Región 
Interior 
Los rayos RD y RO se llaman lados del ángulo; el punto R, su vértice. La totali dad de los 
puntos de la región interior se denomina puntos interiores del ángulo DRO. Los demás 
puntos del plano que contiene el ángulo, a excepción del punto R y los puntos de los rayos 
RD y RO se denominan puntos exteriores del ángulo. 
Notación 
Angulo DRO DRO 6 DRO 
Luego se tiene DRO = RD RO 
Medida del ángulo DRO m X DRO 6 m DRO 
0BSERVACIÓN 
DRO La representación de una figura geométrica 
m DRO La representación de un número real y positivo 
Según el gráfico : m DRO = 
DIDY RICRA OSORIO 15 ANGULOS 
ALGUNAS DE LAS FORMAS DE REPRESENTAR A UN ANGULO GRAFICAMENTE 
< 
CONGRUENCIA DE ANGULOS 
Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Si: m DRO = X GTA 
Luego se tiene: X DRO= 4 GITA 
BISECTRIZ DE UN ANGULO 
Sea el ángulo DRO. Diremos que el rayo RA es bisectriz del ángulo DRO, si este se 
encuentra en la región interior del ángulo DRO y satisface la condición 
m DRA = m ARO 
D 
GEOMETRIA 16 EDITORIAL CUZCANO www.. 
Entonces del gráfico el RA es bisectriz del 
DRO 
CLASIFICACION 
. POR SU MEDIDA 
1.- ANGULO NULO o PERIGONO 
****************** 
Es aquél ángulo cuya medida es 0° 
R D m 4 DRO = 0°. 
2.- ANGULO CONVEXO 
Es aquel ángulo cuya me dida es mayor que 0° pero 
menor qu e 180° 
Dividiendose en tres grupos agudo, ¥ recto y X obtuso. 
ANGULO AGUDO 
*wwwwwwww*0************ ********* *******0***** 
Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0° y menor que 90° 
0<0<90° 
ANGULO RECTO 
******** ******* 000***w****0*** 
Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90° 
D 
m DRO = 90" 
DIDY RICRA OSORIO 17 ANGULOS 
OTRAS FORMAS DE REPRESENTAR GRAFICAMENTE 
ANGULO OBTUSO 
Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90° pero menor que 180° 
90°<0< 180° 
3- ANGULO LLANO 
Es aquel ángulo cuya medida es igual a 180° 
=180° 
D R O 
4- ANGULO CONCAva 
Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 180° pero menor que 360° 
180< y < 360° 
EDITORLAL CUZCANO 18 GEOMETRIA www.wws 
POR LA POSICION DE SUS LADOS 
1ANGULOS ADYACENTES 
Son dos ángulos que tienen un mismo vértice y un lado común. Estos an 
situados a diferente sentido del lado común 
estar 
Lado comun 
Si: 
Lado común 
Luego los ángulos de medidas 'a"y "d" no son 1sadyacentes 
2.- ANGULOS CONSECUTIVOS 
Son tres o más ángulos si cada uno de ellos es adyacente con su ante rior 
Los ángulos adya cente s tambien son ångulos conse cuti vos, por simple it 
on» 
taene 
DIDY RICRA OSORIO 19 ANGULOS 
w.n 
1. ANGULOs CONSECUTIVOS FORMADOS EN UN PUNTO DE UNA RECTA 
GB+ ¢+ y +a +0 = 180 
2. ANGULOS CONSECUTIVOs FORMADos ALREDEDOR DE UN PUNTO 
a+B+0+0+Y+y = 360° 
3.- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE 
Dos ángulos con vértice común cuyos lados forman líneas rectas dos a dos, se 
denominan opuestos por el vértice 
0= 
lI. POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS 
1- ANGULOS COMPLEMENTARIOS 
Si dos ángulos cuya suma dá un ángulo recto, son complementarios 
Si: a.+ B 90° 
20 GEOMETRIA EDITORIAL CUZCANO 
G 
R T 
Entonces los ángu los DRO y GTA son complementarios 
cOMPLEMENTO DE UN ANGULO 
Es lo que le falta a la medida de un ángulo para sumar 90° 
complemento de un = 90° -
wwos mumomr cae 
Sea "" la medida de un 
Entonces: C. = 90° - x 
Donde 
-SE LEEE: "C" de "" 
C 
-SIGNIFICA: "C" está en función de "r" o bien depende de " 
PROPIEDADES 
1. Si: C, = y 
Entonces x +y = 90° 
2. Si 
si k par 
CCCC.. .C 
"k" veces 90-, impar 
21 ANGULOS DIDY RICRA OSORIO 
w.w.M 
Angulos adyacentes y complementarios| 
+0= 90° 
2. ANGULOS SUPLEMENTARIOS 
Si dos ángulos cuya suma dá un ángulo llano,son suplementarios 
Si o +B = 180°
D 
Entonce s los ángulos DR0 y GTA son suplementarios. 
SUPLEMENTO DE UN ANGULO 
Es lo que le falta a la medida de un ángulo para sumar 180° 
Suplemento de un = 180°-X 
vwwwmue 
Sea "x" la me dida de un 
Entonces S = 180° - x 
SE LEE "S" de "" Donde 
S 
SIGNIFICA: "S" está en función de "x" o 
bien depende de "x" 
PROPIEDADES 
1 Si S = 
Entonces x+y = 180 
22 GEOMETRIA DITORIAL CUZCANO 
, si k > par 
2 Si 
SSSS..d 
180 6 ,si k impar 
"k" veces 
Angulos adyacentes y suplementarios 
+a= 180 
PROPIEDADES ESPECIALES 
1- Si: SC, = y y = 90° +* 
Además: SC = R R = 90° + k 0 
2.- Si: CS, = y = *- 90° 
Además: CS, = R R = k0- 90 
3 Si: SCSSCCCCCSssCSC 
Q CSC 
Entonces Para reducir se utiliza como regla práctica a 2letras iguales y juntas 
sin interesar la ubicación de orden. 
Ejemplo de Aplicación Reducir 
= S 
RECTAS PARALELAS ********* 
Dos rectas que se cuencuetran en un mismo plano y no tengan puntos comune denominan paralelas 
Se 
L 
La 
23 ANGULOS 
DIDY RICRA OSORIO 
Notación: 
La recta L, e s paralela a la recta L, 
AXIOMA DEL PARALELISMOo 
Sea L un recta arbitraria y R un punto exterior a ela; entonces en el planodeterminado por R y la recta L 
, se puede trazar a lo sumo una recta por R y no interseca a la recta L 
R 
TEOREMA 
Dos rectas que están en un mismo planoy son perpendiculares a una tercera, son paralelasentre s1: 
L1 
LllL2 L2 
ANGULOs FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS INTERSECTADAS POR UNA 
TRANSVERSAL 
Si L,//L2 
L 
8 
23 ANGULOS DIDY RICRA OSORIO 
Notación: L,//L 
La recta L, e sparalela a la recta 
AXIOMA DEL PARALELISMO 
determinado por y la recta L ,se puede trazar a lo sumo una recta por R y no 
interse ca a la recta L 
Sea L un recta arbitraria y R un punto exterior a ella; entonces en el plano 
TEOREMA 
Dosrectas que están en un mismo plano y son perpendiculares a una tercera, son paralelas 
entre s1 
L 
Lg 
ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS INTERSECTADAS POR UNA 
TRANSVERSAL 
Si: L,//L2 
L Z2 
8 
24 GEOMETRIA EDITORIAL CUZCANO 
Se cumple: 
ANGULOS ALTERNODS 
*INTERNOS: 4 E 6 s 5 EXTERNOS 1 = 7 8 
ANGULOS CORRESPONDIENTES 
6 
ANGULOS cONJUGADOS *****.**** 
A A INTERNOS m 4 +m 5 = 180 
m 3 +m 6 180 
EXTERNOs m 1 +m 8 180° 
A 
m 2 +mn 7 = 180° 
PROPIEDADES 
1. Si: L,/L, 
*=0+¢ 
2. Si: L,/L2 
d+r+0=y +Y+p r 
Regla práctica:2m , I= 2m X, D 
25 ANGULOS DIDY RICRA OSORIO 
3. Si uln y c/p 
0=y 
4. Si: L,//L 
a + d2+ ag+ Oy t .. +On= 180 
2 
5. Si 
ANGULOS QUE TIENEN SUS LADOS PARALEL0S 
*CONGRUENTES 
Si: Si: 
C8= y 
EOMETRIA 26 EDITORIAL CUZCANO 
SUPLEMENTARI0S 
Si Si 
C0+y = 180° +y = 180° 
ANGULOS DE LADOS PERPENDICULARESS 
CONGRUENTES 
S Si: 
SUPLEMENTARIOS 
+y = 180 
PROBLEMAS RESUELTOS 
PROBLEMA 1 
En una recta se toman los puntos consecutivos U, N, C, P tal que "N" es punto medio 
del UP. Hallar R = 13x NCC 
UC- CPP 
Solución 
Sea el gráfico: 
U N C 
13 x NC 
.(0) Incógnita: R UC - CP 
Según el gráfico UC = + NC (a) 
CP = -NOC 2 (B) 
Luego: (a)-(B) m.a.m. 
UC - CP = + NC - ( - NC) 
NC UC - CP = 2x NC 
UC - CP 2 
R = 13 x R = 6,5 
2 
Finalmente en ( 0): 
PROBLEMA 2 
Sobre una linea recta se ubican los puntos conse cutivos A , B, C y D, sea "M" el 
punto medio del AD ("M" entre B y C). 
AB +CD _4 
si Calcular: R = 
CD BM - M1C 3 
Solución: 
Sea el gráfico 
M C D A B 
EOMETRIA 28 EDITORIAL CUZCAN0 
AB +CD 
() Dato BM - MC 3 
AB 
Incógnita R = A 
CD 
Según el gráfico 1 BM= -AB 
- CD 
(B) 2 MC 
Luego (a) -(B) m.a.m. 
- CD) BM - MC = AB - (1 
BM - MC = CD - AB 
CD+AB4 
CD -AB 3 Luego P.P.P 
Reemplazando en ( 0): 
CD 4 +3 AB 1 
AB 4 -3 CD 7 
Finalmente: R = 
7 
Observación: Se sabe que: P.P.P > Por propiedad de proporciones 
PROBLEMA 3 
Sobre una recta se consideran los puntos G, R, E, 7, A consecutivos tal que: 
7x GT = 2 GA +5 x GE y 2 x RA +5 x RE = 7. 
Hallar RT 
Solución 
Sea el gráfico: 
G R E T 
Datos 2x RA+ 5x RE = 7 
. (6) 
7x GT = 2 GA + 5x GE . () 
GT =x +GR 
Según el gráfico 2 GA = GR + RA 
(O) GE = GR + RE 
* 
3 
DIDY RICRA OSORIO 29 LINEA RECTA 
Reemplazando (a) en (B) :7 7(GR +x ) = 2( GR + RA) + 5 ( GR+ RE ) 
7x GR + 7x = 7 GR +2 x RA +5 x RE 
7x = 2 x RA +5 x RE 
Luego como ( 6 ) = (¢) se tiene 7x= 7 
PROBLEMA 4 
Se dan los puntos consecutivos y colineales P, I, L, O, N tal que "L" es punto medio del 
PN, IL+ON = a y 2 PI+3 x IL +4 x LO +5 x ON = b, Hallar PN 
Solución: 
Sea el gráfico 
L N 
Datos 
IL +ON = a 
2xPI+3x IL + 4 x LO +5x ON = b .. ( 0) 
La relación (0) se puede expresar así 
2 (PI+IL) + IL + 4 (LO +ON ) + ON = b 
2x PL + IL +4x LN +ON = b , pero 2 
Además = PL = LN = 
2 
Luego reemplazando: 2 x+IL +4x+ON= b ». 38x + IL +ON = b 
b a 
Luego: 3+a = b Finalmente: 3 
PROBLEMA 5 
En una recta se tienen los puntos conse cutivos D,1, L, O tal que DL + 10 = 16, hallar 
1a longitud del segmènto que une los puntos medios de DI y LO. 
Solución: 
Sea el gráfico: 
D M L 
N 
() 
GEOMETRIA 30 EDITORLAL CUZCANO 
Sean "M" y "N" puntos 
medios de los segmentos 
DI y LO resDe ed- 
(6) 
respectivamente 
DL +10 = 16 Dato 
Según el gráfico: DL = 2a + c 
IO = c +2b 
2(a +b+c) = 16 
Luego en (0): 2a+c+c+ 2b 
= 16 
a+b +c = * a+b +c = 8 , pero: 
Finalmente: x = 8 
PROBLEMA 6 
Se tienen los puntos colineales R, A, I, Z donde la longitud 
del AZ es el triple de la 
RI L - 2 longitud del RA , calcular IZ , si se cumple: 
2x RA AZ 
Solución 
3n Sea el gráfico: 
-3n- 
RI + = 2 (0) Dato 
2x RA AZ 
* RI = 4n - * 
Según el gráfico: RA = n . () 
*AZ = 3n 
+ = 2 2-+=2 
4n-* Reemplazando ( ) en ( 0 ): 
2n 3n 2n 3n 
1 
3n 2n 
PROBLEMA 7 
En una línea recta se toman los puntos consecutivos N, I, E, L, S tal que 
NI IE EL 
Calcular R = E. EL + LS 2 NE IL ES 
ES NE IL 
DIDY RICRA OSORIO 31 LINEA RECTA 
Solución 
Sea el gráfico: 
E S 
NI, IE. EL Dato NE IL = 2 
ES 
+ + 
IE 
+ 
NE 
ELLS Incógnita: R (6) = + 
IL ES 
. IE = = NE -NI 
Según del gráfico EL = lIL- IE . (O) 
LS = ES - EL 
Reemplazando ( a ) en ( 0) 
NE - NI IL -IE ES EL 
R = 
NE IL ES 
NI +1 R = 1 - NE 
TE + EL 
NE IL ES 
NI E R = 3 
NE IL ES 
Luego R .3 2 R = 1 
PROBLEMA 8 
En una recta se toman los puntos conse cutivos L,I M, 0, N tal que M es el punto medio 
del LN. A que es igual 
IN LI LO -ON 
R = 
IM MO 
Solución 
Sea el gráfico 
I M N L 
32 GEOME TRIA EDITORLAL CUZCANO 
Incógnita: R = 
IM 
IN-L LO- ON 
MO . (6) 
Según el gráfico: 
LI + IM 
IN = IM + pero 
Luego: IN = IM + LI + IM 
IN-L= 2 IN- LI = 2IM 
IM 
LO = MO pero = MO + ON 
Luego: LO = MO +ON + MO 
LO - ON 
LO ON = 2 MO 2 = 
MO 
Finalmente en ( 0 ): R = 2+2 
R 4 
PROBLEMA 9 
Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que 
AB x BD +AC CD= AD x BC y AB x CD = 8 m. Calcular: BC 
Solución 
Sea el gráfico: 
A B C D 
Datos ABx BD+AC x CD = AD x BC () 
ABx CD = 8 
Según el gráfico 
*1 BD = x +CD 
*2 AC = AB + x 
() 
*3 AD = AB +x + CD 
Reemplazando ( a) en ( 6 ): 
AB (x + CD ) + ( x + AB ) x CD = (AB + CD +x ) x* 
33 LINEA RECTA DIDY RICRA OSORIO 
ww.w.w. ****** www. 
Efe ctuando : * xAB + t x CD +2AB x CD = xxAB +xx CD + x 
2x8 = x 
42 = 2 
* = 4 m 
PROBLEMA 10 
Sobre una recta se consideran los puntos conse cutivos A , B , C, D tal que: 
AD = 2 AB AC = AB xAD y + 
AB BC 4 
Calcular: CD 
Solución 
Sea el gráfico 
A B C 
Datos AC = AB x AD AC= AB x AD . (0) 
11+ 
4 AB BC 
De (0): AC x AC = AB x'AD 
AC AB .. (B) 
AD AC 
AC AD -x 
Según el gráfico: 
AB = AC - BC 
Reemplazando( a. ) en (B): 
AD-x_ AC BC 1- = 1BC 
AD AD AC AC 
BC BC 
AD AC AD AC 
Pero AD = 2AB 
EDITORIAL CUZCANO 34 GEOMETRIA www.ww. wwwww.www.w 
w.w..w 
BC AC 2 Pero AC = AB +BC Reemplazando: 
2 x AB AC AB x BC 
AB +BC 2 2 
Reemplazando: 
AB x BC X AB BC 
Luego 
4 
* 8 
PROBLEMA 11 
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos U, N, C, P tal que 
UC UP 1 UC x UP = 529. Calcular: UN 
NC NP 
Solución 
U N C P 
UC x UP 529 * 1 
UC UE = 1 . (6) 
2 
NC NP 
Según el gráfico: 
NC = UC - x 
. (a)
NP = UP-x * 
Reemplazando ( a) en ( 0) : 
UC UP UC UP 1 
UC -x UP -x UC - x UP - x 
UC UP - x - UP UC 
UC - * UP - * UC - x* UP - * 
UC x UP - x UP 
+1 1-- 
UC 
Luego 
UC 
DDY RICRA OSORIO 35 LINEA RECTA 
UP 
x C, UP 
Remplazando 529 232 
*23 
PROBLEMA 12 
Sobre una recta se ubican los puntos conse cutivos L, 1, M, A tal que : 
y IA IM= 8 
LI LA LM 
Hallar LI 
Solución:
Sea el gráfico 
M 
Datos IAx IM 8 
. (0) 
LI LA LM 
1 1 
LM - LI 
De (0) LM LA LIx LM LA LI 
Pero LM - LI = IM 
IM 1 
Luego LI x LM LA 
.() IM x LA = Llx LM 
Pero LA = x +IA; LM = x+ 
IM 
Luego en (a): IM (x + ) 
= x (x + IM ) 
IM xx + IM x IA = x"+ x x IM 
8 = x 
2 2 
36 GEOMETRIA Swwww. EDITORIAL CUZCANO 
wwww.www..w.. 
PROBLEMA 13 
Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D tal que AB 
media aritmética entre AC y CD. Hallar AD, si: BD "+1 = 2x BD 
Solución 
es 
Sea el gráfico 
B D 
BD+1 = 2x BD . (0) Datos 
AB = ma ( AC, CD) .V) 
De (0): BD-2BD +1 = 0 ( BD-1)2 = 0 
BD = 1 
De (y ): AB = 
AC+CD 
2 
AD = 2x AB 
Luego se tiene que "B" es punto medio del AD lo cual implica 
AB = BD = L 
2 
, pero BD=1 
AD 1 * =2 Entonces2 
Observación : a (AC, CD) Media aritmética entre AC y CD 
AC +CDD Entonces ma AC , CD) 2 
PROBLEMA 14 
Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D tal que AC 
BC BD 
. Calcular la l 
se cumpla la siguiente relación 
AD 0. Calcular la longitud del segmento que debe reemplazar a "*" para ue BC BD 
1 AC' 12 AC AD 
DIDY RICRA OSORIO 37 LINEA RECTA 
..w. 
Solución 
Sea el gráfico: 
A B 
Datos 
1 .. (I) 
AC AD 
AD AC + - (0) 
BC BD 
AC AD BD BC 
De (0): . ) 
BC BD AD AC 
Como: BD = AD - AB y BC = AC - AB 
Luego en ( y) : 
AD - ABB _AC-AB) 1 - = - 1 + 
AD 
AB 
= 
AD AC AC 
AB AB 
2 
AC 
2 AB 
AC AD AD 
2 .(II) 
AB AC AD 
Luego: (I) = (II). Entonces 
x = AB 
AB 
PROBLEMA 15 
Donde NP = 8 y Sobre una recta se toman los puntos conse cutivos U, N, C, P. 
(UN -CP) ( UP +NC ) = 36, Hallar "UC" 
Solución -
8 Sea el gráfico: C N U 
Dato (UN - CP) ( UP + NC ) = 36 . (0) 
38 EOMETRIA w.wwww. EDITORLAL CUZCANO 
UN- CP = UN + NC - CP - NC * Según el gráfico: 
UN- CP = ( UN +NC ) - ( NC + CP) 
UN-CP = * -8 
UP + NC = UC + CP + NC 
UP + NC = UC + (NC +CP) 
UP + NC = * +8 
Luego en ( 6): (*-8) (x +8) = 36 
x2 82 36 
= 36 + 64 
x = 102 
= 10 
PROBLEMA 16 
Sobre una recta se tienen los puntos conse cutivos D, I, L, O De tal manera que: 
DL = DO x 1O. Calcular 
DI R = 
LO +8B DL 
Solución: 
Sea el gráfico: 
D L 
Dato DL = DO x IO .() 
DI R 1O 8 . ( ) Incógnita: + = 
LO DL 
DL IO De (4): .() DO DL 
Según el gráfico: 
DL = D0 - LO 
a) 
IO= DL + LO - DI 
DIDY RICRA OSORIO 39 LINEA RECTA 
Luego ( a) en ( ): 
DO - LO DL +LO - DI 1-Lo = 1+0-DI 
DO DL DO DL 
LO LO DI DILO LO Luego: 
DO DL DL DL DO DL 
DL 1L 
DO 
DI LO 
DL LO DL 
DI 1+ DL DL DI -1 . (B) 
LO LO DO 
Se tiene que: ( V) = (B), entonces 
IO DI-1 pL = 1 
DL LO LO 
Finalmente en ( ¢ ): R = 1+8 
R = 9 
PROBLEMA 17 
tal que Sobre una recta se dan los puntos conse cutivos W, A, L, D,1, R 
AD 1 WL + 
AR WI 
LI Hallar: M = 
WI 
DR 
+ 7 
AR 
Solución:
Sea el gráfico A L D W 
WLAD . () Dato 1 = + 
WI AR 
(0) DR + + 7 Incógnita: M 
WI AR 
WL = WI - LI 
... ( ) 
Según el gráfico 
AD = AR - DR 
EDITORIAL CUZCANO 40 METRIA 
WI-LIAR -DR 1 = 1- 1- LI Luego ( a) en ( B ) 1 = WI WI AR AR 
1 = DR 
+ 
WI AR 
Finalmente en ( 6 M = 1+7 
M = 8 
PROBLEMA 18 
Sobre una recta se ubican los puntos conse cutivos U, N, C, P, siendo: 
UN x CP 
= 1 y UP x CP -UN x NC = 81. Hallar: NP 
UP x NC 
Solución: 
-- Sea el gráfico: 
U N P 
UNx CP = 1 NC CP 
UN UP K Datos .. ( 0) 
UP x NC NC CP 
UP xCP = UN x NC = 81 
De (0): 
- UN x NC UP x CP UP x CP- UN x NC K = K -> = - NC 2 CP 2 
CP2-NC2 
81 Luego = K 
(CP - NC) ( CP +NC ) 
= K( CP - NC) .. () 
Pero NC+CP = = x (Del gráfico) 
De (0): 
-UN UP K UP - UN 
K * = K( CP - NC) . (II) - NC CP CP -NC 
Pero UP - UN = x (Del gráfico)
Se tiene que : (I) = (II) Entonces 
41 LINEA RECTA ****** 
DIDY RICRA OSORIO 
81 
= x » x = 9 > x = 9 
12"3, Si: Observación: 
C 2 C1 3 
1ta 2 ta3t... +a 
= K 
+C2*C3t. +C 
n 
PROBLEMA 19 
Sobre una recta se dan los puntos consecutivos U, N, C, P 
21 
tal que 
UN Hallar la longitud del CP, si 1 = 12 -3 NC 
NC UC UP 4 CP 
Solución: 
Sea el gráfico: 
N U 
Datos 
UN 3 NC UN3 UP . (6) *1 
UP 4 CP NC 
21 
.(I) 1 = 
NC 
*2 
UC 3 NC UC 
Según el gráfico 
UN = UC - NC 
. (B) 
* 
Datos 
UP = UC + x * 
Luego ( B) en ( 0): 
UC 3 UC- NC 3 (UC+x) UC-1 = x 
4 NC NC 4 
UC 73 UC 
4 
UC 3 3 UC 
NC 4 NC 
7 3 .. (I) 4 (UC 2 3 4 
UC NC NC UJC 
EDITORIAL CUZCANO 42 GEOMETRI 
w.w..RAA www..w.ww.w..w 
Se tiene que : (I) = (II) 
Entonces: 9 
PROBLEMA 20| 
En una línea recta se ubican los puntos consecutivos R, I, C, O tal que 
RIx CO = RO x IC 
a+b 
Si C Hallar: M = = a xbxc 
RC 4x RO 3x RI 
Solución: 
Sea el gráfico: 
R O 
RI RO Dato: RIx CO = RO x 1C 
IC Co 
Esta proporción cumple con la condición de la proporción de una división armónica. 
Entonces se tiene la relación de Renato Descartes. 
2 . (I) = 
RC RI RO 
Dato 
a - b 
C a+b + Esta relación se puede expresar así: 
RC 3 x RI 4x RO 
a+6 
a-6 4 + . (II) 
RC RI RO 
Luego de (I) y (II) por analogía 
*a-b = 2 
(C) 
= 1 -c = * 
3 
ato 1 a +b = 4 B) 
4 
Por lo tanto de (a) y(B) se tiene a= 3 y b = 1 
Nos piden: M = axbxc , reemplazando: 
M = 3 x 1x3 M = 9 
43 
LINEA RECTA 
DIDY RICRA OSORIO 
PROBLEMA 21 
a inea recta se ubican los puntos conse cutivos U, N, C, P tal que 
UN ax NC 
bx CP 
b 
1 , calcular: CP UC UP NC 
Solución 
Sea el gráfico: -
U N P 
UN 
UP 
a NC UN Datos * \ (0) UP CP NC 
a+b 
.(I) 
NC UC 
Según el gráfico 
UN = = UC - NC 
UP = UC +x * 
Luego ( ) en (0) : 
a UC +x 0C a UCa UC- NC UC-1 
NC b NC 
b UC 
UC NC UC1 
a+6 a UC 
NC b b 
a+b . (II) 
NC UC X 
= 1 Entonces Se tiene que: (I) = (II) 
X = a 
PROBLEMA 22 
OR 1. Calcular "x" si 
a linea recta se consideran los puntos 
consecutivos A, M, 0,R tal que 
MO 
+ 
MR 
MO 
AM si AO 8 
AO MR 
Solución
R 
Sea el gráfico:
M A 
44 GEOMETRIA ww.w.ww EDITORLAL CUZCANO 
w.wee 
AM OR 
= 1 Datos 
AO MR 
MO 3 MO .(0) *9 8 AO MR 
MO = iAO = AM 
(B) Según el gráfico : 
MO = MR -OR 
Luego ( B) en (0) 
MR-OR -1 -+1 -M AM1 
OR 
3 AO-AM 
8 AO MR 8 AO MR 
OR 
AO MR 
A 
= 2 
8 = 2-1 =1 8 
+ 
Luego = 23 
*= 2 
PROBLEMA 23 
EH JS En una recta se dan los puntos consecutivos J, 0, S, E, P, H tal que = 1 
OH JP 
OB +99 Hallar R = 
SP EH 
Solución: 
Sea el gráfico: 
H S E 
JS EH 
= 1 
OH 
Dato 
.(0) JP 
R = S OE Incógnita .9 
EH ) SP 
JS 1 = 1- EH JS OH EH De (0): 
JP OH JP OH 
Pero OH - EH = OE 
JS OE OH JP Luego 
(y) JP OH OE JS 
Pero OH = OE + EH A JP = JS +SP 
45 DIDY RICRA OSORIO LINEA RECTA ww.w.w 
OB + EHH JS+SP EH = 1+ 
OE 
SP Luego en ( V): 1+ OE JS JS 
OE JS JS OE Entonces 
EH SP SP EH 
Finalmente en ( a ): R = 0+9 
R 9 
PROBLEMA 24 
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos N, I, E, L, S siendo "T" punto medio 
del NE, además se cumple que: ILxIS = NI2 
R = NS NL + 8 
ES 
Hallar 
EL 
Solución: 
Sea el gráfico: 
L S N 
.(6) Dato ILx IS = a IL x IS = a xa 
R - NL + 8 
ES 
NS . (V) Incógnitaa: R = 
EL 
NL-a NS IS 
IS 
De (0): 
IS 
IL = NL - a a a = NS- IS (según el gráfico) 
NS NL NS 
IS NS1 NL1 Luego IS 
... (1) NL a Entonces 
NS IS 
IS +ESL- EL De (0): 
a IL 
IS = a + ES a a = IL - EL (según el gráfico) 
ES EL EL 1+ = 1. 
IL 
ES 
Luego IL 
EDITORIAL CUZCANO 46 GEOMET 
IL EL Entonces (II) ES 
Se tiene que: (I) = (II) 
NL EL NL NS NL NS Entonces 
NS ES EL ES EL ES 
Finalmente en ( y): R = 0+8 
R 8 
PROBLEMA 25 
Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B,C y D , Si: 
K-1 
AD AB 
AB x CD = KxBC x AD y 
AC 
Calcular "K" 
Solución 
Sea el gráfico: 
A B C 
AB x CD= K«BCx AD () 
Datos : 
K 
+ K2-1 
AD AB AC 
De (6): 
AB . AD 
BC CD 
1 K_1+K 
AD Por propiedad: .(B) AB AC 
Luego: (a) = (P) 
K-1_ 1+8 K?-1 = 1 +K AC AC 
K- K-2 0 (K-2) (K+1 ) = 0 
K -2 
1 
47 DIDY RICRA OSORO 
LINEA RECTA 
ww.ww. 
K-2 0 K = 2 Luego 
K+1 0 K = -1 (No cumple) 
K = 2 
PROBLEMA 26 
CP 2y-x Hallar 
el valor entero de "y". 
Solución: 
,N, C,P son puntos colineales y conse cutivos UP = 24 , UN = x - y ,NC = x+y 
+y 2 
U N C 
24 
Según el gráfico: x-y +* +y + 2y - x = 24 
x + 2y = 24 
x = 24-2y 
Se sabe que la longitud de un segmento es un número real y positivo. Por lo tanto 
según el gráfico es mayor que cero (> 00) 
-y> 0 * > * Luego 
24 2y > y 8 > y ó y <8 .(a) 
2-x >> 0 > 2y > * 
2y 24-2y y > 6 6 6 <y . (B) 
*+y> 0 24-2y +y > 0 
24 6 y < 24 
Luego de (a) y (B) 6< y <8, como y toma su 
valor entero 
Entonces y = 7 
PROBLEMA 27 
Son puntos colineales y conse cutivos, si 
DL es la media proporcional 
entre 
8x DO DL_1 
DL 
DO y 10, hallar R = D, LO 
Solución 
Sea el gráfico L 
D 
(0) 
Dato DL = D0 10 
48 GEOMETRI EDITORLIAL CUZCANO 
(DI Incógnita: R = 8x DO 1 LO DL 
De (0): DL x DL = DO x 1O 
DL IO ... (P) 
DO DL 
DL = D0 - LO 
Según el gráfico: .() 
10 = DL +LO - DI 
Luego ( a) en (B): 
DO - LO DL +LO- DI 
DO DL 
1- = 1+ LO-DI LO (DI- LO) 
DO DL DO DL 
LO DI-LO DL DI - LO DL-1 DL DO DL DO LO DO LO 
Luego: 
DO (DI 
1 
DL LO 
Reemplazando: R 8x 1 R 8 
PROBLEMA 28 
En una línea recta se consideran los puntos consecutivos U, N, C, P, tal que: 
UN UP NCx CP = 47 
CP UP x UN = 96. NC 
Hallar USC 
Solución 
U N C P 
UN UP UN x CP = NC x UP = a NC CP 
Datos NC x CP = = 47 . (I) 
UP x UN = 96 . (II ) 
49 DIDY RICRA OSORIO 
LINEA RECTA w. 
*ww... 
NC = x - UN 
Según el gráfico: 
UN = x - NC . (0) 
Reemplazando (0) en (D y (II) se tiene 
(x-UN ) x CP = 47 
xx CP - UN CP = 47 
) 
(x -NC) UP = 96 
xx UP - NC x UP = 96 
(B) 
Luego: ((B) -(a) "m.a.m" se tiene 
xx UP - a -xx CP + a = 96 - 417 
( UP -CP) = 49 
x= = 7 2 x = 7 
PROBLEMA 29 
Sean los puntos colineales y consecuti vos L, I, M, A, Siendo M punto medio del IA. 
Calcular 
3 
LI+LA2 
Q 
LM2+ IM2 
Solución 
Sea el gráfico : 
L M 
Dato IM MA = 
Incógnita: Q = LI2 +LA42 . ( 6) 
LM2+ IM2 
Según el gráfico: 
LI = LM- IM LI2 = (LM -IM) 
LA = LM + MA ; pero : IM = MA 
LA = = LM +IM LA2 = (LM +IM) .(B 
50 GEOMETRIA EDITORLAL CUZCANO 
Luego: (a)+ (B) m, a, m" 
LI+LA2 = (LM -IM) * + ( LM + IM )2 
LI+LA 2 = 2 (LM2 + IM2) 
LI2+ LA 2 
2 
LM+ IM 
Luego en (6): = 23 
Q = 8 
PROBLEMA 30 
Sobre una recta se consideran los puntos conse cutivos U, N, C, P calcular : 3 *. Si 
1- 
UN = 3 NC NP = 22 y UD+ 3 CP = 4 V3 
Solución 
Sea el gráfico: 
U N C 
3 UD +3CP = 4 Dato () 
(a = q y 22 Sea: b 
UD = 3a + b 
Según el gráfico (6) 
CP b - a 
Luego (0) en (a) 3a+b +3 (b-a) = 4q 
4b = 4q > b = 
3 
T-( 3 3 Reemplazando: 22 
-
22 (3*)3 -* 
Elevando a la " (m, a, m) 
DIDY RICRA OSORIO 51 LINEA RECTA 
1 
1- 
1 - x 
22 (3)3 
Luego = (3-3** 
Por igualdad de base y exponente (2 = 31- 
Igualdad de exponente:2 = 3 2 3 
33=8 
PROBLEMA 31 
Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, D tal que :AB x CD = BC x AD. 
Hallar una relación en función de AC, CD , AB y BD 
Solución 
Sea el gráfico D A B C 
Dato AB CD = BC x AD . (I) 
AB AD De (I) D 
1 BC CD 
Según el gráfico: AB = AC - BC 
AD = AC+ CD 
AC - BC AC+CD 
Reemplazando 
BC CD 
AC AC1 AC AC 2 1 
BC CD BC CD 
AC 
BCcD=2 BC 
1 1 
CD AC 
2 
BC 
2 1 + .(0) Luego 
BC AC CD 
52 GEOMETRIA EDITORLAL CUZCANO 
CD AD 2 De (1) 
AB BC 
Según el gráfico: CD = BD- BC 
AD = AB + BD 
BD-BCAB +BD 
Reemplazando: 
BC AB 
BD BD BD BD = 2 BD 2 1 1+5 
BC AB BC AB 
2 
BD 11 -2 BC 1_- AB BC AB BD 
1 2 1 
Luego: () 
BC BD AB 
Entonces como: (0) = ( Y) se tiene: 
2 + 2 
AC CD BD AB 
PROBLEMA 32 
Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos U, N, C, P si UN es sección 
aurea del UC y los Puntos 
UC = 32 +a + 2b +c - 1 y a, b, c son tres números que verifican la igualdad 
forman cuaterna armónica. Si una 
(a -b+c)' = 3 (ac -ab -be ), calcular CP 
Solución 
Sea el gráfico: 
U C 
Dato: (a -b+c)° = 3 (ac - ab -bc ) 
Efectuando: a2+b+c+2(- ab - bc + ca ) = 3 ( ac -ab - bc ) 
a+b+c = ac - ab - be 
Luego 2 (a+b+c) = 2 ( ac - ab - bc ) 
a2 +b +2ab+b+ c+2bc+ c+a2-2ac = 0 
T.C.P T.C.P T.C.P 
DIDY RICRA OSORIO 53 LINEA RECTA 
: *w.ww.. 
(a +b)+ (b +c) + (c -a )' = 0 
a+b = 0 
Luego se cumple: a + 2b +c = 0 
b+c = 0 
C a = 0 
Dato UC = N 32 +a + 2b +c -1 , reemplazando se tiene 
UC = 32 +0 - 1 UC = 1 
(5-1 lIC> UN - (E-1. UN =2 
Dato UN es sección aurea del UJC 
Entonces se cumple 
5-1 UN = 
2 
Luego : UN + NC = 1 (según el gráfico) 
6-1 NC = S-V5 5- NC = 1 NC =1 - 
2 2 
Dato: U, N, C, P. Forman una cuaterna armónica 
UP UN Entonces se cumple: 
NC CP 
V5-1 
1+* 2 
3-5 
Reemplazando: 
2 
5-11 = 6-1L+1 3-N5 V5-1-3-5)1 3-5 3-V5 3 5 
25-2)- 2x = 
5-2 
(3-V5) (V5 +2) 
(V5-2) (V5+ 2) 
3 5 
2x = 2x = 
3 5 
3 V5+6-V52 -2 V5 5 +1 2x 2x 1 V6-22 
54 OMETRIA EDITORI1L (UZ1\0 
V5 +1 
2 
Observación : T.C.P. Trinomio 
cuadrado perfecto 
PROBLEMA 33 
Se tienen los puntos consecutivos y 
colineales A, B, C y D. Calcular la lonoitud 
son puntos medios 
el 
segmento que une los puntos medios de MD y 
AN, si M y N son puntos 
de AB y CD. Además AD 
= m y BC 
= n 
Solución 
Sea el gráfico 
C N D R P M B 
a+n+2b 
2 
atn+2b- 
2a+n+b 
2 
2a+n+b 
2 
Según el gráfico: n = BP +x + RC .(0) 
Za BP 
=2tb -2a 
2 
2a +n +b 
BP * = 
2 
a+n + 26 a+n- 26 
RC = - 2b RC = * 
2 2 
n +b- 2a a+n- 26 
+ Luego en ( 6): n 
2 2 
a +b 2x= a +b * = 
2 
m- n Pero 2a +n + 26 = m a +b . (B) 
2 
m - n 
finalmente ( B ) en ((V): 
4 
PROBLEMA 34| 
longitudes de los segmentos que unen los puntos medios de ( AC , BD ) ¥ 
suma
\ 
de las Se tienen los puntos consecutivos y colineales A, B, C y D, hallar la su y (AD, BC) 
respectivamente si AB> CD y AB = 3K 
DIDY RICRA OSORIO 55 LINEA RECTA 
Solución: 
- - -
-
M BP R N 
-
-
Se pide : *+y 
Según el gráfico: 2c = 2b + 3k c-b = 
3k 2a = 2d + 3k a -d 
2 
Cálculo de "" 
x = 2c-(a +b) 
Cálculo de "" y = d- BP pero BP = 2b - c 
y d- (26 - e) y = d +c- 2b 
Luego: *+y = 2c-( a +b) +d +c - 2b 
+y = 3 (c-b)- (a -d) 
Reemplazando: * +y = 3( 
+y = 3k 
PROBLEMA 35 
En una recta se tienen los puntos consecutivos N, 1, E, L, S siendo IL = 151 v 
NE x ES= IL (NI + LS ). 
Hallar: M = IE+LS +1 , si NI = (x+7)x* 
EL = 9x 2( 16 - 7a) 
Hallar y = 
EDIIUR1/ /IO 56 GEOMETRIA 
Solución 
Sea el gráfico -151-
-b a -b- -a 
-
N E L 
-151- -151 
Datos NE x ES= IL (NI + LS) (0) 
NI = (x +7 ) x* 
EL = 9x 2 ( 16- 7x) 
Incógnita 
IE + LS 
M +1 = 
Del gráfico NI + LS = NS IL luego 
En (0) NE x ES= IL (NS - IL) (B) 
En (B): (NS ES ) ES = IL (NS - IL) 
NE = NS - ES (según el gráfico) 
Luego: NSx ES -ES = IL x NS -IL2 
IL2- ES = IL x NS - NS x ES 
(IL + ES) (L - ES) = NS (IL - ES) 
IL +ES= NE + ES 
IL = NE > NE = 151 
En (B): NE (NS -NE) = IL ( NS - IL) 
ES = NS - NE (según el gráfico) 
Luego: NE NS- NE = ILx NS -IL2 
IL2-NE = ILx NS -NE x NS 
(IL + NE) (IL- NE) = NS (IL -NE) 
IL +NE= NE + ES 
IL = ES ES 151 
Entonces NE = ES = IL = 151 
Luego se tiene NI = EL = a 
DIDY RICRA OSORIO 57 LINEA RECTA 
ww.. 
2 
Por lo tanto: (x+ 7) x = 92(16-7) 
(x+7) x* 
2 9x 
32 
2 
(x +7) x* .x 14 = 932 
Luego multiplicando por " 49 (m.a.m.) 
9 (x+7) x* * 14xx x 49= 9x32xx 49 
2 
(x+7 )x*+14x + 49_ q3249 = 
(+7 ) x (X+7) 9 x x 
Por analogía *+7 = 9 x = 2 
Entonces como a = NI = (x + 7 ) x* 
a = 92 a a 144 
b = IE = LS = 7 
Reemplazando 
Por lo tanto: 
M +1 
2 
Finalmente: 
M 8 
PROBLEMA 36 
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos U, N, C, P. Si 
7 -7.x 
y 
1 6x-1 UNx CP= ( 6x* - 1 ) NC x UPP 
UC UP UN 
Hallar: R = x+1 
Solución 
Sea el gráfico: 
U N 
Datos 
UN x CP = ( 6:x* -1) NC x UP (6) 
7 -7x Vx 1 6x-1 .(1) 
UC UP UN 
Incógnita: R = l+1 
58 GEOMETRIA EDITORIAL CUZCANO www. 
UN 6x*-1)x UP 
La relación "e" se puede expre sar así 
CP NC 
6x 6x-1 
UN 
. (II) 
Por lo tanto por propiedad se tiene UP UC 
Luego se tiene que: (I) = (II). Entonces: 
6 7 E- 7x 6x = 7 -7x 
UC UC 
1- 
6x 7 (1-x) 
V = (1 -x)x"* .x = = (1-*) * 
Multiplicando por "" (m.a.m.) 
7 x * = (1-x )x * x* 
7 
Luego: xx = (1-x) xxl-x 
Por analogía: = 1-x 
-
= 7 
Finalmente: R = 7+1 
R = 8 
PROBLEMA 37 
Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos D, R, 0, calcular el mínimo valor 
de "e si : 
DO+ 4x DR x Ro 
= 
DR x RO 
Solución 
Sea el gráfico: 
D R 
Dato 
DIDY RICRA OSORIO 59 LINEA RECTA 
DO +4 DR x RO Do 2 
+ 
4x DR xRO 
= 
DR RO DR x RO DR x RO 
DO Pero DO = DR + RO , Luego -+4 
DR x RO 
ADR + RO) A ADR+ RO+2 DR x RO +4 = +RO )2 
DR x ROO 
+4 0 = 
DR x RO 
DR 2 2 x DR x xRO + 4, Luego: 
RO 
DR RO DR ROD DR x ROD 
RO DR + +6 , sea:
RO 
RO DR X, Entonces 
RO 
6 
DR DR 
Luego e = *++6 (1) 
Se sabe que: a20 (por números reales) 
Entonces (x-1) 20 
+1- 2x 2 0 
+1 2 2x 
+22 (x > 0) 
Por lo tanto: (x+) = 2 min 
Luego en (I) se tiene: (r+) +6 mn 
min 
mfn 8 
PROBLEMA 38 
Sobre una línea recta se ubican los puntos conse cutivos D, R,O tal que: DR = «, 
RO = 1997 y, DO = N1977, Si: *, y e R*. 
Indicar el máximo valor que puede alcanzar 
Solución -I 997 
Sea el gráfico 
-*1997y 
D R 
EDITORLAL CUZC4NO 60 GEOMETRIA 
Según el gráfico 1997 = x+1997 xy 
Sea 1 997 = n > 1997 = na 
Luego en ( 6) : * +yn 
0 = yn - n +x 
Luego aplicando la fórmula general 
- (-1 )tV-1)*-4xxxy n- 1tV1-4xy n= n = 
2 x 2y 
como "n" es positivo, entonces la discriminante es 2 0 (A 2 0 ). Es de cir A = 1- 4xy 
Por lo tanto 1- 4xy20 
12 4xy 
4 
Finalmente xy (máx) 
PROBLEMA 39 
Sobre una recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes son 
19 65 211 y así suce sivamente, Hall ar la suma de sus longitudes. 
6 62 63 64 65 
Solución 
H 
19 
63 
65 
64 2114 65 
Sea "x" la suma de sus longitudes 
Según el gráfico 
L+ +36 65 + 211 19 
6 62 3 6 64 65 
19 65 211 1 
2 x3 2x32 2x3 2x34 2x35 
. 
3-2 32-22 3-23 3-24 35-25 
2x3 2232 2333 2x34 25x35 
61 LINEA RECTA DIDY RICRA OSORIO 
()-):G):C*:3) 
Separando de manera conveniente. 
= +L,1,1 
2 22 23 2 25 
Luego por suma límite en una progresión geométrica (P. G.) se tiene 
2 3 
1- 1- 
PROBLEMA 40 
Sobre un recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes son 
65104 
Calcular la suma de sus longitudes 
Solución 
504 35 
Sea "" la suma de sus longitudes según el gráfico:* =. 
14 35 65 104 
3 Multiplicando por "" (m.a.m.) 
2 
3 
2 4 28 130 208 
-3 
10x 13 13 x 16 
3 3 3 3 + 
2 1x4 4x 7 7x 10 
10-7 13 10 16 13 3x 
1x44x77x1010x 13 13 16 2 
3* 
2 
3x 2 = 1 ^ x = 
2 3 
62 GEOMETRIA BDITORIAL CUZCANO 
PROBLEMA 41 
Sobre una recta se determinan segmentos 
consecutivos cuyas longitudes son 
, 15 , 31 
16 64 256 
y así suce sivamente, calcular 
el límite de la suma de todas 
las longitudes de los segmentos 
consecutivos así formados. 
Solución 
14 31 256 16 
Sea "" la suma de todas las longitudes según el gráfico: 
3,7 15 31 
4 16 64 256 
=-18-1 16-1 
256 
32-1 
4 16 64 
Separando de manera conveniente 
4 
3 
x = 
1-2 1 
PROBLEMA 42 
Sobre una recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes son 
y así sucesivamente. 
Hallar la suma de sus longitudes 
Solución 
DIDY RICRA OSORIO 63 LINEA RECTA 
ww.w. 
3 
4! H 5! 2! 3! 
Sea "" la suma de sus longitudes según el gráfico 
x= 2 4 5 
2! 3! 4! 5 6! 
=21 (3-1 (4-1 6-1 + 
2! 3! 4! 5! 6! 
11 
5! 6! 
PROBLEMA 43 
Sobre una ínea recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes son 
3 21 93 y así suce sivamente. 
8 128 2 048 
Hallar la suma de sus longitudes 
Solución 
21 
128 
93 
2 048 
Sea "x" la suma de sus longitudes según el gráfico 
21 
128 
93 
8 2 048 
* = 3 + 
27 211 
2-1 
23 27 
/ 
64 GEOMETRIA EDITORIAL CUZC1NO 
www.w.. 
Separando de modo conveniente 
3 
2 
3 15 
22 23 
1- 1- 
3 
5 
PROBLEMA 44 
Sobre una recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes 
son: 
35 97 5. 13 
86 216 1 296 
asi sucesivamente. 
Hallar la suma límite de sus longitudes 
Solución 
13 
36 
35 
216 
97 
1 296 
Sea " la suma límite de sus longitudes según el gráfico 
5 13 35 97 
. 
6 36 216 1 296 
(2+3 22+32). (23+33 2 +34 
+ 
2 x3 2232 233 234 
( .. 
22 32 3 
Separando de manera conveniente 
1 
2. 3 3 
1 2 1- 
2 3 
DIDY RICRA OSORIO 65 LINEA RECTA 
www.wwww 
PROBLEMA 45 
Sobre una recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes son 
5 3 
32 32 
Calcular la suma de sus longitudes 
Solución 
Sea "x" la suma de sus longitudes 
según el gráfico: 
2 2 8 4 32 32 
.(I) 
Multiplicando por "2" (m.a.m.) 
6 4 = 1++ 425 (II) -... 
2 22 23 24 2 
Luego: (II) - (I) 
=1 1++1, 11 
2 22 23 24 25 
a = 2 
1- 
PROBLEMA 46 
Sobre una línea recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes son 
;1 4, 
4 16'32 
así sucesivamente. 
Hallar la suma limite de sus longitudes. 
Solución 
66 GEOMETRIA EDITORLAL CUZCANO 
-1 14 14 32 1 -1- 
Sea "x" la suma limite según el gráfico 
= 1++1+ 14 
1+t 16 32 
2,5, 8 ,11,14 
21 22 23 21 25 
.(I) 
.. 
Multiplicando por "2" (m.a.m.) 
2x = 2+,8, 11, 
14 
2+ 23 2 .. (II) 22 24 
3 
Luego: (II) - (I) :x = 2+ + + 
2 22 
. 
24 
x = 2+3 
2 
3 
* = 2 + 2 x = 5 
1- 
PROBLEMA 47 
Sobre una línea recta se consideran los puntos conse cutivos Po P P2.PaPa* 
7 P5 . y así indefinidamente. Si: PP = 1 ; P,P = PP3 
PP10 
22 
31 
y así sucesivamente. 2 10 
Hallar el límite de la suma de las longitudes de todos los se gmen tos así formados. 
Solución 
Po P Pa P3 P 
26 
31 
210 
DIDY RICRA OSORIO 67 LINEA RECTA 
Sea "" la suma límite según el gráfico 
x = 1+++ 
2 10 
= 1 11./2-1). 
10 2 
x = 1+ 
10 2 
Ordenando de manera conveniente 
2 10 
1 
22 x 1t 15 x = 1+-
3 15 
1-92 24 
7 
PROBLEMA 48 
Sobre una recta si los segmentos consecutivos cuyas longitudes son 
2 26 
1 242 y así sucesivamente. 
32 36 3 10 
Hallar la suma de sus longitudes 
Solución 
H 
242 
310 
-1 -
Sea "" la suma de sus longitudes según el gráfico0 
x = 1+2, 
26 242 
3 36 310 
t... 
(3-1 3-1 35-1 x= 1+ 3 10 
68 GEOMETRIA EDITORIAL CUZCANO w.w.uw.ww.w.w
1 
3 10 
Ordenando de modo conveniente 
z = 1+|+ 
3 33 35 
Luego 
3 32 * = 1+ 
8 80 
32 
101 
80 
PROBLEMA 49 
Calcular el valor de la razón aritmética entre el cuadruplo del complemento de la cuarta 
parte de un ángulo y la cuarta parte del suple mento del cuadruplo de dicho ángulo. 
Solución 
Recordar 
Razón 
Comparación que se efectúa entre dos cantidades cualesquiera. 
Razón Aritmética (R.A.).- comparación que se establece mediante una sus- 
tracción.
Sean las cantidades a y c. Entonces a -c = r 
Donde: a Ante cedente 
C consecuente 
r valor de la razón aritmé tica 
a-c razón aritmética 
Luego según el enunciado se tiene 
= 4C( s . ( 4(40) 4 
Donde: *0 Medida del ángulo en mención 
x Valor de la Razón Aritmética 
DIDY RICRA OSORIO 69 ANGULOS 
En (: x = 4 (90°- (180°- 40) 
x = 360° - 0 - 45° +0 
x = 315 
PROBLEMA 50 
La suma de las me di das de dos ángulos es 80° y el complemento de la medida del primero 
es el doble de la me dida del segundo. Hallar el valor de la razón aritmética de las medidas 
de dichos ángulos. 
Solución 
Sean "x" e" y" las medidas de los ángulos 
Si: x-y = R. Entonces nos piden hallar "R" 
.(I) Dato +y = 80° 
Siendo: x, y el primero y segundo respectivamente 
Dato C, = 2y *+2y = 90° (Propiedad) 
Luego *+y+y = 90° 
Reemplazando : 800+y = 90°> y = 10° 
Entonces en (I) : x = 70° 
Finalmente: R = 70°- 10° 
R = 60 
PROBLEMA 51 
Si la razón geométrica del complemento de un ángulo "a" entre el suplemento del ángulo 
"" es igual a la razón geométrica del suplemento 
de "a'" entre el complemento de "9e". 
Calcular la suma de las me didas de ambos ángulos. 
Solución 
Recordar: 
Razón Geométrica (R.G.).- Comparación que se 
establece mediante una División 
a T 
Sean las cantidades a yc. 
Entonces 
C 
C consecuente 
Donde a antece dente. 
r valor de la razón geométrica 
razón geométrica * 
C 
DIDY RICRA OSORIO 71 ANGULOS 
PROBLEMA 53 
Si S > suplemento. Calcular "n" en 
SS2t SSSS+SSSSSSat. +SSSS... S. = 56 a 
Solución 
SS2+SSSS +SSSSSS . + SSSS... S2n t 56 a (6) 4 
SS 2a 2 a (S = 2, # par) 
SSSS 4a = 4 a (S = 4,# par) 
SSSSSS 6a = 6 a (S = 6,# par) (B) 
SSSS... S 2n a = 2n a (S = 2n , # par) 
Luego (B) en (0) : 
2 a+4 a+6 a + 8 a+... + (2n a) = 56 oa 
Luego: 2 a (1+2+3 +4+... + n ) = 56 a 
n (7n +) - 56 2 x 
2 
n (n +1) = 7 ( 7+1) 
Por analogía : n = 7 
PROBLEMA 54 
Si C complemento 
S suplemento 
Reducir R = SCSCSC ... S 
"n veces 
Solución 
R SCSCSC...SC 
"n" veces 
Por inducción matemática 
EDITORIAL CUZCANO 72 
GEO METRIA 
Awwww. 
.w. . .w.w.cw. 
n = 1 SC= 
90°+x (Por propiedad) 
SC, = 90° x 1 +x 
= SC 90° +*) 
= 90° + 90° + x = 180° +x 
n = 2 SCSC 
SCSC = 90° x 2+ 
SCSCSC= S (180°+) 
= 90°+ 180° +x = 270° +x 
n = 3 
SCSCSC = 90° x 3 +x 
: SCSCSCSC= SC ( 210° + « ) 
= 90° + 270° + x = 360° +x 
n = 4 
SCSCSCSC= 90° x 4 + 
sC SCSCSCSC . S 90°x n +* n= n 
"n" veces 
PROBLEMA 55 
Si a uno de los áángulos suplementarios 
se le disminuye su complemento para agregarle 
al otro, éste nuevo ángulo resulta 
ser ocho veces lo que queda del primero. 
Determinar 
uno de los ángulossuplementarios. 
Solución 
Sean "x" é "y" los . suplementarios 
Entonces +y 180° 
.. (I) 
Además uno de los s 
y el otro 
Por dato x-C+y = 8 (* -C,) 
y = 7(* -C,) .. (II) 
Luego () en (I): 
x +7 (x - C,) = 180° 
8x-7 ( 90° - x ) = 2 x 90° 
15x= 9 x 90° 
= 54° 
DIDY RICRA OSORIO 73 ANGULOS .w.w. 
wwwww.w 
PROBLEMA 56 
El suplemento de la sustracción de efectuar entre el suplemento y el complemento de un 
ángulo es igual al complemento de la sustracción entre el complemento del comple mento 
vel suplemento del mismo ángulo. Calcular dicho ángulo. 
Solución 
Sea "" el ángulo 
Por dato is-c^] tcc-s) .(I) 
*S-C, = 180° -x - ( 90° -x) 
S-C, = 90° 
*CC-S, = * - ( 180° -* ) 
CC-S = 2x - 180° 
Luego en (I) : 
S90 (2 180°) 90° = C ( 2x- 180°)
Por propiedad 2x 180° = 0° 2x = 180° 
* = 90° 
PROBLEMA 57 
La tercera parte de la mitad del complemento del suplemento de la medida de un ángulo 
excede en 8' a los tres quintos del complemento de la mitad de la medida del mismo 
ángulo. Hallar la medida de dicho ángulo. 
Solución 
Sea " 2x" la medida del ángulo 
Por dato 
1 CS 2 C= 8 . (6) 
5 
CS 2ax 90° 
En (0): (2a 90°) -(90°-x) = { 8° 
6 
-15 54°+ = 8° 
3 
74 OMETRIA EDITORLAL CUZCANO www.w.w.ww.w.ww.o w.w.e ..w.w.. .w .www.. 
3 8° 69 
5 3 
14 xX 77° 
15 
2x = 165 
PROBLEMA 58 
Hallar el complemento de la sustracción de las medidas de dos ángulos tales que la medida 
del primero excede en 60° al complemento de la medida del segundo y la medida del 
segundo ángulo sea igual a la mitad del suplemento de la medida del primer ángul0. 
Solución 
Sean x e y las medidas de los ángulos 
..(I) C-y) = 90° - (x -y) C(-) Incógnitaa: 
Dato * Cy = 60° 
x- 60° = C 
x- 60° +y 90° 
*+y = 150 
S% * Dato 
2y S 
*+2y 180 
+y+y = 180° 150° 150°+y = 180° 
y = 30° 
Luego x = 120 
Entonces *-y = 90° 
Finalmente en (I) (-y) 90 C 90° 
0° C(x-y) 
PROBLEMA 59 
Si a un ángulo "x se le añade la mitad de su complemento, se obtendría otro angu 
es igual al doble de su complemento aumentado en 13° 30'. Determinar "*. 
Solución 
Sea "e" el ángulo que se obtiene 
DIDY RICRA OSORIO 75 ANGULOS 
wwww ww. 
Por datob: 
* x+Cx = 0 x+ 90°- x 
2 2 
(I) 
2 
* 2Ce+13° 30 0 = 2 90° 0) +13° 30 
13° 30 
60+ .. (II) 
3 
13 30 90° +2- 60° + Luego como (1) = (1I) se tiene 
2 3 
27 90°+x= 120° + 
3 
* = 390 
PROBLEMA 60 
Si el complemento de la sustracción de efectuar entre dos ángulos es igual al suplemento 
de la suma de dichos ángulos. Determinar uno de los ángulos. 
Solución 
Sean "r" e "y" los ángulos (* > y) 
Por dato Cx-y) S(x+9) 
Por propiedad: 
*-y+S(x+v) 
= S0 S+v) 90°- (* -y) 
Por propiedad: 
(x +y) + 90°- (* -y) 
= 180° 
2y 90° 
y = 45° 
PROLEMA 61 
Si los del complemento de la 
sustracción entre el suplemento y complemento de es 
igual a los m de la sustracción entre el complemento 
de 6 y el suplemento del 
n 
suplemento de , hallar . 
Solución 
GEOMETRIA 76 EDITORIAL CUZCANO 
Por dato 
m .(I) C Is-C= CSs 
n 
S-C = 180° -6-(90°-0) 
S-C = 90° 
*C-SS = 90° -0-0 
C C-SS 90°- 20 
Luego en (I): 
C (90°-20) 90° 
0 (90° -2 0) 
n 
0= 90 - 20 
20 90° 
= 45 
PROBLEMA 62 
Si los del suplemento del complemento de los dela sustracción entre el suplemento 
del suple del suplemento de x y el complemento del complemento de y es igual a los 
mento del complemento de los de la sustracción entre el complemento del comple- 
mento de * y el suplemento del suplemento de y . Calcular el complemento de la 
sustracción entre * e y 
Solución 
Por datoo 
SC ( ss-CC)* SC( CC x . (1) (CC-SS) 
Se pide Cx-y)