LA CIRCUNFERENCIA TEORIA

Vista previa del material en texto

CAPITULO III 
LA CIRCUNFERENCIA 
Definición: 
Una circunferencia C es el lugar geométrico conformado por el conjunto de puntos P={x,y} 
∈ R2, cuyas distancias a un punto fijo son iguales. El punto fijo se llama centro y la 
distancia constante es el radio. 
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA: 
ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tenemos: 
F0=(h,k) : Centro de la circunferencia C 
P=(x,y) : Punto generador de la circunferencia C 
r: radio de la circunferencia C 
del gráfico: ‖𝐹0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = 𝑟 
 ‖𝑃 − 𝐹0‖ = 𝑟 
 ‖(𝑥, 𝑦) − (ℎ, 𝑘)‖ = 𝑟 
 ‖(𝑥 − ℎ, 𝑦 − 𝑘)‖ = 𝑟 
 √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 
 (√(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2)2 = 𝑟2 
 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 → (Ecuación ordinaria de la circunferencia C) 
CASOS PARTICULARES DE LA ECUACIÓN ORDINARIA DE UNA CIRCUNFERENCIA 
CASO I: Circunferencia Tangente al Eje X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este caso |k|=r y la ecuación ordinaria de la circunferencia toma la forma: 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑘2 
CASO II: Circunferencia tangente al eje Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este caso |h|=r y la ecuación ordinaria de la circunferencia toma la forma: 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = ℎ2 
CASO III: Circunferencia tangente a ambos ejes coordenados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este caso |h|=|k|=r la ecuación de la circunferencia toma la forma 
 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑘2 ó 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = ℎ2 
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA 
La ecuación ordinaria de circunferencia es: 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 
Desarrollando esta ecuación: 
 X2-2hx+h2+y2-2ky+k2-r2=0 
Ordenando: 
X2+y2-2hx-2ky+h2+k2-r2=0…………(*) 
Sea: 
𝐷 = −2ℎ
𝐸 = −2𝑘
} ……………………….(I) 
Reemplazando (I) en (*): 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 → (𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐶) 
ECUACION DE LA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tenemos: 
𝐹0 = (ℎ, 𝑘): 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 
𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1): 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 
𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒:𝑚𝐹0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ =
𝑦1 − 𝑘
𝑥1 − ℎ
 
𝐷𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜: 𝐹0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ ⊥ 𝐿𝑇 → 𝑚𝐹0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ ×𝑚𝑇 = −1 
 → 𝑚𝑇 = −
1
𝑚𝐹0𝑃1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 → 𝑚𝑇 = −
(𝑥1−ℎ)
(𝑦1−𝑘)
 
La ecuación de la recta tangente la hallamos por punto pendiente: 
𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1)𝑦 𝑚𝑇 = −
(𝑥1 − ℎ)
(𝑦1 − 𝑘)
 
Entonces: 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚𝑇(𝑥 − 𝑥1) 
𝑦 − 𝑦1 = −
(𝑥1 − ℎ)
(𝑦1 − 𝑘)
(𝑥 − 𝑥1) 
→ 𝐿𝑇: (𝑥1 − ℎ)(𝑥 − 𝑥1) + (𝑦1 − 𝑘)(𝑦 − 𝑦1) = 0 
Nota: 
 
 
Una recta y una circunferencia al intersectarse dan origen a una ecuación de segundo 
grado de la forma: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Por lo tanto una recta y una circunferencia tienen 0,1 o 2puntos en común. 
No tienen ningún punto en común si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, este caso de la recta L1. 
Tienen exactamente un punto en común si y solo si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, en este caso la recta L 
es tangente a la circunferencia. 
Tienen dos puntos en común si y solo si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, en este caso L2es una secante a 
una circunferencia 
 
 
 
 
 
CUERDA DE CONTACTO 
Tenemos: 
 
Se denomina cuerda de contacto a la recta que une los puntos de contacto de las rectas 
tangentes trazadas desde un punto exterior 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1) a una circunferencia. 
La ecuación de la cuerda de contacto es: 
(𝑥1 − ℎ)(𝑥 − ℎ) + (𝑦1 − 𝑘)(𝑦 − 𝑘) = 𝑟
2 
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS 
Se presentan dos casos: 
PRIMER CASO: 
Familia de circunferencias que dependen de un parámetro. 
Este caso lo vemos a través de un ejemplo. 
EJEMPLO: 
Hallar la ecuación de la familia de circunferencias cuyo centro 𝐹0 = (ℎ, 𝑘) se encuentra en 
la recta 𝐿1: 𝑦 = 𝑥, 𝑦 es tangente a la recta 𝐿2: 2𝑥 + 𝑦 − 8 = 0. 
SOLUCIÓN: 
De acuerdo a los datos tenemos el siguiente gráfico: 
 
 
 
𝐹0 = (ℎ, 𝑘) ∈ 𝐿1: 𝑦 = 𝑥 → 𝑘 = ℎ ……………….(I) 
Del gráfico: 
 𝑟 = 𝑑(𝐹0, 𝐿2) 
 𝑟 =
|2ℎ+𝑘−8|
√5
 ……………….(II) 
Reemplazando (I) en (II): 𝑟 =
|3ℎ−8|
√5
………….(III) 
La ecuación de la ecuación tiene la forma: 
 𝐶: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2…………(*) 
Reemplazando (I) y (III) en (*): 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = (
|3ℎ−8|
√5
)
2
 
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 =
(3ℎ−8)
5
2
→ (𝐹𝑎𝑚𝑖𝑙𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ℎ) 
De (I) : 𝑘 = ℎ 
Para h=1: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 5 
Para h=2: (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 2)2 =
196
5
 
SEGUNDO CASO: 
Familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de dos circunferencias 
Veamos el siguiente gráfico: 
 
Sean 𝐶1 𝑦 𝐶2 dos circunferencias (en los puntos R y S) cuyas ecuaciones son: 
𝐶1: 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝐷1𝑥 + 𝐸1𝑦 + 𝐹1 = 0 
𝐶2: 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝐷2𝑥 + 𝐸2𝑦 + 𝐹2 = 0 
Si multiplicamos a la ecuación de 𝐶2 por un parámetro t y lo sumamos a la ecuación de 𝐶1 
tenemos: 
𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷1𝑥 + 𝐸1𝑦 + 𝐹1 + 𝑡(𝑥
2 + 𝑦2 + 𝐷2𝑥 + 𝐸2𝑦 + 𝐹2) = 0 
Esa es una familia de circunferencia que dependen de un parámetro L. 
Veamos si está bien definido: 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷1𝑥 + 𝐸1𝑦 + 𝐹1⏟ 
0
+ 𝑡 (𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷2𝑥 + 𝐸2𝑦 + 𝐹2)⏟ 
0
= 0 
→ 0+ 𝑡(0) = 0 → 0 = 0 (Verdadero) 
Entonces la familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de dos 
circunferencias están bien definidas. 
EJEMPLO: 
Hallar la ecuación de una circunferencia de radio 𝑟 =
5√2
2
 y que pase por la intersección de 
las circunferencias: 
 𝐶1: 𝑥
2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 16 = 0 y 𝐶2: 𝑥
2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 2𝑦 = 0 
SOLUCIÓN: 
Por la familia de circunferencias, la ecuación de la circunferencia C que pasa por la 
intersección de 𝐶1 y 𝐶2 es: 
𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 16 + 𝑡(𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 2𝑦) 
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 16 + 𝑡𝑥2 + 𝑡𝑦2 − 6𝑡𝑥 + 2𝑡𝑦 
(1 + 𝑡)𝑥2 + (2 − 6𝑡)𝑥 + (1 + 𝑡)𝑦2 + (2𝑡 − 6)𝑦 = 16 
𝑥2 + 2
(1−3𝑡)
1+𝑡
𝑥 + 𝑦2 + 2
(𝑡−3)
1+𝑡
𝑦 =
16
(1+𝑡)
 
[𝑥2 + 2
(1−3𝑡)
1+𝑡
𝑥 +
(1−3𝑡)2
(1+𝑡)2
] + [𝑦2 + 2
(𝑡−3)
1+𝑡
𝑦 +
(𝑡−3)2
(1+𝑡)2
] =
16
(1+𝑡)
+
(1−3𝑡)2
(1+𝑡)2
+
(𝑡−3)2
(1+𝑡)2
 
Tenemos que: 𝑟 =
5√2
2
 → 𝑟2 =
25
2
 
Comparando tenemos que: 
 
16(1+𝑡)+(1−3𝑡)2+(𝑡−3)2
(1+𝑡)2
=
25
2
 
 
16+16𝑡+1−6𝑡+9𝑡2+𝑡2−6𝑡+9
(1+𝑡)2
=
25
2
 
 
10𝑡2+4𝑡+26
(1+𝑡)2
=
25
2
 
20𝑡2 + 8𝑡 + 52 = 25 + 50𝑡 + 25𝑡2 
 5𝑡2 + 42𝑡 − 27 = 0 
 (5𝑡 − 3)(𝑡 + 9) = 0 
→ 𝑡 =
3
5
 , 𝑡 = −9 
Hay dos soluciones: 
Para t = 
3
5
 en (*) : 
[𝑥 + 
1−
9
5
1+
3
5
]
2
+ [𝑦 + 
3
5
−3
1+
3
5
]
2
= 
25
2
 
 (𝑥 −
1
2
)
2
+ (𝑦 −
3
2
)
2
= 
25
2
 ( Primera solución ) 
Para t = -9 en (*) : 
[𝑥 + 
1+27
1−9
]
2
+ [𝑦 + 
−9−3
1−9
]
2
= 
25
2
 
 [𝑥 − 
7
2
]
2
+ [𝑦 + 
3
2
]
2
= 
25
2
 ( Segunda Solución ) 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
Problema 1: 
En un triángulo DEF (sentido horario) obtuso en F ,donde 𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (5,5 ) se trazan las 
alturas 𝐷𝐻̅̅ ̅̅ ∧ 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ relativa a los lados 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ ∧ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ respectivamente tal que 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ , 
por Q punto medio de 𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ se traza 𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ tal que 𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ , L es una circunferencia 
que pasa por G,H ∧ E si 𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∕∕ (3,1 ) ∧ A = (4,12 ), determinar la ecuación general 
de L 
Solución: 
Tenemos que : 𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∕∕ (3,1 ) ∕∕ 𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Pero : 𝐷𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
También : 𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐻𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Tenemos que : 𝑚𝐷𝐻 = 
1
3
 , 𝑚𝐷𝐹 = 1 
Entonces: 
 
 TAN 𝜃 = 
𝑚𝐷𝐹−𝑚𝐷𝐻 
1+ 𝑚𝐷𝐹+𝑚𝐷𝐻
 
TAN 𝜃 = 
1− 
1
3
1+ 
1
3
 = = 
 
2
3
 
4
3
 = 
1
2
 
 TAN 𝜃 = 
1
2
 
También : ‖𝐷𝐹‖= 5√2 
 SEN 𝜃 = 
‖𝐻𝐹‖ 
‖𝐷𝐹‖ 
 
 ‖𝐻𝐹‖ = ‖𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗‖SEN 𝜃 
 ‖𝐻𝐹‖ = 5√2 . 
1
√5
 = 
5√10
5
 = √10 
 ‖𝐻𝐹‖ = √10 
 
 Pero : ‖𝑄𝐴‖ = 2‖𝐻𝐹‖ = 2√10 
 Luego: 
 𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ‖𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ . 𝜇𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 𝑄𝐴 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 2√10 . 
(−1,3 )
√10
 
 A – Q = (−2,6 ) 
 Q = A - (−2,6 ) 
 Q = (4,12 ) - (−2,6 ) 
 Q = (6,6 ) 
También: 
 COS 𝜃 = 
‖𝐷𝐻‖ 
‖𝐻𝐹‖ 
 → ‖𝐷𝐻‖ = ‖𝐻𝐹‖ COS 𝜃 
 ‖𝐷𝐻‖ = 5√2 = 
2
5
 = 5√2 
(2√5)
5
 
‖𝐷𝐻‖ = 5√10 
→ ‖𝑄𝐹‖ = 
‖𝐷𝐻‖ 
2 
 = √10 
 
Luego: 
𝑄𝐹̅̅ ̅̅ = √10 . 
(3,1)
√10
 
 F – Q = (3,1) 
 F = Q + (3,1) 
 F = (6,6) + (3,1) 
 F = (9,7) 
 
Entonces: 
𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (5,5) 
𝐹 − 𝐷 = (5,5) 
𝐷 = 𝐹 − (5,5) 
𝐷 = (9,7) − (5,5) 
𝐷 = (4,2) 
También: 
𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ‖𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖𝜇 𝐻𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = √10
(−1,3)
√10
 
𝐹 − 𝐻 = (−1,3) 
𝐻 = 𝐹 − (−1,3) 
𝐻 = (9,7) − (−1,3) 
𝐻 = (10,4) 
F es punto medio de 𝐻𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; entonces: 
𝐹 =
𝐸 + 𝐻
2
 
𝐸 = 2𝐹 − 𝐻 
𝐸 = (18,14) − (10,4) 
𝐸 = (8,10) 
También: 
‖𝐻𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ =
‖(𝐻𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )‖
2
= √10 
En el ∆𝐸𝐹𝐺: 
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
‖𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗‖
‖𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗‖
 
‖𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = ‖𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗‖𝑠𝑒𝑛𝜃 
‖𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √10
1
√5
 
‖𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √2 
Luego: 
𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ‖𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗‖𝜇 𝐹 𝐺 
𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √2
(1,1)
√2
 
𝐺 − 𝐹 = (1,1) 
𝐺 = (1,1) + (9,7) 
𝐺 = (10,8) 
Hallaremos la ecuación de la circunferencia que pasa por 𝐺 = (10,8),𝐻 =
(10,4), 𝐸 = (8,10). 
Sea la ecuación de la circunferencia ℓ: 𝑐: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 
Tenemos que: 
𝐺 = (10,8)𝜖 ℓ ⇒ 102 + 82 + 10𝐷 + 8𝐸 + 𝐹 = 0 
 ⇒ 10𝐷 + 8𝐸 + 𝐹 = −164………… . . (𝛼) 
𝐻 = (10,4)𝜖 ℓ ⇒ 102 + 42 + 10𝐷 + 4𝐸 + 𝐹 = 0 
 ⇒ 10𝐷 + 4𝐸 + 𝐹 = −116………… . . (𝛽) 
𝐸 = (8,10)𝜖 ℓ ⇒ 82 + 102 + 8𝐷 + 10𝐸 + 𝐹 = 0 
 ⇒ 8𝐷 + 10𝐸 + 𝐹 = −164………… . . (𝛿) 
De (𝛼) ∧ (𝛽): 
(−1)10𝐷 + 8𝐸 + 𝐹 = −164 
(1) 10𝐷 + 4𝐸 + 𝐹 = −116 
−4𝐸 = 48 
𝐸 = −12 
Reemplazando: E=-12 en (𝛼) ∧ (𝛿) 
En (𝛼): 10𝐷 − 96 + 𝐹 = −164 ⇒ 10𝐷 + 𝐹 = −68…… . (𝐼) 
En (𝛿): 8𝐷 − 120 + 𝐹 = −164 ⇒ 8𝐷 + 𝐹 = −44…… . . (𝐼𝐼) 
De (I) Y (II): 
10𝐷 + 𝐹 = −68 
8𝐷 + 𝐹 = −44 
2𝐷 = −24 ⇒ 𝐷 = −12 
Reemplazando: D=-12 en (I): 
−120 + 𝐹 = −68 
𝐹 = 52 
La ecuación de la circunferencia C para D=-12, E=-12 y F=52, tenemos: 
𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 − 12𝑦 + 52 = 0 
𝐿: (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 6)2 = 20 
 
 
 
Problema 3: 
Desde el punto A=(k,2) con k < o, se trazan unas rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2 
– 2x – 1 = 0;el segmento determinado por el punto de tangencia y el punto A mide 3√2. 
Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes. 
SOLUCION 
 Sea la circunferencia 
En el APC: 
 ‖AC̅̅̅̅ ‖2= (3√2)2 +(√2)2 
 ‖AC̅̅̅̅ ‖2 = 9(√2)2 +(√2)2 
 ‖AC̅̅̅̅ ‖2 = 18 + 2 
 ‖AC̅̅̅̅ ‖2 = 20 ………. (I) 
 Pero: 
 ‖AC̅̅̅̅ ‖2= (k – 1)2 + (2)2 
………………(II) 
 Igualando (I) y (II): 
 (k – 1)2 + 4=20 
 k2 – 2k + 1 + 4 – 20 = 0 
 k2 – 2k – 15 = 0 
 (k – 5)(k + 3) = 0 => k=5, k= 3 
 Tomamos k=  3(k<0) => A=(3,2) 
Las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia tendrán la forma: 
 L1 : y = mx + b ……………..….. (α) 
Pero 
 A=(3,2) ϵ L1 => 2 =  3m + b 
 => b = 3m +2 ……….. (β) 
Reemplazando (β) en (α): 
 L1: y=mx + 3m +2 …………………….…. (III) 
Reemplazando (III) en (Ɵ): 
 x2 + (mx + 3m +2)2 – 2x – 1 = 0 
 x2 + (mx + 3m)2 + 4 (mx + 3m) + 4 – 2x – 1 = 0 
 x2 + m2x2 + 6m2x + 9m2 + 4mx + 12m + 3 – 2x= 0 
 (m2 + 1)x2 + (6m2 + 4m - 2)x + 9m2 + 12m + 3= 0 
 Por condición de tangente: 
(6m2 + 4m - 2)2 = 4(m2 + 1)( 9m2+ 12m + 3) 
4(3m2 + 2m – 1)2 = 4(m2 + 1)( 9m2+ 12m + 3) 
(3m2+2m)2 – 2(3m2 + 2m) + 1 = 9m4 + 12m3 + 3m2 + 9m2 + 12m + 3 
9m4+12m3+4m2 – 6m2 – 4m + 1 = 9m4 + 12m3 + 3m2 + 9m2 + 12m + 3 
  2m2 – 4m+1 = 12m2 +12m + 3 
 14m2 + 16m + 2=0 
 7m2 + 8m + 1=0 
 (7m2+1)(m+1)=0 
 => m= −
1
7
,m= -1 
Las ecuaciones de las rectas tangentes son: 
Para m= −
1
7
 en (III): 
 y= −
1
7
x – 
3
7
 + 2 
 7y=  x – 3 + 14 
 7y=  x + 11 
 x + 7y – 11=0 => (ecuación LT1) 
Para m = -1 en (III): y = -x – 3 + 2 
 y =  x – 1 
 x + y + 1=0 ⇒ (ecuación LT2)