Teoría de Matemática 1

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Prof. Mónica Lisi Prof. Angélica E. Astorga de Bárcena 
 
Estudio de Diseño 
 
Imagen de Tapa: Prof. Mónica Lisi 
 
Diseño de Interiores: Esp. Angélica E. Astorga de Bárcena y Prof. Mónica Lisi 
 
Diagramación: Esp. Angélica E. Astorga de Bárcena y Prof. Mónica Lisi 
 
Talleres Gráficos de la Facultad 
de Ciencias Económicas 
Jurídicas y Sociales. Universidad 
Nacional de Salta (febrero de 
2018) impeco@unsa.edu.ar 
 
Tirada de esta edición: 500 
ejemplares. 
 
 
 
 
 
Astorga, Angélica Elvira 
Matemática I / Angélica Elvira Astorga y Mónica Lisi. Coordinación General 
de Angélica Elvira Astorga y Mónica Lisi. Ilustrado por Angélica Elvira 
Astorga y Mónica Lisi. – 3ª edición para el alumno - Salta: Angélica Elvira 
Astorga, 2018. 
 244 p.: il.; 29 x 21 cm. 
 
 ISBN 978-987-42-7048-1 
 
1. Matemática. I. Astorga, Angélica Elvira, coord. II. Lisi, Mónica, coord. III. 
Astorga, Angélica Elvira, Ilus. IV. Lisi, Mónica, ilus. V. Título. 
 CDD 510.712 
 
 
Fecha de catalogación: 21/02/2018 
Agradecemos la colaboración de las Autoridades de la Facultad de Ciencias Económicas, Jurídicas y Sociales 
de la U.N.Sa. 
 
 
Queda hecho el depósito que marca la ley 11.723 
Impreso en Argentina – Printed in Argentina 
Queda prohibida la reproducción total o parcial del texto de la presente obra en 
cualquiera de sus formas, electrónica o mecánica, sin el consentimiento previo y 
escrito del autor. 
 
 
mailto:impeco@unsa.edu.ar
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MATEMÁTICA I 
 
 
 
Esp. Angélica E. Astorga de Bárcena 
y 
Prof. Mónica Lisi 
 
Las matemáticas tienen invenciones muy sutiles y que pueden servir de 
mucho, tanto para contentar a los curiosos como para facilitar todas las artes y 
disminuir el trabajo de los hombres. 
Descartes 
 
 
 
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Angélica Elvira Astorga de Bárcena: Profesora en Matemática y Física (otorgado por la 
Facultad de Ciencias Exactas de la U.N.Sa.) y Especialista en Investigación Educativa (otorgado 
por la Facultad de Arquitectura y Urbanismo de la U.N.T.). 
Actualmente es Profesora Titular Regular de la Cátedra Matemática I de primer año de las 
carreras de Contador Público Nacional, Licenciatura en Economía y Licenciatura en 
Administración y Coordinadora del Area de Matemática del Servicio de Apoyo Educativo 
(SAE) de la Facultad de Ciencias Económicas, Jurídicas y Sociales de la Universidad Nacional 
de Salta. 
 
 
 
 
Mónica Lisi: Profesora en Matemática y Física (otorgado por la Facultad de Ciencias Exactas 
de la U.N.Sa.) 
Actualmente es Profesora Asociada Regular de la Cátedra Matemática I de primer año de las 
carreras de Contador Público Nacional, Licenciatura en Economía y Licenciatura en 
Administración de la Facultad de Ciencias Económicas, Jurídicas y Sociales de la Universidad 
Nacional de Salta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Agradecemos a Dios: 
Por permitirnos existir 
 
A nuestras familias: 
por la paciencia e incondicional ayuda. 
 
A todos nuestros alumnos: 
por compartir las experiencias de aprendizajes 
 
 
 
 
 
 
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Índice General 
 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................... 26 
LEYES LÓGICAS .................................................................................................................. 26 
IMPLICACIONES ASOCIADAS .......................................................................................... 33 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................... 34 
MÉTODOS AXIOMÁTICOS................................................................................................. 36 
Método Directo ................................................................................................................... 37 
Método Indirecto o Contra recíproco .................................................................................. 37 
El Método de Reducción por el Absurdo ............................................................................ 38 
Refutación por Contraejemplo ............................................................................................ 39 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................... 41 
Principio de Inducción Completa o Matemática ................................................................. 42 
SÍNTESIS ................................................................................................................................ 44 
CAPÍTULO II ............................................................................................................................. 45 
CONJUNTOS NUMÉRICOS ..................................................................................................... 45 
REFERENCIA HISTÓRICA .................................................................................................. 45 
CONJUNTO DE NÚMEROS REALES ................................................................................. 46 
La Estructura de los Números Reales.................................................................................. 47 
Resta y División de Números Reales .................................................................................. 49 
Potencia y Raíz de Números Reales .................................................................................... 52 
Definición de potencia de un número real : ............................................................. 52 
Definición de raíz enésima de un número real: ....................................................... 52 
Sea ,Ra entonces: ........................................................................................................... 52 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................... 53 
Teoremas sobre potencias y raíces ...................................................................................... 54 
LA RECTA REAL .................................................................................................................. 54 
Relación de Orden en los Reales ......................................................................................... 55 
Teoremas o leyes para la relación de orden en los números reales ..................................... 57 
Leyes de Monotonía ............................................................................................................ 60 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................... 62 
INTERVALOS ........................................................................................................................ 64 
Aplicaciones de desigualdades a inecuaciones ................................................................... 66 
PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ................................................................................. 67 
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL .................................................................. 68 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................... 68 
Propiedades o teoremas con valor absoluto ........................................................................ 70 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................... 76 
Aplicaciones en Inecuaciones y Desigualdades .................................................................. 77 
LOS NÚMEROS COMPLEJOS .............................................................................................78 
Operaciones con Números Complejos ............................................................................... 81 
SÍNTESIS ................................................................................................................................ 84 
file:///J:/Matemática%20I/2018/Teoría/Libro%20de%20Teoría%202018%20para%20Imprenta.docx%23_Toc502046365
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CAPÍTULO III ............................................................................................................................ 85 
POLINOMIOS ............................................................................................................................ 85 
REFERENCIA HISTÓRICA ................................................................................................. 85 
POLINOMIO DE GRADO n .................................................................................................. 86 
TIPOS DE POLINOMIOS ...................................................................................................... 86 
IGUALDAD DE POLINOMIOS ........................................................................................ 86 
OPERACIONES CON POLINOMIOS .............................................................................. 87 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................... 89 
Multiplicación de un Polinomio por un Escalar (un número real cualquiera)..................... 89 
Multiplicación de Polinomios ............................................................................................. 90 
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO ........................................................................ 91 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................... 91 
Raíz o Cero de un Polinomio .............................................................................................. 91 
Factor de un Polinomio ....................................................................................................... 91 
Polinomio Irreducible .......................................................................................................... 92 
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS .......................................................... 92 
Teorema del Resto ............................................................................................................... 93 
Teorema del Factor.............................................................................................................. 94 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS ................................................................................. 96 
Teorema Fundamental del Álgebra ..................................................................................... 97 
Teorema 1: Teorema de D’Alembert .................................................................................. 97 
Multiplicidad de una Raíz ................................................................................................... 98 
Teorema 4: Teorema de Gauss .......................................................................................... 101 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 105 
SÍNTESIS .............................................................................................................................. 108 
CAPÍTULO IV .......................................................................................................................... 109 
ECUACIONES E INECUACIONES ........................................................................................ 109 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 109 
ECUACIÓN .......................................................................................................................... 109 
Clasificación de las ecuaciones ......................................................................................... 110 
Solución o raíz o cero de una ecuación ............................................................................. 111 
Conjunto solución ............................................................................................................. 111 
Ecuaciones Equivalentes ................................................................................................... 111 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 113 
Ecuaciones Polinómicas .................................................................................................... 115 
Ecuación lineal o de primer grado con una incógnita ....................................................... 115 
Ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita ............................................. 116 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 120 
Ecuaciones con valor absoluto .......................................................................................... 123 
Ecuaciones racionales ....................................................................................................... 124 
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Ecuaciones con radicales o irracionales ............................................................................ 125 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 126 
SÍNTESIS .............................................................................................................................. 129 
INECUACIÓN CON UNA VARIABLE .............................................................................. 130 
Inecuaciones Equivalentes ................................................................................................ 131 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 133 
TIPOS DE INECUACIONES ............................................................................................... 134 
Inecuación lineal ............................................................................................................... 134 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 135 
Inecuaciones cuadráticas ................................................................................................... 136 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 140 
Inecuaciones Polinómicas ................................................................................................. 141 
Inecuaciones Racionales ................................................................................................... 143 
Inecuaciones con Radicales ............................................................................................... 147 
Inecuaciones con Valor Absoluto...................................................................................... 148 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 150 
SÍNTESIS .............................................................................................................................. 151 
CAPÍTULO V ........................................................................................................................... 152 
OPERADORES ......................................................................................................................... 152 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 152 
SUMATORIA .......................................................................................................................153 
PRODUCTORIA .................................................................................................................. 157 
FACTORIAL ........................................................................................................................ 158 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 158 
NÚMEROS COMBINATORIOS ......................................................................................... 161 
Números Combinatorios Complementarios ...................................................................... 161 
Fórmula de Stiefeel o de Recurrencia ............................................................................... 162 
Triángulo de Tartaglia (triángulo aritmético) .................................................................... 163 
POTENCIA DE UN BINOMIO ........................................................................................... 164 
Teorema del Binomio o Binomio de Newton ................................................................... 165 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 167 
SÍNTESIS .............................................................................................................................. 169 
CAPÍTULO VI .......................................................................................................................... 170 
MATRICES Y DETERMINANTE .......................................................................................... 170 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 170 
MATRIZ ............................................................................................................................... 171 
TIPOS DE MATRICES ........................................................................................................ 172 
Matrices Rectangulares ..................................................................................................... 172 
Matrices Cuadradas ........................................................................................................... 173 
IGUALDAD DE MATRICES .............................................................................................. 175 
OPERACIONES MATRICIALES ....................................................................................... 176 
Suma .................................................................................................................................. 176 
Producto de una Matriz por un Escalar ............................................................................. 177 
OTROS TIPOS DE MATRICES .......................................................................................... 178 
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Matriz Traspuesta .............................................................................................................. 178 
Matriz Simétrica ................................................................................................................ 178 
Matriz Antisimétrica ........................................................................................................ 179 
PRODUCTO DE MATRICES .............................................................................................. 179 
Producto de dos Matrices .................................................................................................. 180 
APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES ........................................ 183 
OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE LAS FILAS DE UNA MATRIZ ................... 185 
Matrices Equivalentes por Filas en su Rango ................................................................... 185 
Triangularización de Matrices ........................................................................................... 185 
Diagonalización de Matrices ............................................................................................. 185 
RANGO................................................................................................................................. 186 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 188 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 189 
DETERMINANTE ............................................................................................................... 189 
Menor Complementario del Elemento aij de una Matriz Cuadrada ................................... 189 
Cofactor del Elemento aij de una Matriz de Orden n ........................................................ 190 
MÉTODO DE LAPLACE .................................................................................................... 190 
Determinante de Orden Uno ............................................................................................. 190 
Determinante de Orden Dos .............................................................................................. 190 
Determinante de Orden Tres ............................................................................................. 191 
Regla de Sarrus.................................................................................................................. 192 
Determinante de Orden Arbitrario .................................................................................... 192 
MATRIZ ADJUNTA ............................................................................................................ 196 
MATRIZ INVERSA ............................................................................................................ 197 
Cálculo de la Matriz Inversa ............................................................................................. 198 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 200 
SÍNTESIS DE MATRICES Y DETERMINANTE .............................................................. 203 
CAPÍTULO VII ........................................................................................................................ 204 
SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES ......................................... 204 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 204 
Ecuación lineal con n incógnita......................................................................................... 204 
Solución de una ecuación lineal con n incógnita .............................................................. 204 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ....................................................................... 204 
Conjunto solución ............................................................................................................. 206 
Sistemas de ecuaciones equivalentes ................................................................................ 206 
Notación matricial de un sistema ...................................................................................... 208 
Matriz del sistema ............................................................................................................. 209 
Clasificación de los sistemas de ecuaciones ...................................................................... 210 
ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ............... 210 
Teorema de Rouché-Frobenius ......................................................................................... 211 
Métodos de resolución ...................................................................................................... 211 
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Métodográfico para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas .............. 212 
Método de Gauss (por reducción) ..................................................................................... 213 
Método matricial (por inversión de la matriz) ................................................................... 217 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 218 
Regla de Cramer ................................................................................................................ 219 
Sistema de ecuaciones homogéneo ................................................................................... 221 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 222 
SÍNTESIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES............................................... 225 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 226 
INECUACIÓN LINEAL CON n INCÓGNITAS ................................................................ 226 
SISTEMA DE m INECUACIONES LINEALES CON n INCÓGNITAS ........................... 228 
Región Factible ................................................................................................................. 230 
PROGRAMACIÓN LINEAL ............................................................................................... 230 
Método analítico ................................................................................................................ 232 
Esquema práctico para resolver los problemas ................................................................. 235 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! ............................................................................. 237 
SÍNTESIS DE SISTEMAS DE INECUACIONES .............................................................. 243 
BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 244 
 
 
 
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¿POR QUÉ LA MATEMÁTICA 
EN LAS CIENCIAS ECONÓMICAS? 
 
Las matemáticas son fundamentales en la formación de alumnos en Ciencias Económicas, 
ya que las mismas poseen, por un lado, un apreciable valor formativo destinado a “enseñar a 
pensar, fomentar el espíritu crítico y practicar el razonamiento lógico” (Santaló), y por otro 
lado un alto valor instrumental, ya que proporcionan los elementos necesarios tales como la 
simbología, teoremas y métodos, que son imprescindibles en la resolución de situaciones 
problemáticas concretas y en la comprensión de los contenidos de otras asignaturas específicas 
de la carrera. 
Antonio Pulido San Román en su artículo Posibilidades y limitaciones de las Matemàticas en 
la Economía (junio 2002, ps 5 y 6) hace mención, justamente a la importancia que tiene el 
conocimiento matemático para un estudiante de Ciencias Económicas, cuando en su artículo cita 
palabras de Manuel Santos, Gérard Debreu y León Walras: 
Un respeto por todo el desarrollo matemático de la ciencia económica es ampliamente 
compartido por muchos investigadores: Dentro del campo específico de la Economía, los 
progresos mediante el uso de técnicas matemáticas en la formulación y análisis de 
modelos han adquirido una cierta admiración y respeto intelectual, si bien la divulgación 
y discusión de estos conocimientos se ha visto limitada por las complejidades 
matemáticas inherentes en estos desarrollos, que no están al alcance de un gran número 
de economistas. 
Manuel Santos (político, periodista y economista, presidente de Colombia), subraya el 
papel central de la construcción matemática en las Ciencias Económicas: "Las 
Matemáticas son útiles en la construcción de la situación idealizada, siendo un pilar 
fundamental de nuestra capacidad de raciocinio. Obviamente, las Matemáticas ofrecen 
las herramientas básicas para la construcción y análisis de modelos, los cuales en una 
etapa posterior serán evaluados de acuerdo a su poder predictivo". 
Gérard Debreu, Premio Nobel de Economía de 1983 y uno de los constructores de la 
moderna economía matemática, en particular del equilibrio general, hace en un artículo 
de revisión de su vida una profesión de fe en el rigor metodológico y en el enfoque 
matemático de la economía: Las recompensas de mi fidelidad al rigor fueron muchas. 
Ese rigor ayudaba a elegir las herramientas matemáticas más adecuadas para un punto 
concreto de teoría económica. Al adoptar la postura inflexible del matemático, también 
permitía comprender el comportamiento de los objetos matemáticos, en el deseo de 
encontrar supuestos cada vez más débiles y conclusiones cada vez más fuertes y en la 
búsqueda compulsiva de la sencillez. 
El economista León Walras, indica que en cuanto a aquellos economistas que no saben 
nada de Matemáticas, que no saben lo que quieren decir las Matemáticas y que aún así 
han tomado la posición de que las Matemáticas posiblemente no sirvan para elucidar 
principios económicos, dejemos que sigan repitiendo que «la libertad humana nunca 
puede expresarse en ecuaciones» o que «las Matemáticas ignoran las fricciones que son 
todo en la vida social» y otras frases igualmente terminantes y pomposas. No podrán 
impedir que la teoría de la determinación de precios bajo libre competencia sea una 
teoría matemática. Incluso a un económetra de la amplitud de miras de Lawrence Klein, 
Premio Nobel de Economía de 1980, se le asigna una frase tan contundente (y 
posiblemente tan exagerada) como que las contribuciones no matemáticas a la economía 
son vagas, burdas y torpes. 
Los contenidos que tratamos en Matemática, son fundamentales para analizar problemas de 
equilibrio de mercado, de optimización y de dinámica económica, entre otros, para describir las 
estructuras de dichos modelos y extraer las conclusiones pertinentes. 
De ahí la importancia de preparar a los alumnos en una sólida comprensión de los contenidos 
de Matemática I. Es fundamental que los alumnos “otorguen significado” a los mismos, con la 
http://es.wikipedia.org/wiki/Presidente_de_Colombia
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intención de que les sirvan de fundamento para la resolución de situaciones concretas dentro de 
la misma, como así también en las distintas asignaturas de su carrera y en su futuro. 
 
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CAPÍTULO I 
 LENGUAJE MATEMÁTICO 
INTRODUCCIÓN 
Ricardo Grimaux, Cristina Villanueva y Hernán Peretti son tres ejecutivos de una 
gran empresa. Durante una comida de verano, comentan sus ganancias anuales y dicen 
lo siguiente: 
- Ricardo Grimaux: Yo gano $60.000 netos, o sea $20.000 menos que Cristina y 
$10.000 más que Hernán. 
- Cristina Villanueva: Yo no soy la que ganas menos. La diferencia de ganancias 
entre Peretti y yo es de $30.000. Él gana $90.000 al año. 
- Hernán Peretti: Yo gano menos que Ricardo. Él gana $70.000 al año y Cristina 
gana $30.000 más que Ricardo. 
Cada uno de ellos ha hecho dos apreciaciones ciertas y una falsa. ¿Sabría deducir 
cuáles son sus respectivas ganancias anuales? 
Extraído de Ejercita tu mente. Tomo 8 (2012) Ediciones de Mente 
La solución de la situación planteada es: Ricardo gana $70.000, Cristina $90.000 y 
Hernán $60.000. Ricardo miente en su primera afirmación, mientras que Cristina y 
Hernán mienten en la tercera. En esta situación se usa un poco de lógica (de 
razonamiento) y es por ello que en este capítulo se introducirá en el mundo de la lógica. 
 
¿Por qué es necesario estudiar Lógica y en particular Lógica Simbólica? 
Diversas son las razones; una de ellas, porque en las distintas materias de las carreras 
que cursan fundamentalmente las del ciclo matemático, tendremos que demostrar a 
menudoque ciertos enunciados son verdaderos o falsos y encontraremos respuestas en 
la Lógica Proposicional. Generalizando un poco más, podemos decir que la Lógica 
Simbólica constituye una herramienta de gran valor para comprender en la manera que 
se organizan los conocimientos científicos en teorías, ya que éstas suponen un lenguaje 
y una forma de razonamiento particular. 
Tanto en la vida diaria como, sobre todo, en la investigación científica, el hombre 
debe muchos de sus éxitos o fracasos a la eficacia de sus argumentos (o razonamiento). 
Cuando construye buenos argumentos, éstos le permiten conocer mejor la realidad, en 
tanto que, un mal argumento, con frecuencia le hace más largo el camino hacia el 
conocimiento verdadero. 
Etimológicamente la palabra lógica proviene del término griego LOGOS que 
traducimos por palabra, razón, discurso. 
La lógica, la disciplina que se ocupa de los principios generales del razonamiento, 
fue sistematizada por Aristóteles en el Siglo IV a.C, quien dominó el pensamiento 
lógico durante 2000 años, hasta el advenimiento de Leibniz (1646-1716). 
En los trabajos de Leibniz, se encuentran, en germen, las ideas de lógica simbólica o 
lógica matemática. El período inicial de formación de la lógica simbólica culmina con 
la publicación de la monumental obra Principia Matemática (1910-1913) de Alfred 
Whitehead y Bertrand Russel. 
Todo desarrollo matemático exige razonar en forma válida acerca de cosas 
trascendentes y particularmente abstractas. Para ello necesitamos definir conceptos 
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básicos con los que trabajaremos en el tema Lógica, tales como lo son proposición y 
forma proposicional y así tenemos: 
 
PROPOSICIÓN 
La lógica está en relación con la gramática. Una oración generalmente tiene sujeto y 
predicado, y en éste último aparece el verbo. 
Es decir que para identificar si una oración es una proposición debemos determinar si 
la misma es verdadera o falsa. 
Por ello la definición de proposición es la siguiente: 
 
 
 
Si en la oración hay un solo sujeto (núcleo) y un solo predicado que se refiere a dicho 
sujeto, recibe el nombre de proposición simple. 
Ejemplos: Determinar si las siguientes expresiones son proposiciones simples o no. 
a) ¿Qué comisión de trabajos prácticos me toca? 
b) ¡Ayúdame a estudiar! 
c) Los números naturales pares son enteros. 
d) El pizarrón es verde. 
e) 3 + 2 < 5 
f) x + 5 = 1 
Las expresiones a) y b) no son proposiciones, porque la primera es una oración 
interrogativa cuyo valor de verdad desconocemos, mientras que la segunda es una 
oración exclamativa de la cual tampoco podemos determinar si es verdadera o falsa. 
La oración c) que tiene como sujeto Los números naturales pares y como predicado 
son enteros es una proposición simple cuyo valor de verdad es VERDADERO (V), 
porque todos los números naturales son números enteros. 
La oración d) no es una proposición porque tampoco podemos asignar el valor de 
verdadero o falso, ya que pizarrón (sujeto) es una variable (en este caso no sabemos a 
qué pizarrón se refiere). Al igual que la expresión f) tampoco es una proposición, 
porque el sujeto es x + 5 donde aparece una variable. A estas oraciones las 
denominamos Formas o Funciones Proposicionales, que luego las trabajaremos con 
mayor detalle. 
La oración e) es una proposición simple, donde el sujeto es 3 más 2 y el predicado es 
menor a 5. Podemos decir que su valor de verdad es FALSO (F). 
El sentido de verdad en una teoría matemática es el siguiente: 
 
 
 
A un axioma lo definimos como todo enunciado que lo consideramos verdadero, que 
no requiere ser demostrado. 
Definición: Una proposición es un juicio declarativo que puede ser verdadero (V) o falso 
(F), o toda oración respecto de la cual puede decidirse si es verdadera o falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
Una proposición p es verdadera si es un axioma de la teoría o si es demostrable por 
reglas válidas de la teoría a partir de axiomas de la misma. 
 
 
 
 
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A las proposiciones las representamos con letras minúsculas p, q, r, s, etc; por ello, 
si p es una proposición, su valor de verdad lo denotamos con v(p). Por ejemplo 
  Fpv  ó   Vpv  . 
Ahora continuamos con el otro concepto muy necesario en lógica, como lo es: 
 
FUNCIONES O FORMAS PROPOSICIONALES 
La oración x es divisible por tres no es una proposición porque no podemos decir 
nada acerca de su verdad o falsedad, dado que desconocemos el valor de la variable x. A 
expresiones de este tipo las denominamos forma o funciones proposicionales y las 
simbolizamos p(x): x es divisible por tres. 
Entonces la definición de forma proposicional es la siguiente: 
 
 
 
Ya dijimos que el enunciado x es divisible por tres no es verdadero ni falso; a esta 
función proposicional la podemos transformar en proposición. Para ello responderemos 
a la siguiente pregunta: 
¿Cómo transformar una función proposicional en proposición? 
Una función proposicional tendrá la cualidad de proposición cuando se dé alguno de 
estos dos caminos: uno, cuando a la variable x la reemplazamos por ciertos valores y el 
otro, cuando cuantificamos a la variable. 
Para el primer camino tenemos los siguientes ejemplos. Dada la función 
proposicional p(x): x es divisible por 3 
 Si x = 2, entonces p(2): 2 es divisible por 3. Esta oración es Falsa, es decir que la 
forma proposicional la hemos transformado en una oración de la cual sabemos su 
valor de verdad; o sea que ahora, es una proposición. 
 Si x = 6, entonces p(6): 6 es divisible por 3. Esta oración ahora es Verdadera. Es 
decir que con el nuevo valor de x, la transformamos en una oración verdadera, o 
sea en una proposición. 
Éste es un ejemplo de un enunciado abierto, el cual, como vimos, es una proposición 
sólo cuando la variable es reemplazada por los nombres particulares de los objetos. A la 
colección de objetos que a un enunciado abierto lo transforma en una proposición 
verdadera, la denominamos conjunto de verdad del enunciado. 
Sea   162 x:xq , tomamos el conjunto de los números reales como el universo, el 
conjunto de verdad de  xq es 44; . Si el universo fuera el conjunto de los números 
naturales, entonces el conjunto de verdad sería sólo 4 . 
También habíamos mencionado otro camino para transformar funciones 
proposicionales en proposiciones. A este proceso lo denominamos Cuantificación. 
Así tenemos el símbolo  llamado cuantificador universal y el símbolo  , 
cuantificador existencial. 
Definición: Función proposicional en una variable o indeterminada x, es toda oración en 
la cual figura x como sujeto. 
 
 
 
 
 
 
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Al cuantificador Universal  lo traducimos como: todos, cada uno, cualquiera. 
Al cuantificador Existencial  lo traducimos como: existe, hay, algunos, alguien, 
existe al menos. 
Una función proposicional cuantificada queda expresada de alguna de las siguientes 
maneras:  xpx , ó  xpx : 
Por ello es importante tener en cuenta lo siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así tenemos los siguientes ejemplos: 
 
Ejemplo1: El cuadrado de todos los números reales es positivo. 
Donde la variable x: los números reales, la función proposicional q(x): x2 es positivo. 
Simbólicamente:  xqRx , ; usando lógica. 
O bien en símbolos matemáticos también lo expresamos 02 ,  xRx 
Esta forma proposicional cuantificada (proposición) es F, porque para el real x = 0 no 
verifica la desigualdad. 
 
Ejemplo 2: El cuadrado de algunos números reales es positivo. 
Donde la variable x: números reales, la forma proposicional q(x): x2 es positivo. 
Simbólicamente:  xqRx : ; usando lógica. 
O bien en símbolos matemáticos lo expresamos 02 : xRx 
Esta forma proposicional cuantificada (proposición) es V, porque existen números 
reales (para los reales distintos de cero), cuyo cuadrado es positivo. 
En lógica, no siempre usamos solo enunciados con proposiciones o formas 
proposicionales simples, por lo tanto necesitaremos símbolos y conectivos que permitan 
obtener expresiones más complejas. 
Y así tenemos los conectivos lógicos. 
CONECTIVOS LÓGICOS – PROPOSICIONES Y FORMAS 
PROPOSIONALES COMPUESTAS 
A menudos tenemos enunciados en los que relacionamos dos o más proposiciones o 
forma proposicionales simples. Por ejemplo: 
 Los números enteros y los fraccionarios son racionales. 
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 Los números son pares o impares. 
 Si los números racionales considerados son fracciones de denominador uno, 
entonces dichos números son enteros. 
 8 es divisible por dos si y sólo si es par. 
Estas oraciones donde vinculamos dos o más proposiciones o formas proposicionales 
simples las denominamos proposición compuesta o forma proposicional compuesta. 
El vínculo lo establecemos a través de los llamados Conectivos Lógicos. Por ello 
definimos a continuación el concepto de conectivo. 
 
 
 
Ahora analizaremos con mayor detalle, los enunciados anteriores, determinando las 
proposiciones o funciones proposicionales simples que la forman y sus conectivos: 
 Los números enteros y las fracciones son racionales. Es una proposición 
compuesta. 
Las proposiciones simples que intervienen son: 
p: Los números enteros son racionales. 
q: Los números fraccionarios son racionales. 
Conectivo: en este enunciado el conectivo es y 
 
 El número x es múltiplo de dos o de tres. Es una función proposicional compuesta 
Donde la variable es el número x y las formas proposicionales simples que 
intervienen son: 
r(x): x es múltiplo de dos. 
s(x): x es múltiplo de tres. 
Conectivo: en este enunciado el conectivo es o 
 
 ,Rx si x es un número par, entonces su cuadrado también es par. Es una 
función proposicional compuesta cuantificada 
La variable es x y las formas proposicionales simples que intervienen son: 
t(x): x es un número par. 
u(x): x2 es número par. 
Conectivo: La vinculación se establece a través del conectivo Si … entonces. 
 
 8 es divisible por dos si y sólo si es par. Es una proposición compuesta. 
Las proposiciones simples que intervienen son: 
p: 8 es divisible por dos. 
q: 8 es par. 
Conectivo: las proposiciones simples están conectadas ahora por el conectivo 
… si y sólo si … 
Definición: Los conectivos son partículas lógicas mediante los cuales se concectan dos o 
más proposiciones o formas proposicionales simples, o se modifica una proposición o 
función proposicional dada. 
 
 
 
 
 
 
 
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Los Conectivos Lógicos que usaremos son los siguientes, que lo simbolizamos 
y lo traducimos: 
Tabla 1: Conectivos Lógicos 
 
Símbolo Traducción 
^ y 
˅ o 
 Si … entonces ” 
 … si y sólo si … 
 
En forma sintética podemos decir que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos estos conectivos que vimos en los ejemplos anteriores nos permiten obtener 
proposiciones o formas proposicionales compuestas. Por ello definiremos: 
 
 
 
Una oración que representa a una proposición o forma proposicional compuesta 
puede tener un sujeto y varios predicados o bien varios sujetos y un solo predicado. 
Ejemplo 1: 9 es un número natural impar y divisible por tres 
En este caso, la oración está formada por dos proposiciones simples p y q ligadas a 
través del conectivo lógico y, donde la proposición p: 9 es un número natural impar, y la 
proposición q: 9 es un número natural divisible por tres. 
La forma simbólica de esta oración es p  q; y este símbolo lo veremos luego, con 
detalle. 
Ejemplo 2: Todo número es impar o es divisible por tres. 
Ahora en cambio, la oración está formado por dos formas proposiciones simples 
cuantificadas p(x) y q(x) ligadas a través del conectivo lógico o; donde la variable x es 
número, p(x): x es impar, q(x): x es divisible por tres y  :todo 
La expresión simbólica de esta oración es     xqxpx  , y este símbolo también 
lo veremos con mayor detalle más adelante. 
TABLA DE VERDAD PARA PROPOSICIONES 
Como ya dijimos, una proposición simple es verdadera o es falsa. Por ese motivo su 
tabla de verdad consta sólo de dos valores posibles. 
Definición: Una proposición o forma proposicional compuesta es aquella que 
obtenemos a partir de dos o más proposiciones o formas proposicionales simples 
ligadas por los conectivos lógicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabla 2: Valores posibles para una sola proposición 
p 
V 
F 
El valor de verdad de una proposición compuesta lo determinamos conociendo el 
valor de verdad de las proposiciones simples que la forman. La tabla de verdad de una 
proposición es un cuadro que determina si esta es verdadera o falsa, teniendo en cuenta 
todas las formas posibles que pueden presentarse al vincular las proposiciones simples 
que intervienen. 
Si hay dos proposiciones simples p y q, puede ocurrir que ambas sean verdaderas; 
o bien, la primera verdadera y la segunda falsa; o falsa la primera y la segunda 
verdadera o ambas falsas. 
Estos valores de verdad los visualizamos en la siguiente tabla: 
Tabla 3: Valores posibles para dos proposiciones 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
De manera sintética podemos decir: si es una sola proposición simple que interviene 
en una oración hay dos posibilidades, si son dos las proposiciones, hay cuatro 
posibilidades; si son tres, ocho; si son cuatro, dieciseís y así en general si se vinculan n 
proposiciones habrá 2n posibilidades en la tabla de verdad. 
A las tablas de verdad las usamos con las proposiciones simples o compuestas, para 
estudiar todos los posibles valores de verdad; sin embargo, no ocurre esto con las 
formas proposicionales. 
NEGACIÓN DE PROPOSICIONES O FORMAS 
PROPOSICIONALES 
Negación de una Proposición 
La negación de una proposición simple es una operación unitaria, pues a partir de 
una proposición obtenemos otra, que es su negación. 
 
 
 
Ejemplo: Sea la proposición p: 2 es un número natural par. 
La negación es ~p: 2 no es un número natural par. 
O también podemos expresar como No es cierto que 2 es un número natural par. 
El valor de verdad de la negación de una proposición p es contrario al valor de 
verdad de la proposición p; esto lo vemos en la siguiente tabla de valores: 
Tabla 4: Valores de verdad para negación de proposición 
p ~ p 
Definición: Dada una proposición p, su negación se denota con ~ p y significa 
que no es cierto que ocurra p. 
 
 
 
 
 
 
 
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Puede suceder que un enunciado esté expresado en términos negativos, como por 
ejemplo 2 no es un número impar. 
Y también es posible que definamos la proposición, de la siguiente manera, p: 2 
no es un número impar, con lo cual su negación sería ~p: 2 es un número impar. 
Entonces, lo importante está en que definamos clara y explícitamente cual es la 
proposición o forma proposicional que vamos a considerar, inclusive, desde allí 
proponer su negación, si nos lo requieren. 
 
V F 
F V 
Y ahora a tener en cuenta que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 3: Sea la proposición compuesta “9 es un número natural impar y divisible por 
tres”. 
 Llamamos p: 9 es un número natural impar y q: 9 es un número natural divisible 
por tres. 
La negación es “No es cierto que, 9 es un número natural impar y divisible por tres” 
que es equivalente a decir: “9 no es un número natural impar o no divisible por tres” 
Esto lo veremos con detalle en el tema leyes lógicas y en particular paralas 
negaciones. 
 
Negación de una Forma Proposicional Cuantificada 
La negación de una función o forma proposicional simple es una operación unitaria, 
pues a partir de una forma proposicional obtenemos otra, que es su negación. 
 
 
 
Ejemplo1: Sea la función proposicional p(x): x es un número natural impar. 
Su negación es ~ p(x): x no es un número impar. O también podemos expresar como 
no es cierto que x es un número impar. 
Ahora indicaremos las negaciones de los cuantificadores: 
 La negación del cuantificador Universal es el cuantificador Existencial y lo 
expresamos así:     xpxxpx ~~ :,  . 
 
 La negación del cuantificador Existencial es el cuantificador Universal y lo 
expresamos:     xqxxqx ~~ ::  
Definición: Dada una función proposicional p(x), su negación se denota con 
~ p(x) y significa que no es cierto que ocurra p(x). 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 2: Expresar simbólicamente la siguiente forma proposicional cuantificada, 
negarla y traducirla al lenguaje coloquial. 
 Cualquiera que sea el número entero, existe otro entero que sumado a él da cero” 
Simbólicamente: 0:,  yxZyZx 
La negación es: ~   0,:0:,  yxZyZxyxZyZx 
Coloquialmente: Existe un número entero tal que sumado a cualquier otro entero da 
distinto de cero. 
Observación: La expresión ninguno se traduce como todos no …. 
 
Ejemplo 3: Expresar simbólicamente “Ningún número natural es un entero negativo”, 
negarla y traducirla al lenguaje coloquial. 
Esta expresión es equivalente a expresar “Todos los números naturales no son 
enteros negativos”; donde x: número natural, Ningún: y p(x): x es un entero 
negativo. 
Simbólicamente:  xpx ~, y su negación es:     xpxxpx :,  ~~ 
Coloquialmente: Algunos números naturales son enteros negativos. 
 
OPERACIONES LÓGICAS 
Al proceso que permite construir nuevas proposiciones o formas proposicionales a 
partir de otras, usando los conectivos lo denominamos Operación Lógica. 
Las operaciones lógicas que obtenemos al vincular las proposiciones o funciones 
proposicionales mediante los distintos conectivos son: conjunción, disyunción, 
condicional y bicondicional. 
Tabla 5: Conectivos lógicos y simbolización de operaciones lógicas 
Símbolo del 
conectivo 
Operación Asociada Simbolizamos y leemos 
 Conjunción qp  ( p y q) 
  Disyunción qp ( p ó q ) 
  Implicancia o Condicional qp  (Si p entonces q ) 
  Doble implicancia o Bicondicional qp  (p si y sólo si q ) 
 
Conjunción 
 
 
 
 
Definición: La conjunción de las proposiciones “p y q” es la proposición 
 qp  que sólo es verdadera si las dos proposiciones p y q son verdaderas. En 
todo otro caso es falsa. 
 
 
 
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Usaremos el conectivo y cuando aparezcan las palabras pero, sin embargo, también, etc. 
La expresión ni significa y no … 
 
Tabla 6: Valores de verdad para la conjunción 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: Identificar las proposiciones simples que intervienen, escribirlas 
simbólicamente y determinar el valor de verdad de cada enunciado: 
 6 es un número natural múltiplo de 3 y 2 es un número natural cuadrado perfecto. 
Proposiciones Simples: 
p: 6 es un número natural múltiplo de 3 v (p) = V 
q: 2 es un número natural cuadrado perfecto v (q) = F 
Simbólicamente: qp  v  qp  = F 
 
 8 es un número entero divisible por cuatro y también es par. 
Proposiciones Simples: 
p: 8 es un número entero divisible por 4 v (p) = V 
q: 8 es un número entero par v (q) = V 
Simbólicamente: qp  v  qp = V 
 
 25 es un número natural divisible por 2, sin embargo no es de 5 
Proposiciones Simples: 
p: 25 es un número natural divisible por 2 v (p) = F 
~ q: 25 no es un número natural divisible por 5 v (~q) = F 
 Simbólicamente:  ~qp  v  ~qp  = F 
 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
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 7 no es un número entero divisible por 2 ni por 3. 
Proposiciones Simples: 
~ p: 7 no es un número entero divisible por 2 v (~ p) = V 
~ q: 7 no es un número entero divisible por 3 v (~ q) = V 
 Simbólicamente:  ~q~p v  ~q~p = V 
 
Disyunción 
 
 
 
 
Tabla 7: Valores de verdad para la disyunción 
p q q p  
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Ejemplo: Identificar las proposiciones simples que intervienen, escribirlas 
simbólicamente y determinar el valor de verdad de cada enunciado. 
 
 22 es un número natural par o un múltiplo de 11 
Las proposiciones simples que intervienen son: 
p: 22 es un número natural par v (p) = V 
q: 22 es un número natural múltiplo de 11 v (q) = V 
Simbólicamente: q p  v  qp = V 
 
 5 es mayor o igual a 2 
Las proposiciones simples que la forman son: 
p: 5 es mayor a 2 v (p) = V 
q: 5 es igual a 2 v (q) = F 
 Simbólicamente: qp  v  qp = V 
Implicación o Condicional 
 
 
 
 
Definición: La disyunción de las proposiciones “p y q” es la proposición  qp
que sólo es falsa si las dos proposiciones p y q son falsas. En todo otro caso es 
verdadera. 
 
 
 
 
 
 
 
Definición: La implicación de las proposiciones p y q es la proposición qp  , 
donde p recibe el nombre de antecedente y q de consecuente. Una implicación sólo 
es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En todo otro 
caso es verdadera. 
 
 
 
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Tabla 8: Valores de verdad para la implicación 
 
 
 
Ejemplo: Si el número 2 es mayor que –2, entonces 22 es mayor que (-2)2 
Proposiciones Simples que intervienen: 
p: el número 2 es mayor que -2 v (p) = V 
q: 22 es mayor que (-2)2 v (q) = F 
Simbólicamente: qp  v  qp  = F 
 
Condición Necesaria y Condición Suficiente 
Para explicar la terminología de necesario y suficiente, recurriremos a un ejemplo 
simple. 
El hecho de que todo salteño es argentino podemos expresarlo mediante el siguiente 
condicional: 
 Si él es salteño, entonces él es argentino 
 p q 
 antecedente consecuente 
Ó mediante la siguiente proposición: Si él es salteño, él necesariamente es 
argentino. 
Cambiemos un tanto la redacción de esta última proposición en dos formas 
siguientes: 
1- Que él sea argentino es condición necesaria para que él sea salteño 
 q p 
Una condición necesaria para que él sea salteño es que él sea argentino 
 p q 
Por otro lado, ¿qué él sea argentino es suficiente para que él sea salteño? Es 
evidente que no. Pero si cambiamos el orden, estaremos de acuerdo en aceptar las 
proposiciones: 
2- Que él sea salteño es condición suficiente para que él sea argentino 
 p q 
Una condición suficiente para que él sea argentino es que sea salteño. 
 q p 
p q qp  
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
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 Algunas palabrasque preceden al consecuente son: entonces, por 
consiguiente, luego, se sigue que, por lo tanto, por esto, solo si, siempre. 
 Algunas palabras que preceden al antecedente son: si, como, por, pues, 
puesto que, ya que, en tanto que, cuando. 
Otras formas equivalentes de expresar la oración “Si Juan Martín es salteño, entonces 
él es argentino” son las siguientes: 
 Juan Martín es argentino, si es salteño. 
 Si Juan Martín es salteño, es argentino 
 Juan Martín es salteño, sólo si es argentino. 
 Juan Martín es salteño, solamente si es argentino. 
 Para que Juan Martín sea salteño, debe ser argentino. 
 Juan Martín es argentino, cuando sea salteño. 
 Como Juan Martín es salteño, él es argentino. 
En forma sintética: si expresamos simbólicamente con p al antecedentes y con q al 
consecuente, el condicional qp  expresado en las oraciones anteriores podemos 
leerlo de las siguientes maneras: 
 Si p, entonces q  Una condición necesaria para p es q 
 q si p  p es condición suficiente para q 
 Si p, q  Una condición suficiente para q es p 
 p, sólo si q  Para que p, q 
 p solamente si q  Cuando p, q 
 p (hipótesis) entonces q (tesis)  Como p, q 
 q es condición necesaria para p 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Doble Implicación o Bicondicional o Equivalencia 
 
 
 
 
Definición: La doble implicación de las proposiciones “p y q” es la proposición 
 qp  y sólo es verdadera si ambas proposiciones tiene el mismo valor de 
verdad. En todo otro caso es falsa. 
 
 
 
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La expresión q p  es equivalente a     pq qp  
 
 
Tabla 9: Valores de verdad para la doble implicación 
p q q p  
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
El bicondicional q p  también lo leemos de las siguientes maneras: 
 p equivale a q  p si y sólo si q 
 p es equivalente a q  p vale tanto como q 
 p es lo mismo que q  p siempre y cuando q 
Ejemplos: 
 El cuadrado de dos es par si y sólo si la base dos es par 
Proposiciones Simples: 
p: El cuadrado de dos es par q: la base dos es par Simbólicamente: q p  
 
 La suma entre cuatro y seis es un número par, siempre y cuando cuatro y seis sean 
números pares. 
Proposiciones Simples: 
p: La suma entre cuatro y seis es un número par 
q: los números cuatro y seis son pares 
Simbólicamente: q p  
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: La oración “El cuadrado de un número natural es par si y sólo si la base es 
par” es equivalente a decir “Si el cuadrado de un número natural es par, entonces la 
base es par y, si la base del cuadrado de un número natural es par, entonces el 
cuadrado es par”. 
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¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! 
 
1) Si p y r son proposiciones verdaderas y q es falsa, determinar el valor de verdad de: 
a)    qrqp  ~~ b)      r~prqr ~~  
a)    qrqp  ~~ es Falsa 
   FV  F V 
  FV  F 
 
F 
V F
 
b)      r~prqr ~~  es Verdadera 
     FFVF  F 
  F V F 
V 
 F F
 
2) ¿Qué condiciones debe satisfacer p, q y r para que la siguiente proposición sea : 
a)     rqrqp  ~~ Falsa 
 
b)     qpqpp  Verdadera 
 
 
a)     rqrqp  ~~ Falsa 
 F F  
    FV FV  
De allí concluimos que: v(r) = F; 
v (q) = F y v (p) = F 
b)     qpqpp  Verdadera 
    V V  
    VV VV  
De allí concluimos que: v (q) = V 
y v (p) = V 
3) Sean p, q, r, tres proposiciones tales que r es falsa, q p ~  y rq son verdaderas, 
decidir el valor de verdad de p 
Como rq es Verdadera y   Frv  , entonces   VFF    Fqv  
 Como q p ~  es Verdadera y   Fqv  , entonces   VVV    Vpv  
 
LEYES LÓGICAS 
Sea la proposición    qpqp  cuya tabla de verdad presentamos a 
continuación: 
Tabla 10: Tabla de verdad de la proposición compuesta 
p q qp    pqp     qpqp  
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Una ley lógica es una equivalencia entre dos proposiciones compuestas 
dadas. Toda ley lógica siempre es una tautología, mientras que no toda 
tautología es una ley lógica. 
 
 
V V V V V 
V F F F V 
F V V F V 
F F V F V 
 
Esta proposición compuesta es V independientemente de los valores de verdad de 
las proposiciones componentes. Decimos entonces que tal proposición es una 
Tautología. 
 
 
 
 
 
Otro ejemplo de tautología es  pp ~ . 
En cambio pp ~ es siempre falso cualquiera sea el valor de verdad de p; en este 
caso decimos que es una Contradicción. 
Tabla 11: Tabla de verdad correspondiente a una contradicción lógica 
 
 
 
 
Si la tabla de verdad de una operación da como resultado algunos valores 
verdaderos y otros falsos a la proposición compuesta la denominamos Contingencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En general, las leyes lógicas son necesarias para probar la equivalencia entre dos 
expresiones dadas y las demostramos usando tablas de valores y así tenemos: 
 Involución: ~(~p )  p 
p ~p pp ~ 
V F F 
F V F 
Definición: una proposición compuesta es una tautología cuando el valor de 
verdad es siempre verdadero cualquiera sean los valores de verdad de las 
proposiciones que la componen. 
 
 
 
 
 
 
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Tabla 12: Tabla de verdad correspondiente a la Involución 
p ~p  ~p ~   p~p ~  
V F V V 
F V F V 
De la tabla de verdad concluimos que   p~p~  es una tautología. 
 
 Idempotencia: 
a) Para la conjunción   ppp  
Tabla 13: Tabla de verdad correspondiente a la Idempotencia para la Conjunción 
p pp   ppp  
V V V 
F F V 
De la tabla de verdad concluimos que   ppp  es una tautología. 
 
b) Para la disyunción   ppp  
Tabla 14: Tabla de verdad correspondiente a la Idempotencia para la Disyunción 
p pp   ppp  
V V V 
F F V 
De la tabla de verdad concluimos que   ppp  es una tautología 
 
 Conmutatividad 
 
a) de la conjunción    pqqp  
Tabla 15: Tabla de verdad correspondiente a la Conmutatividad de la Conjunción 
p q qp pq    pqqp  
V V V V V 
V F F F V 
F V F F V 
F F F F V 
De la tabla de verdad concluimos que [    pqqp  ] es una tautología 
 
b) de la disyunción    pqqp  
 
Tabla 16: Tabla de verdad correspondiente a la Conmutatividad de la Disyunción 
p q qp pq    pqqp  
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V V V V V 
V F V V V 
F V V V V 
F F F F V 
De la tabla de verdad concluimos que     pqqp  es una tautología. 
 
 Asociatividad: 
a) de la conjunción      rqprqp  
Tabla 17: Tabla de verdad de la Asociatividad con respecto a la Conjunción 
p q r qp    rqp  rq   rqp       rqprqp  
V V V V V V V V 
V V F V F F F V 
V F V F F F F V 
V F F F F F F V 
F V V F F V F V 
F V F F F F F V 
F F V F F F F V 
F F F F F F F V 
De la tabla de verdad concluimos que       rqprqp  es una tautología. 
 
b) de la disyunción      rqprqp  
Tabla 18: Tabla de verdad de la Asociatividad con respecto a la Disyunción 
p q r qp   rqp  rq  rqp       rqprqp  
V V V V V V V V 
V V F V V V V V 
V F V V V V V V 
V F F V V F V V 
F V V V V V V V 
F V F V V V V V 
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F F V F V V V V 
F F F F F F F V 
De la tabla de verdad concluimos que       rqprqp  esuna 
tautología. 
 
 Distributividad: 
a) de la disyunción respecto de la conjunción        rqrprqp  
 
Tabla 19: Tabla de verdad de la Distributividad de la disyunción con respecto a la Conjunción 
De la tabla de verdad concluimos que        rqrprqp  es una tautología. 
 
b) de la conjunción respecto de la disyunción      rqrprqp  
Tabla 20: Tabla de verdad de la Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunción 
p q r qp    rqp  p r q r    rqrp 
 
       rqrprqp  
V V V V V V V V V 
V V F V V V V V V 
V F V F V V V V V 
V F F F F V F F V 
F V V F V V V V V 
F V F F F F V F V 
F F V F V V V V V 
F F F F F F F F V 
p
 
q r qp 
 
  rqp 
 
 p r q r
 
   rqrp 
 
     rqrprqp 
 
V V V V V V V V V 
V V F V F F F F V 
V F V V V V F V V 
V F F V F F F F V 
F V V V V F V V V 
F V F V F F F F V 
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De la tabla de verdad concluimos que       rqrprqp  es una tautología. 
 
 Leyes de De Morgan 
a) La negación de una conjunción entre dos proposiciones dadas es la disyunción de 
las negaciones de las proposiciones. Simbólicamente    ~q~pqp ~ 
Tabla 21: Tabla de verdad de la negación de la conjunción entre dos proposiciones 
P q pq ~ )qp(  ~ p ~ q ~ p  ~ q    ~q~pqp ~ 
V V V F F F F V 
V F F V F V V V 
F V F V V F V V 
F F F V V V V V 
De la tabla de verdad concluimos que     ~q~pqp ~ es una tautología 
 
b) La negación de una disyunción entre dos proposiciones dadas es la conjunción de 
las negaciones de las proposiciones, y simbólicamente tenemos 
   ~q~pqp ~ . 
 
Tabla 22: Tabla de verdad de la negación de la disyunción entre dos proposiciones 
p q qp  ~ )qp(  ~ p ~ q  ~q~p     ~q~pqp ~ 
V V V F F F F V 
V F V F F V F V 
F V V F V F F V 
F F F V V V V V 
De la tabla de verdad concluimos que     ~q~pqp ~ es una tautología. 
 
 Negación de una Implicación o Condicional 
La negación de una implicación es equivalente a la conjunción entre el antecedente y 
la negación del consecuente, es decir:  ~qpqp  )(~ . 
 
Tabla 23: Tabla de verdad de la negación de una implicación entre dos proposiciones 
F F V F F F F F V 
F F F F F F F F V 
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p q )( qp  )( qp~ ~ q  ~qp  ~qpqp  )(~ 
V V V F F F V 
V F F V V V V 
F V V F F F V 
F F V F V F V 
De la tabla de verdad concluimos que   ~qpqp  )(~ es una tautología. 
 
 Negación de una Doble Implicación o Doble Equivalencia 
La equivalencia de la negación de una doble implicación son las expresiones dadas 
simbólicamente:    ~qpq~pqp  )(~ 
Tabla 24: Tabla de verdad de la negación de una equivalencia entre dos proposiciones 
p q )( qp  )( qp ~ ~p ~q  q~p  ~qp     qpqp ~~  
V V V F F F F F V 
V F F V F V V V V 
F V F V V F V V V 
F F V F V V F F V 
Ahora realizaremos ejemplos donde aplicamos estas leyes lógicas demostradas 
anteriormente, para probar la equivalencia de nuevas proposiciones. Y así tenemos: 
 
 Equivalencia de una implicación 
Una implicación es equivalente a la disyunción entre la negación del antecedente y el 
consecuente, es decir:    q~ pqp  
Demostraremos la equivalencia entre las proposiciones dadas, indicando las leyes 
lógicas usadas. 
    qp~~qp  Por ley de Involución 
    ~ qp~qp  Por Negación de una Implicación 
   ~ q~~pqp  Por ley de De Morgan 
   q~pqp  Por ley de Involución 
 
Ahora también demostramos otra equivalencia usando leyes lógicas 
        rqprqrp ~~~  
          rqrprqrp ~~~~~~  Por ley de Involución 
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Directa    pqqp ~~  Contrarrecíproca 
 Recíproca    qppq ~~  Contraria 
 
         rqrprqrp ~~~~~~~  Por ley de De Morgan 
           rqrprqrp ~~~~~~~  Por la negación de una implicación 
         rqrprqrp  ~~~ Por ley de Involución 
       rqprqrp  ~~~ Por distributividad 
       rqprqrp ~~~~  Por ley de De Morgan 
       rqprqrp ~~~  Por equivalencia de una implicación 
 
IMPLICACIONES ASOCIADAS 
A las implicaciones asociadas las utilizamos tanto para las proposiciones como para 
las formas proposicionales. 
Sea qp  el condicional que llamaremos forma directa (F. D), en conexión a ésta 
se presentan otras tres que son: 
 Forma Recíproca (F.R) pq  
 Forma Contraria (F.C) qp ~~  
 Forma Contrarrecíproca (FCR) pq ~~  
Si realizamos una tabla de verdad para la forma directa y la forma contrarrecíproca, 
veremos que tienen los mismos valores de verdad o sea que son equivalentes. De igual 
manera para la recíproca con la contraria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: Expresar en forma simbólica y en lenguaje coloquial las formas asociadas a 
la expresión “Si 3 es un número natural impar, entonces su cuadrado es impar”. Indicar 
el valor de verdad de cada una de ellas. 
Sean p: 3 es un número natural impar q: El cuadrado de 3 es impar 
 La Forma Directa es qp  que traducimos: “Si 3 es un número natural impar, 
entonces su cuadrado es impar”. Esta proposición es verdadera. 
 La Forma Recíproca es pq  que traducimos: “Si el cuadrado del número natural 
3 es impar, entonces dicho número es impar”. Esta proposición también es 
verdadera. 
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 La Forma Contraria es qp ~~  que traducimos: “Si el número natural 3 no es 
impar, entonces su cuadrado no es impar”. Esta proposición es verdadera. 
 La Forma Contra recíproca es pq ~~  que traducimos: “Si el cuadrado del 
número natural 3 no es impar, entonces dicho número no es impar”. Esta 
proposición también es verdadera. 
 
Ejemplo 2: Encontrar la recíproca y la negación de la contraria de la oración: “Todos 
los alumnos de Matemática I aprobarán el primer parcial, cuando asistan a las clases 
teóricas y prácticas y además estudien”. 
La variable x es: alumnos de Matemática I Cuantificador Universal todos: ∀ 
Las formas proposicionales simples que intervienen son: 
p(x): x asistan a las clases teóricas q(x): x asistan a las clases prácticas 
r(x): x estudien t(x): x aprobarán el primer parcial 
Simbólicamente:    )()()()(, xtxrxqxpx  , que es la Forma Directa 
Simbólicamente la Forma Recíproca es       )()()(, xrxqxpxtx  
Coloquialmente: “Todos los alumnos de Matemática I asistirán a las clases teóricas y 
prácticas y además estudiarán cuando aprueben el primer parcial”. 
La Forma Contraria, simbólicamente es: 
       )()()()(,)()()()(, xtxrxqxpxxtxrxqxpx ~~~ ~~~  
Coloquialmente: “Todos los alumnos de Matemática I no aprobarán el primer parcial, 
cuando no asistan a las clases teóricas o prácticas o no estudien” 
La negación de la Forma Contraria, simbólicamente es: 
~      )(:)()()()(, )()()( xtxxtxrxqxpx xrxqxp   ~~~~~~~ 
Coloquialmente: Algunos alumnos de Matemática I no asisten a las clases teóricas o 
práctica o no estudian pero aprueban el primer parcial. 
 
 
¡PARA APLICAR CONOCIMIENTOS! 
 
Dadas las siguientes premisas determinar: 
a) Cuál es la variable y los cuantificadores en cada caso, si existen. 
b) Las proposiciones o formas proposicionales simples que las componen, 
c) Simbolizar la proposición o forma proposicional compuesta, negarla yretraducirla 
al lenguaje coloquial. 
 Las clases de consultas presenciales o a través de los foros no son obligatorias, sin 
embargo, algunos alumnos las necesitan para aclarar las dudas. 
La variable x es: alumnos Cuantificador Existencial: ∃ 
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La variable y es: clases de consultas presenciales 
La variable z es: clases de consultas a través de los foros 
Proposiciones Simples que intervienen son: 
 yp : y son obligatorias  zq : z son obligatorias 
 xr : x necesitan las clases para aclarar dudas 
Simbólicamente:       xx:rz~qy~p  
La negación es: 
~                        x~rxzqypxx:r~z~qy~p~xx:rz~qy~p , 
Coloquialmente: Las clases de consultas presenciales y a través de los foros son 
obligatorias ó todos los alumnos no las necesitan para aclarar las dudas. 
 Ningún alumno no puede traer su documento para rendir los exámenes parciales o 
finales. 
Esto es equivalente a decir Todos los alumnos pueden traer su documento para 
rendir los exámenes parciales y finales. 
La variable x es: alumnos Cuantificador Universal: ∀ 
Proposiciones Simples que intervienen son: 
 xp : x pueden traer su documento para rendir los exámenes parciales. 
 xq : x pueden traer su documento para rendir los exámenes finales. 
Simbólicamente:  )()(, xqxpx  
La negación es: ~      )(~)(~)()(~ ::)()(, xqxpxqxp xxxqxpx  
Coloquialmente: Algunos alumnos no pueden traer su documento para rendir los 
exámenes parciales o finales. 
 Si cada uno de los contribuyentes se inscriben en ganancias y bienes personales, el 
estado cobra mucho dinero. Solamente algunos cumplirán con el total de sus 
obligaciones. 
La variable x es: contribuyentes la variable z es: el estado 
Cuantificador Universal (cada uno): ∀ Cuantificador Existencial (algunos): ∃ 
Proposiciones Simples que intervienen son: 
 xp : x se inscriben en ganancias  xq : x se inscriben en bienes personales 
 xr : x cumplirán con el total de sus obligaciones  zt : z cobra mucho dinero 
Simbólicamente:    )(:)()()(, xrxztxqxpx  
La negación es: 
~         )(:)()()(,)(:)()()(, xrxztxqxpxxrxztxqxpx  ~ 
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La demostración de que un razonamiento es válido lo reducimos a 
probar que un condicional  qp  ó  qp  es una tautología, donde p 
es la Hipótesis y q es la conclusión o Tesis. 
Para demostrar que un enunciado es verdadero usaremos distintos 
métodos de demostraciones, tales como el método directo, el método 
indirecto o por reducción al absurdo; mientras que para demostrar que un 
enunciado es falso utilizaremos el método del contraejemplo. 
 
   )()()()(, xrxztxqxpx ~, 
Coloquialmente: Si cada uno de los contribuyentes se inscriben en ganancias y bienes 
personales, el estado cobra mucho dinero, pero ninguno cumplirá con el total de sus 
obligaciones. 
MÉTODOS AXIOMÁTICOS 
En la vida en sociedad, permanentemente hay situaciones de comunicación en la que 
intercambiamos ideas, opiniones y, frente a las distintas opiniones, necesitamos 
argumentar a favor de una idea propia o analizar si parecen valederas las razones de los 
otros, para avanzar en el propósito de convencer. 
Cuando tenemos que resolver un problema en forma autónoma, necesitamos usar 
algunos criterio que permitan dar por válidos los resultados que obtenidos y … ¿cómo 
podemos asegurar de que la respuesta es matemáticamente válida? 
Los razonamientos considerados como procesos de pensamiento, son aquellos 
mediante los cuales sacamos conclusiones a partir de cierta información. En ocasiones, 
solemos sacar conclusiones a partir de las observaciones. Al observar varias veces que 
una acción produce el mismo resultado, concluimos, en general, que esta acción tendrá 
el mismo resultado. A esta clase de razonamiento la llamamos razonamiento inductivo. 
Y a la conclusión que sacamos del razonamiento inductivo la denominamos 
“generalización”. 
En cambio el proceso del razonamiento deductivo requiere aceptar alguna cuestión 
general para obtener conclusiones para casos particulares y, en el caso particular de la 
matemática, la aceptación de unas cuantas generalizaciones básicas sin comprobarlas. 
Estas generalizaciones la llamamos “postulados” 
Un axioma o postulado es una proposición inicial la cual la asumimos como 
verdadera. El conjunto de postulados de los cuales se desprenden las demás 
proposiciones de un sistema lo denominados conjunto de postulados del sistema. En 
éste, uno de los axiomas no debe ser deducible de los otros. 
Un teorema es cualquier proposición que se desprende de otra proposición o 
proposiciones dadas por supuestas o previamente demostradas dentro del sistema. Así, 
un teorema es una proposición cuya veracidad requiere ser demostrada a partir de otras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Método Directo 
 
 
 
Ejemplo: Demostrar que, para cualquier número entero par, su cuadrado también es 
par. 
En este enunciado podemos identificar tanto la hipótesis como la tesis, expresando 
simbólicamente así: 
H) Zx , x es par Zkkx  ,2 (recordemos que un número par se lo expresa 
como un múltiplo de 2 ; o sea como producto de 2 por otro número entero) 
T) Zx , x2 es par Zmmx  ,2
2
 
Demostración) Por hipótesis tenemos que kx 2 , si elevamos al cuadrado 
obtenemos   



 22224222 kkkx 
Si denominamos mk 22 y sustituimos, obtenemos que mx 22  lo cual expresa 
que su cuadrado también es un número par. 
Muchas veces, en lugar de probar que qp  es una tautología, es más conveniente 
probar que otra forma equivalente a la implicación dada también es una tautología y esta 
forma es la contrarrecíproca ~p~q . Y así tenemos el método indirecto o 
contrarrecíproco. 
Método Indirecto o Contra recíproco 
 
 
 
Ejemplo: Demostrar que para cualquier número entero si su cuadrado es par, entonces 
dicho número es par. 
La nueva hipótesis es la negación de la tesis, donde T): x no es par, esto significa que 
x es impar y la nueva tesis es la negación de la hipótesis anterior, donde H): x2 no es 
par, lo cual significa que x2 es impar. 
Simbólicamente: 
H) Zx , x es impar Zkkx  ,12 (recordemos que un número impar es el 
consecutivo de un número par, por ello un número impar se lo expresa como la suma 
entre un número par y 1) 
T) Zx x2 es impar Zmmx  ,12
2
 
Demostración) Por hipótesis 12  kx , si elevamos al cuadrado tenemos que: 
    1222.214242122  kkkkkx . Si reemplazamos a mkk  222 nos queda 
que: x2 = 2 m + 1, expresión que indica que es un número impar. 
Con esto probamos la veracidad de la contrarrecíproca, lo cual significa que también 
es verdadera la expresión dada. 
Concepto: Consiste en partir de la verdad del antecedente (Hipótesis) y tratar de 
establecer la verdad del consecuente (Tesis). 
 
 
 
 
 
 
Concepto: Para demostrar la validez de un razonamiento mediante el método 
indirecto partiremos de la negación del consecuente (tesis) y determinaremos la 
negación del antecedente (hipótesis). 
 
 
 
 
 
 
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El Método de Reducción por el Absurdo 
 
 
Es decir se parte de ~ T y se llega a contradecir algún resultado conocido. 
 
Una manera de demostrar la veracidad de una forma proposicional q p  es 
analizar la veracidad de una expresión equivalente y esto lo proporciona la Ley de 
reducción por el absurdo. Es decir, que como q p  es equivalente a  ~p~qp  , 
de acuerdo a esta ley, probar la veracidad