CONJUNTOS 2

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ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo : Anual Virtual ADUNI
Docente: Raúl Flores
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
TEORÍA DE 
CONJUNTOS 
II
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
D
C
B
A
➢ Conocer algunas relaciones que existen entre los conjuntos.
➢ Conocer algunos conjuntos especiales que existen.
➢ Conocer los subconjuntos y subconjuntos propios de un conjunto dado.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
La teoría de conjuntos se entiende como un
contenido del área de matemáticas pero sus
utilidades van mucho más allá del desarrollo
del pensamiento lógico matemático.
Comprender la teoría de conjuntos nos
permite utilizar los conjuntos como
herramienta para analizar, clasificar y
ordenar los conocimientos adquiridos
desarrollando la compleja red conceptual en
que almacenamos nuestro aprendizaje.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
REPARTO PROPORCIONAL:
DIRECTO E INVERSO 
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
➢ Inclusión
➢ Igualdad
➢ Disjuntos
B
A
DC
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
1. Inclusión (⊂)
Sean los conjuntos:
2; 4; 6
y 𝐵 = 1; 2; 3; 4; 5; 6
Se observa que:
2 ∈ A 2 ∈ B
4 ∈ A 4 ∈ B
6 ∈ A 6 ∈ B
Todos los elementos del conjunto A, pertenecen al conjunto 𝐵.
Lo cual se denota así: 
𝑨 ⊂ 𝑩Se lee:
➢ El conjunto 𝐴 està contenido en el conjunto 𝐵.
➢ El conjunto 𝐴 està incluido en el conjunto 𝐵.
➢ El conjunto 𝐴 es subconjunto del conjunto 𝐵.
➢ El conjunto 𝐵 contiene al conjunto 𝐴. 
Observaciones:
❖ También se puede denotar:A = 2;4; 6
⊂ 𝐵 ∨ 2; 4; 6 ⊂ 1; 2; 3; 4; 5; 6
❖ Gráficamente se tiene: 
.2 .4
.6
.3
.5
❖ Sean los conjuntos:
D = 3; 5; 7 E = 2; 3; 6; 7y
No todos los elementos del conjunto 𝐷, son elementos del
conjunto 𝐸.
El cual se denota así: 
D ⊄ 𝑬
Se lee: 𝐷 no es subconjunto de 𝐸
.3
.7
.6
.2.5
Se observa:
.1
BA
E
D
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Aplicación 1
Dado el conjunto 𝐴 = 𝟑; 𝟓 ; 𝟐; 𝟖 , determine
verdadero (V) o falso (F) según corresponda y
dé como respuesta la secuencia correcta.
I. 3 ⊂ 𝐴
II. { 5 } ⊄ 𝐴
III. { 3; {8} } ⊂ 𝐴
Resolución:
I. 3 ⊂ 𝐴 … verdadero Porque, 3∈ 𝐴
II. { 5 } ⊄ 𝐴 … verdadero Porque, 5∉ 𝐴
III. { 3; {8} } ⊂ 𝐴… verdadero
Porque, 3 y {8} pertenecen a 𝐴
Respuesta: VVV
2. igualdad(=)
Se dice que dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen
exactamente los mismos elementos.
Notación:
Ejemplo
Conjunto formado por las letras de la palabra “covid”
A = 𝑐, 𝑜, 𝑣, 𝑖, 𝑑
B = 𝑑, 𝑜, 𝑖, 𝑑, 𝑐
Es importante observar que no tiene
importancia el orden en que se indiquen los
elementos en cada conjunto, lo relevante
es que tengan los mismos elementos.
A = B
Observación:
Si dos conjuntos D y E tienen por lo menos un elemento que no es
común, entonces se les llamará conjuntos diferentes y se
denotará por D ≠ E.
𝐀 = 𝐁
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Aplicación 2
Sean conjuntos 
A= 1024 ; 625 B= 5𝑦−3; 2𝑥+2y
si A y B son iguales, calcule 𝑥 + 𝑦. Considere, 𝑥 𝑒 𝑦
números naturales.
Resolución:
Se tiene A = B
1024
625
5𝑦−3
2𝑥+2
1024 = 2𝑥+2 625 = 5𝑦−3
210 = 2𝑥+2
𝑥 + 2 = 10
𝑥 = 8
53 = 5𝑦−3
𝑦 − 3 = 3
𝑦 = 6
∴ 𝑥 + 𝑦 = 14
Respuesta: 14
3. Disjuntos
Dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento
de A está en B y si ningún elemento de B está en A, se dice que A y B son
disjuntos.
Ejemplo:
A = 1; 3; 5; 7; 9
B = 2; 4; 6; 8
Sean los conjuntos
No tienen
elementos
en común.
A y B son conjuntos 
disjuntos.
observaciones
➢ Representación gráfica de conjuntos disjuntos:
➢ Sean los conjuntos 
D = 1; 4; 5; 6
E = 3; 8; 6; 9
pero, no son disjuntos,
porque hay elementos
comunes.
Se observa que D
y E son conjuntos
diferentes.
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De 200 profesores de una universidad, 115
tienen grado de doctor y 60 son
investigadores. De los doctores, 33 son
investigadores. Halle la suma de la cantidad
de doctores que no son investigadores y la
cantidad de investigadores que no son
doctores.
(UNMSM 2017 I)
Aplicación 3
Resolución 
Total:200
Doctores No doctores
Investigadores 
No investigadores 
115
6033
82
27
Del enunciado se tiene
Por lo tanto, 82+27 = 109
Respuesta 109
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CONJUNTOS ESPECIALES 
➢Conjunto Vacío o Nulo
➢Conjunto Unitario o Singleton
➢Conjunto Universal
➢Conjunto Potencia𝚽
𝕌
𝕌
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1.Conjunto Vacío o nulo 2.Conjunto Unitario o Singleton 3.Conjunto Universal
Es aquel conjunto que no posee elementos
y se acostumbra denotar con los símbolos
𝛷 𝑜 .
Ejemplo
Sea el conjunto 
A= 𝑥 ∈ Τℕ 1 < 𝑥 < 2
Se observa, que no existe un número
natural entre 1 y 2, es decir, el conjunto A
no posee elemento.
A= 𝛷 o A= { }
observaciones
➢ El conjunto vacío es un subconjunto de
todo conjunto.
(𝛷 ⊂ 𝑀; para cualquier conjunto 𝑀)
➢ 𝛷 es distinto de {𝛷}, dado que 𝛷
representa a un conjunto sin
elementos.
Es aquel conjunto que posee un solo elemento.
Ejemplo
Sea el conjunto 
B= 2; 4; 6; 8
El único número natural entre 1 y 3 es 2, es
decir, que el conjunto B posee un único
elemento.
B= 2
Aplicación 4
Si el conjunto E es unitario, donde:
E= 𝑛3 + 4; 129; 𝑚𝑛+2 + 1 ; calcule 𝑚+ 𝑛.
Resolución: 
E es unitario, entonces
❖ 𝑛3 + 4 = 129 𝑛3 = 125
𝑛 = 5
❖ 𝑚𝑛+2 + 1 = 129 𝑚7 = 128
𝑚 = 2
∴ 𝑚 + 𝑛 = 7 Respuesta: 7
Es aquel conjunto referencial que
contiene a otros conjuntos en
estudio y se denota 𝕌 (es el todo).
Ejemplo
Sean los conjuntos 
𝕌 = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
A= 2; 3; 5; 7
B = 𝑥 ∈ Τℕ 1 < 𝑥 < 3
y
Gráficamente:
𝕌
.1
.7
.5
.3
.8
.6
.4
.2
.9
A
B
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4. Conjunto Potencia
Se conoce como conjunto potencia de un conjunto A,
al conjunto de todos los subconjuntos de A y se
denota por 𝑷(A).
Ejemplo 
Sea el conjunto
A= 𝑎, 𝑏, 𝑐 n(A)= 3
Subconjuntos de A
Subconjuntos propios de A
𝑷(A)= 𝚽; 𝒂 ; 𝒃 ; 𝒄 ; 𝒂, 𝒃 ; 𝒂, 𝒄 ; 𝒃, 𝒄 ; 𝑨
Luego el conjunto potencia de A es
Luego se tiene 
➢ N° de subconjuntos de A= 23 = 8
➢ N° de subconjuntos propios de A= 23 − 1 = 7
➢ n[𝑃(A)]= 23 = 8
En resumen:
Para cualquier conjunto A
I. N°. 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 = 𝟐𝒏(𝑨)
II. 𝑛(𝑃 𝐴 ) = 𝟐𝒏(𝑨)
III. N°. 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 = 𝟐𝒏(𝑨) − 𝟏
IV . A⊂ A (todo conjunto es subconjunto de si mismo)
V . Si X ∈ 𝑃 𝐴 → 𝑋 ⊂ 𝐴
{𝒃, 𝒄}; 𝑨𝜱; {𝒂}; {𝒃}; {𝒂, 𝒃};{𝒄}; {𝒂, 𝒄};
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Aplicación 5
Sean A y B dos conjuntos donde el cardinal de A excede al
cardinal de B en 3 y la cantidad de subconjuntos propios
de B es 7. Halle la cantidad de subconjuntos de A.
Resolución:
Se tiene 
𝑛 A − 𝑛 B = 3
• 𝑛 A = 𝑥 + 3
• 𝑛 B = 𝑥
Además: 
(N° de subconjuntos propios de B) = 2𝑥 − 1 = 7
2𝑥 = 8
𝑥 = 2
Luego se tiene:
𝑛 A = 5
∴ (N° de subconjuntos de A) = 25 = 32
Respuesta: 16
Aplicación 6
Si 𝑛 𝑃 𝐴 = 32; 𝑛 𝑃 𝐵 = 8 𝑦 𝑛 𝐶 = 𝑛 𝐴 − 𝑛 𝐵 ,
calcule el número de subconjuntos de P(𝐶).
Resolución: 
Se tiene: ➢ 𝑛 𝑃 𝐴 = 32 2𝑛(𝐴) = 32
𝑛(𝐴) = 5
➢ 𝑛 𝑃 𝐵 = 8 2𝑛(𝐵) = 8
𝑛(𝐵) = 3
Luego: 𝑛 𝐶 = 5 − 3 = 2
∴ (N° de subconjuntos de P(𝐶)) = 2𝑛[𝑃 𝐶 ]
= 22
𝑛(𝐶)
= 22
2
= 16
Respuesta: 32
w w w . a d u n i . e d u . p e