1.FINAL 6

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APELLIDO Y NOMBRES:_________________________________________ 
 
1 2 3 4 NOTA FIRMA 
 
 
EXAMEN FINAL - MATEMÁTICA 
Nota: En cada ejercicio deben figurar todos los pasos realizados así como las justificaciones, para que sea tenido 
en cuenta en la corrección. 
 
Ejercicio 1 
a) Hallar la solución general de la ecuación diferencial: 𝑦′′ − 6 𝑦′ + 9 𝑦 = 𝑒3𝑥. 
b) Demostrar que si la ecuación característica de una ecuación diferencial ordinaria lineal 
homogénea de segundo grado tiene una raíz real doble  entonces 𝑦 = 𝑥 𝑒𝜆𝑥 es solución de 
la ecuación diferencial. 
Ejercicio 2 
a) Dado el campo escalar f : R2 → R definido como f(x, y) = ln x . e y − 1 calcular, mediante el 
uso de diferenciales, un valor aproximado de f( 0,9 ; 1,3) = ln 0,9 e 0,3. 
 
b) Indicar explícitamente el punto de coordenadas P0 = (x0; y0) utilizado y los incrementos x , 
y considerados para sus cálculos. Definir incremento y diferencial de un campo escalar y 
explicitar su relación. 
 
 
Ejercicio 3 
a) Calcular la siguiente integral curvilínea utilizando el teorema de Green: 
 ∮(𝑥2 − 𝑦2 )𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 siendo C la curva definida en sentido antihorario por la 
frontera de la región D={(𝑥; 𝑦)/0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ; 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥}. 
b) Enunciar el teorema de Green explicitando su hipótesis y su tesis. 
 
Ejercicio 4 
a) Determinar los intervalos de concavidad positiva y negativa, y estudiar la existencia de puntos 
de inflexión de la función f cuya función derivada está definida por: 𝑓´(𝑥) =
𝑥2−2𝑥
𝑥+1
. 
b) Definir punto de inflexión y enunciar el criterio del punto de inflexión.