Tema 12 FACTORIZACIÓN

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MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
FACTORIZACIÓN
Factorización
Factorizar una expresión algebraica es expresarla como un
producto de expresiones más simples.
En ejemplos anteriores, desarrollamos productos de expre-
siones algebraicas utilizando reiteradamente la propiedad dis-
tributiva del producto con respecto a la suma. Si “rever-
samos” este proceso hasta tener las expresiones algebraicas en
términos de productos, decimos que hemos factorizado dichas
expresiones.
Ejemplo:
Factorizar la expresión a2 + 2ab + b2 es escribirla como un
producto de factores, es decir,
a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2.
Utilizando los productos notables podemos factorizar
algunas expresiones algebraicas
a2 − b2 = (a + b)(a− b) Diferencia de Cuadrados
a3 + b3 = (a + b)
(
a2 − ab + b2
)
Suma de cubos
a3 − b3 = (a− b)
(
a2 + ab + b2
)
Diferencia de cubos
a2 ± 2ab + b2 = (a± b)2 Trinomio Cuadrado Perfecto
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)
3
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a− b)3 .
Ejemplo:
1. 16x2 − 9z4 = (4x)2 − (3z2)2 = (4x + 3z2)(4x− 3z2).
2. 27x3 + y3 = (3x + y)
[
(3x)
2 − 3xy + y2
]
=
(3x + y)
(
9x2 − 3xy + y2
)
3. 64 − 125t6 =
(
4− 5t2
) [
(4)
2
+ 4
(
5t2
)
+ (5t2)2
]
=(
4− 5t2
) (
16 + 20t2 + 25t4
)
.
Consideremos ahora algunos casos especiales de expresiones
algebraicas que no pueden factorizarse usando los productos
notables:
1. Todos los términos de la expresión algebraica tienen un
factor común.
Ejemplo:
Factorizar las expresiones:
a) −2x3 + 16x
b) −7x4y2 + 14xy3 + 21xy4
c) (z + 2)
2 − 5 (z + 2) .
Solución:
a) Como 16 = 2 · 8 , tanto 2 como x “están” en los dos
términos. Entonces, usando propiedades de la suma y
el producto, tenemos:
−2x3 + 16x = 2x
(
−x2 + 8
)
= −2x
(
x2 − 8
)
=
−2x
(
x +
√
8
) (
x−
√
8
)
= −2x
(
x + 2
√
2
) (
x− 2
√
2
)
.
La última igualdad es válida porque −1 es factor de los
dos sumandos.
b) −1, 7, x y y2 son factores de todos los términos, en-
tonces
−7x4y2 + 14xy3 + 21xy4 = −7xy2
(
x3 − 2y − 3y2
)
.
c) z + 2 es factor de los dos sumandos, entonces:
(z + 2)
2 − 5 (z + 2) = (z + 2) [(z + 2)− 5] =
(z + 2) (z − 3) .
2. La expresión es un trinomio (suma o resta de tres términos)
• De la forma x2 + bx + c :
Como (x + r) (x + s) = x2 + (r + s)x + rs, para facto-
rizar el trinomio x2 + bx + c debemos hallar r y s tales
que b = r + s y c = rs.
Ejemplo:
Factorizar x2 − 6x + 5.
Solución:
x2−6x+5 = (x+r)(x+s), con r y s tales que r+s = −6
y rs = 5.
Como 5 = 5 · 1 ó 5 = −5 (−1) y −6 = −5 + (−1) ,
entonces r = −5 y s = −1, y aśı:
x2 − 6x + 5 = (x− 5) (x− 1).
Ejemplo:
Factorizar (3x + 2)
2
+ 8 (3x + 2) + 12.
Solución:
La expresión dada tiene la forma (·)2 + 8 (·) + 12, donde
· representa a (3x − 2) , entonces, (·)2 + 8 (·) + 12 =
((·) + 6) ((·) + 2), y aśı:
(3x + 2)
2
+ 8 (3x + 2) + 12
= (3x + 2 + 6) (3x + 2 + 2)
= (3x + 8) (3x + 4) .
1
• De la forma ax2 + bx + c con a 6= 1 :
Como (px + r) (qx + s) = pqx2 + (ps + qr)x + rs, para
factorizar el trinomio ax2 + bx + c, debemos encontrar
p, q, r, y s tales que pq = a, ps + qr = b y rs = c.
Ejemplo:
Factorizar 6y2 + 11y − 21.
Solución:
Podemos escribir a = 6 como 6 · 1 ó 3 · 2 ó −6 (−1) ó
(−3)(−2) y c = −21 como 3 (−7) ó −3 · 7.
Como 11 = 6 ·3 + 1 (−7), entonces p = 6, q = 1, r = −7
y s = 3, y aśı:
6y2 + 11y − 21 = (6y − 7) (y + 3).
3. Combinación de los casos anteriores:
• Expresiones con exponentes racionales:
Ejemplo:
Factorizar la expresión x−3/2 + 2x−1/2 + x1/2.
Solución:
xq con q el menor exponente, en este caso −3
2
es factor
de los tres términos, entonces
x−3/2 + 2x−1/2 + x1/2 = x−3/2
(
1 + 2x + x2
)
= x−3/2 (x + 1)
2
.
• Los polinomios con al menos 4 términos se pueden fac-
torizar por agrupación, buscando que cada agrupación
se pueda factorizar usando los casos ya descritos.
Ejemplo:
Factorizar la expresión 3x3 − x2 + 6x− 2
Solución:
3x3 − x2 + 6x− 2 =
(
3x3 − x2
)
+ (6x− 2)
= x2 (3x− 1) + 2 (3x− 1)
= (3x− 1)
(
x2 + 2
)
.
Ejercicio:
¿Cómo se factorizan las siguientes expresiones?
a) an − 1, con n ∈ N
b) x4 + ax2 + b, con a, b ∈ Z.
Solución:
Consultarla en los ejercicios de la sección 1.3 de Stewart.
Factorice las siguientes expresiones:
2x4 + 4x3 − 14x2
(z + 2)
2 − 5 (z + 2)
12x2y4 − 3xy5 + 9x3y2
x−1/2 − 2x1/2 + x3/2
3x3 − 2x2 + 18x− 12
6y2 + 11y − 21
9x2 − 36x− 45
2 (a + b)
2
+ 5 (a + b)− 3(
x2 + 2
)5/2
+ 2x
(
x2 + 2
)3/2
+ x2
√
x2 + 2
2