08 - Control por feedback - Control de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

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ICM2813 Control de Sistemas Mecánicos
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Matalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
Error en estado estacionario
Tito Arevalo-Ramirez
2 de abril de 2023
1
A pesar que hemos aprendido a caracterizar la respuesta de
sistemas y su estabilidad, aún debemos evaluar su comporta-
miento en estado estacionario
Transiente
Estabilidad
sn: 1 a2 a4 a6 · · ·
sn−1: a1 a3 a5 a7 · · ·
sn−2: b1 b2 b3 b4 · · ·
sn−3: c1 c2 c3 c4 · · ·
...
...
...
...
s2: ∗ ∗
s1: ∗
s0: ∗
Evaluar el comportamiento de los sistemas en estado estacionario nos
permitirá
• Encontrar los errores en estado estacionario
• Especificar el rendimiento de un sistema en estado estacionario 2
Contents
Introducción
Error en estado estacionario
Error estacionario entrada paso
Error estacionario entrada rampa
Error estacionario entrada parabólica
Resumen
Ejemplo
Gracias
3
Introducción
Los errores en estado estacionario se definen como la diferencia
entre la entrada y la salida cuando t →∞
La entradas comúnmente usadas para el análisis de errores en estado
estacionario son:
Paso 1s Rampa
1
s2 Parábola
1
s3
4
Los errores en estado estacionario se definen como la diferencia
entre la entrada y la salida cuando t →∞
¿Cómo se pueden interpretar f́ısicamente cada entrada?
4
Los errores en estado estacionario se definen como la diferencia
entre la entrada y la salida cuando t →∞
¿Cómo se pueden interpretar f́ısicamente cada entrada?
La entrada paso permite determinar la habilidad del sistema para
posicionarse con respecto a un objetivo fijo.
¿Cuál es el error en estado estacionario?
4
Los errores en estado estacionario se definen como la diferencia
entre la entrada y la salida cuando t →∞
¿Cómo se pueden interpretar f́ısicamente cada entrada?
La entrada rampa se puede usar para evaluar que tan bien el sistema
sigue a una entrada que incrementa linealmente (seguir a un objeto que
se mueve con velocidad constante)
¿Cuál es el error en estado estacionario?
4
Los errores en estado estacionario se definen como la diferencia
entre la entrada y la salida cuando t →∞
¿Cómo se pueden interpretar f́ısicamente cada entrada?
La entrada parábola representa una un objeto que se mueve con
aceleración constante por tanto permite determinar que tan bien el
sistema sigue a un objeto que se desplaza con aceleración constante
¿Cuál es el error en estado estacionario?
4
Error en estado estacionario
El error en estado estacionario se determina comparando la
entrada y salida del sistema
Consideremos un sistema de lazo cerrado con realimentación unitaria
El error del sistema se puede definir como:
E (s) = R(s)− Y (S)
Conocemos que
Y (s) =
Gc(s)Ga(s)G (s)
1 + Gc(s)Ga(s)G (s)
R(s)
Entonces el error se podrá expresar como
E (s) =
1
1 + Gc(s)Ga(s)G (s)
R(s)
5
El error en estado estacionario se determina comparando la
entrada y salida del sistema
Entonces el error se podrá expresar como
E (s) =
1
1 + Gc(s)Ga(s)G (s)
R(s)
5
El error en estado estacionario se determina comparando la
entrada y salida del sistema
Entonces el error se podrá expresar como Deseamos encontrar el error de
seguimiento en estado estacionario, para ello evaluamos cuando t → +∞
ess = ĺım
t→+∞
e(t) = ĺım
s→0
sE (s)︸ ︷︷ ︸
Teorema del Valor Final
= ĺım
s→0
s
(
1
1 + Gc(s)Ga(s)G (s)
R(s)
)
5
Error estacionario entrada paso
Dado que la entrada al sistema es un paso (escalón) R(s) = As
ess = ĺım
s→0
s
(
1
1 + Gc(s)Ga(s)G (s)
A
s
)
=
A
1 + ĺıms→0 Gc(s)Ga(s)G (s)
=
A
1 + kp
Donde kp es la constante de error de posición
kp = ĺım
s→0
Gc(s)Ga(s)G (s)
¿Cómo se obtendrá ess = 0 ?
6
Error estacionario entrada paso
Nótese que en general tendremos:
Gc(s)Ga(s)G (s) =
k
∏M
i=1(s + zi )
sN
∏Q
k=1(s + pk)
donde M, Q, y N son, respectivamente, el número de ceros, polos, e
integradores.
Observación
si N ≥ 1, significa que el sistema de control en lazo cerrado tiene al
menos un integrador. En ese caso kp → +∞ y, por consiguiente, ess = 0
6
Error estacionario entrada rampa
Dado que la entrada al sistema es una rampa R(s) = As2
ess = ĺım
s→0
s
(
1
1 + Gc(s)Ga(s)G (s)
A
s2
)
=
A
0 + ĺıms→0 sGc(s)Ga(s)G (s)
=
A
ĺıms→0 sGc(s)Ga(s)G (s)
=
A
kv
Donde kv es la constante de error de velocidad
kv = ĺım
s→0
sGc(s)Ga(s)G (s)
¿Cómo se obtendrá ess = 0 ?
7
Error estacionario entrada rampa
Nótese que en general tendremos:
Gc(s)Ga(s)G (s) =
k
∏M
i=1(s + zi )
sN
∏Q
k=1(s + pk)
donde M, Q, y N son, respectivamente, el número de ceros, polos, e
integradores.
Observación
si N ≥ 2, significa que el sistema de control en lazo cerrado tiene al
menos un integrador. En ese caso kp → +∞ y, por consiguiente, ess = 0
7
Error estacionario entrada parabólica
Dado que la entrada al sistema es una parábola R(s) = As3
ess = ĺım
s→0
s
(
1
1 + Gc(s)Ga(s)G (s)
A
s3
)
=
A
0 + ĺıms→0 s2Gc(s)Ga(s)G (s)
=
A
ĺıms→0 s2Gc(s)Ga(s)G (s)
=
A
ka
Donde ka es la constante de error de aceleración
kv = ĺım
s→0
s2Gc(s)Ga(s)G (s)
¿Cómo se obtendrá ess = 0 ?
8
Error estacionario entrada parabólica
Nótese que en general tendremos:
Gc(s)Ga(s)G (s) =
k
∏M
i=1(s + zi )
sN
∏Q
k=1(s + pk)
donde M, Q, y N son, respectivamente, el número de ceros, polos, e
integradores.
Observación
si N ≥ 3, significa que el sistema de control en lazo cerrado tiene al
menos un integrador. En ese caso kp → +∞ y, por consiguiente, ess = 0
8
Resumen de los error en estado estacionario
Tipo de planta
Diremos que una planta es Tipo N si tiene N integradores (polos en el
origen del plano complejo)
9
Determinemos cual es el error en estado estacionario del siste-
ma
Gc(s) = K ;G (s) =
1
s + 2
;Gs(s) =
2
s + 4
Aplicando la equivalencia de lazo cerrado tenemos que
Gc(s)G (s)Gs(s) =
2k
(s + 4)(s + 4)
¿Qué tipo de sistema es? ¿Cuál es error ante una entrada paso
R(s) = A/s?
10
Determinemos cual es el error en estado estacionario del siste-
ma
¿Qué tipo de sistema es? ¿Cuál es error ante una entrada paso
R(s) = A/s?
ess =
A
1 + kp
donde
kp = ĺım
s→0
2k
(s + 4)(s + 4)
=
k
4
10
Gracias
La diapositiva de esta clase se inspiró en
Referencia Caṕıtulo
[1] 4.2
[2] 7
11
G. F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami-Naeini, and J. D.
Powell.
Feedback control of dynamic systems, volume 4.
Prentice hall Upper Saddle River, 2002.
N. S. Nise.
Control system engineering, john wiley & sons.
Inc, New York, 2011.
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	Introducción
	Error en estado estacionario
	Error estacionario entrada paso
	Error estacionario entrada rampa
	Error estacionario entrada parabólica
	Resumen
	Ejemplo
	Gracias