Investigacion Unidad II control

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Control 
M.C Edgar Antonio Peña Domínguez 
 
CONTROL 
Tema 2: Análisis de sistemas realimentados. 
Análisis de Estabilidad. 
 
Recuerde qué se mencionó que un sistema será estable si los polos del polinomio característico 
se encuentran dentro del semiplano izquierdo del plano complejo “s”. Donde 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔. Pero 
después de un estudio de los sistemas de orden superior, ahora se puede decir de manera más 
puntual que: 
 
• Cuando por lo menos dos polos se encuentran en el semiplano izquierdo (su parte real 
es negativa) del plano complejo, la respuesta transitoria cae finalmente a cero. 
• Cuando por lo menos dos polos se encuentran sobre el eje imaginario (parte real es cero) 
es de la forma oscilatoria permanente. 
• Cuando por lo menos un polo se encuentra en el semiplano derecho (parte real positiva) 
entonces la respuesta crece de forma ilimitada conforme transcurre el tiempo. 
 
Con base en lo anterior, se puede establecer una clasificación para la respuesta transitoria de 
los sistemas considerando la ubicación de polos en el plano complejo. 
 
• Sistema estable: Todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo. 
• Sistema marginalmente estable: Por lo menos dos polos están sobre el eje imaginario 
𝑗𝜔. 
• Sistema Inestable: Por lo menos un polo se encuentra en el semiplano derecho. 
 
Un sistema estable puede presentar respuesta de la forma: 
 
Por otro lado, si al menos uno de los polos del sistema se encuentra en el semiplano derecho, la 
respuesta del sistema crecerá permanentemente. 
 
 
 
 
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Criterio de estabilidad de Routh. 
 
Partiendo del polinomio característico de un sistema, es posible determinar su estabilidad 
aplicando el criterio de Routh. 
 
Este criterio permite determinar cuántos polos tienen parte real positiva, por lo que estos harían 
que el sistema fuera inestable. Es necesario aclarar que el criterio no sirve para calcular las 
raíces o polos, sino solamente para definir cuantas raíces se encuentran en el semiplano derecho 
del plano complejo “s”. 
 
 
Se hace un arreglo como el que se muestra a continuación, y en base al número de cambios de 
signo que se dan en la primera columna de números, será el número de raíces o polos que 
tengan parte real positiva y por lo tanto se encuentran en el semiplano derecho del plano 
complejo “s”. 
 
Partiendo de la forma canónica del polinomio característico: 
 
𝑃(𝑠) = 𝑎0𝑠
𝑛 + 𝑎1𝑠
𝑛−1 + 𝑎2𝑠
𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛 = 0 
 
La tabla del criterio de Routh se forma como: 
 
Observe que la tabla es intuitiva para hacer el cálculo de los coeficientes 𝑏′𝑠 y 𝑐′𝑠. 
𝑐1 =
𝑏0𝑎5 − 𝑎1𝑏2
𝑏0
 
Nota: Dependiendo del grado “n” del polinomio característico, la tabla de Routh tendrá 𝑛 + 1 
renglones. A demás observe que los primeros dos renglones se llenan con los coeficientes del 
polinomio característico manteniendo el orden de uno “si” y uno “no”, como se muestra en los 
siguientes ejemplos. 
Ejemplo: Usando el siguiente polinomio característico, realice la tabla de Routh, para comprobar 
que no hay cambios de signo en la primera columna y que por lo tanto el sistema tiene todos sus 
polos en el semiplano izquierdo del plano complejo “s” y es estable. 
Solución: 
Partiendo del polinomio característico: 
𝑃(𝑠) = 𝑠2 + 0.2795𝑠 + 0.2402 
Haciendo la tabla y acomodando los coeficientes (como el polinomio es de grado dos, la tabla 
de Routh tendrá 3 renglones): 
 
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𝑠2 1 0.2402 
𝑠1 0.2795 0 
𝑠0 𝑏0 𝑏1 
 
De la tabla se distingue que: 
𝑎0 = 1, 𝑎1 = 0.2795 𝑦 𝑎2 = 0.2402 
Calculando los valores de 𝑏 según las fórmulas, se tiene: 
𝑏0 =
𝑎1𝑎2 − 𝑎0𝑎3
𝑎1
 
𝑏1 =
𝑎1𝑎4 − 𝑎0𝑎5
𝑎1
 
Es decir: 
𝑏0 =
(0.2795)(0.2402) − (1)(0)
0.2795
= 0.2402 
𝑏1 =
(0.2795)(0) − (1)(0)
0.2795
= 0 
Por lo que la tabla final queda como: 
𝑠2 1 0.2402 
𝑠1 0.2795 0 
𝑠0 0.2402 0 
 
Al no haber cambios de signo en la primera columna de números, se dice que el sistema no 
presenta ninguna raíz en el semiplano derecho del plano complejo, por lo tanto es estable. 
Enseguida se presentan otros ejemplos que se dejan como ejercicio al estudiante para que haga 
los cálculos correspondientes. 
 
En la primera tabla no hay cambio de signo, en la primera columna de números, por lo que el 
sistema es estable, mientras que para el segundo polinomio se notan dos cambios de signo, el 
primero de 0.5 a −3 y el segundo de −3 a 1.08 por lo tanto hay dos raíces con parte real positiva 
y el sistema es inestable. 
 
Considere ahora dos casos especiales. 
 
a) Que exista un cero en la primera columna de la tabla. 
 
𝑃(𝑠) = 𝑠3 + 𝑠2 + 4𝑠 + 4 = 0 
Al hacer la tabla de Routh: 
 
 
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Se tiene que 𝑏0 y 𝑏1 son ceros, ya que: 
 
𝑏0 =
𝑎1𝑎2 − 𝑎0𝑎3
𝑎1
=
(1)(4) − (1)(4)
1
= 0 
𝑏1 =
𝑎1𝑎4 − 𝑎0𝑎5
𝑎1
=
(1)(0) − (1)(0)
1
= 0 
Recuerde que lo que importa es que no haya cambio de signo en la primera columna, 
por lo que el término que interesa que no sea cero es 𝑏0. Se escoge un número 𝜀 (el cual 
se considera muy pequeño y positivo) para ser usado en la tabla en lugar de 𝑏0, 
quedando el cálculo de 𝑐0, como: 
𝑐0 =
𝑏0𝑎3 − 𝑎1𝑏1
𝑎1
=
( 𝜀)(4) − (1)(0)
 𝜀
= 4 
Y la nueva tabla es: 
 
Si se considera que 𝜀 es positivo, no habrá cambios de signo en la primera columna de 
la segunda tabla, entonces se concluye que el sistema es estable. 
Ahora considere el polinomio característico dado por: 
𝑠3 − 𝑠2 − 𝑠 + 1 = 0 
Si se hiciera la tabla de Routh y los cálculos correspondientes, se determinaría que 𝑏0 
es cero, por lo que habría que sustituirlo por 𝜀, quedando la tabla como: 
 
Al aplicar el criterio de Routh se obtiene la tabla anterior, de la cual se notan dos cambios 
de signo, por lo tanto se dice que este sistema es inestable. 
b) Todos los elementos de un renglón son ceros. 
Cuando un renglón de la tabla de Routh contiene puros ceros, se hace uso de un 
polinomio auxiliar que se obtiene del renglón anterior al de4 puros ceros, el cual dará 
origen mediante una derivada, a los coeficientes que vienen a sustituir a los ceros. 
 
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Considere el siguiente polinomio característico: 
 
𝑠5 + 2𝑠4 + 24𝑠3 + 48𝑠2 − 25𝑠 − 50 = 0 
 
La tabla de Routh quedaría como: 
 
 
 
El polinomio auxiliar para este caso es: 2𝑠4 + 48𝑠2 − 50, y su derivada es: 8𝑠3 + 96𝑠. 
Con los coeficientes de la derivada puestos en la tabla, es posible continuar el proceso 
hasta terminarla. 
 
 
 
De la tabla se nota que hay un cambio de signo en la primera columna y por lo tanto este 
polinomio tendrá una raíz con parte real positiva y esto nos lleva a decir que el sistema 
es inestable. 
 
Un comentario final respecto a este ejemplo es el hecho de que cuando se presenta un 
renglón de ceros se dice que en el polinomio característico están presentes raíces 
diametralmente opuestas, esto significa que el sistema es oscilatorio permanente o 
inestable y además el polinomio auxiliar es un factor del polinomio característico, para 
este caso el factor en cuestión es: 2𝑠4 + 48𝑠2 − 50 = 𝑠4 + 24𝑠2 − 25. 
 
Se puede comprobar que es un factor mediante la división del polinomio característico 
por dicho factor: 
 
𝑠5 + 2𝑠4 + 24𝑠3 + 48𝑠2 − 25𝑠 − 50
𝑠4 + 24𝑠2 − 25
= 𝑠 + 2 
 
Hasta este momento, con lo que se ha estudiado, conviene hacer las siguientes observaciones: 
 
a) Cuando el polinomio no tiene todos los coeficientes con el mismo signo entonces el 
sistema es inestable. 
b) Cuando uno de los coeficientes de s falta en el polinomio característico, entonces, el 
sistema es oscilatorio permanente o inestable. 
 
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c) Cuando se tiene un renglón de ceros el sistema oscila permanentemente oes 
inestable y el polinomio auxiliar es un factor del original. 
d) Los cambios de signo en el criterio de Routh son condición suficiente para que el sistema 
sea inestable más no necesario como en el siguiente ejemplo. 
 
Considere el siguiente polinomio característico. 
 
𝑠5 + 𝑠4 + 2𝑠3 + 2𝑠2 + 𝑠 + 1 
Los factores de este polinomio son: 
 
(𝑠 + 1)(𝑠2 + 1)2 
La tabla de Routh queda como: 
 
𝑠5 1 2 1 
𝑠4 1 2 1 
𝑠3 0 0 
𝑠2 
𝑠1 
𝑠0 
 
Se tiene que calcular un polinomio auxiliar, del renglón anterior al de ceros se tiene: 
 
𝑠4 + 2𝑠2 + 1 
 
Derivando: 
 
4𝑠3 + 4𝑠 
 
La nueva tabla quedaría como: 
 
𝑠5 1 2 1 
𝑠4 1 2 1 
𝑠3 4 4 
𝑠2 1 1 
𝑠1 0 
𝑠0 
 
Vuelve a dar un renglón de ceros, por lo que se tiene que sacar un nuevo polinomio auxiliar del 
renglón anterior 
 
𝑠2 + 1 
Derivando: 
 
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2𝑠 
La nueva tabla queda como: 
 
𝑠5 1 2 1 
𝑠4 1 2 1 
𝑠3 4 4 
𝑠2 1 1 
𝑠1 2 
𝑠0 1 
 
Dado que no hay cambios de signo, se puede afirmar que el sistema es estable, sólo que antes 
se cumplió el inciso c de las observaciones. También los factores del polinomio muestran que 
dos de sus raíces son cuadráticas repetidas, por lo que están sobre el eje imaginario, propio del 
sistema inestable. 
 
En el proceso de encontrar si un sistema es o no estable, se habla de la estabilidad absoluta, 
para distinguirlo de otro proceso en el cual un parámetro del sistema (generalmente la ganancia 
del sistema expresado por la letra K) puede variar y se quiere definir para que valores de ese 
parámetro el sistema es estable, entonces se habla de estabilidad relativa. La estabilidad 
relativa es útil ya que permite saber que tan cerca esta de la inestabilidad un sistema estable. En 
otras palabras, la estabilidad relativa determina que tan estable es un sistema dentro de un 
determinado rango. 
 
Ejemplo: Un sistema presenta el siguiente polinomio característico 𝑃(𝑠) = 𝑠4 + 5𝑠3 + 20𝑠2 +
40𝑠 + 𝐾. Determine los valores de 𝐾 para que el sistema sea estable. 
 
Solución: 
 
El arreglo de Routh queda como: 
 
 
 
Para que la primera columna no cambie de signo, se deben cumplir dos condiciones: la primera 
es que K debe ser mayor que cero al analizar el último renglón de la tabla, y la segunda es que 
K debe ser menor a 96, esto es si se resuelve la desigualdad del renglón 𝑠1: 
 
480 − 5𝐾
12
> 0 
 
5𝐾 < 480 
 
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𝐾 < 96 
En resumen, para que el sistema sea estable es necesario que: 0 < 𝐾 < 96. 
 
Observe que si K = 96, entonces el cuarto renglón del arreglo de Routh sería de puros ceros, y 
como se mencionó anteriormente, el polinomio característico posee raíces diametralmente 
opuestas, las cuales pueden ser determinadas a partir del polinomio del renglón anterior. 
 
12𝑠2 + 96 = 0 
𝑠 = ±2.828𝑗 
 
Cuando esto sucede se dice que el sistema oscila permanentemente porque esas dos raíces son 
imaginarias y darán origen a componentes en el tiempo de tipo senoidal. 
 
Ejemplo: El polinomio característico de un sistema es 𝑃(𝑠) = 𝑠3 + 6𝑠2 + 16𝑠 + 16 + 𝐾. 
Determine el intervalo de valores de K para que el sistema sea estable. 
 
Soución: 
 
El arreglo de Routh es: 
 
 
 
Para que la primera columna, no cambie de signo, se debe cumplir que: 𝐾 < 80 debido al tercer 
renglón, y que 𝐾 > −16, según el cuarto renglón. Es necesario aclarar que en el contexto de que 
los valores de la ganancia K no deben ser negativos, entonces el intervalo de valores para el cuál 
el sistema será estable es: 0 < 𝐾 < 80. 
 
Ejemplo: Para el siguiente sistema determine: a) la función de transferencia de lazo cerrado y el 
intervalo de valores de K para que el sistema sea estable. 
 
 
 
Solución: 
 
Resolviendo por forma canónica el primer sub bloque se tiene: 
 
 
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8
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 5)
1 +
4
(𝑠 + 4)(𝑠 + 5)
 
 
8
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 5)
𝑠2 + 9𝑠 + 24
(𝑠 + 4)(𝑠 + 5)
 
 
8
𝑠3 + 9𝑠2 + 24𝑠
 
 
Al multiplicar en cascada con la ganancia K, se tiene: 
 
8𝐾
𝑠3 + 9𝑠2 + 24𝑠
 
 
Resolviendo de nuevo la canónica se tiene: 
 
8𝐾
𝑠3 + 9𝑠2 + 24𝑠
1 +
8𝐾
𝑠3 + 9𝑠2 + 24𝑠
 
 
Finalmente: 
 
8𝐾
𝑠3 + 9𝑠2 + 24𝑠 + 8𝐾
 
 
Aplicando el criterio de Routh: 
 
𝑠3 1 24 0 
𝑠2 9 8K 0 
𝑠1 216 − 8𝐾
9
 
 
𝑠0 8𝐾 
 
Del último renglón se tiene que K tiene que ser mayor que cero, y del penúltimo renglón: 
 
216 − 8𝐾
9
> 0 
 
8𝐾 < 216 
 
𝐾 < 27 
 
Por lo tanto para que el sistema sea estable, el rango de valores de K debe ser: 0 < 𝐾 < 27 
 
 
 
 
 
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Análisis de error en estado estacionario. 
 
En cualquier sistema físico de control hay una falla inherente, que es el error en estado 
estacionario en respuesta a determinados tipos de entrada. Un sistema puede no tener error en 
estado estacionario ante una entrada escalón pero si ante una entrada rampa. El que un sistema 
presente o no error estacionario ante determinado tipo de señal de entrada depende del tipo de 
función de transferencia de lazo abierto del sistema. Para ello se clasificará primero a los 
sistemas de control. 
 
Los sistemas de control se pueden clasificar de acuerdo a su capacidad para seguir entradas 
escalón, rampa, parábola y otras. Considere la siguiente función de transferencia de lazo abierto 
𝐺(𝑠): 
 
 
 
Esta ecuación incluye al término 𝑠𝑁 en el denominador, representando un polo de multiplicidad 
N en el origen. Un sistema se denomina tipo 0, tipo 1, tipo 2, …, si N = 0, N = 1, N = 2, …, 
respectivamente. Note que esta clasificación es diferente a la del orden de un sistema. Al 
aumentar el número de tipo, aumenta la exactitud, pero empeora la estabilidad. Siempre se 
requiere establecer un compromiso entre la exactitud en estado estacionario y la estabilidad 
relativa. Mas adelante se verá que si se escribe 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) de tal forma que cada término en el 
numerador y denominador, excepto el término 𝑠𝑁, tienda a la unidad a medida que 𝑠 tiende a 
cero, la ganancia de lazo abierto K queda directamente relacionada con el error en estado 
estacionario. 
 
Error en estado estacionario. 
 
Partiendo del sistema dado por: 
 
 
 
Cuya función de transferencia de lazo cerrado es: 
 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
 
 
Despejando 𝐶(𝑠), se tiene: 
 
𝐶(𝑠) =
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
𝑅(𝑠) 
 
Del diagrama de bloques se observa que el error es: 
 
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠)𝐻(𝑠) 
 
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Es decir: 
 
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) [1 −
𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
] 
 
Simplificando: 
 
𝐸(𝑠) =
𝑅(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
 
 
El error estacionario se calcula como: 
 
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑠→0
𝑠𝐸(𝑠) = lim
𝑠→0
𝑠𝑅(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
 
 
Los coeficientes de error estático, definidos a continuación son un indicador del error, mientras 
mayores sean las constantes, menor será el error en estado estacionario. 
 
En un sistema dado, la salida puede ser la posición, la velocidad, presión, temperatura, entre 
otras. Sin embargo, la forma clásica de la salida es inmaterial para este análisis. Por lo tanto, en 
adelante, se denominará “posición” a la salida, “velocidad” al ritmo de variación de la salida, 
etc. Esto significa qué en un control de temperatura, “posición” representa la temperatura de 
salida, “velocidad” representa la variación de la temperatura de salida, etc. 
 
Constante 𝑲𝒑 de error estático de posición. 
Esta constante se calcula para una entrada escalón unitario 𝑟(𝑡) = 𝑢(𝑡), considerando una 
retroalimentación unitaria, es decir 𝐻(𝑠) = 1. 
 
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑠→0
𝑠
1 + 𝐺(𝑠)
(
1
𝑠
) 
 
Es decir: 
 
𝑒𝑠𝑠 =
1
1 + 𝐺(0)
 
 
La constante de error de posición estática 𝐾𝑝, se define como:𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
𝐺(𝑠) = 𝐺(0) 
 
Por lo tanto, el error en estado estacionario en términos de la constante de error de posición 
estática se define como: 
 
𝑒𝑠𝑠 =
1
1 + 𝐾𝑝
 
 
Entonces utilizando la ecuación de clasificación de sistemas de control según su tipo, se tendría 
que para un sistema tipo 0: 
 
𝐾𝑝 = lim
𝑠→0
𝐺(𝑠) 
 
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Para un sistema tipo 1 o mayor: 
 
 
 
Se concluye que para una entrada escalón unitario el error en estado estacionario se resume 
como: 
 
 
 
La siguiente figura muestra el tipo de respuesta que podría presentar un sistema tipo 0 ante una 
entrada escalón: 
 
 
 
De lo anterior se observa que la respuesta de un sistema de control de lazo cerrado ante una 
entrada escalón, implica un error en estado estacionario si no existe un integrador 
1
𝑠
 en la 
trayectoria directa. Si se pretende un error en estado estacionario de cero para esta entrada el 
tipo de sistema debe ser uno o mayor. 
 
Constante 𝑲𝒗 de error estático de velocidad. 
Esta constante se calcula para una entrada rampa unitaria 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑢(𝑡), considerando una 
retroalimentación unitaria, es decir 𝐻(𝑠) = 1. 
 
Se hace un análisis similar al caso de la entrada escalón y se tiene que la constante de error 
estático de velocidad se define como: 
 
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑠→0
𝑠
1 + 𝐺(𝑠)
(
1
𝑠2
) 
 
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑠→0
1
𝑠 + 𝑠𝐺(𝑠)
 
 
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𝐾𝑣 = lim
𝑠→0
𝑠𝐺(𝑠) 
 
Por lo tanto, el error en estado estacionario en términos de la constante de error de velocidad 
estática se define como: 
 
𝑒𝑠𝑠 =
1
𝐾𝑣
 
 
Entonces utilizando la ecuación de clasificación de sistemas de control según su tipo, se tendría 
que para un sistema tipo 0: 
 
𝐾𝑣 = lim
𝑠→0
𝑠𝐺(𝑠) 
 
 
 
 
Para un sistema tipo 1: 
 
 
 
Para un sistema tipo 2 o mayor: 
 
 
 
Se concluye que para una entrada rampa unitaria el error en estado estacionario se resume 
como: 
 
 
 
La siguiente figura muestra el tipo de respuesta ante una entrada rampa de un sistema tipo 1. 
 
 
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El análisis anterior indica que un sistema tipo 0 es incapaz de seguir una entrada rampa. El 
sistema tipo 1 sigue a la entrada rampa con error finito. Operando en estado estacionario, la 
velocidad de salida es igual a la velocidad de entrada, pero hay un error de posición. Este error 
es proporcional a la velocidad de la entrada e inversamente proporcional a la ganancia K. El 
sistema de tipo 2 o mayor, sigue una entrada rampa con un error de cero en estado estacionario. 
 
Constante 𝑲𝒂 de error estático de aceleración. 
Esta constante se calcula para una entrada parábola unitaria 𝑟(𝑡) = 𝑡2𝑢(𝑡), considerando una 
retroalimentación unitaria, es decir 𝐻(𝑠) = 1. 
 
Se hace un análisis similar al caso de la entrada escalón y se tiene que la constante de error 
estático de aceleración se define como: 
 
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑠→0
𝑠
1 + 𝐺(𝑠)
(
1
𝑠3
) 
 
𝑒𝑠𝑠 = lim
𝑠→0
1
𝑠2 + 𝑠2𝐺(𝑠)
 
 
𝐾𝑎 = lim𝑠
2
𝑠→0
𝐺(𝑠) 
 
Por lo tanto, el error en estado estacionario en términos de la constante de error de aceleración 
estática se define como: 
 
𝑒𝑠𝑠 =
1
𝐾𝑎
 
 
Entonces utilizando la ecuación de clasificación de sistemas de control según su tipo, se tendría 
que para un sistema tipo 0: 
 
𝐾𝑎 = lim𝑠
2
𝑠→0
𝐺(𝑠) 
 
 
 
Para un sistema tipo 1: 
 
 
 
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Para un sistema tipo 2: 
 
 
 
Para un sistema tipo 3 o mayor: 
 
 
 
Se concluye que para una entrada parábola unitaria el error en estado estacionario se resume 
como: 
 
 
 
La siguiente figura ilustra el tipo de respuesta que podría presentar un sistema tipo dos ante una 
entrada parabólica. 
 
 
 
Nótese que tanto el sistema tipo 0 como tipo 1, son incapaces de seguir una entrada parabólica. 
El sistema tipo 2 sigue a la entrada parabólica con error finito. El sistema de tipo 3 o mayor, sigue 
una entrada parabólica con un error de cero en estado estacionario. 
 
Las constantes de error estático que se acaban de definir describen la capacidad de un sistema 
para reducir o eliminar el error estacionario; por lo tanto, son indicadores del funcionamiento en 
estado estacionario. En general es deseable aumentar los coeficientes de error, manteniendo la 
respuesta transitoria dentro de un rango aceptable. 
 
En la siguiente tabla se resumen los valores de las constantes de error estático. 
 
 
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Ejemplo: Para cada sistema mostrado en la figura, evalúe las constantes de error estáticos y 
encuentre el error esperado para las entradas estándar: escalón, rampa y parábola. 
 
 
 
Solución: 
Para el inciso a, la función 𝐻(𝑠) = 1 y el sistema es de tipo 0, además: 
𝐺(𝑠) =
500(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)
(𝑠 + 8)(𝑠 + 10)(𝑠 + 12)
 
Siguiendo la tabla como el sistema es de tipo 0, su entrada de prueba es un escalón unitario, por 
lo que la única constante de error estático a calcular es la de posición (las demás serán cero): 
 
 
Para una entrada escalón el error estático es: 
 
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Los otros dos errores para este inciso son ∞ según la tabla para el sistema tipo 0. 
Para el inciso b la función 𝐻(𝑠) = 1 y el sistema es de tipo 1, además: 
𝐺(𝑠) =
500(𝑠 + 2)(𝑠 + 5)(𝑠 + 6)
𝑠(𝑠 + 8)(𝑠 + 10)(𝑠 + 12)
 
De acuerdo con la tabla, como el sistema es de tipo 1, su entrada de prueba es una rampa 
unitaria, por lo que la única constante de error estático a calcular es la de velocidad, Kp es infinita 
y Ka es cero. 
 
 
Para una entrada escalón el sistema tipo 1 presenta un error estático de 0 y para una parábola 
sería infinito. 
 
Las constantes de error estáticas se pueden usar como especificaciones para los errores en 
estado estable de un sistema de control además de otra información importante que generan 
acerca de dicho sistema. 
Por ejemplo, si un sistema de control tiene la especificación de 𝐾𝑣 = 1000, se puede decir que: 
1. El sistema es estable. 
2. El sistema es de tipo 1, puesto que los sistemas de tipo 1 presentan 𝐾𝑣 constantes y 
finitas. 
3. Una entrada rampa es la señal de prueba. 
4. El error en estado estable entre la entrada rampa de entrada y la rampa de salida es 
1
𝐾𝑣
⁄ , por unidad de pendiente de entrada. 
 
Ejemplo: Dado el sistema de control de la figura, encuentre el valor de K de modo que haya 10% 
de error en estado estable. 
 
 
Solución: 
 
Se determina que el sistema es de tipo 1, el error expresado en el problema debe aplicar a una 
entrada rampa, por lo tanto el error se define como: 
 
 
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𝑒𝑠𝑠 =
1
𝐾𝑣
= 0.1 
Por lo tanto: 
𝐾𝑣 = 10 
 
Además: 
𝐾𝑣 = lim
𝑠→0
𝑠𝐺(𝑠) 
 
Es decir: 
 
10 =
𝐾 × 5
6 × 7 × 8
 
 
Despejando K se tiene que es 𝐾 = 672. 
 
Lugar Geométrico de Raíces. 
 
La característica básica de la respuesta transitoria de los sistemas de lazo cerrado, esta 
estrechamente ligada a la ubicación de los polos de lazo cerrado. Si el sistema tiene una 
ganancia variable, la ubicación de polos de lazo cerrado depende del valor de la ganancia 
elegida. Por tanto es importante que el diseñador conozca como se desplazan los polos de lazo 
cerrado en el plano s al variar la ganancia. 
 
Desde el punto de vista del diseño, un simple ajuste de la ganancia (K) en algunos sistemas, 
mueve los polos en lazo cerrado a las posiciones deseadas. El problema de diseño se centra 
entonces, en la selección del valor adecuado de K. 
 
El lugar geométrico de las raíces o lgr es una técnica de análisis de sistemas dinámicos lineales 
que utiliza un plano complejo para ubicar las raíces del polinomio característico o pc cuando se 
hace variar un parámetro, generalmentedesignado con la letra K (ganancia), desde cero hasta 
infinito. En otras palabras, el lgr es el camino de las raíces del pc dibujado en el plano s cuando 
se varia K. Dado que el lgr describe las raíces del pc (polos), puede ser usado para determinar 
la fdt de lazo cerrado cuando se conoce un polo o punto de operación del sistema y que 
generalmente se le conoce como “polo deseado” y aquí será designado por 𝑠. A partir del lgr 
también es posible determinar algunos aspectos en el tiempo del comportamiento de los 
sistemas. Considerando el diagrama de bloques típico y en general la fdt y el pc son: 
 
 
 
Ejemplo: Para el sistema de la figura use el pc para construir el lgr. 
 
 
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Observaciones: 
 
a) Los orígenes del lgr (K = 0) suceden en los polos de la fdt de lazo abierto G(s)H(s). 
b) El lgr es simétrico con relación al eje real. 
c) El punto de separación sucede en el máximo (mínimo) valor de K sobre el eje real, esto 
sugiere determinar máximos mediante la derivada de K como una función de s, obtenida 
a partir del pc. 
 
𝑑
𝑑𝑠
𝐾(𝑠) = −(2𝑠 + 6) = 0 
 
Esto implica que 𝑠 = −3 y que 𝐾 = 9 
 
d) El lgr describe las raíces del pc, entonces son las raíces del sistema en lazo cerrado, por 
ejemplo ¿Cuál es la respuesta del sistema a un escalón unitario si uno de sus polos 
deberá estar en 𝑠 = −1? 
 
De la tabla es evidente que el otro polo es 𝑠 = −5 y que 𝐾 = 5, entonces la fdt y la 
respuesta al escalón son: 
 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
5
(𝑠 + 1)(𝑠 + 5)
 
 
𝐶(𝑠) =
5
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 5)
 
 
𝑐(𝑡) = 1 −
5
4
𝑒−𝑡 −
1
4
𝑒−5𝑡 
 
Ejemplo: Un sistema de tercer orden con realimentación unitaria, esta definido por la fdt directa 
G(s). Construya el lgr considerando las observaciones que se han realizado hasta el momento. 
 
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𝐺(𝑠) =
𝐾
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 6)
 
Sol. 
De la fdt de lazo abierto se obtiene el pc 
 
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 0 
 
1 +
𝐾
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 6)
= 0 
Por lo tanto: 
 
𝑠3 + 10𝑠2 + 24𝑠 + 𝐾 = 0 
 
Aplicando el criterio de Routh al pc se puede determinar el intervalo de valores de 𝐾 para que el 
sistema sea estable, y el valor de 𝐾 en el que el sistema oscilará permanentemente. De dicho 
análisis se tiene: 
 
El sistema será estable si 0 < 𝐾 < 240, si 𝐾 = 240 el sistema oscilará permanentemente, los 
cruces con el eje imaginario son: 𝑠 = ±4.89𝑗 y los factores son (𝑠 + 10)(𝑠2 + 24) 
Para determinar los puntos de separación se deriva K como una función de s. 
𝐾(𝑠) = −𝑠3 − 10𝑠2 − 24𝑠 
 
𝑑
𝑑𝑠
𝐾(𝑠) = −3𝑠2 − 20𝑠 − 24 
 
Igualando a cero la primera derivada: 
 
3𝑠2 + 20𝑠 + 24 = 0 
 
𝑠2 +
20
3
𝑠 + 8 = 0 
 
Los valores críticos son: 𝑠1 = −1.569 y 𝑠2 = −5.097, aplicando el criterio de la segunda derivada: 
 
−6𝑠 − 20 
 
Sustituyendo los valores críticos: 
 
𝐾′′(−1.569) = −10.586 
 
𝐾′′(−5.097) = 10.582 
 
Por lo tanto en 𝑠1 = −1.569 se tiene un máximo, por lo que: 
 
𝐾(−1.569) = 17 
 
Con la información de los polos de la fdt de lazo abierto G(s)H(s) y los cálculos realizados, se 
puede construir el lgr. 
 
 
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Un comentario importante es notar que el lgr es “empujado” hacia la derecha cuando se agrega 
un polo a la fdt de lazo abierto G(s)H(s). En términos gráficos el lgr del primer ejemplo (segundo 
grado) cambia a lgr como el segundo ejemplo (tercer grado). 
 
 
 
Condición de magnitud y ángulo. 
 
Todos los puntos sobre el lgr cumplen dos condiciones llamadas condición de magnitud y de 
ángulo. Cuando se tiene interés en saber si un punto pertenece o no al lgr se puede recurrir a 
estas condiciones para determinar si tal punto forma parte o no del lgr. Estas condiciones se 
determinan a partir del polinomio característico de la función de transferencia de lazo cerrado tal 
y como se indica a continuación: 
 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
 
 
Se sabe que de esta expresión el pc es: 
 
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 0 
 
O bien: 
 
𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = −1 
 
Debido a que 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) es una cantidad compleja ya que 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔. Y como tal se obtendrá la 
magnitud y el ángulo de dicha cantidad. 
 
|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = |−1| 
 
Es decir: 
|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = 1 
 
 
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Para el caso del ángulo, y tratando de mantener la condición 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = −1, debido a que el −1 
es un caso especial de números complejos, para el cuál su ángulo es ±180° se tiene: 
 
 
 
Los valores de s que satisfacen la condición de ángulo y magnitud son las raíces del pc. El lugar 
de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de 
ángulo. Las raíces del pc que corresponden a un valor específico de la ganancia K se determinan 
a partir de la condición de magnitud. 
 
En otras palabras, para un problema específico primero se calcula la condición de ángulo y si se 
cumple entonces se evalúa la condición de magnitud para determinar el valor de K 
correspondiente, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos. 
 
Ejemplo: Usando la condición de ángulo determine si los puntos indicados pertenecen al lgr del 
siguiente sistema 𝑠 = −5 𝑦 𝑠 = 𝑗√24. 
 
𝐺(𝑠) =
𝐾
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 6)
 𝐻(𝑠) = 1 
Solución: 
 
Para 𝑠 = −5, se determina la condición de ángulo: 
 
∠𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = ∠
𝐾
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 6)
 
Haciendo la evaluación: 
 
∠𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = ∠
𝐾
−5(−1)(1)
= ∠
𝐾
5
= ∠𝐾 − ∠5 = 0° 
 
Al aplicar la condición de ángulo no se tuvo un múltiplo impar de ±180°, por lo que 𝑠 = −5, no 
pertenece al lgr. 
 
Para 𝑠 = 𝑗√24, se tiene que la condición de ángulo queda como: 
 
 
 
El resultado si es múltiplo impar de ±180°, por lo que este valor si pertenece al lgr, para encontrar 
el valor de K se aplica la condición de magnitud. 
 
|
𝐾
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 6)
| = 1 
 
Se le saca el módulo o magnitud a cada número complejo sustituyendo el valor de 𝑠 = 𝑗√24 
 
|𝑠| = √02 + (√24)
2
= √24 
 
 
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|𝑠 + 4| = √(4)2 + (√24)
2
= 6.325 
 
|𝑠 + 4| = √(6)2 + (√24)
2
= 7.746 
 
Donde: 
 
𝐾
(√24)(6.325)(7.746)
= 1 
 
Finalmente: 
 
𝐾 = 240 
 
Interpretación geométrica de las condiciones de magnitud y de ángulo. 
 
La fdt de lazo abierto G(s)H(s) puede ser considerada una función F(s). Se desea interpretar 
geométricamente a 𝐹(𝑠 •) donde s punto es cualquier número complejo. Definiendo la función 
F(s), el punto de evaluación (s •) y usando vectores se puede elaborar la siguiente representación 
gráfica. 
 
 
 
Matemáticamente: 
 
 
 
De esto se puede concluir que F(s•) es la resta de los vectores (s• -z) el cuál parte del cero en 
s=-2 al punto s• y se describe por el vector punteado cuya magnitud es 5 y su ángulo de 127º. Si 
la función anterior incluye ahora también a un polo, la interpretación geométrica para éste será 
la misma que para el cero y la figura mostrará a dos vectores partiendo del cero y el polo hacia 
el punto s•. Estos vectores determinan la magnitud y fase de F(s•), donde la magnitud es el 
cociente de las dos magnitudes y la fase es la resta de la fase del cero menos la fase del polo. 
Numéricamente los resultados son: 
 
 
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Llevando estas observaciones a la condición de ángulo y magnitud del lgr se concluye que para 
un punto s• que pertenece al lgr la fase de F(s•) la determinan los ángulos de los vectores 
punteados siguiendo la regla: 
 
 
 
 
Y la condición de magnitud establece que para un punto s• que pertenece al lgr deberá cumplirse 
con: 
 
 
 
Reglas generales para construir el lugar geométrico de Raíces. 
 
Se describen a continuación un conjunto de reglas utilizadas para construir el lgr de un sistema 
o de un polinomio característico. 
 
1. Número de ramas.El número de ramas del lgr es igual al número de polos de la función de transferencia de 
lazo abierto 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠). Se considera como una rama al camino recorrido para K desde 
cero hasta infinito. 
 
2. Puntos origen (𝐾 = 0). 
Las ramas del lgr principian en los polos de la función de transferencia de lazo abierto 
𝐺(𝑠)𝐻(𝑠). 
 
3. Puntos terminales (𝐾 = ∞). 
Las ramas del lgr terminan en los ceros de la función de transferencia de lazo abierto 
𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) o en el infinito. Si dispone de n polos y de m ceros entonces (𝑛 − 𝑚) ramas 
terminan en el infinito (ceros infinitos para equilibrar) a lo largo de las asíntotas. 
Recuerde que se debe cumplir que 𝑛 > 𝑚. 
 
4. Lugar geométrico de raíces sobre el eje real. 
 
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Un punto sobre el eje real pertenece al lgr si un número impar de polos y/o ceros de 
𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) se encuentran a la derecha de este punto. En ocasiones es conveniente 
apoyarse de la condición de ángulo seleccionando un punto de prueba sobre el eje real. 
 
5. Simetría del lgr. 
El lgr es siempre simétrico respecto al eje real. 
 
6. Puntos de separación (De llegada y de salida). 
Los puntos de separación, también llamados puntos de ruptura, son puntos donde el lgr 
se separa o se divide y pueden estar sobre el eje real o ser complejos conjugados. La 
condición necesaria pero no suficiente para que un punto sea de separación es: 
 
𝑑
𝑑𝑠
𝐾(𝑠) = 0 
 
La condición necesaria pero no suficiente significa que todo punto de separación cumple 
con la condición señalada pero no todas las soluciones de dicha ecuación son puntos de 
separación. La condición suficiente se logra con la condición de ángulo. 
 
 
 
7. Asíntotas. 
Las asíntotas son líneas rectas que ayudan a construir el lgr y se describen mediante su 
ángulo y su centroide. 
• Ángulo: 
 
 
 
• Centroide: Es siempre un punto sobre el eje real. 
 
𝜎 =
∑ 𝑃𝑖
𝑛
𝑖=1 − ∑ 𝑍𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛 − 𝑚
 
 
8. Ángulos de salida de los polos y de llegada de los ceros. 
Son los ángulos con los que el lgr sale o llega a un polo o a un cero respectivamente, de 
la función de transferencia 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠). 
 
 
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Donde los ángulos de las sumatorias se obtienen de la constelación de polos y ceros de 
G(s)H(s) como se muestra en la siguiente figura. 
 
Un método más sencillo para obtener los ángulos de salida de un polo o llegada de un 
cero, es con la condición de ángulo, eliminando de esta ecuación el polo o cero en 
cuestión y evaluando la condición en dicho polo o cero. 
 
Ángulo de salida: 
 
𝜃𝑥 = 180° + arg (𝐺(𝑠)𝐻(𝑠))′ 
Ángulo de llegada 
 
𝜃𝑜 = 180° − arg (𝐺(𝑠)𝐻(𝑠))′ 
 
Donde (𝐺(𝑠)𝐻(𝑠))′ es la función de transferencia de lazo abierto, excepto el polo o cero 
al que se le esta determinando su ángulo y evaluada en dicho polo o dicho cero. 
 
 
9. Cruces con el eje imaginario. 
Estos se obtienen por medio del criterio de Routh, y se obtienen para el valor de K donde 
el sistema oscila permanentemente o se vuelve inestable, sustituyéndose en el renglón 
donde se forme la ecuación cuadrática para “s”. 
 
Nota: Estas reglas son empíricas y no siempre se pueden cumplir todas para un determinado 
sistema, es decir, habrá sistemas en los que no se podrá aplicar una regla, u otros en los que 
alguna regla sufra un pequeño ajuste para poder graficar el lgr. 
 
Ejemplo: Para el siguiente sistema, construya el lugar geométrico de raíces y conteste las 
siguientes preguntas: 
• ¿Cuántos puntos de separación tiene el sistema? 
• ¿En qué intervalos de valores de K el sistema es sub amortiguado? 
 
𝐺(𝑠) =
𝐾
𝑠2(𝑠 + 5)
 𝐻(𝑠) = 𝑠 + 1 
 
Solución: 
 
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Encontrando el polinomio característico: 
 
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 0 
 
1 + (
𝐾
𝑠2(𝑠 + 5)
) (𝑠 + 1) = 0 
Se tiene: 
 
𝑠3 + 5𝑠2 + 𝐾𝑠 + 𝐾 = 0 
 
Debe notarse que cuando K=0 ahí es donde comienza el lgr que en este caso es en la raíz s=-5 
donde evidentemente arranca con un ángulo de cero grados y en s=0 con un ángulo de salida 
desconocido. El sistema tiene solo un punto de separación en el origen (s=0) y esto sucede en 
K = 0. 
 
 
 
¿Cómo calcular el ángulo de salida en las raíces repetidas, es decir en s=0? Para superar este 
problema se hace lo siguiente. 
 
 
 
De la tabla se nota que el ángulo de salida de una de las ramas de salida en el polo doble es 90º 
y en consecuencia la salida de la otra rama será de 270º. La respuesta correspondiente al punto 
de separación, en este caso raíces reales e iguales solo sucede en s=0 y K=0 donde de ese 
punto inician y de ese mismo punto se separan las dos ramas con pendientes de 90° y de 270°. 
 
Como se muestra en la siguiente figura. 
 
 
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El sistema es sub amortiguado en el intervalo 0 < 𝐾 < ∞ 
 
Ejemplo: Construya mediante las reglas generales el lgr del siguiente sistema. Determine 
también el valor de 𝛼 y la fdt del sistema si se desea un factor de amortiguamiento 𝜁 =
4
5
. En 
estas condiciones ¿Cuál es la forma general de la respuesta a un escalón unitario? ¿Cuál es la 
fdt para un sistema críticamente amortiguado y su respuesta general a un escalón unitario? 
 
 
 
Solución: 
 
Se determina la función de transferencia y el polinomio característico: 
 
 
 
 
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Puntos origen y terminales del lgr. Los puntos origen y terminales se determinan de la función de 
transferencia de lazo abierto 𝑠 = −1 ± 𝑗4.899 y 𝑠 = 0. Con estos polos y el cero queda 
determinado el lgr sobre el eje real en base a la regla # 4. 
 
Puntos de separación: 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝐾(𝑠) = −(𝑠2 − 25) = 0 
De aquí: 
𝑠 = ±5 
 
No es necesario utilizar la regla # 6 porque es evidente que el punto 𝑠 = −5 es el punto de 
separación. El valor de la ganancia correspondiente a este punto de separación se calcula con 
la condición de magnitud. 
 
 
 
Los cruces con el eje imaginario no existen, por lo que no será necesario usar el criterio de Routh. 
 
Debido a la forma del lgr, este no requiere el cálculo de asíntotas. 
 
Para los ángulos de salida de los polos: 
 
 
Finalmente, el lgr con los datos calculados queda como: 
 
 
 
 
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El valor de 𝛼, la fdt para 𝜁 =
4
5
 y la forma de respuesta a un escalón unitarios se calculan mediante 
las siguientes operaciones: 
 
Para que el sistema sea críticamente amortiguado: 
 
También se puede utilizar la idea de que el polo deseado es un punto del lgr y debe satisfacer el 
pc de la siguiente forma: 
 
 
Efectos de añadir polos a la función de transferencia de lazo abierto. 
El problema general del diseño de controladores se debe tratar como el investigar los efectos 
sobre el LGR cuando se añaden polos y ceros a la función de transferencia de lazo abierto 
𝐺(𝑠)𝐻(𝑠). 
Adición de polos. 
Ya se había demostrado al inicio del tema que si se añaden polos a 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠), este polo tiene el 
efecto de empujar el LGR hacia el semiplano derecho, por lo que su dinámica empieza a 
empeorar. 
Por ejemplo, si se tiene 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝐾
𝑠(𝑠+6)
, la gráfica del LGR y comportamiento del sistema es: 
 
 
 
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Si se añade un polo, la F.T queda como: 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝐾
𝑠(𝑠+4)(𝑠+6)
, por lo que la gráfica y 
comportamiento del sistema son: 
 
En este caso si se presentan valores de K para los cuales el sistema es inestable. 
Adición de ceros. 
Añadir ceros en el semiplano izquierdo a la F.T de lazo abierto tiene el efecto de mover el LGR 
hacia el semiplano izquierdo. 
Considere la siguiente función de transferencia 
𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝐾
𝑠2(𝑠 + 10)
 
Su LGR queda como: 
 
Al añadir un cero en el semiplano izquierdo en 𝑠 = −1, se tiene:𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝐾(𝑠 + 1)
𝑠2(𝑠 + 10)
 
Y el lugar geométrico de raíces cambia drásticamente: 
 
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Ahora analicemos cuando el polo que no esta en el origen, se va acercando más al eje imaginario 
𝑗𝜔, los efectos son los siguientes: 
a) 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝐾(𝑠+1)
𝑠2(𝑠+9)
 
 
 
 
b) 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝐾(𝑠+1)
𝑠2(𝑠+8)
 
 
 
 
c) 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝐾(𝑠+1)
𝑠2(𝑠+3)
 
 
 
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d) 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =
𝐾(𝑠+1)
𝑠2(𝑠+1)
 
 
 
Conclusión: Para el ejemplo se tiene que, a medida que un polo se acerca más al eje 𝑗𝜔, las 
ramas del LGR se acercan más al semiplano derecho. Además, debido a la presencia de una 
raíz doble en el origen, el LGR es tangente al eje imaginario en 𝜔 = 0. 
Resumen: 
La estabilidad relativa y el comportamiento de la respuesta transitoria de un sistema de control 
de lazo cerrado están directamente relacionados con la localización de las raíces del polinomio 
característico. El método del LGR estudia el movimiento de dichas raíces conforme se varia la 
ganancia K desde 0 hasta infinito. Con este método se obtiene un dibujo “aproximado” con el 
objeto de analizar el diseño inicial de un sistema y determinar las alteraciones adecuadas de la 
estructura del sistema y los valores de sus parámetros. Generalmente se emplea software 
especializado para obtener el LGR exacto. En la siguiente tabla se muestra un resumen de los 
15 LGR típicos para algunos sistemas comunes. 
 
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