07 - Control por feedback - Control de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

Vista previa del material en texto

ICM2813 Control de Sistemas Mecánicos
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Matalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
Estabilidad
Tito Arevalo-Ramirez
28 de marzo de 2023
1
Durante las clases pasadas hemos hablado informalmente de
sistemas estables e inestables
Por intuición la respuesta del sistema es
¿Dónde se encontrarán los polos del sistema?
2
Durante las clases pasadas hemos hablado informalmente de
sistemas estables e inestables
Un sistema LTI es estable si las ráıces de la ecuación caracteŕıstica
tiene partes reales negativas. Es decir se encuentran en la parte
izquierda del plano s
2
Contents
Definición de estabilidad
Estabilidad: Bounded Input-Bounded output BIBO
Estabilidad: posición de polos
Estabilidad: Criterio de Routh-Hurwitz
Gracias
3
Definición de estabilidad
La estabilidad de un sistema se puede definir en términos de su
respuesta natural y respuesta transitoria
¿Qué sucede con la respuesta natural en las siguiente respuestas?
4
La estabilidad de un sistema se puede definir en términos de su
respuesta natural y respuesta transitoria
¿Qué sucede con la respuesta natural en las siguiente respuestas?
• Caso 1: estable si la respuesta natural tiende a cero.
• Caso 2: marginalmente estable la respuesta natural no decae ni
crece.
• Caso 3: inestable la respuesta natural crece sin ĺımite
4
En esta definición nos interesa conocer como será la salida del
sistema para una entrada determina
• Inestable si para alguna entrada acotada el sistema entrega una
respuesta acotada
• Estable si para toda entrada acotada el sistema entrega una
respuesta no acotada
5
Anaĺıticamente la estabilidad BIBO se puede derivar de la ope-
ración convolución
Si un sistema tiene una entrada u(t), salida y(t) y respuesta al impulso
h(t), entonces
y(t) =
∫ ∞
−∞
h(τ)u(t − τ)dτ
Si u(t) esta acotada, existe una constante M tal que |u| ≤ M <∞. Por
lo tanto
|y(t)| =
∣∣∣∣∫ hudτ ∣∣∣∣
≤
∫
|h||u|dτ
≤ M
∫ ∞
−∞
|h(τ)|dτ
Por lo tanto la salida estará acotada si
∫∞
−∞ |h(τ)|dτ esta acotada
6
Anaĺıticamente la estabilidad BIBO se puede derivar de la ope-
ración convolución
Matemáticamente un sistema, con respuesta al impulso h(t) es estable
bajo el criterio BIBO si y solo si∫ ∞
−∞
|h(τ)|dτ <∞
6
Un sistema LTI será estable si y solo śı . . .
Consideremos la siguiente función de transferencia
Y (s)
R(s)
=
b0s
m + b1s
m−1 + b2s
m−2 + · · ·+ am
a0sn + a1sn−1 + a2sn−2 + · · ·+ an
=
K
∏m
i=1(s − zi )∏n
i=1(s − pi )
,m ≤ n
Si asumimos los polos son reales o complejos pero distintos; entonces la
respuesta en tiempo se podŕıa expresar como
y(t) =
n∑
i=1
Kiepi t
Note que ki depende de las condiciones iniciales y de la posición de los
ceros.
7
Un sistema LTI será estable si y solo śı . . .
Debido a que polos son reales o complejos pero distintos y la respuesta
en tiempo es
y(t) =
n∑
i=1
Kiepi t
La condición necesaria y suficiente para que el sistema sea estable es
epi t → 0
para todos los Pi cuando t →∞ Es decir que Re{pi} < 0
• ¿Qué sucederá si algún polo se repite?
7
Un sistema LTI será estable si y solo śı . . .
Debido a que polos son reales o complejos pero distintos y la respuesta
en tiempo es
y(t) =
n∑
i=1
Kiepi t
La condición necesaria y suficiente para que el sistema sea estable es
epi t → 0
para todos los Pi cuando t →∞ Es decir que Re{pi} < 0
• ¿Qué sucederá si algún polo se repite?
La conclusión es la misma. Esto se conoce como estabilidad interna
(todos los polos están estrictamente en el lado izquierdo del plano
imaginario)
7
¿Cuándo se dirá que el sistema es inestable?
Si algún polo se encuentra a la derecha del plano imaginario, el sistema
será inestable ¿Qué sucederá en los siguientes casos?
8
¿Cuándo se dirá que el sistema es inestable?
¿Qué sucederá en los siguientes casos?
• Caso 1: Marginalmente estable el sistema tiene un polo que no se
repite en el eje imaginario.
• Caso 2: inestable el sistema tiene dos polos repetidos en el eje
imaginario. 8
La estabilidad de un sistema se puede conocer sin conocer la
posición de los polos en el plano imaginario
Para que un sistema sea estable, la parte real de sus polos debe ser
negativa. ¿Qué será necesario para que esto se cumpla?
Consideremos que la ecuación caracteŕıstica de la función de
transferencia esta dada por
a(s) = sn + a1s
n−1 + a2s
n−2 + · · ·+ an−1s + an
9
La estabilidad de un sistema se puede conocer sin conocer la
posición de los polos en el plano imaginario
Para que un sistema sea estable, la parte real de sus polos debe ser
negativa. ¿Qué será necesario para que esto se cumpla?
Consideremos que la ecuación caracteŕıstica de la función de
transferencia esta dada por
a(s) = sn + a1s
n−1 + a2s
n−2 + · · ·+ an−1s + an
Necesitamos que los coeficientes de la ecuación caracteŕıstica sean
positivos
9
La estabilidad de un sistema se puede conocer sin conocer la
posición de los polos en el plano imaginario
¿Los siguientes sistemas son estables?
H(s) =
1
s2 + 3s + 2
H(s) =
1
s2 + 2
9
La estabilidad de un sistema se puede conocer sin conocer la
posición de los polos en el plano imaginario
¿Los siguientes sistemas son estables?
H(s) =
1
s2 + 3s + 2
H(s) =
1
s2 + 2
El primer sistema si, el segundo sistema no.
La condición de que los coeficientes de la ecuación caracteŕıstica sean
positivos es una condición necesaria pero no suficiente para la
estabilidad.
9
El criterio de Routh-Hurwitz establece una condición necesaria
y suficiente para la estabilidad
Un sistema es estable śı y solo śı todos los elementos en la primera
columna del arreglo de Routh-Hurwitz son positivos
El criterio de Routh-Hurwitz
• Determina cuanto polos se encuentran en el plano izquierdo y
cuantos en el derecho.
10
Para aplicar el criterio de Routh-Hurwitz necesitamos construir
una tabla
Consideremos la ecuación caracteŕıstica de un sistema de orden n
a(s) = sn + a1s
n−1 + a2s
n−2 + · · ·+ an−1s + an
Construimos la tabla de la siguiente manera
sn: 1 a2 a4 a6 · · ·
sn−1: a1 a3 a5 a7 · · ·
sn−2: b1 b2 b3 b4 · · ·
sn−3: c1 c2 c3 c4 · · ·
...
...
...
...
s2: ∗ ∗
s1: ∗
s0: ∗
b1 = −
det
[
1 a2
a1 a3
]
a1
=
a1a2 − a3
a1
b2 = −
det
[
1 a4
a1 a5
]
a1
=
a1a4 − a5
a1
b3 = −
det
[
1 a6
a1 a7
]
a1
=
a1a6 − a7
a1
11
Para aplicar el criterio de Routh-Hurwitz necesitamos construir
una tabla
Consideremos la ecuación caracteŕıstica de un sistema de orden n
a(s) = sn + a1s
n−1 + a2s
n−2 + · · ·+ an−1s + an
Construimos la tabla de la siguiente manera
sn: 1 a2 a4 a6 · · ·
sn−1: a1 a3 a5 a7 · · ·
sn−2: b1 b2 b3 b4 · · ·
sn−3: c1 c2 c3 c4 · · ·
...
...
...
...
s2: ∗ ∗
s1: ∗
s0: ∗
c1 = −
det
[
a1 a3
b1 b2
]
b1
=
b1a3 − a1b2
b1
c2 = −
det
[
a1 a5
b1 b3
]
b1
=
b1a5 − a1b3
b1
c3 = −
det
[
a1 a7
b1 b4
]
b1
=
b1a7 − a1b4
b1
11
Si todos lo elementos de la primera columna son positivos en-
tonces las ráıces se encuentran en el lado izquierdo del plano
imaginario
El sistema es estable
sn: + 1 a2 a4 a6 · · ·
sn−1: + a1 a3 a5 a7 · · ·
sn−2: + b1 b2 b3 b4 · · ·
sn−3: + c1 c2 c3 c4 · · ·
... +
...
...
...
s2: + ∗ ∗
s1: + ∗
s0: + ∗
El sistema es inestable
sn: + 1 a2 a4 a6 · · ·
sn−1: + a1 a3 a5 a7 · · ·
sn−2: - b1 b2 b3 b4 · · ·
sn−3: + c1 c2 c3 c4 · · ·
... +
...
...
...
s2: + ∗ ∗
s1: + ∗
s0: + ∗
Existe dos polos (dos cambios de
signo) en la parte derecha del plano
imaginario. 12
Casos especiales al crear el arreglo de Routh-Hurwitz
• Cero en la primera columna
• Fila de de ceros
Ver Cap. 6.3 [2]
13
Ejercicio
Para el sistema mostrado en la figura, determine los valores de k para los
cuales el sistema es estable
14
Ejercicio
Si eliminamos el lazo de realimentación y nos concentramos en el
denominador de la función de transferencia, tenemos que la ecuación
caracteŕıstica se puede expresar como:
1 + k
s + 1
s(s − 1)(s + 6)
= 0
s3 + 5s2 + (k − 6)s + k = 0
Elarreglo de Routh-Hurwitz será
s3: 1 k − 6
s2: 5 k
s: (4k -30)/5
s0: k
14
Ejercicio
En base a la tabla de Routh-Hurwitz, es necesario que
4k − 30
5
> 0&k > 0
por tanto
k > 7,5&k > 0
14
Ejercicio
La respuesta para diferentes valores de k se presentan en la siguiente
figura
14
Gracias
La diapositiva de esta clase se inspiró en
Referencia Caṕıtulo
[1] 3.6
[2] 6
15
G. F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami-Naeini, and J. D.
Powell.
Feedback control of dynamic systems, volume 4.
Prentice hall Upper Saddle River, 2002.
N. S. Nise.
Control system engineering, john wiley & sons.
Inc, New York, 2011.
15
	Definición de estabilidad
	Estabilidad: Bounded Input-Bounded output BIBO
	Estabilidad: posición de polos 
	Estabilidad: Criterio de Routh-Hurwitz
	Gracias