04 - Modelamiento matemático - Control de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

Vista previa del material en texto

ICM2813 Control de Sistemas Mecánicos
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Matalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
Función de transferencia y Diagrama de bloques
Tito Arevalo-Ramirez
26 de marzo de 2023
1
Antes de empezar recordemos que
• Resolver sistema lineales
invariantes en el tiempo
• Analizar la estabilidad de
sistemas de control
• ¿Cómo encontramos la
transformada de Laplace?
• ¿Cómo encontramos la
transformada inversa de
Laplace?
2
Ha pesar de las discusiones y lo aprendido en clases pasadas,
estamos olvidando algo importante
• ¿Por qué deseamos encontrar una aproximación lineal de
sistemas no lineales?
• ¿Por qué nos interesan los sistemas lineales invariantes en el
tiempo?
3
Ha pesar de las discusiones y lo aprendido en clases pasadas,
estamos olvidando algo importante
• ¿Por qué deseamos encontrar una aproximación lineal de
sistemas no lineales?
• ¿Por qué nos interesan los sistemas lineales invariantes en el
tiempo?
• Espećıficamente porque estos sistemas pueden ser descritos de
forma completa por su respuesta a una entrada impulso
3
¿Cómo es posible que un sistema sea caracterizado por su res-
puesta a un impulso?
Para contestar esto, primero definamos la señal pulso como:
p∆(t) =
{
1
∆ , 0 ≤ t ≤ ∆
0, otherwise
(1)
De tal forma que la respuesta de un sistema es descrita por h(t)
4
Debido a que estamos trabajando con un sistema invariante en
el tiempo, tendremos que
Su respuesta a la misma entrada, retrasada en el tiempo, será la misma
pero con un desplazamiento temporal
5
Si la respuesta a una misma entrada no cambia, ¿Cuál será la
respuesta a un tren de pulsos?
¿Qué es lo interesante de todo esto?
6
Cualquier señal se puede aproximar como una secuencia de pul-
sos
En este contexto si evaluamos u(t) en t = k∆ para k ∈ N
u(t)|t=k∆ = u(k∆) = u(k∆) ·
1
∆
·∆
= u(k∆)p∆(0)∆
donde p∆(0) =
1
∆ por definición. La respuesta de un sistema para
t = k∆ se puede expresar como:
u(k∆)h∆(0)∆
7
La respuesta de un sistema ante cualquier entrada se puede
describir por su respuesta pulso
La respuesta del sistema para un tiempo t ≥ k∆ estará dada por
u(k∆)h∆(t − k∆)∆
Gracias al principio de superposición, la respuesta del sistema estará
dada por la suma de las respuestas a las entradas individuales
y(t) =
+∞∑
k=0
u(kδ)h∆(t − k∆)∆
8
Si ∆→ 0 la aproximación mediante pulsos debeŕıa converger a
la señal original
No obstante, la señal pulso no esta bien definida cuando
ĺım∆→0
1
∆ = +∞. Debido a esto definimos la señal impulso, conocida
también como Delda de Dirac
δ(t) := ĺım
∆→0
1
∆
{
+∞, t = 0
0, otherwise
(2)
La cual cumple con ∫ +∞
−∞
f (τ)δ(t − τ)dτ = f (t) (3)
Para cualquier f (·)
9
Usando la señal impulso, la resupuesta de un sistema lineal
invariante en el tiempo ante cualquier entrada se puede expresar
como
y(t) =
∫ +∞
0
u(τ)h(t − τ)dτ (4)
Donde h(t) es la respuesta del sistema a una señal impulso
• Note que la respuesta de un sistema esta dada por la operación de
convolución entre la entrada y la respuesta del sistema a una señal
impulso.
• Por el teorema de convolución de la transformada de Laplace esta
operación en el especio s se convierte en una simple multiplicación.
10
En resumen . . .
La importancia de trabajar con sistemas lineales invariantes en el tiempo
es
• Pueden ser carectarizados completamente por su respuesta a una
señal impulso.
• Su respuesta ante cualquier entrada esta dada por la operación
convolución entre la entrada y su respuesta al impulso
11
La clase de hoy
• Discutiremos de la importancia de la función de transferencia
• Aprenderemos a describir un sistema mediante diagrama de
bloques.
12
Contents
Introducción
Función de transferencia
Ceros, polos, y respuesta del sistema
Sistemas de primer orden
Constante de tiempo
Sistemas de segundo orden
Sistemas de segundo orden, forma general
Diagrama de Bloques
Reducción de Diagramas de bloques
Gracias
13
Introducción
Las funciones de transferencia caracterizan la relación entre la
entra y salida de un sistema
Nosotros conocemos que este
sistema se puede expresar como:
M
d2y(t)
dt2
+ b
dy(t)
dt
+ ky(t) = r(t)
Si asumimos condiciones iniciales cero y
aplicamos la transformada de Laplace,
tendremos
Ms2Y (s) + bsY (S) + kY (S) = R(S)
Entonces, la función de transferencia se
puede denotar como
Y (s)
R(s)
=
p(s)
q(s)
=
1
Ms2 + bs + k
14
Función de transferencia
La fucnción de transferencia permite representar las dinámicas
del sistem mediante ecuaciones algebraicas en el dominio de s
En general, para un sistema lineal invariante en el tiempo:
an
dny(t)
dtn
+ an−1
dn−1y(t)
dtn−1
+ · · ·+ a1
d1y(t)
dt1
+ a0y(t) =
bm
dmu(t)
dtm
+ bm−1
dm−1u(t)
dtm−1
+ · · ·+ b1
d1u(t)
dt1
+ b0u(t)
Para determinar la función de transferencia se asume que las condiciones
iniciales son cero
H(s) =
L{output}
L{input}
∣∣∣∣
zero initial conditions
=
Y (s)
U(s)
=
bms
m + bm−1s
m−1 + · · ·+ b1s + b0
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0
• ¿Cuál es el orden del sistema?
• ¿Qué nos dice el orden del sistema acerca de la causalidad?
15
Cuando hablamos acerca de función de transferencia debemos
tener en cuenta que
• Relaciona las variables de entrada y salida de un sistema
• Es una propiedad del sistema en si misma
• No provee información acerca de la estructura f́ısica del sistema
• Si se conoce la función de transferencia, entonces se puede estudiar
la salida del sistema a diferente tipos de entradas
16
Las funciones de transferencia nos interesan porque están com-
puestas de ceros y polos
Dada una función de transferencia
H(s) =
Y (s)
U(s)
=
bms
m + bm−1s
m−1 + · · ·+ b1s + b0
ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s + a0
la podemos rescribir como:
H(s) =
Y (s)
U(S)
= k
(s − z1)(s − z2) · · · (s − zm)
(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)
17
¿Qué son los polos y ceros de un sistema?
H(s) =
Y (s)
U(S)
= k
(s − z1)(s − z2) · · · (s − zm)
(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)
Ceros
• Los valores de s para los cuales
la función de transferencia se
vuelve cero
• Ráıces del numerador
Polos
• Los valores de s para los cuales
la función de transferencia se
vuelve infinito
• Ráıces del denominador
¿Qué sucede si un factor del numerador y denominador se cancelan entre
ellos?
18
Los ceros y polos ser representan gráficamente por un ćırculo
y cruz respectivamente
Consideremos la siguiente función de
transferencia
H(s) =
s + 2
(s + 5)
El gráfico de ceros y polos en el
plano complejo será
¿Con esta información podremos
encontrar la respuesta del sistema a
una entrada paso ?
U(s) =
1
s
19
Si conocemos la función de transferencia podemos encontrar la
respuesta del sistema ante cualquier entrada
Debido a que no encontramos en el
dominio de s, la salida del sistema
se expresa como
Y (s) =
1
s
· s + 2
(s + 5)
=
2
5
+
3/5
(s + 5)
Ahora la transformada de Laplacee
inversa
y(t) =
2
5
+
3
5
e−5t
Aporte de los ceros y polos
• ¿Qué polos se relacionan con la respuesta natural y forzada del
sistema?
20
Cuando las dinámicas del sistema se pueden describir por una
ecuación diferencial de primer orden, tenemos un sistema de
primer orden
La función de transferencia de un sistema de primer orden (sin ceros) se
puede expresar como
H(s) =
a
s + a
Si la excitamos con una entrada paso, 1/s, su respuesta estará dada por
Y (s) =
1
s
· a
(s + a)
La respuesta en tiempo es
y(t) = yf (t) + yn(t) = 1− e−at
• ¿Cómo será la respuesta gráficamente?
• ¿Cuantos parámetros podŕıa controlar?
21
El único parámetro a controlar en un sistema de primer orden
es la constante de tiempo
La constante de tiempo se define
como
τ = 1/a
Este parámetro se puede interpretar
como
• El tiempo en el cual la
respuesta natural es un 37 %
de su valor inicial
• El tiempo que le toma a la
salida alcanzar el 63 % de su
valor final
• ¿Qué sucede al cambiar el parámetrode un sistema de primer orden?
22
Contrario a los sistemas de primer orden, los sistemas de se-
gundo orden presentan un gran rango de respuestas
Un sistema de segundo orden, sin ceros, se puede expresar como
G (s) =
b
s2 + as + b
¿Qué sucede con el sistema cŕıticamente amortiguado?
23
Las respuestas en tiempo de un sistema de segundo orden son
• Sobreamortiguado : dos polos reales −σ1,−σ2
y(t) = k1e
−σ1t + k2e
−σ2t
• Subamortiguado: dos polos complejos −σd ± jwd
y(t) = Ae−σd tcos(wd t − φ)
• Sin amortiguación: ráıces imaginarias ±jw1
y(t) = cos(w1t − φ)
• Cŕıticamente amortiguado: dos polos reales en el mismo punto σ1.
y(t) = k1e
−σ1t + k2te
−σ1t
24
Los sistemas de segundo orden se caracterizan por tener una
respuesta amortiguada
Otra forma de describir los sistemas de segundo orden es mediante
• Frecuencia natural ωn
• Radio/coeficiente de amortiguamiento ζ
Entonces un sistema de segundo orden se puede escribir como:
H(s) =
ω2n
s2 + 2ζωns + ω2n
Los polos estarán dados por
s1,2 = −ζωn ± ωn
√
ζ2 − 1
Su respuesta en tiempo será
h(t) =
ωn√
1− ζ2
e−ζωnt sin(ωn
√
1− ζ2t)
25
Dependiendo de los valores que ζ pueda tomar, el sistema
tendrá diferentes respuestas
s1,2 = −ζωn ± ωn
√
ζ2 − 1
26
Si conocemos las ráıces de la ecuación caracteŕıstica, podemos
conocer los valores de ζ y de ωn
Un sistema de segundo orden sub-amortiguado se pueden expresar como:
H(s) =
b
s2 + as + b
s1,2 = −σ ± jωd
H(s) =
ω2n
s2 + 2ζωns + ω2n
s1,2 = −ζωn ± jωn
√
1− ζ2
Por ende
σ = ζωn
ωd = ωn
√
1− ζ2
27
La frecuencia natural del sistema y el coeficiente de amortigua-
miento también se pueden determinar gráficamente
Gráfica de polos
28
Diagrama de Bloques
Un diagrama de bloques es una forma de describir las opera-
ciones realizadas por cada elemento del sistema
• Los bloques representan la función de transferencia de un elemento
• Las flechas indican si se trata de una señal de entrada o salida
• Los bloques no incluyen información de la construcción f́ısica del
sistema
29
Existen dos componentes principales en los diagramas de blo-
ques
• Puntos de suma
• Puntos de bifurcación
Diagramas de bloques elementales son
• ¿Cuales son las funciones de transferencia de cada bloque elemental?
30
El proceso para encontrar la función de transferencia del tercer
bloque es más elaborado
31
El proceso para encontrar la función de transferencia del tercer
bloque es más elaborado
Si partimos de que la señal de
entrada a G1(s) es:
U1(s) = R(s)− Y2(s)
31
El proceso para encontrar la función de transferencia del tercer
bloque es más elaborado
Si partimos de que la señal de
entrada a G1(s) es:
U1(s) = R(s)− Y2(s)
Y (s) = G1(s)U1(s)
= G1(S)(R(s)− Y2(S))
Donde Y2(s) = G2(s)Y (s)
31
El proceso para encontrar la función de transferencia del tercer
bloque es más elaborado
Si partimos de que la señal de
entrada a G1(s) es:
U1(s) = R(s)− Y2(s)
Y (s) = G1(s)U1(s)
= G1(S)(R(s)− Y2(S))
Donde Y2(s) = G2(s)Y (s)
Y (s) = G1(S)(R(s)− G2(s)Y (s))
Y (s) = G1(S)R(s)− G1(S)G2(s)Y (s))
31
El proceso para encontrar la función de transferencia del tercer
bloque es más elaborado
Si partimos de que la señal de
entrada a G1(s) es:
U1(s) = R(s)− Y2(s)
Y (s) = G1(s)U1(s)
= G1(S)(R(s)− Y2(S))
Donde Y2(s) = G2(s)Y (s)
Y (s) = G1(S)(R(s)− G2(s)Y (s))
Y (s) = G1(S)R(s)− G1(S)G2(s)Y (s))
La función de transferencia es
Y (s)
R(s)
=
G1(S)
1 + G1(S)G2(s)
31
Los diagramas de bloque se pueden reducir mediante métodos
anaĺıticos, pero también por transformaciones equivalentes
32
Los diagramas de bloque se pueden reducir mediante métodos
anaĺıticos, pero también por transformaciones equivalentes
32
Usando las tablas anteriores resolvamos el siguiente ejemplo
• Nuestro objetivo es eliminar los lazos de realimentación
33
La solución es
34
La solución es
34
La solución es
34
La solución es
34
Gracias
La diapositiva de esta clase se inspiró en
Referencia Caṕıtulo
[1] 2.5, 2.6
[2] 3.1.8, 3.2.1, 3.3
[4] 2.2, 2.3
[3] 4.2, 4.3, 4.4, 5.2,
35
R. C. Dorf and R. H. Bishop.
Modern control systems solution manual, 2011.
G. F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami-Naeini, and J. D.
Powell.
Feedback control of dynamic systems, volume 4.
Prentice hall Upper Saddle River, 2002.
N. S. Nise.
Control system engineering, john wiley & sons.
Inc, New York, 2011.
K. Ogata et al.
Modern control engineering, volume 5.
Prentice hall Upper Saddle River, NJ, 2010.
35
	Introducción
	Función de transferencia
	Ceros, polos, y respuesta del sistema
	Sistemas de primer orden
	Constante de tiempo
	Sistemas de segundo orden
	Diagrama de Bloques
	Reducción de Diagramas de bloques
	Gracias