06 - Control por feedback - Control de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

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ICM2813 Control de Sistemas Mecánicos
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Matalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
Caracteŕısticas en el dominio del tiempo
Tito Arevalo-Ramirez
26 de marzo de 2023
1
• Ayudant́ıas, encuesta
• Control
2
Recordemos que
Un sistema de segundo orden se puede expresar como
G (s) =
b
s2 + as + b
H(s) =
ω2n
s2 + 2ζωns + ω2n
• ¿Cuál es el propósito de usar ζ y ωn?
3
Recordemos que
Un sistema de segundo orden se puede expresar como
G (s) =
b
s2 + as + b
H(s) =
ω2n
s2 + 2ζωns + ω2n
• ¿Cuál es el propósito de usar ζ y ωn?
• Evaluar y caracterizar la respuesta de un sistema
sub-amortiguado de segundo orden.
3
Contents
Caracteŕısticas de la respuesta
Gracias
4
Caracteŕısticas de la respuesta
Si vamos a estudiar la respuesta de un sistema sub-amortiguado
¿Qué Caracteŕısticas nos debeŕıan interesar?
Respuesta en tiempo sistema sub-amortiguado
5
Si vamos a estudiar la respuesta de un sistema sub-amortiguado
¿Qué Caracteŕısticas nos debeŕıan interesar?
Respuesta en tiempo sistema sub-amortiguado. Caracteŕısticas de
interés
5
Si vamos a estudiar la respuesta de un sistema sub-amortiguado
¿Qué Caracteŕısticas nos debeŕıan interesar?
• Tiempo de subida (rise time): tr es el tiempo que le toma
al sistema para llegar a la proximidad del valor deseado
• Tiempo de estabilización (settling time): ts es el tiempo
que tardan los transitorios del sistema en decaer
• Sobrepaso (overshoot): Mp es el valor máximo de la
respuesta transitoria del sistema. Usualmente se lo expresa
como un porcentaje del valor en estado estable.
• Tiempo de sobrepaso (peak time): tp es el tiempo que le
toma al sistema en alcanzar el punto máximo de sobrepaso
5
Diferentes autores proponen diferentes métodos para calcular
el tiempo de subida
Para sistemas sub-amortiguados tr se define como
• Desde el 10 % del valor final al
90 % del valor final [3, 2].
• Desde el 0 % del valor final al
100 % del valor final [4, 1].
Usamos una aproximación gruesa:
tr ∼=
1,8
ωn 6
El tiempo de sobrepaso se puede encontrar anaĺıticamente
Si la respuesta a una señal paso esta dada por
C (s) =
ω2n
s(s2 + 2ζωns + ω2n)
c(t) = 1− 1√
1− ζ2
e−ζωnt cos(ωn
√
1− ζ2t − tan−1(ζ/
√
1− ζ2))
y sabemos que el sobre paso es el valor máximo de respuesta. ¿Cómo lo
podemos encontrar tp?
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El tiempo de sobrepaso se puede encontrar anaĺıticamente
Si la respuesta a una señal paso esta dada por
C (s) =
ω2n
s(s2 + 2ζωns + ω2n)
c(t) = 1− 1√
1− ζ2
e−ζωnt cos(ωn
√
1− ζ2t − tan−1(ζ/
√
1− ζ2))
y sabemos que el sobre paso es el valor máximo de respuesta. ¿Cómo lo
podemos encontrar tp?
Tenemos que derivar
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Si asumimos condiciones iniciales cero, entonces la derivada en
el dominio de s estará dada por una multiplicación
Recordemos la propiedad de Diferenciación
• L{ df (t)dt } = sF (s)− f (0
−)
Asumiendo que las condiciones iniciales son cero, tenemos
L{dc(t)
dt
} = ω
2
n
(s2 + 2ζωns + ω2n)
8
Si asumimos condiciones iniciales cero, entonces la derivada en
el dominio de s estará dada por una multiplicación
Aplicando, descomposición por fracciones parciales y la transformada
inversa de Laplace, encontraremos
dc(t)
dt
=
ωn√
1− ζ2
e−ζωnt sin(ωn
√
1− ζ2t) = 0
ωn
√
1− ζ2t = π
Tp =
π
ωn
√
1− ζ2
=
π
ωd
8
El sobrepaso se puede encontrar mediante usando la definición
del tiempo de sobrepaso
Si evaluamos la respuesta a la función paso c(t) en el tiempo t = tp
obtenemos
cmax = c(tp) = 1− e−(ζπ/
√
1−ζ2)
(
cos(π) +
ζ√
1− ζ2
sinπ
)
= 1 + e−(ζπ/
√
1−ζ2)
= 1 + e−(σπ/ωd )
Debido a que la respuesta final del sistema será cfinal = 1
Mp =
cmax − cfinal
cfinal
= e−(ζπ/
√
1−ζ2), 0 ≤ ζ < 1
= e−(σπ/ωd )
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Para determinar el tiempo de establecimiento debemos esta-
blecer el rango en el cual consideramos que nuestra respuesta
entra en estado estable
Sabemos que la respuesta del sistema es
10
La estabilización del sistema se decide esencialmente debido a
la exponecial transitoria
Por ende evaluamos
e−ζωnts = 0,01
ζωnts = 4,6
ts =
4,6
ζωn
=
4,6
σ
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Respuestas del sistema para diferente tipos de polos
Conociendo que:
c(t) = 1− 1√
1− ζ2
e−σt cos(ωd t − tan−1(ζ/
√
1− ζ2))
tr ∼=
1,8
ωn
tp =
π
ωn
√
1− ζ2
=
π
ωd
Mp = e
−(ζπ/
√
1−ζ2)
= e−(σπ/ωd )
ts =
4,6
ζωn
=
4,6
σ
¿Cómo sera la respuesta cuando los polos tienen la misma parte real?
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Respuestas del sistema para diferente tipos de polos
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Respuestas del sistema para diferente tipos de polos
Conociendo que:
c(t) = 1− 1√
1− ζ2
e−σt cos(ωd t − tan−1(ζ/
√
1− ζ2))
tr ∼=
1,8
ωn
tp =
π
ωn
√
1− ζ2
=
π
ωd
Mp = e
−(ζπ/
√
1−ζ2)
= e−(σπ/ωd )
ts =
4,6
ζωn
=
4,6
σ
¿Cómo sera la respuesta cuando los polos tienen la misma parte
imaginaria?
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Respuestas del sistema para diferente tipos de polos
12
Respuestas del sistema para diferente tipos de polos
Conociendo que:
c(t) = 1− 1√
1− ζ2
e−σt cos(ωd t − tan−1(ζ/
√
1− ζ2))
tr ∼=
1,8
ωn
tp =
π
ωn
√
1− ζ2
=
π
ωd
Mp = e
−(ζπ/
√
1−ζ2)
= e−(σπ/ωd )
ts =
4,6
ζωn
=
4,6
σ
¿Cómo sera la respuesta cuando los polos tienen la misma constante de
amortiguación?
12
Respuestas del sistema para diferente tipos de polos
12
Ejercicio
Para el sistema mostrado en la figura, determine los valores de J y D
para que el sistema alcance un sobrepaso máximo del 20 % y un tiempo
de establecimiento de 2 segundos para una entrada paso de torque T (t)
Se conoce que la función de transferencia del sistema esta dada por:
H(s) =
1/J
s2 + DJ s +
K
J
13
Ejercicio
H(s) =
1/J
s2 + DJ s +
K
J
Si recordamos que:
H(s) =
ω2n
s2 + 2ζωns + ω2n
ωn =
√
K
J
2ζωn =
D
J
13
Ejercicio
El ejercicio nos pide que ts = 2, por tanto
ts = 2 =
4,6
ζωn
2ζωn =
D
J
= 4,6
Entonces,
ts = 2 =
4,6
ζωn
ζ =
4,6
2ωn
= 2,3
√
J
K
13
Ejercicio
Dado que Mp = 0,2 y que
Mp = e
−(ζπ/
√
1−ζ2)
Tenemos que
ζ =
− ln(Mp)√
π2 + ln2(Mp)
=
− ln(0,2)√
π2 + ln2(0,2)
= 0,456 = 2,3
√
J
K
Entonces
J
K
= 0,0393
Como K = 5Nm/rad
J = 0,197kgm2
D = 0,904Nms/rad
13
Gracias
La diapositiva de esta clase se inspiró en
Referencia Caṕıtulo
[1] 5.3
[2] 3.4
[4] 5.3
[3] 4.6
14
R. C. Dorf and R. H. Bishop.
Modern control systems solution manual, 2011.
G. F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami-Naeini, and J. D.
Powell.
Feedback control of dynamic systems, volume 4.
Prentice hall Upper Saddle River, 2002.
N. S. Nise.
Control system engineering, john wiley & sons.
Inc, New York, 2011.
K. Ogata et al.
Modern control engineering, volume 5.
Prentice hall Upper Saddle River, NJ, 2010.
14
	Características de la respuesta
	Gracias