Clase_Turbu_I - Juan Ignacio Larrain (3)

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Introducción fenomenológica
a los flujos turbulentos
Wernher Brevis V.
ICH-1104
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Estadísticas Básicas
• Valor esperado (promedio)
• Desviación estándar
Ejemplo del dado:
Estadísticas Básicas
•Asumamos la existencia de un par de eventos estocásticos: 
• La covarianza cruzada esta dada por : 
promedio
• La función de correlación cruzada esta dada por :
Desviación estándar
Estadísticas Básicas
• La función de autocorrelación
Muestreo
Consideremos una señal continua en función del tiempo:
Y una serie de datos discretos equiespaciados:
Donde es llamado el tiempo de muestreo, el cual define la tasa de muestreo:
Muestreo
Teorema de muestreo
Si no se satisface entonces tendremos Aliasing
Aliasing
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Objetivo de esta seccion
•Turbulento o Laminar
•Aleatoriedad de una 
señal turbulenta
•Cascada de energía
•Representación espectral
¿Que es el 
número de 
Reynolds ?
Flujo Laminar y Turbulento
•Por qué se desarrolla un flujo turbulento ?
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Fuente: Kwing-So Choi. Fluid dynamics: The rough with the 
smooth. Nature 440, 754
Fuente: W. Brevis (2012)
Flujo en láminas
Flujo “sinuoso”
Flujo “caótico”
Fuente: Reynolds, O. (1883). An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall 
be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels. Proceedings of the royal society of London, 35(224-226), 84-99.
Flujo Laminar y Turbulento
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Experimento de Reynolds
Fuente: http://www.youtube.com/watch?v=XOLl2KeDiOg
http://www.youtube.com/watch?v=XOLl2KeDiOg
Inestabilidad
•Perturbación, inestabilidad y transición a un flujo turbulento.
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Fuente: Wagner et al. A video 
for the quantitative analysis of 
the Reynolds number. 
Universität Kaiserslautern, 
Germany
Fuente: Dr Ashley Willis, University of 
Sheffield, UK
• Fenómeno complejo e interesante. Problema todavía no resuelto
• Aplicaciones del estudio de la transición en la Ingeniería (flujos 
particulados)
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Flujo turbulento, descomposición de 
Reynolds
Señal de velocidad en un canal abierto
u (cm/s)
t (s) 
Descomposición 
de Reynolds
Operador indicando promedio
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Estructura de la turbulencia en la 
capa límite
http://www.youtube.com/watch?v=e1TbkLIDWys
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Fluctuaciones de velocidad y vórtices
• Interacción no lineal entre vórtices
•Cascada de energía (Richardson, 1922)
Fuente: C. Fukushima 
and J. Westerweel, 
Technical University of 
Delft, The Netherlands
E0
E1
E2
En EViscosidad
Flujo de 
energía
Fluctuaciones de velocidad y vórtices
• Influencia de la velocidad media en la turbulencia 
•Escalas de flujo mas pequeñas, escalas de Kolmogorov
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E0
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EViscosidad
E1
E2
En
A0 A0 < 
E0
EViscosidad
A1 < 
E1
A2< E2
L
Dominio del tiempo
t vs u
Dominio de frecuencias
f vs E
Transformada discreta de 
Fourier
Transformada de Fourier
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Turbulencia y vórtices
Turbulencia y vórtices
•Zonas espectrales
•Universalidad de escalas (Kolmogorov, 1942), efecto de viscosidad
•Dependencia de escalas grandes de la geometría
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Log(E)
Log(f)
Grandes 
vórtices
Rango
Inercial
Rango de
disipación
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Sirve esto en ingeniería?
Influencia del número de Reynolds en
los flujos turbulentos
Saddoughi S.G. & Veeravalli, S.V. 
(1994) JFM 268, 333-372
Espectro de Pope, Fuente: W. 
Brevis (2009)
Universalidad ?
: Viscosidad Cinemática 
(m2/s)
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Qué es el número de Reynolds?
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Algunas magnitudes importantes
• La tasa de disipación , es efectiva en escalas muy pequeñas, que tienen altas 
tasas de deformación fluctuantes.
• Supongamos que es la escala de longitud típica de los remolinos a gran escala, 
que suministran energía a las escamas disipadoras. (a partir de escala de longitud 
espacial)
• Supongamos que es una escala típica de las velocidades fluctuantes (rms de 
velocidad)
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• Basado en la definición anterior, el tiempo de remolinos a gran escala es 
• Basado en el análisis adimensional de Kolmogorov: 
• y las escalas de Kolmogorov se pueden aproximar mediante: 
El concepto de esfuerzos de 
Reynolds
La vista de flujo laminar de la clase pasada no es muy realista, ya que casi 
todos los flujos de tuberías son turbulentos
Una gruesa estimación nos indica que las fluctuaciones de velocidad 
alrededor de la media son del orden del 10%
Si la fluctuación es tan pequeña por qué deberíamos considerarla?
El concepto de esfuerzos de 
Reynolds
Tal como los muestra la figura anterior, asumamos que el flujo es un flujo en una 
tubería donde la dirección principal de flujo es uniaxial, en dirección x
Como el flujo es turbulento, y despreciando las componentes medias (flujo uniaxial), 
solo quedan las fluctuaciones en la direcciones Y e Z.
El transporte instantáneo de masa a través de la cara xz es 
Por otro lado el flujo de momentum, o la tasa de transporte de momentum es el flujo 
de masa multiplicado por la velocidad, y esto claramente corresponde a la fuerza 
actuando sobre la cara xz.
El concepto de esfuerzo de 
Reynolds
Continuando con el análisis de la cara xz, claramente existen 3 fuerzas que actúan sobre 
ella:
Calculemos el valor de la tensión promedio actuando sobre la cara, dividiendo la fuerzas 
por el área y calculando el promedio 
ya que, 
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El concepto de esfuerzo de 
Reynolds
Claramente el desarrollo anterior produce:
Un esfuerzo normal: 
Un esfuerzo tangencial en la dirección x:
Un esfuerzo tangencial en la dirección z: 
Si el mismo análisis se desarrolla en la cara xy:
y sobre la cara yz:
El concepto de esfuerzo de 
Reynolds
es necesario notar que por ejemplo
por lo tanto todas estas tensiones permiten definir un tensor simétrico:
Es decir que adicionalmente a las tensiones viscosas, se tienen tensiones generadas 
por las fluctuaciones de velocidad, i.e las tensiones de Reynolds
De acá también se pueden definir la energía cinética turbulenta (TKE, Turbulent Kinetic 
Energy) como:
El concepto de esfuerzos de 
Reynolds
Hagamos un análisis del orden de magnitud.
Tal como mencionamos anteriormente, las fluctuaciones son del orden de
esto quiere decir por ejemplo que 
Es decir un esfuerzo de Reynolds es del orden de: 
Mas adelante ven el curso veremos que que: 
Es decir que: o bien:
El cual es del orden de 
El concepto de esfuerzos de 
Reynolds
En una tuberia industrial el número de Reynolds (Re) es del orden de 105, es 
decir que los esfuerzos turbulentos son del orden de 100 veces mayores que 
los esfuerzos viscosos.
Las fluctuaciones de velocidad son muy importantes
Calculando el cociente entre los esfuerzos de Reynolds y viscososQuadrant analysis
Example