Clase 5b - Juan Ignacio Larrain (4)

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Mecánica de Fluidos
Clase 5, Parte II
wbrevis@ing.puc.cl
Dónde estamos ?
ANÁLISIS GLOBAL DEL 
COMPORTAMIENTO DE 
FLUIDOS
03
● Teorema del transporte de 
Reynolds
● 3.2 Continuidad
● 3.3 Energía
● 3.4 Cantidad de movimiento
ESTÁTICA DE FLUIDOS02
● 2.1 Presión y sus propiedades
● 2.2 Fuerzas sobre superficies
● 2.3 Fuerzas sobre cuerpos 
sumergidas
INTRODUCCIÓN Y 
PROPIEDADES01
● 1.1 Propiedades de los fluidos
● 1.2 Descripción del movimiento
● 1.3 Análisis dimensional
Algunos grupos adimensionales
Número de Euler:
Número de Reynolds:
Número de Froude:
Número de Mach:
Número de Strouhal:
Número de Weber: 
Similitud o semejanza
● Similitud, también llamado semejanza, es el estudio que predice el 
comportamiento de un prototipo por medio de la observación de un modelo.
● Se usa cuando una solución numérica o analítica no es práctica
● Usaremos el subíndice “m” para indicar una cantidad asociada al modelo
● Usaremos el subíndice “p” para indicar una cantidad asociada al prototipo
Definiremos la escala entre dos parámetros “a” como:
Similitud geométrica : Esta condición indica que la forma del modelo y prototipo 
debe ser la misma. 
Modelo y prototipo en este caso quedan relacionados por medio de un factor de 
escala.
Las distancias son dimensionales y por tanto están en una escala diferente, 
dependiendo del tamaño final del modelo.
Similitud
Fuente: https://www.publicdomainpictures.net/en/view-image.php?image=158932&picture=little-model-car-isolated-on-white
Prototipo Modelo
Nota: Para las variables geométricas y para que las relaciones entre longitudes 
permanezca constante entre modelo y prototipo se debe cumplir lo siguiente para 
ángulos, longitudes, áreas y volúmenes:
La escala con la que quedan representado los ángulos es 1.0, ya que es un 
parámetro adimensional (se miden como proporción del ángulo completo del 
círculo)
Similitud
Similitud cinemática: Esta condición impone que los movimientos en prototipo y 
modelo deben ser iguales.
● Las líneas de corriente deben ser de igual forma.
● Además de las características geométricas, importan el tiempo, velocidades, 
aceleraciones, e incluso gasto, de tal forma que:
Es decir para cumplir con semejanza o similitud cinemática, se debe considerar la 
similitud geométrica por tanto: es única, y se agrega la condición que 
también es única. con esto se tiene: 
Similitud
● Definiremos similaridad dinámica a aquella condición en cual además de la 
condición geométrica y cinemática, la relación de las fuerzas que actúan en 
una masa del flujo del prototipo se reproducen en el flujo del modelo a lo 
largo del flujo completo.
● Supongamos que las fuerzas inerciales, fuerzas de presión, fuerzas viscosas 
y fuerzas gravitacionales son importantes, entonces una similitud dinámica 
requiere que:
Lo anterior también se puede expresar como:
Similitud
Imaginemos un sistema donde solo actúan las fuerzas interiores:
Como existe solo una dimensión fundamental fuerza, la relación anterior se puede 
expresar adimensionalmente como:
Es decir basta con verificar que los cocientes de Re y Fr existen.
Similitud
Para que exista semejanza total entre modelo y prototipo, se debe imponer 
similitud de forma, de movimiento y de los elementos dinámicos definidos por la 
masa, las fuerzas y esfuerzos (e.g. presión), escribamos esto en su forma 
funcional:
Usando análisis dimensional, se forma la siguiente forma funcional de grupos 
adimensionales:
Similitud
Es decir es necesario definir una escala única de masas con esto se puede 
definir una escala de fuerzas y esfuerzos al usar las escalas únicas de longitud y 
tiempo:
Otra forma de ver esto para el caso de las fuerzas es:
En fluidos se considera el volumen y la densidad para definir la masa: 
Por lo tanto la expresión anterior se puede escribir en términos de la densidad 
como:
Resumen
Para obtener semejanza total entre prototipo y modelo:
● Se debe tener escalas de longitud, , tiempo, , y de masa, , únicas.
● Se deben cumplir las siguientes relaciones para las escalas de otros 
parámetros:
Geométrica Cinemática Dinámica 
Similitud total o mecánica 
Como enfrentar un problema de similitud
● Se requiere conocimiento físico del fenómeno, y a partir de este se identifican 
los parámetros de importancia.
● Usando análisis dimensional se determinan los grupos adimensionales que 
describen el fenómeno (Teorema de Pi-Buckingham)
● Se igualan los grupos adimensionales en el modelo y prototipo y a partir de 
esto se encuentran las escalas de las variables básicas
● A partir de las relaciones descritas anteriormente se derivan las escalas de 
todas las variables de interés.
Por ejemplo si se identifican varios grupos adimensionales, se debe plantear un 
sistema de ecuaciones, igualando los grupos entre modelo y prototipo, y a partir 
de ellas, determinar las escalas involucradas.
Como enfrentar un problema de similitud
Por ejemplo, si esta el numero de Reynolds involucrado: 
Número de Froude: 
Número de Mach:
Número de Weber:
Como enfrentar un problema de similitud
Si se consideran conocidas las escalas de longitud y de densidad, entonces una 
mirada a las ecuaciones anteriores nos muestra que tenemos 4 ecuaciones 
(Reynolds, Froude, Mach y Weber) y siete incógnitas que son las escalas de 
tiempo, longitud, densidad,viscosidad, tensión superficial, compresibilidad, y 
aceleración de gravedad.
● En este caso se dice que tenemos similitud parcial.
En estos casos se debe optar por dejar solo ciertas ecuaciones.
● Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, se dice que 
tenemos similitud completa o perfecta (muy difícil de conseguir)
Similitud parcial y distorsión de escala
Imaginemos que seleccionamos el mismo fluido para prototipo y modelo con esto:
Por otra parte, para ensayo terrestres, no hay realmente mucha opción y 
con esto las ecuaciones anteriores se reducen a:
Contradictorio
Reynolds: 
Froude: 
Mach : 
Weber: 
Qué hacemos entonces ?
Usar un número adimensional de importancia para el flujo, por ejemplo:
Flujos incompresibles sin superficie libre: Re
Flujos con superficie libre: Fr
Verificar que las escalas de longitud y tiempo, no produzcan distorsiones muy 
grandes en otros grupos adimensionales, e.g Mach (que las escalas elegidas por 
ejemplo no causen mayores cambios en la compresibilidad del fluido, por 
ejemplo)