3B - Cinética Sistema Partículas - Dinámica de sistemas mecánicos - Juan Ignacio Larrain

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Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas
- Parte B
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
25 de Octubre, 2022
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 1 / 55
El contenido de esta presentación ha sido basado mayormente en el siguiente libro:
A. V. Rao, “Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach,”
Cambridge University Press, 2005.
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Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
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Trabajo y Enerǵıa
Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
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Trabajo y Enerǵıa Enerǵıa cinética
Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
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Trabajo y Enerǵıa Enerǵıa cinética
Enerǵıa cinética
Definición (Enerǵıa cinética)
La enerǵıa cinética de un sistema de n part́ıculas en un marco de referencia inercial
N , denotada NT , se define como
NT =
1
2
n∑
i=1
mi
N v⃗i · N v⃗i.
Notemos que
NT =
1
2
n∑
i=1
mi
(
N v⃗i −
N ⃗̄v +
N ⃗̄v
)
·
(
N v⃗i −
N ⃗̄v +
N ⃗̄v
)
=
1
2
( n∑
i=1
mi
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
·
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
+ 2
���
���
���
���:0n∑
i=1
mi
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
· N ⃗̄v
. . .+
n∑
i=1
mi
N ⃗̄v · N ⃗̄v
)
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Trabajo y Enerǵıa Enerǵıa cinética
Enerǵıa cinética
Definición (Descomposición de Koenig)
La Descomposición de Koenig y establece que la enerǵıa cinética de un sistema de
n part́ıculas, NT , es igual a la suma de la enerǵıa cinética del centro de masa del
sistema, denotada por NT (1), y la enerǵıa cinética relativa al centro de masa de el
sistema, denotada por NT (2). Esto es,
NT = NT (1) + NT (2),
con
NT (1) =
1
2
n∑
i=1
mi
N ⃗̄v · N ⃗̄v = 1
2
m
N ⃗̄v · N ⃗̄v
NT (2) =
1
2
n∑
i=1
mi
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
·
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
.
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Trabajo y Enerǵıa Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
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Trabajo y Enerǵıa Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teniendo en cuenta que NT (1) es una función escalar y, por lo tanto, es indepen-
diente del marco de referencia, su derivada temporal viene dada por
d
dt
(
NT (1)
)
=
d
dt
(
1
2
m
N ⃗̄v · N ⃗̄v
)
=
1
2
m
(
N ⃗̄a · N ⃗̄v + N ⃗̄v · N ⃗̄a
)
= m
N ⃗̄a · N ⃗̄v.
Observación (Potencia sobre centro de masa)
La expresión
d
dt
(
NT (1)
)
= F⃗ · N ⃗̄v = NP (1)
establece que la potencia de todas las fuerzas externas que actúan sobre un sistema
de part́ıculas es igual a la derivada temporal de la enerǵıa cinética del centro de
masa del sistema.
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Trabajo y Enerǵıa Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Integrando la ecuación anterior en el intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2], obtenemos∫ t2
t1
d
dt
(
NT (1)
)
dt =
∫ t2
t1
F⃗ · N ⃗̄vdt
Observación (Principio de Trabajo y Enerǵıa sobre centro de masa)
La expresión
NT (1) (t2)− NT (1) (t1) = NW (1)12
establece que el trabajo realizado por todas las fuerzas externas que actúan sobre
un sistema de part́ıculas al mover su centro de masa es igual al cambio en la enerǵıa
cinética asociada con su centro de masa.
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Trabajo y Enerǵıa Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Por otra parte, NT (2) también es una función escalar y su derivada temporal viene
dada por
d
dt
(
NT (2)
)
=
d
dt
(
1
2
n∑
i=1
mi
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
·
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
))
=
1
2
n∑
i=1
mi
((
N a⃗i −
N ⃗̄a
)
·
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
+
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
·
(
N a⃗i −
N ⃗̄a
))
=
n∑
i=1
mi
(
N a⃗i −
N ⃗̄a
)
·
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
=
n∑
i=1
mi
N a⃗i ·
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
−
���
���
���
��:0n∑
i=1
mi
N ⃗̄a ·
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
=
n∑
i=1
R⃗i ·
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
.
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Trabajo y Enerǵıa Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
En consecuencia, tenemos que la derivada de la enerǵıa cinética total es
d
dt
(NT ) = d
dt
(
NT (1)
)
+
d
dt
(
NT (2)
)
= m
N ⃗̄a · N ⃗̄v +
n∑
i=1
R⃗i ·
(
N v⃗i −
N ⃗̄v
)
.
Sin embargo,
n∑
i=1
R⃗i ·
N ⃗̄v =
N ⃗̄v ·
n∑
i=1
F⃗i + n∑
j=1
f⃗ij

=
N ⃗̄v ·
 n∑
i=1
F⃗i +
�
�
�
�
�>
0
n∑
i=1
n∑
j=1
f⃗ij

= F⃗ · N ⃗̄v.
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Trabajo y Enerǵıa Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema (Teorema de Trabajo-Enerǵıa)
El Teorema de Trabajo-Enerǵıa para el caso de un sistema de n part́ıculas en un
marco de referencia inercial N , establece que
d
dt
(NT ) = n∑
i=1
R⃗i · N v⃗i =
n∑
i=1
NPi.
El Teorema de Trabajo-Enerǵıa establece que la derivada temporal de la enerǵıa
cinética de un sistema de n part́ıculas es igual a la potencia producida por todas
las fuerzas internas y externas que actúan sobre el sistema.
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Trabajo y Enerǵıa Principio de Trabajo y Enerǵıa
Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda lacolisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
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Trabajo y Enerǵıa Principio de Trabajo y Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Ahora supongamos que consideramos el movimiento del sistema de n part́ıculas
dentro de un intervalo de tiempo t ∈ [t1, t2]. Integrando la ecuación del Teorema
de Trabajo-Enerǵıa entre t1 y t2, tenemos∫ t2
t1
d
dt
(NT ) dt = ∫ t2
t1
(
n∑
i=1
R⃗i · N v⃗i
)
dt.
Teorema (Principio de Trabajo y Enerǵıa)
El Principio de Trabajo y Enerǵıa para el caso de un sistema de n part́ıculas en un
marco de referencia inercial N , establece que
NT2 − NT1 =
n∑
i=1
NW12i.
El Principio de Trabajo y Enerǵıa para un sistema de n part́ıculas establece que el
cambio en la enerǵıa cinética en un marco de referencia inercial es igual al trabajo
realizado por todas las fuerzas, tanto internas como externas, que actúan sobre las
part́ıculas del sistema.
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Trabajo y Enerǵıa Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
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Trabajo y Enerǵıa Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa alternativo
Supongamos que la fuerza externa aplicada a cada part́ıcula del sistema se descom-
poner como
F⃗i = F⃗
c
i + F⃗
nc
i , i = 1, . . . , n,
donde
F⃗ ci = Fuerza conservativa externa aplicada a la i-ésima part́ıcula.
F⃗nci = Fuerza no conservativa externa aplicada a la i-ésima part́ıcula.
Entonces la fuerza resultante que actúa sobre la i-ésima part́ıcula se puede escribir
como
R⃗i = F⃗
c
i + F⃗
nc
i +
n∑
j=1
f⃗ij
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Trabajo y Enerǵıa Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa alternativo
Por el Teorema de Trabajo-Enerǵıa tenemos que
d
dt
(NT ) = n∑
i=1
R⃗i · N v⃗i
=
n∑
i=1
F⃗ ci + F⃗nci + n∑
j=1
f⃗ij
 · N v⃗i
=
n∑
i=1
F⃗ ci ·
N v⃗i +
n∑
i=1
F⃗nci + n∑
j=1
f⃗ij
 · N v⃗i
= −
n∑
i=1
d
dt
(NUi)+ n∑
i=1
F⃗nci + n∑
j=1
f⃗ij
 · N v⃗i
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Trabajo y Enerǵıa Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa alternativo
La fuerza no conservativa resultante que actúa sobre la i-ésima part́ıcula es
R⃗nci = F⃗
nc
i +
n∑
j=1
f⃗ij ,
entonces
d
dt
(NT ) = − n∑
i=1
d
dt
(NUi)+ n∑
i=1
R⃗nci ·
N v⃗i.
Acomodando términos, obtenemos
d
dt
(
NT +
n∑
i=1
NUi
)
=
n∑
i=1
R⃗nci ·
N v⃗i
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Trabajo y Enerǵıa Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa alternativo
Definición (Enerǵıa total)
La enerǵıa total de un sistema de part́ıculas observada desde un marco de referencia
inercial N se define como
NE = NT +
n∑
i=1
NUi.
Teorema (Teorema de Trabajo-Enerǵıa - Forma alternativa)
Una forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa para el caso de fuerzas no
conservativas actuando sobre un sistema de n part́ıculas en un marco de referencia
inercial N , es la siguiente
d
dt
(NE) = n∑
i=1
R⃗nci ·
N v⃗i.
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Trabajo y Enerǵıa Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Teorema de Trabajo-Enerǵıa alternativo
La forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa para un sistema de n part́ıculas
establece que la derivada temporal de la enerǵıa total de un sistema de part́ıculas
es igual a la potencia producida por todas las fuerzas no conservativas que actúan
sobre el sistema.
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Trabajo y Enerǵıa Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
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Trabajo y Enerǵıa Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa alternativo
Teorema (Principio de Trabajo y Enerǵıa - Forma alternativa)
Una forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa para el caso de un sistema
de n part́ıculas en un marco de referencia inercial N , es la siguiente
NE2 − NE1 =
n∑
i=1
NWnc12 i.
Esta forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa para un sistema de n
part́ıculas establece que el cambio en la enerǵıa total en un marco de referencia
inercial es igual al trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas, tanto
internas como externas, que actúan sobre las part́ıculas del sistema.
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Colisión de part́ıculas
Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 24 / 55
Colisión de part́ıculas
Colisión
Definición (Colisión)
Una colisión se define como el impacto entre dos objetos que ocurre durante un
peŕıodo de tiempo muy corto y donde las fuerzas ejercidas por cada objeto sobre
el otro son extremadamente grandes.
Una colisión real puede ser dif́ıcil de modelar porque dos objetos f́ısicos reales
generalmente tienen una forma extraña, están compuestos de materiales no ho-
mogéneos y ocupan una cantidad de espacio distinta de cero. En consecuencia,
las deformaciones que sufren los objetos f́ısicos reales durante una colisión no son
triviales. Sin embargo, al hacer un conjunto apropiado de suposiciones y simplifi-
caciones, es posible llegar a un modelo representativo para expresar las velocidades
posteriores a la colisión de dos cuerpos en términos de las velocidades anteriores a
la colisión de los cuerpos.
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Colisión de part́ıculas
Colisión
En particular, un modelo de colisión se obtiene comúnmente haciendo las siguientes
suposiciones:
1 La colisión ocurre en un intervalo de tiempo muy corto y, por lo tanto, las
posiciones de los cuerpos no cambian durante la colisión.
2 Los cuerpos en colisión son part́ıculas (es decir, los cuerpos no ocupan
espacio f́ısico) o son esferas homogéneas(de modo que la dirección a lo
largo de la cual se produce la colisión pasa por los centros geométricos de
los cuerpos) y, por tanto, el impacto es un impacto central.
3 Las superficies de los objetos son ”lisas” y, por lo tanto, no hay fricción
entre las part́ıculas durante la colisión.
4 La cinética asociada con las deformaciones de los cuerpos se agrupa en un
parámetro escalar ad hoc llamado coeficiente de restitución.
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Colisión de part́ıculas
Colisión
Sean P1 y P2 part́ıculas de masa m1 y m2, respectivamente, que se mueven en
un marco de referencia inercial N . Además, supongamos que P1 y P2 siguen
trayectorias independientes cuando las trayectorias de las part́ıculas coinciden, lo
que resulta en una colisión.
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Colisión de part́ıculas
Colisión
Figure: Colisión de dos part́ıculas que se mueven en un marco de referencia
inercial N .1
1
A. V. Rao, Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach, Cambridge University Press, 2005.
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Colisión de part́ıculas
Colisión
Es evidente que la colisión cambiará la velocidad de cada part́ıcula de una man-
era diferente al cambio que habŕıa ocurrido si las part́ıculas no chocaran. Para
determinar el efecto que tiene la colisión sobre la velocidad de cada part́ıcula, nos
enfocamos en el intervalo de tiempo durante el cual ocurre la colisión. En partic-
ular, durante la colisión se asume que existe un plano tangente bien definido, TP ,
a la superficie de cada part́ıcula en el punto de contacto, P . Se supone que el
impacto ocurre en una dirección n⃗ que es normal a TP .
Definición (Dirección o ĺınea de impacto)
La dirección n⃗ se conoce como dirección de impacto o ĺınea de impacto.
Además, para describir el movimiento en el plano tangente TP , se definen dos
vectores unitarios u⃗ y w⃗ cuyas direcciones se encuentran en TP durante la colisión.
Se asume que los vectores n⃗, u⃗ y w⃗ son constantes durante la colisión y que u⃗ y w⃗
se eligen de manera que {u⃗, w⃗, n⃗} siga la regla de la mano derecha.
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 29 / 55
Colisión de part́ıculas Modelo de colisión
Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
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Colisión de part́ıculas Modelo de colisión
Fases de una colisión
El proceso f́ısico de la colisión se puede descomponer en dos fases:
• Compresión: Comienza en t0, cuando las part́ıculas hacen contacto por
primera vez, y finaliza en el tiempo t1, cuando las part́ıculas han alcanzado
su máxima deformación.
• Restitución: Comienza en el instante en que finaliza la fase de compresión,
es decir, la fase de restitución comienza en el momento t1 y finaliza en el
instante t2, cuando las part́ıculas se separan por primera vez.
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Colisión de part́ıculas Modelo de colisión
Fase de compresión
Figure: Diagrama de cuerpo libre durante la fase de compresión de la colisión
entre dos part́ıculas.1
1
A. V. Rao, Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach, Cambridge University Press, 2005.
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Colisión de part́ıculas Modelo de colisión
Fase de restitución
Figure: Diagrama de cuerpo libre durante la fase de restitución de la colisión entre
dos part́ıculas.1
1
A. V. Rao, Dynamics of Particles and Rigid Bodies: A Systematic Approach, Cambridge University Press, 2005.
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Colisión de part́ıculas Modelo de colisión
Velocidades en cada fase
Las velocidades de cada part́ıcula en el marco de referencia inercial N que corre-
sponden a los tiempos t0, t1 y t2 quedan de la siguiente manera:
N v⃗1 = Velocidad de la part́ıcula P1 al inicio de la compresión.
N v⃗2 = Velocidad de la part́ıcula P2 al inicio de la compresión.
N ⃗̃v1 = Velocidad de la part́ıcula P1 al final de la compresión.
= Velocidad de la part́ıcula P1 al inicio de la restitución.
N ⃗̃v2 = Velocidad de la part́ıcula P2 al final de la compresión.
= Velocidad de la part́ıcula P2 al inicio de la restitución.
N
v⃗′1 = Velocidad de la part́ıcula P1 al final de la restitución.
N
v⃗′2 = Velocidad de la part́ıcula P2 al final de la restitución.
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Colisión de part́ıculas Modelo de colisión
Velocidades en cada fase
Las velocidades mostradas anteriormente pueden expresarse en términos de la base
{u⃗, w⃗, n⃗} como:
N v⃗1 = v1uu⃗+ v1ww⃗ + v1nn⃗
N v⃗2 = v2uu⃗+ v2ww⃗ + v2nn⃗
N ⃗̃v1 = ṽ1uu⃗+ ṽ1ww⃗ + ṽ1nn⃗
N ⃗̃v2 = ṽ2uu⃗+ ṽ2ww⃗ + ṽ2nn⃗
N
v⃗′1 = v
′
1uu⃗+ v
′
1ww⃗ + v
′
1nn⃗
N
v⃗′2 = v
′
2uu⃗+ v
′
2ww⃗ + v
′
2nn⃗
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 35 / 55
Colisión de part́ıculas Modelo de colisión
Impulsos en cada fase
Durante la colisión, cada part́ıcula ejerce un impulso sobre la otra part́ıcula. Sean
C⃗1 = Fuerza ejercida por P2 sobre P1 durante la compresión.
R⃗1 = Fuerza ejercida por P2 sobre P1 durante la restitución.
C⃗2 = Fuerza ejercida por P1 sobre P2 durante la compresión.
R⃗2 = Fuerza ejercida por P1 sobre P2 durante la restitución.
Entonces los impulsos debidos a la colisión vienen dados por
⃗̂
C1 =
∫ t1
t0
C⃗1dt (Impulso ejercido por P2 sobre P1 durante compresión)
⃗̂
R1 =
∫ t2
t1
R⃗1dt (Impulso ejercido por P2 sobre P1 durante restitución)
⃗̂
C2 =
∫ t1
t0
C⃗2dt (Impulso ejercido por P1 sobre P2 durante compresión)
⃗̂
R2 =
∫ t2
t1
R⃗2dt (Impulso ejercido por P1 sobre P2 durante restitución)
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 36 / 55
Colisión de part́ıculas Modelo de colisión
Impulsos en cada fase
Aplicando la Tercera Ley de Newton, deducimos que
⃗̂
C1 = − ⃗̂C2
⃗̂
R1 = − ⃗̂R2.
Ahora, debido a que se supone que las part́ıculas son suaves (es decir, las superficies
no tienen fricción), los impulsos durante la colisión deben estar en la dirección n⃗.
En consecuencia, tenemos
⃗̂
C1 = Ĉ1n⃗
⃗̂
C2 = Ĉ2n⃗
⃗̂
R1 = R̂1n⃗
⃗̂
R2 = R̂2n⃗
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 37 / 55
Colisión de part́ıculas Modelo de colisión
Coeficiente de restitución
Definición (Coeficiente de restitución)
Definimos el parámetro escalar e llamado coeficiente de restitución como
e =
⃗̂
R1 · n⃗
⃗̂
C1 · n⃗
=
⃗̂
R2 · n⃗
⃗̂
C2 · n⃗
.
Observación (Coeficiente de restitución)
Esencialmente, e es una medida de cuánto tamaño y forma de los cuerpos que
chocan se restauran durante la colisión. En general, e depende de varios factores,
incluidas las propiedades materiales de los cuerpos en colisión y la velocidad relativa
de las part́ıculas en el impacto, como veremos más adelante. Además, debido a que
el impulsode restitución no puede ser menor que cero ni puede exceder el impulso
de compresión, e puede tomar valores solo entre cero y la unidad.
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Colisión de part́ıculas Modelo de colisión
Impulsos en cada fase
De la definición de coeficiente de restitución se desprende que
⃗̂
R1 · n⃗ = e ⃗̂C1 · n⃗
⃗̂
R2 · n⃗ = e ⃗̂C2 · n⃗
Definición (Impacto (o choque) perfectamente elástico)
Se dice que un impacto es perfectamente elástico si e = 1. Un impacto perfecta-
mente elástico es a la vez aquel en el que no se pierde enerǵıa durante la colisión.
Definición (Impacto (o choque) perfectamente inelástico)
Se dice que un impacto es perfectamente inelástico si e = 0.
Observación (Colisión parcialmente restitutiva)
En general, el valor de e estará entre cero y uno, es decir, la colisión será solo
parcialmente restitutiva.
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Colisión de part́ıculas Modelo de colisión
Impulsos en cada fase
Observación (Conservación de enerǵıa cinética y de momentum lineal)
• En un impacto perfectamente elástico, se conserva tanto la enerǵıa cinética como
el momentum lineal del sistema de part́ıculas.
• En un impacto perfectamente inelástico, se conserva solo el momentum lineal del
sistema de part́ıculas. La enerǵıa cinética, por otra parte, no se conserva.
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Colisión de part́ıculas Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 41 / 55
Colisión de part́ıculas Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Compresión
Aplicando el principio de impulso y momentum lineal a cada part́ıcula durante la
compresión, tenemos que
⃗̂
C1 =
N ⃗̃G1 −
N
G⃗1 = m1
N ⃗̃v1 −m1N v⃗1
⃗̂
C2 =
N ⃗̃G2 −
N
G⃗2 = m2
N ⃗̃v2 −m2N v⃗2
Haciendo producto punto con la dirección de impacto, nos queda
⃗̂
C1 · n⃗ = m1ṽ1n −m1v1n
⃗̂
C2 · n⃗ = m2ṽ2n −m2v2n
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 42 / 55
Colisión de part́ıculas Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Restitución
Aplicando el principio de impulso y momentum lineal a cada part́ıcula durante la
restitución, tenemos que
⃗̂
R1 =
N
G⃗′1 −
N ⃗̃G1 = m1
N
v⃗′1 −m1
N ⃗̃v1
⃗̂
R2 =
N
G⃗′2 −
N ⃗̃G2 = m2
N
v⃗′2 −m2
N ⃗̃v2
Haciendo producto punto con la dirección de impacto, nos queda
⃗̂
R1 · n⃗ = m1v′1n −m1ṽ1n
⃗̂
R2 · n⃗ = m2v′2n −m2ṽ2n
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Colisión de part́ıculas Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Coeficiente de restitución alternativo
Debido a que al final de la compresión (de manera equivalente, al comienzo de
la restitución) la componente de la velocidad de cada part́ıcula en la dirección de
impacto n⃗ debe ser la misma, entonces
N ⃗̃v · n⃗︸ ︷︷ ︸
ṽn
≡
N ⃗̃v1 · n⃗︸ ︷︷ ︸
ṽ1n
=
N ⃗̃v2 · n⃗︸ ︷︷ ︸
ṽ2n
Pero recordemos que
⃗̂
R1 · n⃗ = e ⃗̂C1 · n⃗ ⇒ m1v′1n −m1ṽ1n = e(m1ṽ1n −m1v1n)
⇔ v′1n − ṽ1n = e(ṽ1n − v1n)
⇔ (1 + e)ṽ1n = v′1n − ev1n
⇔ ṽ1n =
v′1n − ev1n
1 + e
.
Análogamente,
⃗̂
R2 · n⃗ = e ⃗̂C2 · n⃗ ⇒ ṽ2n =
v′2n − ev2n
1 + e
.
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Colisión de part́ıculas Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Coeficiente de restitución alternativo
Usando la noción de coeficiente de restitución, podemos escribir ṽn en términos de
e como
ṽn =
v′1n + ev1n
1 + e
=
v′2n + ev2n
1 + e
Observación (Coeficiente de restitución - forma alternativa)
El coeficiente de restitución puede expresarse alternativamente como
e =
v′2n − v′1n
v1n − v2n
=
N
v⃗′2 · n⃗−
N
v⃗′1 · n⃗
N v⃗1 · n⃗− N v⃗2 · n⃗
.
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Colisión de part́ıculas Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 46 / 55
Colisión de part́ıculas Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Colisión completa
Aplicando el principio de impulso y momentum lineal a cada part́ıcula durante la
colisión completa, tenemos que
⃗̂
F1 =
⃗̂
C1 +
⃗̂
R1 = m1
N
v⃗′1 −m1
N v⃗1
⃗̂
F2 =
⃗̂
C2 +
⃗̂
R2 = m2
N
v⃗′2 −m2
N v⃗2,
donde
⃗̂
F1 y
⃗̂
F2 son los impulsos aplicados a P1 y P2, respectivamente, durante
toda la colisión. Si aplicamos producto escalar con la dirección u⃗, nos queda
��
�*0⃗̂
C1 · u⃗+��
��*0⃗̂
R1 · u⃗ = m1
N
v⃗′1 · u⃗−m1
N v⃗1 · u⃗
��
�*0⃗̂
C2 · u⃗+��
��*0⃗̂
R2 · u⃗ = m2
N
v⃗′2 · u⃗−m2
N v⃗2 · u⃗,
pues los impulsos sobre las part́ıculas durante compresión y restitución solo tienen
componente distinta de cero en la dirección de impacto n⃗.
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Colisión de part́ıculas Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Colisión completa
De aqúı obtenemos que
v′1u = v1u
v′2u = v2u.
Si aplicamos producto escalar con la dirección w⃗, es análogo. Por lo tanto,
v′1w = v1w
v′2w = v2w.
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 48 / 55
Colisión de part́ıculas Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Colisión completa
Si aplicamos producto escalar con la dirección n⃗, por otra parte, entonces
⃗̂
C1 · n⃗+ ⃗̂R1 · n⃗ = m1
N
v⃗′1 · n⃗−m1
N v⃗1 · n⃗
⃗̂
C2 · n⃗+ ⃗̂R2 · n⃗ = m2
N
v⃗′2 · n⃗−m2
N v⃗2 · n⃗.
No obstante, notemos que
⃗̂
C1 · n⃗+ ⃗̂R1 · n⃗ = Ĉ1 + R̂1 = (1 + e)Ĉ1
⃗̂
C2 · n⃗+ ⃗̂R2 · n⃗ = Ĉ2 + R̂2 = (1 + e)Ĉ2.
Recordando además que Ĉ2 = −Ĉ1, nos queda
(1 + e)Ĉ1 = m1
N
v⃗′1 · n⃗−m1
N v⃗1 · n⃗
−(1 + e)Ĉ1 = m2
N
v⃗′2 · n⃗−m2
N v⃗2 · n⃗.
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Colisión de part́ıculas Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Colisión completa
Sumando las ecuaciones, llegamos a que
0 = m1
N
v⃗′1 · n⃗+m2
N
v⃗′2 · n⃗−
(
m1
N v⃗1 · n⃗+m2N v⃗2 · n⃗
)
Teorema (Conservación del momentum lineal en colisión de part́ıculas)
El momentum lineal del sistema de part́ıculas conformado por P1 y P2 se conserva
en la dirección de impacto. En efecto,
m1
N
v⃗′1 · n⃗+m2
N
v⃗′2 · n⃗ = m1
N v⃗1 · n⃗+m2N v⃗2 · n⃗,
que puede expresarse alternativamente como
m1v
′
1n +m2v
′
2n = m1v1n +m2v2n.
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 50 / 55
Colisión de part́ıculas Resolución de velocidades posteriores a unacolisión
Contenidos
1 Trabajo y Enerǵıa
Enerǵıa cinética
Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Principio de Trabajo y Enerǵıa
Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Enerǵıa
Forma alternativa del Principio de Trabajo y Enerǵıa
2 Colisión de part́ıculas
Modelo de colisión
Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
Impulso y momento lineal durante toda la colisión
Resolución de velocidades posteriores a una colisión
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 51 / 55
Colisión de part́ıculas Resolución de velocidades posteriores a una colisión
Post-colisión
Recordamos que las componentes de las velocidades en la dirección u⃗ y en la di-
rección w⃗ son las mismas antes y después de la colisión. Por lo tanto, las únicas
cantidades restantes que deben determinarse son las componentes de las veloci-
dades de cada part́ıcula en la dirección n⃗ después de la colisión, v′1n y v
′
2n. De la
conservación del momentum lineal y la forma alternativa del coeficiente de resti-
tución, tenemos que
m1v
′
1n +m2v
′
2n = m1v1n +m2v2n
v′2n − v′1n = e (v1n − v2n) .
Multiplicando la segunda ecuación por m2 y restándosela a la primera, obtenemos,
v′1n =
m1 − em2
m1 +m2
v1n +
m2(1 + e)
m1 +m2
v2n.
Análogamente, multiplicando la segunda ecuación por m1 y restándosela a la
primera, obtenemos,
v′2n =
m1(1 + e)
m1 +m2
v1n +
m2 − em1
m1 +m2
v2n.
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 52 / 55
Colisión de part́ıculas Resolución de velocidades posteriores a una colisión
Post-colisión
Aśı, concluimos que las velocidades post-colisión son
N
v⃗′1 = v1uu⃗+ v1ww⃗ +
(
m1 − em2
m1 +m2
v1n +
m2(1 + e)
m1 +m2
v2n
)
n⃗
N
v⃗′2 = v2uu⃗+ v2ww⃗ +
(
m1(1 + e)
m1 +m2
v1n +
m2 − em1
m1 +m2
v2n
)
n⃗
O alternativamente,
N
v⃗′1 =
(
N
v⃗′1 · u⃗
)
u⃗+
(
N
v⃗′1 · w⃗
)
w⃗
. . .+
(
m1 − em2
m1 +m2
N
v⃗′1 · n⃗+
m2(1 + e)
m1 +m2
N
v⃗′2 · n⃗
)
n⃗
N
v⃗′2 =
(
N
v⃗′2 · u⃗
)
u⃗+
(
N
v⃗′2 · w⃗
)
w⃗
. . .+
(
m1(1 + e)
m1 +m2
N
v⃗′1 · n⃗+
m2 − em1
m1 +m2
N
v⃗′2 · n⃗
)
n⃗
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 53 / 55
Colisión de part́ıculas Resolución de velocidades posteriores a una colisión
Post-colisión
Observación (Impacto perfectamente inelástico)
Nótese que a partir de las ecuaciones anteriores se puede deducir que cuando ocurre
un impacto perfectamente inelástico, es decir, cuando e = 0, las velocidades post-
colisión de ambas part́ıculas son las mismas en la dirección de impacto.
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 54 / 55
Fin de la presentación
Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas
- Parte B
ICM2803 - Dinámica de Sistemas Mecánicos
David E. Acuña Ureta, Ph.D.
Departamento de Ingenieŕıa Mecánica y Metalúrgica
Pontificia Universidad Católica de Chile
25 de Octubre, 2022
David E. Acuña Ureta, Ph.D. Caṕıtulo 3: Cinética de un Sistema de Part́ıculas - Parte B25 de Octubre, 2022 55 / 55
	Trabajo y Energía
	Energía cinética
	Teorema de Trabajo-Energía
	Principio de Trabajo y Energía
	Forma alternativa del Teorema de Trabajo-Energía
	Forma alternativa del Principio de Trabajo y Energía
	Colisión de partículas
	Modelo de colisión
	Impulso y momento lineal durante compresión y restitución
	Impulso y momento lineal durante toda la colisión
	Resolución de velocidades posteriores a una colisión
	Fin de la presentación