Módulo de ingreso Matemática_Teoría_

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
Facultad de Ciencias Económicas 
 
Autor: 
Mosqueda Daniel Luis 
Edición: Mosqueda Daniel Luis 
2021 
Matemática 
Material teórico de apoyo para el estudiante de 
Ciencias Económicas 
 
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Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
 
Estimado estudiante de Ciencias Económicas: 
 
Este material teoríco fue elaborado con el 
objetivo de que te ayude a transitar el módulo de ingreso de Matemática y de esta manera, 
reforzar ciertos conocimientos indispensables para el cursado de una de las primeras 
asignaturas: Álgebra y Geometría Analítica de la Facultad de Ciencias Económicas de la 
UNNE. En el podrás encontrar conceptos, definiciones, propiedades y ejemplos de cada uno 
de los saberes matemáticos. 
Con respecto a los contenidos, éstos estan 
agrupados en cinco unidades: conjuntos numéricos, polinomios y expresiones algebraicas, 
ecuaciones e inecuaciones, funciones y sistemas de ecuaciones lineales y por último, 
trigonometría. 
¡Éxitos en esta nueva etapa! 
Mgter. Mosqueda, Daniel L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Contenidos 
Unidad N° 1: Conjuntos Numéricos ....................................................................................... 1 
Conjuntos numéricos .......................................................................................................................... 1 
Recta numérica.................................................................................................................................... 3 
Intervalos ............................................................................................................................................ 4 
Valor absoluto de un número real ....................................................................................................... 4 
Redondeo y truncamiento ................................................................................................................... 5 
Operaciones con números reales. Propiedades. .................................................................................. 6 
Suma de números reales .................................................................................................................. 7 
Resta de números reales .................................................................................................................. 7 
Suma (resta) de números racionales ................................................................................................ 7 
Multiplicación (producto) y división (cociente) de números reales ................................................ 8 
Potenciación en los reales ............................................................................................................. 10 
Radicación en los reales ................................................................................................................ 12 
Operaciones combinadas............................................................................................................... 14 
Radicales ........................................................................................................................................... 14 
Extracción de factores fuera del radical ........................................................................................ 14 
Introducción de factores dentro del radical ................................................................................... 15 
Reducción de radicales a mínimo común índice ........................................................................... 16 
Operaciones con radicales ................................................................................................................. 16 
Suma y resta .................................................................................................................................. 16 
Multiplicación ............................................................................................................................... 17 
División ......................................................................................................................................... 18 
Racionalización de denominadores ................................................................................................... 18 
Unidad N° 2: Polinomios – Expresiones algebraicas Fraccionarias .................................. 21 
Polinomio .......................................................................................................................................... 21 
Igualdad de polinomios ..................................................................................................................... 22 
Grado de un polinomio ..................................................................................................................... 22 
Especialización o valor numérico ..................................................................................................... 23 
Raíz de un polinomio: valor particular en la especialización ........................................................... 23 
Operaciones entre polinomios ........................................................................................................... 23 
Suma ............................................................................................................................................. 23 
Resta o diferencia .......................................................................................................................... 24 
Multiplicación o producto ............................................................................................................. 25 
División ......................................................................................................................................... 26 
 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Teorema del Resto ............................................................................................................................ 30 
Corolario del Teorema del Resto .................................................................................................. 30 
Orden de multiplicidad de una raíz ............................................................................................... 30 
Factorización de polinomios: casos .................................................................................................. 32 
Expresiones algebraicas fraccionarias .............................................................................................. 34 
Simplificación ............................................................................................................................... 35 
Operaciones....................................................................................................................................... 36 
Suma y resta .................................................................................................................................. 36 
Multiplicación ............................................................................................................................... 37 
División ......................................................................................................................................... 37 
Operaciones combinadas............................................................................................................... 38 
Unidad N° 3: Ecuaciones e Inecuaciones ............................................................................. 39 
Ecuación ............................................................................................................................................ 39 
Ecuación Lineal ............................................................................................................................39 
Ecuación Cuadrática ..................................................................................................................... 42 
Aplicaciones .................................................................................................................................. 45 
Inecuaciones ...................................................................................................................................... 47 
Resolución de inecuaciones .......................................................................................................... 48 
Unidad N° 4: Funciones y sistemas de ecuaciones lineales ................................................. 51 
Sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano ....................................................... 51 
Función ............................................................................................................................................. 52 
Función lineal ................................................................................................................................ 54 
Función cuadrática ........................................................................................................................ 58 
Sistemas de Ecuaciones Lineales ...................................................................................................... 62 
Métodos de Resolución Analíticos ............................................................................................... 63 
Unidad N° 5: Trigonometría ................................................................................................. 69 
Ángulos ............................................................................................................................................. 69 
Medición de ángulos ......................................................................................................................... 69 
Grados (sistema sexagesimal) ....................................................................................................... 69 
Radianes (sistema circular) ........................................................................................................... 70 
Teorema de Pitágoras ........................................................................................................................ 72 
Razones trigonométricas ................................................................................................................... 72 
Identidades trigonométricas fundamentales ...................................................................................... 74 
Identidades del cociente ................................................................................................................ 74 
Identidades recíprocas ................................................................................................................... 75 
 
 
 
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Identidades del ángulo medio ....................................................................................................... 75 
Identidad Pitagórica ...................................................................................................................... 75 
Razones trigonométricas para un ángulo cualquiera ......................................................................... 76 
Signo de las razones trigonométricas ................................................................................................ 80 
Ángulo de referencia ..................................................................................................................... 80 
Aplicación de la tangente a la pendiente de una recta ...................................................................... 84 
Teorema ........................................................................................................................................ 85 
Tabla de signos y símbolos matemáticos más utilizados .................................................... 86 
 
 
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Unidad N° 1: Conjuntos Numéricos 
Contenidos: Conjuntos numéricos. Propiedades. Recta numérica. Intervalos. Valor absoluto 
de un número real. Aproximación de números reales: redondeo y truncamiento. Operaciones. 
Propiedades. Radicales. Extracción de factores fuera del radical. Introducción de factores 
dentro del radical. Reducción de radicales a mínimo común índice. Operaciones con 
radicales. Racionalización. 
 
Conjuntos numéricos 
Los matemáticos han ampliado los conjuntos numéricos a lo largo de la historia. La 
necesidad de resolver ecuaciones ha propiciado la creación de nuevos conjuntos. El primer 
conjunto numérico que utilizó el hombre para contar objetos se llama conjunto de números 
naturales; lo simbolizamos con la letra y cuyos elementos son 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11… 
De lo anterior deducimos que el conjunto tiene infinitos elementos o números. Cuando 
además el elemento 0 se incluye en , se escribe 
0
, pero no es considerado como natural. 
En el conjunto , no siempre es posible realizar una resta, por ejemplo 5 – 8, no tiene 
solución; ocurre lo mismo con la división. Para que la diferencia tenga solución cuando el 
minuendo es menor que el sustraendo, se define el conjunto de los números enteros, que se 
simboliza con la letra y está formado por los naturales, el cero y los negativos –1, –2, 
–3,…, es decir, es el conjunto  ..., 3, 2, 1,0,1,2,3... .   En este conjunto es posible sumar, 
multiplicar y restar, pero la división está restringida, es decir, podemos hacer 4 : 2, pero no 
5 : 2, ya que el resultado de esta última operación no pertenece al conjunto . Nuevamente 
se amplía el conjunto con las fracciones. Este nuevo conjunto se llama números 
racionales y se lo nota con la letra . Se define número racional como aquel número que se 
puede expresar como el cociente de dos números enteros, siendo el divisor no nulo: 
/ , , 0
p
p q q
q
 
   
 
. Los números p y q se denominan numerador y denominador 
respectivamente. Todo racional tiene una escritura fraccionaria y decimal. Por ejemplo 
3
2
 
(escritura fraccionaria) pero puede escribirse también como 0,6666... 0,6 (escritura 
decimal). 
2 
 
 
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No hay un número racional x, tal que x
2
 = 2. Pero existe el número indicado por 2
que lo verifica  
2
2 2 . Este tipo de números y como lo es  = 3,1415926535…, se 
denominan irracionales ( ), tienen infinitas cifras decimales no periódicas y no pueden 
expresarse como fracción. La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de 
los irracionales, se llama conjunto de números reales, se lo identifica con la letra . 
Simbólicamente: ;    
1
 
Observemos el esquema y diagramas siguientes que muestran la relación entre los 
distintos conjuntos numéricos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para indicar que un número pertenece o no a un determinado conjunto S o si un 
conjunto S está contenido dentro de otro T (S subconjunto de T) se utiliza la siguiente 
notación: 
 
 
1
 El símbolo  representa la unión de dos conjuntos y  la intersección. El conjunto que no tiene elementos se 
llama vacío y se representa por . 
Números Reales 
Números Racionales 
1 7
; ;2,5; 1,7444444444...
2 3
  
Números Enteros 
–2; 0; –10000 
 
Números 
Naturales 
1, 2, 3,… 
 
 
 
Números Irracionales 
 
33; 5; 2; ; ;
1, 232233222333...
e
 
3 
 
 
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Notación Se lee Significado Ejemplos 
a S a pertence a S 
a es un elemento del 
conjunto S. 
3  
a S a no pertence a S 
a no un elemento del 
conjunto S. 
5
4
 
S T 
S contenido en T, 
S subconjunto de T, 
 
S es un subconjunto de T, T 
contiene a S, es decir, todo 
elementode S es un 
elemento de T. 
 
esunsubconjuntode 
 
Recta numérica 
Los números reales se representan gráficamente en la recta. Para ello, primero se 
selecciona un punto en la recta que representa el cero, llamado origen, luego se elige un 
segmento unidad, cuya medida se marca sucesivamente a la derecha y a la izquierda del cero. 
Con cada punto sobre la recta asociamos un número con signo, que depende de la posición 
del punto con respecto al origen. Las posiciones a la derecha del origen son consideradas 
positivas y a la izquierda negativas. De esta manera, a cada punto sobre la recta le 
corresponde un único número real único, y a cada real le corresponde un único punto sobre la 
recta. De allí que la llamamos recta de números reales. 
 
Los números reales negativos son los números que se encuentran a la izquierda del 
cero. Simbólicamente se los expresa como a < 0 (a menor que 0). Los números reales 
positivos son los números que se encuentran a la derecha del cero. Expresados como a > 0 
(a mayor que 0) 
 Para comparar dos números reales utilizamos los símbolos mencionados 
< significa es menor que ; > es mayor que 
Pero además se utilizan: 
  significa es menor o igual a ;  es mayor o igual a 
 Dados dos números reales distintos a y b: 
Si a está a la izquierda de b en la recta numérica, entonces a < b. Por ejemplo, 
3
2
   
4 
 
 
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Si a está a la derecha de b en la recta numérica, entonces a > b. Así, 
3
3
2
  
Intervalos 
Muchas veces es necesario trabajar con ciertos subconjuntos de números reales que 
involucran desigualdades, denominados intervalos. Éstos se definen como: 
Sean a y b reales tales que a < b; a y b se denominan extremos. 
Intervalo 
Tipo de 
Desigualdad 
Denominación/ Explicación Representación gráfica 
 ;a b a x b  
Intervalo cerrado: Conjunto de números 
reales x, comprendidos entre a y b. Tanto 
a y b están incluidos. 
 ;a b a x b  
Intervalo abierto: Conjunto de números 
reales x, comprendidos entre a y b. Ni a 
ni b están incluidos. 
 ;a b a x b  
Intervalo semiabierto: Conjunto de 
números reales x, comprendidos entre a y 
b. (a está incluido, b no lo está). 
 ;a b a x b  
Intervalo semiabierto: Conjunto de 
números reales x, comprendidos entre a y 
b. (b está incluido, a no lo está). 
 ;a  x a 
Intervalo no acotado: Todos los reales 
mayores a a (no incluye a) 
 
 ;b x b 
Intervalo no acotado: Todos los reales 
menores a b (no incluye b) 
 
 ;a  x a 
Intervalo no acotado: Todos los reales 
mayores a a (Incluido a) 
 
 ;b x b 
Intervalo no acotado: Todos los reales 
menores a b (Incluido b) 
 
El símbolo  no se considera como un número real. 
 
Valor absoluto de un número real 
Dado un número real a, el valor absoluto de a, denotado por a , es la distancia de a a 
0 en la recta de números reales. La distancia siempre es positiva o cero, de modo que tenemos 
5 
 
 
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0,a a   2 En el cursado de Álgebra y Geometría Analítica se presentarán otras 
definiciones, como por ejemplo
2 , .x x x   
La distancia del –3 al 0 es 3, la distancia de 2 al 0 es 2 y la distancia de 0 a 2 es 2 . 
La distancia del 0 al 0 es 0. Esto se escribe: 
3 3  ; 2 2 ; 2 2 ; 0 0 
 
Oservamos que 3 3  ; 3 3 y 2 2 ; 2 2  , estos ejemplos son suficientes para 
afirmar: Dos números reales opuestos tienen el mismo valor absoluto. 
Simbólicamente: o , ,a b a b a b a b       
 
Ejemplo: Determine, si existen, los valores reales de x que verifican: 
a) 5 3x  
 
b) 2 1 4x   
 
c) 2. 2 1 1 15x   
 
d) 7 2 1x x  
 
Solución: 
a) 5 3 5 3 o 5 3 2 o 8x x x x x            
 
b) 2 1 4x   
 
 No existe ningún número real cuyo valor absoluto sea negativo. 
c) 2. 2 1 1 15 2. 2 1 14 2 1 14 : 2 2 1 7 2 1 7 o 2 1 7x x x x x x                 
 
 2 6 o 2 8 3 o 4x x x x       
 
d) 7 2 1 7 2 1 o 7 (2 1) 2 1 7 o 7 2 1x x x x x x x x x x                    
 
 8 o 3 6 8 o 2x x x x         . Justifique los pasos aplicados. 
 
Redondeo y truncamiento 
En muchas situaciones es necesario considerar solamente algunas cifras de los números 
reales, es decir una aproximación del número. Para aproximar el valor de expresiones 
decimales con varias o infinitas cifras decimales, se puede redondear o truncar dicha 
expresión. Notación  
 
2
 El símbolo  significa para todo. 
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 Truncar: es cortar la expresión en una determinada cantidad de cifras decimales. 
 Redondear: es aproximar la expresión al valor más cercano, con el siguiente criterio: 
 Si el decimal siguiente al que se aproxima es menor que 5, se trunca en la cifra indicada. 
 Si el decimal siguiente al que se aproxima es mayor o igual que 5, se le suma 1 a dicho 
decimal. 
 Truncamiento Redondeo 
Número Al décimo Al centésimo Al décimo Al centésimo 
34,569 34,5 34,56 34,6 34,57 
12,742384 12,7 12,74 12,7 12,74 
4,65 4,6 4,65 4,7 4,66 
8 
2,8 2,82 2,8 2,83 
 
En la práctica se escribe 34,569  34,6 
 
Operaciones con números reales. Propiedades. 
En el conjunto de los reales podemos realizar las operaciones: suma, resta, 
multiplicación, división, potenciación y radicación. En este curso no veremos logaritmo. 
Propiedades de la suma de números reales 
Los números reales son cerrados con respecto a la operación de adición, es decir, para 
cualquier par de números reales a, b, le corresponde como suma un único número real a + b. 
Sean a, b, c números reales. Cada uno de los números de una suma se llama término o 
sumando. 
 Asociativa (la utilizamos para sumar tres o más reales): (a + b) + c = a + (b + c) 
 Conmutativa: a + b = b + a 
 El 0 es el elemento neutro: 0 + a = a + 0 = a 
 Cada número real tiene su opuesto o simétrico con respecto a la suma: 
a + (–a) = (–a) + a = 0 
 
 
 
 
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Suma de números reales 
Suma de dos 
números reales 
Regla de los signos 
3 + 4 = 7 
–3 + (– 4) = –7 
Signos iguales: es otro número real del mismo signo a los dados y cuyo valor 
absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos. 
–2 + 5 = 3 
 2+ (–5) = –3 
Signos distintos: es otro número real cuyo signo es igual al signo del número 
que tiene mayor absoluto y cuyo valor absoluto es igual a la diferencia (posible) 
de los valores absolutos de los sumandos. 
 
Resta de números reales 
En la resta a – b, a es el minuendo y b el sustraendo. Para hallar la resta de números 
reales le sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo. 
Ejemplos: 9 – (–3) = 9 + 3 = 12 –2 – (–11) = –2 + 11 = 9 
 –12 – (+5) = –12 + (–5) = –17 10 – (+13) = 10 + (–13) = –3 
 
Suma (resta) de números racionales 
La suma (resta) de dos o más números racionales es otro número racional. Si tienen: 
a) Igual denominador: 
a b a b
c c c

  
Es otra fracción del mismo denominador y cuyo numerador es la suma (resta) de los 
numeradores. Siguen siendo válidas las reglas de los signos vistas. 
Ejemplos: 
2 4 6
2
3 3 3
   ; 
2 4 2
3 3 3
   
b) Distinto denominador: 
2 4 10 12 2
3 5 15 15
  
    
 
 ; 
7 1 14 1 13
4 8 8 8

   
Se busca el común denominador (mínimo común múltiplo) y se lo divide por cada 
denominador multiplicándolo por su respectivo numerador y luego se realiza la operación 
correspondiente. En los ejemplos, el mínimo común denominador de 3 y 5 es 15. Para 4 y 
8, el mínimo común denominador es 8. 
 
8 
 
 
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Multiplicación (producto) y división (cociente)de números reales 
 Cada uno de los números que figuran en la multiplicación se llaman factores y en una 
división, el primero es el dividendo y el segundo, divisor. 
El conjunto de números reales es cerrado con respecto a la multiplicación, es decir, a todo 
para de números reales a, b le corresponde un único número real a.b (que también se denota 
ab). 
 
Propiedades de la multiplicación 
Sean a, b, c números reales. 
 Asociativa (la utilizamos para multiplicar tres o más reales): (a.b).c = a.(b.c) 
 Conmutativa: a.b = b.a 
 El 1 es el elemento neutro: 1.a = a.1 = a 
 Para cada número real a no nulo, existe su inverso multiplicativo o recíproco 1
1
a
a
  . 
 Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y diferencia de números 
reales: (a  b).c = a.c  b.c 
 
Propiedades que involucran el 0 
El producto de cualquier número real a por 0 es 0. Simbólicamente: a . 0 = 0 
Si el producto de dos números reales es 0, al menos uno de ellos es 0 (teorema del factor 
cero). Simbólicamente: a . b = 0  a = 0 o b = 0 
 
Este teorema puede extenderse a un producto con más de dos factores. Por ejemplo, 
si , , ,a b c d si y solo si al menos uno de los factores , , ,a b c d es cero. 
 
Propiedades cancelativas para la suma y producto 
Si a = b y c es cualquier número real, entonces 
1) a + c = b + c 
2) ac = bc 
Estas propiedades se utilizan en la resolución de ecuaciones. 
 
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Multiplicación con números racionales 
El producto de dos o más números racionales es otro número racional cuyo numerador 
es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. 
.
a c ac
b d bd

 
 
Antes de multiplicar conviene simplificar. 
 
3 12 3
. .10
4 25 4

3
1
12
.
25
2
5
. 10
3.3.2 18
1.5 5
 
 
Recuerda que se simplifica numerador y denominador siempre y cuando ambos sean 
múltiplos de un mismo número. 
 
División con números racionales 
El cociente de dos números racionales es otro número racional, siendo el segundo 
distinto de cero, se obtiene multiplicando el dividendo por el inverso multiplicativo del 
divisor. Simbólicamente: : .
a c a d ad
b d b c bc
  
Ejemplo: 
 
2
20 10 20
:
7 3

3
.
7 10 1
2.3 6
7.1 7
  
La llamada ley de los signos se aplica tanto para el producto como para el cociente de 
números reales. 
Producto / cociente de 
números reales 
Ejemplos Regla de los signos 
+ . + = + + : + = + 3 . 4 = 12 18 : 6 = 3 El producto (cociente) 
de dos números reales 
de igual signo es 
positivo. 
– . – = + – : – = + 
2 1 1
.
3 6 9
   
     
   
(–3) . (–4) = 12 
2 1
: 4
3 6
   
     
   
 
(–18) : (–6) = 3 
+ . – = – + : – = – 3 . (–4) = –12 
2
3
: (–6) = 
1
9
 
El producto (cociente) 
de dos números reales 
de distinto signo es 
negativo. 
– . + = – – : + = – (–3) . 
2
3
 = –2 (–18) : 6 = –3 
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Potenciación en los reales 
Con exponente natural 
La expresión 2
3
 es una potencia de base 2 y exponente 3 que se resuelve 
multiplicando tantas veces la base por sí misma como lo indica el exponente. 
Por ello: 2
3
 = 2 . 2 . 2 = 8 
 
Potencias con base negativa Regla de los signos 
(–2)
3
 = (–2) . (–2) . (–2) = –8 Base negativa, exponente impar, resultado negativo 
(–2)
4
 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2)= 16 Base negativa, exponente par, resultado positivo. 
 
Con exponente entero negativo 
Cuando un número real no nulo está elevado a un exponente negativo, se debe invertir 
la base (inverso multiplicativo de la base) y se la eleva a un exponente de igual valor absoluto 
que el dado pero positivo. 
Ejemplos: 
4
4 1 12
2 16
    
 
; 
3 3
3 2 8
2 3 27

   
       
   
; 
3 2 5
3 3 3 32
:
2 2 2 243
 
     
          
      
En general , 0,
n n
a b a
n
b a b

   
     
   
 
No existe 0 n 
 
La potenciación no es distributiva respecto a la suma y a la resta por lo que primero 
se debe sumar o restar y después elevar a la potencia correspondiente. 
   
2 2 2
2
2 3 2 3
5 4 9
25 13
   
 

 
   
2 2 2
2
5 3 5 3
2 25 9
4 16
   
 

 
 
 
Propiedades Ejemplos 
0 1; , 0x x x   
Todo número 
(distinto de cero) 
elevado a la cero es 
uno. 
 
3
0 
= 1 ; (– 5)
0 
= 1; a
0 
= 1 (a  0) 
 
11 
 
 
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.
, 0, ,
n m n mx x x
x x n m

  
 
El producto de dos o 
más potencias de 
igual base, es otra 
potencia de la misma 
base, cuyo exponente 
es la suma de los 
exponentes dados. 
 
 
2
3
 . 2
1
 = 2
3+1
 = 2
4
 = 16 
 
 (–2)
3
 . (–2)
1
 = (–2)
3+1
 = (–2)
4
 = 16 
 
 
 
:
, 0, ,
n m n mx x x
x x n m

  
 
El cociente de dos 
potencias de igual 
base, es otra potencia 
de la misma base, 
cuyo exponente es la 
diferencia entre el 
exponente del 
dividendo y el 
exponente del divisor. 
5 3 5 3 24 : 4 4 4 16   
7 4 7 4 3( 3) : ( 3) ( 3) ( 3) 27        
 
  .
, 0, ,
m
n n mx x
x x n m

  
 
La potencia de otra 
potencia es una 
potencia de la misma 
base, cuyo exponente 
es el producto de los 
exponentes dados. 
 
4
3 3.4 122 2 2 4096   
 . .
, , , 0; 0,
n n nx y x y
x y x y n

   
 
, , , 0, 0;
n n
n
x x
y y
x y x y n
 
 
 
   
 
La potenciación es 
distributiva respecto 
al producto y al 
cociente 
 
2 2
2
2
2 2
3. 3 .
5 5
6 4
9.
5 25
36 36
25 25
   
      
   
 
  
 

 
 
3 3 315 :5 ( 15) :5 27      
De esta propiedad resulta la potencia de un 
número racional:
 
2 2
2 2 2
2
4 4 16
4 :3 4 :3
3 3 9
 
    
 
 
 
 
12 
 
 
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Ejemplos 
Simplificar los siguientes expresiones: 
a) 
 
 
 
2 22 3 2 333 3 3 2
33 2 2 3 93
2 22 2
. . .
2 22
r rr s s s
s r s s rr
   
     
  
6r
2s
3s
32 9r
33 2
s
r

 
Hemos utilizado sucesivamente las siguientes propiedades: distributiva de la potenciación 
con respecto al cociente, distributiva de la potenciación con respecto a la multiplicación, 
potencia de otra potencia, cociente de potencias de igual base. 
3 5
3 ( 1) 5 2 4 7
1 2
8 8
b) 2
4 4
x y
x y x y
x y

    

 
 3 5 3 5 3 4
1 2 2 1 2 5 7
8 8 8 2
Obien . .
4 4 4
x y x y x x x
x y y x y y y
 
 
  
 
Radicación en los reales 
 Sea , 1n n  , a un número real. La raíz n-ésima de a se indica n a y se define de 
la siguiente forma: 
1. Si 0a  entonces n a es el número real no negativo b tal que elevado a la enésima 
potencia sea igual a a. Esta raíz se denomina raíz enésima principal. 
En símbolos: si ysolosi , 0, 0nn a b b a a b    
2. a) Si 0a  y n impar, entonces n a es el número real negativo b tal que elevado a la 
enésima potencia sea igual a a. 
 En símbolos: si ysolosi , 0, 0, imparnn a b b a a b n    ; 
b) Si a<0 y n par, entonces n a no es un número real. 
 
a se denomina radicando y n índice de la raíz. 
 
Regla de los signos: Una raíz es un número negativo únicamente si el radicando es un 
número negativo y el índice impar. 
 
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No existen las raíces de índice par y radicando negativos en el conjunto de los números 
reales. 
 
Ejemplos: 3 564 8; 125 5; 32 2; 81      no tiene solución real. 
 
Potenciación con exponente fraccionario 
Toda potencia de base positiva de exponente fraccionario es igual a una raíz, cuyo 
índice es el denominador del exponente y cuyo radicando es la base de la potencia elevada a 
un exponente igual al numerador de la potencia dada. 
Simbólicamente , 0, , , 1.
m
n mna a a m n n     
Ejemplos 
3 1
35 1
4 2
3 53 24
1 11 1
2 2 ; ; 6
2 2 6 6
     
        
     
 
 Las propiedades de la potenciación mencionadas para exponentes enteros son válidas 
para los exponentes fraccionarios. Como una raíz puede expresarse como una potencia con 
exponente fraccionario, valen las siguientes propiedades: 
 
Propiedad distributiva de la radicación 
La radicación no es distributiva respecto a la suma y a la resta de números reales, por 
lo que primero se suma o resta y después se extrae la raíz. 
9 16 9 16
25 3 4
5 7
   
 

 
29 16 25 16
9 5 4
3 1
   
 
 
La radicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta. 
 
La radicación es distributiva respecto al producto y al cociente de números reales, por 
lo que se puede resolver de cualquier de las dos maneras. 
4.9 4. 9
36 2.3
6 6
 


 
16:4 16 : 4
4 4:2
2 2
 


 
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Raíz de un número racional: por la propiedad distributiva resulta: ; 0
n
n
n
a a
b
b b
  , 
siempre que las raíces estén definidas. 
Ejemplo 
3
3
3
27 27 3
81 481
  
 
Raíz de raíz: la raíz de raíz es otra raíz del mismo radicando cuyo índice resulta de 
multiplicar los índices dados. 
Ejemplo: 
3 3.2 6729 729 729  
 
Simplificación de índices y exponentes: 
. .m p mn p na a bajo el supuesto de que las raíces 
estén definidas en los reales. 
Operaciones combinadas 
Intervienen todas las operaciones definidas. En general, el orden de resolución de 
estas operaciones es el siguiente: 
1. Resolver operaciones dentro del paréntesis, si los hubiera. Siguiendo el orden que se 
menciona a continuación: 
2. Potencias y raíces. 
3. Multiplicaciones y divisiones. 
4. Sumas y restas, trabajando de izquierda a derecha. 
 
Radicales 
Un radical es una raíz indicada, siempre que esa operación sea posible en el conjunto 
de los números reales. 
Por ejemplo 53, 17
 
 
Extracción de factores fuera del radical 
Ejemplo 1 
Sea 3 40 un radical del que se quieren extraer todos los factores posibles del radicando. 
Factorizando el radicando en producto de factores primos (2, 3, 5,7,…. etc.), 40 = 2
3
. 5 y por 
la propiedad distributiva de la radicación con respecto al producto se tiene: 
15 
 
 
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33 3 33 340 2 .5 2 . 5  
Simplificando índice y exponente, se tiene: 3 340 2. 5 
Ejemplo 2 
Extraer factores del radical
7 448x y z 
Factorizamos 48: 48 = 2
4
. 3 
Se descomponen los factores de exponente mayor a 2 en múltiplos de él: 
7 6.x x x ; 4y ya tiene un exponente múltiplo de 2. Reemplazando, aplicando la propiedad 
distributiva y al simplificar índice y exponente, queda. 
7 4 4 6 4 4 6 4 2 3 248 2 .3. . . . 2 . 3. . . . 2 . 3. . . .x y z x x y z x x y z x x y z   
Luego, agrupando todos los radicales bajo un mismo radical: 
7 4 2 3 248 2 3x y z x y xz 
En la práctica, para extraer factores fuera de un radical, se divide cada exponente por el 
índice del radical y el cociente será el exponente del factor fuera del radical, siendo el resto 
de la división el exponente del factor que figura en el radicando. 
 
Ejemplo 3 
Aplicando la regla mencionada para extraer factores de 
5 17 9m n se tiene 
17 : 5 , cociente 3 y resto 2. 
9 : 5, cociente 1 y resto 4. 
Luego, 
5 517 9 3 2 4.m n m n m n 
 
Introducción de factores dentro del radical 
Ejemplo 1: sea el radical 15 2 en el que se desean colocar todos los factores bajo signo 
radical. Factorizamos el número 15 = 3.5 
Si a un número se lo eleva a una potencia y al resultado se le extrae la raíz del mismo grado, 
el resultado no varía, por lo tanto:  
2
3.5 3.5 
Reemplazando en 15 2 por lo hallado y aplicando propiedad distributiva y escribiendo 
todos los factores bajo un mismo radical: 
16 
 
 
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 
2 2 2 2 215 2 3.5 2 3.5 . 2 3 . 5 . 2 3 .5 .2   
 
 
En la práctica, se puede introducir un factor de un radical dentro del mismo, multiplicando 
su exponente por el índice del radical. 
 
Ejemplo 2: 
32 2.3 1.3 6 3 7 43 3 37 . 7.5 7 . .7.5 7 .7.5. . 7 .5.x x x x x x x   
 
Reducción de radicales a mínimo común índice 
El mínimo común índice de varios radicales, es el mínimo común múltiplo de todos 
ellos. 
Ejemplo 1: Reducir a mínimo común índice entre 3 25 y 2 
Mínimo común múltiplo (m.c.m) entre 3 y 2 es 6; luego se multiplica cada índice y el 
exponente de cada uno de los radicandos por el cociente entre el m.c.m y los índices dados. 
6 : 2 = 3; 6 : 3 = 2, se tiene: 
3 3.2 62 2.2 45 5 5  
2.3 61.3 32 2 2  
Ejemplo 2: Reducir a mínimo común índice entre 
8 3 243 y 5x y 
El m.c.m(8, 4) = 8 
Luego, para 
8 33x no necesita multiplicar los índices y los exponentes. 
8 : 4 = 2  
2 1.2 2.2 2 44.2 84 5 5 5y y y 
 
 
Operaciones con radicales 
Suma y resta 
Antes de definir la suma y resta, definimos radicales semejantes. 
Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen igual índice e igual radicando y que, 
por lo tanto, difieren únicamente en los factores o coeficientes que afectan al símbolo de la 
radicación. 
Ejemplos: 3 32 7 y 7 son semejantes entre sí. 
17 
 
 
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1
3 5 ; 21 5 ; 5
2
x x x son semejantes entre sí. 
La suma (resta) de radicales semejantes es el radical semejante a los dados, cuyo coeficiente 
es la suma (resta) de los coeficientes de dichos radicales. 
Ejemplos 3 3 3 32 7 7 (2 1) 7 7    
 
1 1 35
3 5 21 5 5 3 21 5 5
2 2 2
x x x x x
 
        
 
 
Al intentar sumar 4 47 2 32 , se observa que los radicales no son semejantes. Pero en el 
segundo, es posible factorizar y extraer factores fuera del radical: 4 5 44 32 2 2 2  , 
reemplazando en la suma: 
 4 4 4 4 447 2 32 7 2 2 2 7 2 2 9 2     
 
 
Si los radicales no son semejantes, se debe verificar si al extraer factores se lograr la 
semejanza entre los términos. 
 
Ejemplo: 
 2 2 250 18 200 2.5 2.3 2.10 5 2 3 2 10 2 5 3 10 2 12 2            
 
 
Multiplicación 
a) Radicales de igual índice 
Sea multiplicar 4 47 2 . 5 32 , por propiedad conmutativa, asociativa del producto y 
propiedad distributiva de la radicación con respecto al producto, se tiene: 
4 4 4 47 2 . 5 32 7.5. 2.32 35 64  
 
b) Radicales con índice distinto 
En el caso que los radicales no sean de igual índice, se reducen a tales, buscando el 
mínimo común índice. 
Por ejemplo, 
5 3 23 2 . 5 2x xy  
Reduciendo a m.c.m.(5, 2) = 10 
18 
 
 
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 
2
5 103 2 3 2 65.23 2 3 2 3 2x x x     
 
5
2 5 5 2 5 5 10102.55 2 5 2 5 2xy x y x y  
Luego: 
5 103 2 2 6 5 5 10 2 6 5 5 10 7 11 1010 10 103 2 . 5 2 3 2 .5 2 15 2 .2 15 2x xy x x y x x y x y       
 
División 
Para dividir radicales, también es necesario que tengan igual índice y en caso 
contrario se los transforma hasta obtenerlo. 
     
12 8
3 3 2 12 8 3 3 9 53 4 4 12 12 1212
3 3
3 2 .3 3
3 72 : 2 6 3 2 .3 : 2 2.3 3 2 .3 : 2 2 .3 2 .3
2 2 .3 2
   
 
 
Racionalización de denominadores 
Dada una fracción cuyo denominador sea un radical, racionalizar dicho denominador 
significa encontrar otra fracción equivalente a la dada, cuyo denominador sea un número 
racional. 
a) Denominador con radical único 
a.1) Radical cuadrático 
 Se multiplica numerador y denominador por el radical dado. 
Ejemplos: 
2
2 2 3 2 3 2 3
33 3 3 3
   
 
 
23 3
3 3 3 2
3
4 4 2 4 . 2 4
2 2 2 2
x x x x x
x x x x
   
x 3
1
2
2
x
3x
3
2
2 2x
x

 
Recuerda que al multiplicar numerador y denominador por un mismo número real no nulo, 
el valor de la fracción no se altera. 
 
a.2) Radical de cualquier índice 
 Para racionalizar una fracción cuyo denominador es una raíz queno es cuadrada se 
extraen del mismo todos los factores posibles. Luego se multiplican numerador y 
denominador por el radical del mismo grado que el de su denominador cuyo radicando tenga 
por exponente a la diferencia entre índice y exponente. 
19 
 
 
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Ejemplo: 
a
a
a
a
aa
a
a
a
aa
a
aa
5 3
5 5
5 3
5 32
5 3
5 3
5 3
5 25 25
5 25
5 25 2
111





 
 
b) El denominador es un binomio suma (a + b) o resta (a – b) 
 Para racionalizar se multiplica numerador y denominador por el conjugado del 
denominador. 
 
Recuerda que el conjugado de un binomio es otro binomio cuyo primer término es igual al 
dado pero el signo del segundo es el opuesto. Así para a + b su conjugado es a – b. 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
   
 2
2
3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 23 3
b.1) 3. 3 2
3 4 13 2 3 2 3 2 3 2
   
       
    
 
 
Diferencia de cuadrados: la suma de dos números por su conjugado es igual a la 
diferencia de sus cuadrados: (a + b).(a – b) = a
2
 – b
2
 
 
 
 
 
 
   
 
2 2
2 2 2
b.2)
22 2 2 2
x x x x x x x xx x
x xx x x x x x x x
  
    
   
 
 
x

 2x x
x

2x x 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Bibliografía 
Butigué, S. (et al.). (2018). Módulo de matemática. Encuentros de integración universitaria. 
Rio Cuarto, Argentina: UniRio editora. 
Felissia, A., Canteros L. y Fregona D. (2011). El libro de la Matemática 7. San Isidro, 
Argentina: Estrada. 
Lial, M. y Hungerford, T. (2000). Matemáticas para administración y economía. 7ª ed. 
México: Pearson Educación. 
Rodhe, G. (et al.). (s. f). Introducción a las ciencias económicas. Módulo de matemática. 
Facultad de Ciencias Económicas. UNNE. 
Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2012). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. 6ª ed. 
San Niccolás Tolentino, México: Cengage Learning. 
Swokowski, E. y Cole, J. (2018). Precálculo – álgebra y geometría analítica. 1º ed. Cengage 
Learning. 
Tajani, M. y Vallejo, M. (1981). Álgebra 3. Buenos Aires, Argentina: Cesarini hnos. 
21 
 
Mgter. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
Unidad N° 2: Polinomios – Expresiones algebraicas Fraccionarias 
 
Contenidos: Polinomios. Grado. Especialización o valor numérico. Raíz de un polinomio. 
Operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Regla de Ruffini. Teorema del resto. 
Factorización. Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificación. Operaciones. 
 
Polinomio 
Definición: Denominaremos polinomio con coeficientes reales a toda expresión de la forma 
1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      donde 0 1 2 1 0, , ,..., , ,n nn a a a a a  , que 
llamaremos sus coeficientes y x es la variable o indeterminada. 
 
Cada expresión 1 2
1 2 1 0; ; ...; ; ;
n n
n na x a x a x a x a


 en la suma es un término del polinomio. Si 
algún coeficiente es cero, por lo general se elimina el término que lo contiene. En particular, 
el coeficiente na que da la máxima potencia se llama coeficiente principal, si es distinto de 
cero; 0a se llama término independiente. 
Ejemplo 1: 
 4 3 2
1
P( ) 2 5 3.
4
x x x x x     En este caso, 4n  4 3 2 1 0
1
2, 1, , 5, 3
4
a a a a a       . 
El coeficiente principal de P( )x es 2 y su término independiente, 3. Este polinomio está 
ordenado según las potencias decrecientes de x . Es completo, porque ningún coeficiente 
es cero. 
 3 2Q( ) 2 4.x x x    Para este polinomio, 3n  , 3 21, 2a a    1 00, 4a a   . Su 
coeficiente principal es –1 y su término independiente es –4. Está ordenado según las 
potencias decrecientes de x , pero no es completo, ya que el coeficiente de x es 0. Se lo 
puede completar escribiendo 3 2Q( ) 2 0 4x x x x     
 R( ) 2x x  . Para R, 1n  1 01, 2a a  
 S( ) 6x   ; 0n  ; 0 6a   
 
Las siguientes expresiones no son polinomios: 
2
2
1 5
3 ; ; 3 2
2
x
x x x
x x

  
 
22 
 
 
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Igualdad de polinomios 
 Dos polinomios son iguales si y solo sí tienen el mismo grado y los coeficientes de 
potencias de x semejantes son iguales. 
 
Polinomio Nulo 
Llamaremos polinomio nulo o cero al que tiene todos sus coeficientes nulos y lo 
notaremos con O. Vale decir 0 2O( ) 0 0 0 0 0 0 ...x x x x x       
 
Grado de un polinomio 
Definición: Sea P( )x un polinomio no nulo, es decir, P(x) tiene al menos un coeficiente 
distinto de cero. Si n es un número natural, diremos que P( )x tiene grado n cuando el 
coeficiente de grado n de P( )x es distinto de cero y los de grado mayor que n son todos 
nulos. Esto es equivalente a decir que P( )x es de la forma 1 2
1 2 1 0...
n n
n na x a x a x a x a

     
con 0na  . 
 
Escribimos gr(P) = n 
En el ejemplo 1 es: gr(P) = 4 ; gr(Q) = 3; gr(R) = 1; 
gr(S) = 0(S es un polinomio de grado 0) 
El polinomio nulo carece de grado 
 
Monomio, binomio y trimomio 
Denominaremos monomio en x de grado n a toda expresión de la forma 
nax donde a es 
un número real distinto de cero. Es decir, un monomio es un polinomio que tiene a lo sumo 
un único coeficiente no nulo. Por ejemplo, 5 02 , ,4x x x son monomios de grado cinco, uno y 
cero respectivamente. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma 
de tres monomios. De este modo, en todo polinomio en x 
1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      , el símbolo + corresponde a la suma de cualquier 
número de monomios en x: 1 2
1 2 1 0; ; ...; ; ; .
n n
n na x a x a x a x a


 
 
23 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Especialización o valor numérico 
Sea a y el polinomio 1 21 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      . Se llama 
especialización o valor numérico de P(x) en a, al número real
1 2
1 2 1 0P( ) . . ... . .
n n
n na a a a a a a a a a

      , vale decir el número que se obtiene 
reemplazando la indeterminada x por a y efectuando las operaciones indicadas. 
Observación: P(a) no significa el producto de P por a. 
 
Ejemplo 
Calculamos la especialización o valor numérico para x = 0, x = 1 y x = –2, sabiendo que
4 2P( ) 7 2 5x x x x    
 
4 2 4 2P(0) 7.0 0 2.0 5 5; P(1) 7.1 1 2.1 5 7 1 2 5 11                  
 
4 2P( 2) 7.( 2) ( 2) 2.( 2) 5 112 4 4 5 125               
 
 
Raíz de un polinomio: valor particular en la especialización 
Sea a y el polinomio P( )x . Diremos que el número real a es raíz de P(x) si 
P(a) = 0 . Es decir la especialización de P(x) en a vale 0. 
Ejemplo: 2 es una raíz del polinomio
3P( ) 8x x  pues 3P(2) 2 8 8 8 0     . Para hallar 
las raíces de un polinomio, se puede plantear la ecuación P(x) = 0. En el ejemplo, 
3 3 3P( ) 8 0 8 8 2x x x x        
 
Operaciones entre polinomios 
Suma 
Dados dos polinomios P( )x y Q( )x , el polinomio (P + Q)(x) se obtiene sumando los 
coeficientes de los monomios del mismo grado. 
En la práctica, para sumar dos polinomios suelen disponerse según un esquema 
similar al utilizado para la suma de números naturales, encolumnando los monomios de igual 
grado (agregando aquellos que tienen coeficiente 0 en caso de ser necesarios) y luego 
sumando por columna. 
Ejemplo. Sean 4 2
1
P( ) 5 3
2
x x x x    y 
3 2Q( ) 6 2 3 2x x x x   
 
24 
 
 
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4 3 2
3 2
4 3 2
1
P( ) 5 0 3
2
Q( ) 6 2 3 2
5
(P+Q)( ) 5 6 2
2
x x x x x
x x x x
x x x x x
    

   
    
 
Otro método válido para la suma es observar los monomios de igual grado y sumarlos 
entre sí sin encolumnarlos. 
La suma de polinomios cumple con las mismas propiedades de la suma de números 
reales: asociativa, conmutativa, existencia de elemento neutro (polinomio nulo), existencia de 
elemento opuesto (polinomio opuesto, que resulta de cambiarde signo todos los términos del 
polinomio dado, es decir si 1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      
su opuesto es 
1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

       ). 
 
Resta o diferencia 
La resta entre dos polinomios se obtiene restando los coeficientes de los monomios de 
igual grado. También se la puede obtener sumando al minuendo el polinomio opuesto al 
sustraendo. Es decir, si P y Q son polinomios P – Q = P + (–Q) , siendo –Q el opuesto de Q. 
Sea restar los polinomios 4 2
1
P( ) 5 3
2
x x x x    y 
3 2Q( ) 6 2 3 2x x x x   
 
Primer procedimiento 
4 3 2
3 2
4 3 2
1
P( ) 5 0 3
2
Q( ) 6 2 3 2
3
(P Q)( ) 5 6 5 4
2
x x x x x
x x x x
x x x x x
    

   
     
 
Segundo procedimiento 
4 3 2
3 2
4 3 2
1
P( ) 5 0 3
2
Q( ) 6 2 3 2
3
(P Q)( ) 5 6 5 4
2
x x x x x
x x x x
x x x x x
    

     
     
 
 
25 
 
 
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Multiplicación o producto 
El polinomio producto (P. Q) (x) se obtiene multiplicando cada monomio de P por 
cada uno de los monomios de Q y sumando los monomios resultantes. 
Ejemplo: Sean P( ) 2x   y 4 2Q( ) 5 3 8x x x  
 
 4 2 4 2(P.Q)( ) 2. 5 3 8 10 6 16x x x x x       
 
El producto de un polinomio por un número real (polinomio de grado 0) se resuelve 
aplicando la propiedad distributiva. 
 
Ejemplo: Dados 4P( ) 3x x  y 3
2
Q( )
6
x x 
 
 4 3 4 3 7
5 5 5
(P.Q)( ) 3 . 3. .
6 6 2
x x x x x x
   
         
    
 
El producto de dos monomios se obtiene multiplicando los coeficientes entre sí y por otro 
lado, las potencias de x entre sí.
 
 
Ejemplo: Dados 4P( ) 5 2x x x   y 3 2Q( ) 6 2 2x x x  
 
   4 3 2(P.Q)( ) 5 2 . 6 2 2x x x x x     
     4 3 2 3 2 3 25 . 6 2 2 . 6 2 2 2. 6 2 2x x x x x x x x          
 Aplicamos propiedad distributiva 
7 6 4 4 3 3 230 10 10 6 2 2 12 4 4x x x x x x x x          
Sumamos términos semejantes 
7 6 4 3 230 10 16 14 4 2 4x x x x x x       
 
Para multiplicar dos polinomios P y Q también se los puede disponer en forma similar 
al de la suma y la resta. Para los polinomios del ejemplo anterior se tiene: 
26 
 
 
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4 3 2
3 2
4 3 2
6 5 4 3 2 2
7 6 5 4 3 3
7 6 5 4 3 2
P( ) 5 0 0 2
Q( ) 6 2 2
10 0 0 2 4 2.P( )
10 0 0 2 4 2 .P( )
30 0 0 6 12 6 .P( )
30 10 0 16 14 4 2 4 (P.Q)( )
x x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
    
  
    
      
    
       
 
 
 
El grado del producto de dos polinomios no nulos, es igual a la suma de sus grados.
 
 
El producto de polinomios es asociativo y conmutativo. 
 
División 
Dados dos polinomios P(x) y Q(x) llamados divisor y dividendo respectivamente, 
siendo Q(x)  0, entonces existen y son únicos dos polinomios C(x) y R(x), denominados, 
cociente y resto respectivamente, tales que: 
P(x) = Q(x).C(x) + R(x) y gr(R) < gr(Q) o R(x) = 0 
 
La división concluye al obtenerse como resto un polinomio de menor grado que el del 
divisor o el resto es el polinomio nulo.
 
 
En general para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera: 
1. Se ordenan, según las potencias decrecientes de la misma variable, el dividendo y el 
divisor y se completa el dividendo. 
2. Se dividen el primer término del dividendo y el primero del divisor, obteniéndose el 
primero del cociente. 
3. Se multiplica el término obtenido por el divisor, y se resta este producto del dividendo, 
obteniéndose un nuevo dividendo parcial. 
4. Se reitera el procedimiento indicado en 2 y 3, hasta que el resto sea el polinomio nulo o 
bien un polinomio de grado menor que el del divisor. 
 
Ejemplo: Sea dividir 5 3 2P( ) 2 3 5 2x x x x     por 3Q( ) 2x x 
 
Teniendo en cuenta lo indicado es 
27 
 
 
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5 4 3 2 3
2
2 0 3 2 0 5 2
2
x x x x x x
x
      
 
 
52x 4 3 2 3
5
0 3 2 0 5 2
2
x x x x x
x
     
 2 2
3 2
4 2
3 2 0 5
x x
x x x
 
  
 
 
52x 4 3 2 3
5
0 3 2 0 5 2
2
x x x x x
x
     
 2 2
3
4 2 3 C( )
3
x x x
x
   
2
3
2 0 5
3
x x
x
  

2
6
2 0 1 R( )x x x

  
 
La división finaliza porque el grado del resto obtenido es menor al grado del divisor. 
 
El grado del polinomio cociente es igual a la diferencia entre los grados del dividendo y 
del divisor, si el grado del primero es mayor o igual que el segundo
 
 
Ejemplos: sean dividir P y Q en los siguientes casos 
5 3i) P( ) 2x x x x    ; 2Q( ) 2x x 
 
4 2ii) P( ) 1x x x   ; Q( ) 2x x 
 
Solución: 
5i) x 4 3 2 2
5
0 0 2 2x x x x x
x
    
 3
3
1 1
2 2
x x
x

2
3
0 2x x
x
 

2x
 Luego 3
1 1
C( )
2 2
x x x  y R( ) 2x x  
28 
 
 
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4ii) x 3 2
4
0 0 1 2x x x x
x
    
 3 3 2
3
2 2 5 10
2
x x x x
x
   
 2
3
0 1
2
x x
x
  
 2
2
4
5
x
x

2
0 1
5
x
x
 
 10
10
x
x

 1
10x

20
21

 
Luego 3 2C( ) 2 5 10x x x x    y R(x) = 21 
 
Regla de Ruffini: caso particular de la división 
En el ejemplo ii) de la división, se han obtenido como cociente y resto a 
31 1C( )
2 2
x x x 
 
y R( ) 21x  , respectivamente. Cuando el divisor es de la forma 
Q(x) = x – , es decir, es un polinomio de grado 1 con coeficiente principal 1 (polinomio 
mónico), tenemos una regla más sencilla para la división. Esta regla se denomina regla de 
Ruffini y nos proporciona un procedimiento para calcular los coeficientes del cociente y el 
resto sin efectuar el algoritmo de la división expuesto, como se indica en el siguiente 
esquema: 
 
1 0 1 0 1
coeficientesdeldiviendo(ordenadoen forma decreciente ycompleto)
2 2 4 10 10
1 2 5 10 21 Resto

  
  
 
 Coeficientes del cociente 
Opuesto al término independiente del divisor 
 
¿Cómo se obtuvieron los coeficientes 1, –2, 5, –10 y 21? Así: 
El primer valor, 1 en este caso, coincide con el valor del coeficiente principal del 
dividendo. Este valor se multiplica por (–2). 1 = –2 (obteniéndose el primer valor de la 
segunda fila). Sumándolo con el valor del coeficiente que ocupa esa columna se obtiene 
–2 + 0 = –2. Volviendo a multiplicar a este resultado (–2) por el opuesto del término 
29 
 
 
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independiente del divisor, (–2).( –2) = 4 (segundo valor de la fila 2), sumándolo con el valor 
correspondiente de la columna: 4 + 1 = 5 (tercer valor de la tercer fila). De esta manera se 
obtienen los demás coeficientes. 
 
El procedimiento general a seguir es el siguiente: 
 En la primera fila se escriben los coeficientes del dividendo
1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      , en forma ordenada y completa: 
1 2 3 1 0, , , ,..., ,n n n na a a a a a   
 En el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término independiente del divisor:  
 En la tercera fila se obtienen los coeficientes del cociente y el resto. 
 El primer coeficiente de cociente es el primero del dividendo (
na ). Los restantes 
coeficientes del cociente se obtienen multiplicando el anterior por el número que figura en 
el ángulo izquierdo y sumando este producto, que se coloca en la segunda fila, al 
correspondiente de la primera. Así: 
1 1 αn nb a a  , 2 2 1αnb a b  , 3 3 2αnb a b  y en 
general 
1 1 2αn nb a b   
 El último número así obtenido es el resto, que separamos de los anteriores con un trazo 
vertical: 
0 1R( ) α nx a b   
 El grado del cociente es el grado del dividendo menos 1. 
 El polinomio cociente es 1 2 2
1 3 2 1Q( ) ...
n n
n n n nx a x b x b x b x b
 
        
1 2 3 1 0
1 2 2 1
1 2 3 1
...
...
α α α α ... α α
... R( )n n n n
n n n
n n
a a a a a a
a b b b b
a b b b b x
  
 

          
 
 
Ejemplos: Obtenga el cociente y el resto de la división de 3 5P( ) 2 2 1x x x x    ; 
Q( ) 1.x x 
 
 
1 0 2 0 2 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0
 
  
  
 
30 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
4 3C( ) 1x x x x     y R( ) 0x  . En este caso se dice que “Q divide a P” o el polinomio “Q 
es divisor de P”, “P es divisible por Q” o bien “P es múltiplo de Q”. 
 
Definición de divisibilidad 
Si P(x) y Q(x) son dos polinomios, diremos que Q(x) divide a P(x) o también P(x) es 
múltiplo de Q(x) si existe un polinomio C(x) tal que P(x) = Q(x).C(x) 
Lo anterior nos permite afirmar que: 
 
Q(x) divide a P(x), Q(x)  0 si y solo si el resto de dividir P(x) por Q(x) es igual al 
polinomio nulo. 
 
Teorema del Resto 
Sea el número real a y el polinomio P( )x . El resto de la división entre P(x) y Q(x) = x – a es 
el valor numérico de P(x) en a. 
 
Es decir, el resto R(x) de la división de P(x) : (x – a) es P(a) . Simbólicamente R(x) = P(a) 
Ejemplos: 
En la división entre los polinomios ya analizados 4 2P( ) 1x x x   ; Q( ) 2x x  es 
4 2P( 2) ( 2) ( 2) 1 21 resto        
Y en la división entre 3 5P( ) 2 2 1x x x x    ; Q( ) 1x x 
 
3 5P(1) 2.1 1 2.1 1 0 resto      
 
Corolario del Teorema del Resto 
Un número real a
 
es raíz de un polinomio P( )x si y solo sí Q(x) = x – a divide a P(x). 
A partir de esto, se define el orden de multiplicidad de una raíz. 
 
Orden de multiplicidad de una raíz 
La raíz a del polinomio P( )x tiene orden de multiplicidad n si P( )x es divisible 
por  
n
x a y no lo es por  
1n
x a

 . 
 
31 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ejemplos: 
1) Dado el polinomio
4 2M( ) 3 9x x x mx    , halle el valor de m tal que: 
a) El resto de dividir M(x) por x – 2 resulte 51. 
b) M(x) sea divisible por P( ) 1x x  (Esta consigna podría plantearse de la siguiente 
manera, “–1 sea raíz de M(x)”. El procedimiento de búsqueda del valor de m es el 
mismo). 
Respuestas: 
a) Este ejercicio puede resolverse utilizando el teorema del resto o la regla de Ruffini. 
 Primer procedimiento: teorema del resto 
 Por dato, el resto de la división de M por x – 2 es 51; de acuerdo al teorema del resto, esto 
significa que M(2) = 51. Luego
4 2 51 35M(2) 3.2 2 2. 9 51 35 2 51 8
2
m m m

          
 
 Segundo procedimiento: regla de Ruffini 
3 0 1 9
2 6 12 22 44 2
3 6 11 22 35 2 51
m
m
m m
 

  
 
 Se iguala 35 + 2m a 51, ya que es el resto buscado. Despejando, se obtiene m = 8 
b) Nuevamente pueden utilizarse los procedimientos mencionados en el ítem a). 
 Primer procedimiento: teorema del resto 
 
4 2M( 1) 0 3.( 1) ( 1) 9 0 7 0 7m m m                
 
 Segundo procedimiento: regla de Ruffini 
3 0 1 9
1 3 3 2 2
3 3 2 2 7 0
m
m
m m
 
   
     
 
 
 Despejando m, se tiene m = –7 
 
2) Sabiendo que 1 es raíz de
3 2Q( ) 3 6 3x x x x   , determine su orden de multiplicidad. 
 Primer procedimiento: regla de Ruffini 
32 
 
 
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2
3 6 3
1 3 3
3 3 0 Cociente3 3
1 3
3 0 Cociente3
x x
x


 
 
 Luego, 
 
  
 
   
22
3 1
Q( ) 1 3 3 1 3 ( 1) 3 1
x x
x x x x x x x x x

       
 
La raíz 1 tiene orden de multiplicidad 2 o también se puede decir que 1 es raíz doble. De la 
factorización podemos ver que 0 también es raíz de Q(x), ya que ese valor anula el 
polinomio y se dice que 0 es raíz simple. 
 
 Segundo procedimiento: factorizando el polinomio 
 Al factorizar Q(x) 
   
23 2 2Q( ) 3 6 3 3 2 1 3 1x x x x x x x x x       
 
 Observamos que (x – 1) es un factor elevado al cuadrado de Q(x), es decir 1 tiene orden de 
multiplicidad 2. 
 
Factorización de polinomios: casos 
Como en el último ejemplo, muchas veces conviene factorear un polinomio, es decir 
expresarlo como producto de polinomios irreducibles. Un polinomio P(x) es primo o 
irreducible si no se puede descomponer en un producto de polinomios de grado positivo, 
menor que el grado de P. Algunos de los casos de factoreo son los siguientes: 
o Factor común: se trata de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la 
suma. Si en cada uno de los términos de un polinomio interviene un mismo factor, a éste 
se llama factor común del polinomio. 
Ejemplos:  2 2 . 2x x x x    , x es el factor que está presente en todos los términos. 
    2 3 2 2 3 23 6 3 . 1 2 o bien 3 6 3 . 1 2x x x x x x x x          
Observese que este caso de factoreo se utiliza con polinomios con término independiente 
0. 
33 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
o Factor común por grupos: agrupar convenientemente la expresión y observar que cada 
grupo así formado tenga, en efecto, un factor común. Se puede utilizar para un número par 
de términos. 
Ejemplos 
           3 2 3 2 23 6 4 8 3 6 4 8 3 . 2 4. 2 3 4 . 2x x x x x x x x x x x               
El factor común en cada grupo es (x – 2). 
           4 2 3 4 2 3 2 2 2 2 22 2 2 2 2 . 1 . 1 2 . 1x x x x x x x x x x x x x x x              
Aquí el factor común en cada grupo es (x2 + 1) 
 
           
  
1 1 1 1 1 1
1 1
xy x y y xy x y x y y x y
x y
                
  
 
 
o Diferencia de cuadrados: se sabe que    2 2 .a b a b a b    , o sea una diferencia de 
cuadrados es igual al producto entre la suma y la diferencia de sus bases: 
Ejemplo:    2 9 3 . 3x x x     , las bases de las potencias son x y 3. 
  
2
22 1 1 1 14 2 2 . 2
4 2 2 2
x x x x
     
           
     
 
    
2 2 2 . 2x x x    
 
 
o Trinomio cuadrado perfecto: se sabe que  
2 2 22a b a ab b    y 
 
2 2 22a b a ab b    . Los segundos miembros se llaman trinomios cuadrados perfectos, 
porque son el cuadrado de un binomio suma o diferencia, respectivamente. 
 Ejemplos 
 
22 2 21 2 1 2.1. 1x x x x x        
    
2 22 24 12 9 2 2.(2 ).3 3 2 3x x x x x       
 
 
         
2 222 2 4 2 2 29 24 16 3 2. 3 . 4 4 3 4a ab b a a b b a b       
 
 
o Cuatrinomio cubo perfecto: teniendo en cuenta  
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b     y 
 
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b     . 
34 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ejemplo:  
33 2 3 2 2 312 6 8 3.2 . 3.2. 2 2x x x x x x x        
 
 
Combinación de casos de factoreo 
A veces, para factorear un polinomio y lograr que los factores sean irreducibles es 
necesario aplicar al menos dos casos. 
Ejemplo 1: factorizar 2x
3
 – 20x
2
 + 50x 
Podemos extraer factor común 2x 
 3 2 22 20 50 2 10 25x x x x x x    
 
Pero el polinomio dentro del paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto 
 
22 2 210 25 2. .5 5 5x x x x x      
 
De este modo tenemos: 2x3 – 20x2 + 50x = 2x.(x – 5)2 
 
Ejemplo 2: factorizar 9x3 – 36x 
Extrayendo factor común 9x, 9x3 – 36x = 9x. (x2 – 4) 
Observamos que el polinomio que se encuentra dentro del paréntesis es una diferencia de 
cuadrados, por lo que se tiene: 9x3 – 36x = 9x. (x2 – 4) = 9x. (x – 2).(x + 2). De esta manera y 
por el teorema del factor cero, las raíces de ese polinomio son x = 0, x = 2 y x = –2. 
 
Un importante teorema sobre la factorización 
Aunque no enunciaremos el teorema, ya que escapa a los contenidos de este apunte. 
La idea fundamental es que si un polinomio 1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      de 
grado mayor o igual a 1 admite n raíces 1 2 3, , ,... n    , entonces P(x) se puede expresar 
1 2 3P( ) ( )( )( )....()n nx a x x x x        
 
Expresiones algebraicas fraccionarias 
Definición: Denominaremos expresión algebraica fraccionaria o también fracción 
racional a toda expresión de la forma 
P( )
Q( )
x
x
donde P( )x y Q( )x son polinomios con 
coeficientes reales y Q(x) distinto del polinomio nulo, que se llamarán numerador y 
denominador de la fracción respectivamente. 
 
35 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Como la división entre cero no está permitida, el dominio de
P( )
Q( )
x
x
 está formado por todos los 
números reales, excepto aquellos que hagan que el denominador sea cero. Por ejemplo: 
Fracción racional 
El denominador 
es cero si 
Dominio 
2
2
6 5 4
9
x x
x
 

 3x   Toda 3x   
4 23 1
2 1
x x
x
 

 
1
2
x   Toda 
1
2
x   
 
Simplificación 
Como las variables de una expresión racional representan números reales, podemos 
usar la propiedad del cociente .
ad a d
bd b

d
.1
a a
b b
 
 
donde bd 0, es decir b 0 y d 0. A 
veces este proceso de simplificación se describe al decir que un factor común diferente de 
cero en el numerador y el denominador de un cociente se puede cancelar. Entonces, para 
simplificar una expresión algebraica fraccionaria se factorea el numerador y el denominador, 
cancelando factores comunes. Por ejemplo: 
1) 
 2
2
24
2
xx
x x



 
 
. 2
. 2
x
x x


2
, 2
x
x
x

   
2) 
 
22
2
36 9
9
xx x
x
 

    3 . 3x x 
3
, 3
3
x
x
x

  

 
3) 
 
 
 
222
2 2
4 4 4 4. 24 16 16
2 8 2 4
x x xx x
x x
   
 
     2 2 . 2x x 
 2. 2
, 2
2
x
x
x

  

 
Una expresión racional se simplifica o se reduce a su mínima expresión si el 
numerador y el denominador no tienen factores comunes polinomiales. En los ejemplos 
dados hemos obtenido la mínima expresión. 
 
36 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Operaciones 
Suma y resta 
Para sumar (restar) expresiones algebraicas fraccionarias se procede a la regla para 
sumar (restar) fracciones en el conjunto . 
P R A+B
Q S (Q,S)mcm
  ; 
P R A B
Q S (Q,S)mcm

  
Siendo mcm (Q, S) el mínimo común múltiplo entre Q y S, A y B se obtienen de hacer la 
operación: 
(Q,S)
A .P
Q
mcm
 y 
(Q,S)
B .R
S
mcm
 
O sea: 
1. Se halla el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y se toma como 
denominador de la suma (o resta). 
2. Se divide el mcm hallado por cada denominador y este cociente se multiplica por el 
correspondiente numerador. 
3. Se suman (restan, según sea el caso) los polinomios obtenidos en 2., y esta suma (o 
diferencia) es el numerador de la fracción resultante. 
4. Si es posible, se simplifica la expresión algebraica fraccionaria obtenida. 
 
Ejemplos: 
1) 
2
1 2
1 3 3
x
x x

 
 
 
Factoreamos los denominadores   2 1 1 1x x x    ;  3 3 3. 1x x   
Entonces el      2 1;3 3 3. 1 . 1mcm x x x x     
 
       
2
2
( 1).3 2 . 11 2 2 2 3
1 3 3 3. 1 . 1 3. 1 . 1
x xx x x
x x x x x x
    
  
     
 
2) 
2 1
1 1
x
x x
 
 
 
El mcm de los denominadores está dado por x + 1, ya que ambos denominadores son 
iguales. 
 2 2 11 1
1 1 1
xx x
x x x

  
  
 . 1
1
x
x


1, 1x x    
37 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
3) 
2
1 1 4
1 1 1
x x
x x x
 
  
  
 
Los polinomios x – 1 y x + 1 son irreducibles a excepción de x
2
 – 1 que ya lo habíamos 
factoreado. El      21; 1; 1 1 . 1mcm x x x x x      
   
   
 
   
2 2 2 2
2
2
2 1 2 1 41 1 4.11 1 4
1 1 1 1 . 1 1 . 1
x x x xx xx x
x x x x x x x
x
         
    
      

2 1x  2x 2 1x 
       
 4 14 4 4
1 . 1 1 . 1
xx
x x x x
 
 
       1 . 1x x 
4
, 1
1
x
x
  

 
 
Multiplicación 
Si 
P R
y
Q S
 son expresiones algebraicas fraccionarias, definimos su producto por: 
P R P . R
.
Q S Q . S
 
Se multiplican los numeradores y denominadores entre sí, previa simplificación. 
 
Ejemplos: 
1) 
   2 2 4 . 416 2 1
.
2 2 3 12
x xx x x
x x
   

   2 1x 
 
2
1
.
x 
 3. 4x 
   4 . 1
6
x x 
  
 
2 24 4 5 4
, 1, 4
6 6
x x x x x
x x
    
     
2) 
3
3 2 2
1 1
.
2 2 1
x x x
x x x x
 

   2x  
3
.
2
x
x   
2
1x 

 
 
    2 2
, 0, 1
2 . 1 2 2 2
x x x
x x
x x x x x x x
     
      
 
 
División 
Si 
P R
y
Q S
 son expresiones algebraicas fraccionarias y 
R
0
S
 definimos la división 
P R P S
: .
Q S Q R
 
38 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Es decir que para dividir dos expresiones fraccionarias es necesario multiplicar el dividendo 
por su inversa multiplicativa. 
Ejemplo 
2 2
2 2
4
. .
2 4 2
x x x x x
x x x x

 
   2x 
 2
.
x   
2
. 2x
x
 2
, 2, 0
x
x x
x

   
 
Operaciones combinadas 
Para resolverlas, siguen siendo válidas las reglas operatorias con números reales. Es decir, 
primero se resuelven multiplicaciones y divisiones; luego sumas y restas. 
 
 
 
 
Bibliografía 
Duarte, B. (2005). Matemáticas para ingresar a la universidad. Buenos Aires, Argentina: 
Granica. 
Noriega, R. y Sanchez, C. (1979). El álgebra. Buenos Aires, Argentina: Editorial Docencia. 
Rojo, A., Sánchez, S. y Greco, M. (1978). Matemática para el ingreso a la universidad. 
Buenos Aires, Argentina: Ediciones Sigma. 
Swokowski, E. y Cole, J. (2018). Precálculo – álgebra y geometría analítica. 1º ed. Cengage 
Learning. 
39 
 
Mgter. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
Unidad N° 3: Ecuaciones e Inecuaciones 
 
Contenidos: Ecuaciones lineales y cuadráticas. Inecuaciones lineales. Conjunto solución. 
Representación gráfica. 
 
Ecuación 
En muchas situaciones es necesario plantear y resolver una ecuación. Por ejemplo “se 
invierte un total de 18000 dólares, parte en acciones y parte en bonos. Si la cantidad invertida 
en bonos es la mitad de lo invertido en acciones, ¿cuánto se invierte en cada categoría?”. 
Podríamos plantear una ecuación para resolverlo pero ¿qué es una ecuación? 
Una ecuación en una variable es una proposición en la que dos expresiones – en la 
que al menos uno de ellas contiene la variable o incógnita – son iguales. Comúnmente la 
incógnita se representa con la letra x, aunque puede usarse cualquier otra letra. Las 
expresiones se llaman miembros o lados de la ecuación. Como una ecuación es una 
proposición podrá ser verdadera o falsa, dependiendo del valor de la variable y del conjunto 
numérico que se esté considerando, es decir, un valor del conjunto de referencia podrá 
satisfacer o no la ecuación. Los valores que hacen verdadera a la proposición se llaman 
soluciones o raíces de la ecuación. Por ejemplo ante la ecuación x + 12 = 5, para x = 3, la 
proposición es falsa (3 + 12  5). Sin embargo, para x = –7, la proposición es verdadera 
(–7 + 12 = 5); por lo que este último valor es raíz de la ecuación. Obsérvese que la ecuación 
x + 12 = 5 definida en el conjunto de los números naturales no tiene solución, mientras que si 
dicha ecuación está definida en el conjunto de los enteros, admite solución única. 
Resolver una ecuación significa encontrar todas sus soluciones en el conjunto en el 
que está definida. Dependiendo de la ecuación, se podrá tener una, más de una o ninguna 
solución. 
En este curso solo trabajaremos con ecuaciones lineales y cuadráticas. 
 
Ecuación Lineal 
Definición: Las ecuaciones de la forma , , ,ax b c a b c   se denominan ecuaciones 
lineales con una incógnita (incógnita x, en este caso) 
 
40 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ejemplos: ecuaciones lineales 
1
4 5 3 2 7 6
2 3
x
x x x x         
Ecuaciones no lineales 
2 32 8 6 0 2 1x x x x x
x
        
Para resolver la ecuación , , ,ax b c a b c   aplicamos las propiedades 
cancelativas para la suma y producto mencionadas en la unidad 1. 
Sumamos a ambos miembros –b y obtenemos: ( )ax b b   ( )c b ax c b      
Luego, tendríamos que despejar x por lo cual la situación se divide en dos partes: 
i) 0a  
 Dividimos ambos miembros por a. En este caso 
ax c b c b
x
a a a
 
   y ésta es la única 
raíz de la ecuación lineal (solución única) 
ii) 0a  
 Se tiene 0. 0x c b c b     . Puede suceder que: 
 c b (o equivalentemente c b es 0), entonces cualquier número real x satisface la 
ecuación lineal dada y por lo tanto, todos los números reales son raíces de la ecuación 
(infinitas soluciones). Y se dice que la ecuación es una identidad. 
 c b , ningún número real satisface la ecuación lineal y por tanto no existen raíces 
(ninguna solución). 
 
Ejemplo 1: resolver la ecuación 7 4 3 8x x   3
 
Realizando pasajes de términos 7x – 3x = 8 + 4 
 4x = 12  x = 12 : 4 = 3, única raíz. 
Para comprobar que la solución hallada es la correcta, reemplazamos x por 3 en la ecuación 
dada: 
7. 3 – 4 = 3. 3 + 8 
 21 – 4 = 9 + 8 
17 = 17 
 
Ejemplo 2: 
3 2 9 6
1 3 2
x x
x x
 

 
 
 
3
 Omitimos los pasos algebraicos que corresponden a las propiedades cancelativas para la suma y producto de 
números reales y solo diremos “ realizamos pasajes de términos”. 
41 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
A primera vista, esta ecuación no tiene nada que ver con las ecuaciones lineales. Pero veamos 
lo que sucede cuando realizamos “pasajes de términos”: “pasamos” x – 1 al segundo mimbro 
y 3x – 2 al primero. Además 
2
1;
3
x x  ¿por qué? (¡Analízalo!) 
     3 2 3 2 1 9 6x x x x     
Por diferencia de cuadrados y propiedad distributiva se tiene: 
2 29 4 9 6 9 6x x x x     
2 29 4 9 15 6x x x    
Como 9x
2
 aparece sumando en ambos miembros, se lo puede cancelar resultando 
29x 24 9x  15 6 4 15 6x x       
O sea 15 6 4x    , que es una ecuación lineal. 
Finalmente 
10 2
15 4 6 15 10
15 3
x x x

         

, ¿este valor es raíz de la ecuación 
lineal? No, porque 
2
3
x  es un valor que no puede asumir la ecuación original. En otras 
palabras, la ecuación no tiene solución. La ecuación resultante puede tener soluciones que no 
son soluciones de la ecuación original. Por esta razón debemos comprobar, en la ecuación 
original, la solución de la ecuación resultante. 
 
Ejemplo 3: resolver 
2 2 2 8
1 2
x x
x x
 

 
 
Vemos que 1; 2x x   . 
Realizando el mismo procedimiento, tenemos      2 2 2 2 8 1x x x x     
Propiedad distributiva: 2 22 4 2 4 2 2 8 8x x x x x x       
Operando: 
22x 6x 24 2x  6x 8 
4 8  
Como 4 no es igual a –8, no puede haber ningún número real x que satisfaga la ecuación. Por 
lo tanto, no tiene raíces. 
 
Ejemplo 4:   2 5 6 2 3x x x x     
Desarrollando el segundo miembro: 2 25 6 3 2 6x x x x x      
O sea 2 25 6 5 6x x x x     
42 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Si nos ponemos a cancelar, queda 0 = 0. En este caso, la ecuación planteada es una identidad, 
se verifica para cualquier valor real que asignemos a x. Luego todos los números reales son 
soluciones de la ecuación dada. 
 
Ecuación Cuadrática 
Una ecuación con una incógnita, se llama cuadrática o de segundo grado, cuando 
después de suprimir los denominadores (si existieran) y reducir los términos semejantes, el 
mayor exponente de dicha incógnita es de segundo grado. 
 
Definición: La expresión de la ecuación general de segundo grado con una incógnita es 
2 0, , , , 0ax bx c a b c a     
 
Ejemplos: 2 2 23 5 2 0 0 2 2x x x x x x          
 
Ecuación general completa 
Se dice que la ecuación general de segundo grado está completa si 0, 0, 0a b c   
 
Ecuación general incompleta 
Si al menos unos de los coeficientes b o c es 0, se obtiene la ecuación general 
cuadrática incompleta. 
1) Si c = 0  2 0, , , 0ax bx a b a    
2) Si b = 0  2 0, , , 0ax c a c a    
3) Si b = c = 0  2 0, , 0ax a a   
 
Resolución de la ecuación general incompleta 
Forma 1. Sea 2 0, , , 0ax bx a b a    
Por el teorema fundamental del álgebra (el cual escapa al desarrollo de este curso), la 
ecuación cuadrática tiene como máximo dos raíces o soluciones que indicaremos como
1 2y .x x 
Extrayendo factor común x, se tiene:   0x ax b  
43 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Por propiedad de los números reales, mencionada en la unidad 1, si el producto de dos 
factores es cero es necesario que uno de ellos, o los dos sean nulos. 
Luego 0x  o 0ax b  . 
En el primer caso se obtiene una de las raíces 
1 0x  
En el segundo caso, se tiene 0ax b  
 
ax b
b
x
a
 
 
 
Por lo tanto, la otra raíz es 
2
b
x
a
  
Ejemplo: resolver 26 3 0x x  
  1
2
Factorizando 6 3 0 0 o 6 3 0
3 1
6 2
x x x x
x
     

   
 
Para verificar podemos reemplazar los valores obtenidos en la ecuación dada. En 
26 3 0x x  , 26.0 3.0 0  y 
2
31 16. 3. 6
2 2
   
      
   
1
.
4 2
3
0
2
  
 
Forma 2. Sea 2 0, , , 0ax c a c a    
Despejando x, resulta 2ax c   2 2
c c c
x x x
a a a
        
Luego 
c
x
a
   
1
2
c
x
a
c
x
a
  
  
 
Ejemplo: Sea 225 100 0x   
Despejando x, resulta 225 100x   2
100
25
x  
Luego 
1 2
100 100 10 100 10
2 ; 2
25 25 5 25 5
x x x             
 
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Forma 3. Sea la ecuación incompleta 2 0, , 0ax a a   
Despejando x, resulta 2
0
0 0 0 0x x
a
         1 2 0x x  
En este tipo de ecuación, los dos valores de la incógnita son siempre nulos. 
 
Resolvente de la ecuación general completa 
Sea la ecuación 2 0, , , , 0ax bx c a b c a     . Para resolver este tipo de ecuación se 
utiliza la fórmula: 
2 4
2
b b ac
x
a
  
 
2
1
2
2
4
2
4
2
b b ac
x
a
b b ac
x
a
  

  

 
El discriminante 
La expresión 2 4b ac se llama discriminante de la ecuación de segundo grado y se denota 
con la letra griega mayúscula delta: . Luego 2,donde 4
2
b
x b ac
a
  
   
 
Si  > 0, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales y distintas. 
Si  = 0, ambas raíces son reales e iguales. 
Si  < 0, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales. 
 
Ejemplo 1: resolver 23 5 8 0x x   . En este caso a = 3, b = 5, c = –8 
25 5 4.3.( 8) 5 25 96 5 121 5 11
2.3 6 6 6
x
          
    
1
2
5 11 6
1
6 6
5 11 16 8
6 6 3
x
x
 
  
  
   
 
La fórmula presentada puede aplicarse a la ecuación tanto completa como incompleta 
 
Ejemplo 2: resolver 230 15 0x x  . En este caso a = 30, b = –15, c = 0 
 
2
( 15) 15 4.30.0 15 225 15 15
2.30 60 60
x
      
   
1
2
15 15 30 1
60 60 2
15 15 0
0
60 60
x
x

  

  
 
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Aplicaciones 
Aunque cada situación tiene sus propias características, a continuación se señalan una 
serie de pasos a seguir para resolver un problema a través de ecuaciones. 
Paso 1: Leer el problema las veces que sean necesarias para comprenderlo. Determinar, si se 
pudiera, las posibilidades reales para la respuesta. 
Paso 2: Asignar una letra (incógnita) para representar lo que se busca y si es necesario, 
expresar las cantidades desconocidas en términos de esta incógnita. 
Paso 3: Hacer una lista de todos los hechos y tradúzcalos en expresiones matemáticas. Éstas 
toman la forma de una ecuación (o inecuación como se verá más adelante) que 
involucra la incógnita.