S02 s2 - Material - La recta en R2

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LA RECTA EN ℛ2
ECUACIONES DE LA RECTA
¿Para qué me sirven?
Sirve para determinar, representar y calcular la distancia entre dos puntos, la pendiente
que tiene una recta e incluso el ángulo que hay entre dos segmentos.
Podemos determinar la pendiente 
de un camino determinado 
Podemos determinar las alturas de 
los objetos en referencias a otras.
Se puede ubicar objetos teniendo 
referencia de distancias en un plano 
como un mapa.
VECTORES EN R2
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante genera las distintas ecuaciones de una 
recta mediante dos puntos y resuelve ejercicios aplicados a la ingeniería 
donde utiliza el concepto de Pendiente de la Recta.
Datos/Observaciones
LA RECTA ECUACIONES
La recta en ℛ𝟐
LA RECTA EN ℝ2
I. La Recta Mediante la Teoría de Vectores
Para hallar la ecuación de una recta, es necesario un punto de paso y un vector director.
𝑃 𝑥0, 𝑦0
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣 = 𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃
𝑃
𝑄
1 ECUACIÓN VECTORIAL
LA RECTA EN ℝ2
Aquella que pasa por un punto 𝑷𝟎 en la 
dirección de 𝒗 :
2 ECUACIÓN PARAMÉTRICA
Aquella que pasa por un punto 𝑷𝟎 = 𝒙𝟎, 𝒚𝟎
en la dirección de 𝒗 = 𝒗𝟏, 𝒗𝟐 :
3 ECUACIÓN SIMÉTRICA
Resulta de despejar el parámetro 𝒕 en cada una 
de las ecuaciones paramétricas e igualarlas:
4 ECUACIÓN GENERAL
Se encuentra resolviendo la ecuación simétrica:
Determine todas las ecuaciones de la recta que 
pasa por los puntos 𝐴(−1,2) y 𝐵(7,−4).
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝑃 = −1, 2 + 𝑡 8,−6
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍
LA RECTA EN ℝ2
Ԧ𝑣 = 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 7, −4 − −1, 2 = 8,−6
ቊ
𝑥 = −1 + 8𝑡
𝑦 = 2 − 6𝑡
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
𝑥 + 1
8
=
𝑦 − 2
−6
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑺𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
−6 𝑥 + 1 = 8 𝑦 − 2
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑮𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍
−6𝑥 − 6 = 8𝑦 − 16
0 = 6𝑥 + 8𝑦 − 10
ℒ: 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0
𝐴
Ԧ𝑣
𝐵
LA RECTA EN ℝ2
II. La Recta Mediante la Geometría Analítica
Para hallar la ecuación de una recta, es necesario un punto de paso y la 
pendiente de la recta.
𝑃 𝑥1, 𝑦1
𝑚
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑃
𝑄
𝑄 𝑥2, 𝑦2
1 ECUACIÓN ORDINARIA
LA RECTA EN R2
Es aquella que pasa por un punto 𝑷𝟎 con pendiente 𝒎
2 ECUACIÓN GENERAL
Resulta de resolver la ecuación anterior.
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 = −
𝐴
𝐵
Determine la Ecuación General de la Recta que pasa por los puntos 𝐴(−1,2)
y 𝐵(7, −4) y halle sus puntos de intersección con los ejes coordenados. 
Grafique
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
LA RECTA EN ℝ2
𝑦 − 2 = −
3
4
𝑥 + 1
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑮𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
4𝑦 − 8 = −3𝑥 − 3
𝓛: 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟓 = 𝟎
𝑚 =
−4 − 2
7 − (−1)
=
−6
8
= −
3
4
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒋𝒆𝒔:
𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 =
5
4
𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 =
5
3
3 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
LA RECTA EN ℝ2
La distancia de un punto 𝑸𝟎 = 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 a la recta 𝓛: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 está dada por:
𝐴 𝑥1, 𝑦1
𝐵 𝑥2, 𝑦2
𝑄 𝑥0, 𝑦0
𝑑 𝑄0, 𝐿
Halle la distancia del punto 𝑃(6 ; 12 ) a la recta que pasa por los 
puntos 𝐴(2 ; 5 ) y 𝐵(8 ; 9 ).
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
LA RECTA EN ℝ2
3𝑦 − 15 = 2𝑥 − 4
𝑦 − 5 =
2
3
𝑥 − 2
ℒ: 2𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0
𝑚 =
9 − 5
8 − 2
=
4
6
=
2
3
𝑑 𝑃, ℒ =
2 6 − 3 12 + 11
22 + −3 2
𝑑 𝑃, ℒ =
2 6 − 3 12 + 11
13
=
−13
13
𝑑 𝑃, ℒ =
13
13
= 13
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−
3
2
; 5 ) 𝑦 𝐵(7 ; −
1
2
)
SOLUCIÓN:
RPTA:
LA RECTA EN ℝ2
ℒ: 22𝑥 + 34𝑦 − 137 = 0
17𝑦 − 85 = −11𝑥 −
33
2
𝑦 − 5 = −
11
17
𝑥 +
3
2
ℒ: 11𝑥 + 17𝑦 −
137
2
= 0
𝑚 =
−
1
2 − 5
7 +
3
2
=
−
11
2
17
2
= −
11
17
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Determine el punto de paso y el vector director de la recta cuya ecuación es:
SOLUCIÓN:
RPTA:
7 − 3𝑥
−2
=
2𝑦 + 7
3
LA RECTA EN ℝ2
𝑃0 =
7
3
,−
7
2
; Ԧ𝑣 =
2
3
,
3
2
− 3𝑥 − 7
−2
=
2𝑦 + 7
3
3𝑥 − 7
2
=
2𝑦 + 7
3
¡Recuerdo!
7 − 3𝑥
−2
=
2𝑦 + 7
3
Considerando:
3𝑥 − 7
2
=
2𝑦 + 7
3
= 𝑡
𝑥 =
7
3
+
2
3
𝑡
𝑦 = −
7
2
+
3
2
𝑡
LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIOS RETOS
1. Determine la ecuación general y la pendiente de la recta de ecuación ቊ
𝑥 = 2 + 3α
𝑦 = −1 − 6𝛼
2. Una recta de pendiente −3/ 2 pasa por el punto 𝑃 6, −2 y por los puntos 𝐴(𝑥, 𝑥 + 2) y 𝐵(𝑥 +
6, 𝑦). Hallar la distancia entre 𝐴 y 𝐵.
3. 𝐴 −10, −1 , 𝐶 −3,7 𝑦 𝑀(2,5) son los vértices de un triángulo 𝐴𝐶𝑀, señalar las ecuaciones de 
las rectas que pasan por el vértice 𝐶 y trisecan al lado opuesto 𝐴𝑀.
4. Un Punto P(x, y) equidista de los puntos A (-2,3) y B(6,1) y la pendiente de la recta que une 
dicho punto a C(5,10) es 2. Hallar sus coordenadas.
5. Dado el triángulo de vértices en A(-10, -13); B(-2,3) y C(2,1); Hallar la longitud de la 
perpendicular bajada desde el vértice B a la mediana trazada desde el vértice C.
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. Se necesita dos puntos o la pendiente y un punto, o el 
vector director y un punto para encontrar la ecuación de 
la recta.
2. Existen distintos formas de representar la ecuación de la 
recta.
3. La distancia de un puntos a una recta siempre es en
forma perpendicular a la recta.
Datos/Observaciones
La Recta en ℛ2
Datos/Observaciones
FINALMENTE
Excelente tu 
participación
Los retos sacan lo mejor de ti.
Ésta sesión quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios 
propuestos de ésta sesión y 
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus 
dudas.