EST INF Series de Tiempo Cap 5 (1)

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138 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
CAPÍTULO 5 
 
 
Series de tiempo 
 
 
 
 
 
5.1. Modelo clásico de series de tiempo 
5.2. Análisis de fluctuaciones 
5.3. Análisis de tendencia 
5.4. Análisis de variaciones cíclicas 
5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares 
5.6. Aplicación de ajustes estacionales 
5.7. Pronósticos basados en factores de tendencia y estacionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Series de tiempo 139 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
Series de tiempo 
 
oda institución, ya sea la familia, la empresa o el gobierno, tienen que hacer planes 
para el futuro si ha de sobrevivir y progresar. Hoy en día diversas instituciones 
requieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenómenos con el fin de 
planificar, prever o prevenir. 
 
 Debido a que las condiciones económicas y comerciales varían en el tiempo, los 
líderes de los negocios deben encontrar formas de mantenerse al día respecto a los 
efectos que esos cambios tendrán en sus operaciones. Una técnica que pueden usar los 
líderes de negocios como ayuda en la planeación de las necesidades operativas en lo 
futuro es el pronóstico. Aunque se han desarrollado numerosos métodos para 
pronosticar, todos tienen un objetivo común, predecir los eventos futuros de manera que 
las proyecciones se puedan incorporar en el proceso de toma de decisiones. 
 
 Suponga que necesitamos hacer pronósticos trimestrales para el volumen de 
ventas de determinado producto durante el próximo año. Los programas de producción, 
las compras de materias primas, las políticas de inventarios y las cuotas de venta serán 
afectados, todos, por esos pronósticos. Entonces, los malos pronósticos darán como 
resultado una mala planeación y, en consecuencia, aumentarán los costos de la empresa. 
¿Cómo se hace para elaborar los pronósticos trimestrales del volumen de ventas? 
 
 Desde luego que se deben considerar los datos reales de ventas del producto en 
periodos pasados. Con tales datos históricos podemos identificar el nivel general de 
ventas y cualquier tendencia, como aumento o disminución en el volumen a través del 
tiempo. Por ejemplo, un examen más detallado de los datos puede revelar un 
comportamiento estacional, como el de los picos que se presentan en el tercer trimestre 
de cada año y los mínimos durante el primer trimestre. Al repasar los datos históricos se 
puede, con frecuencia, adquirir una mejor comprensión de la tendencia de las ventas en 
el pasado para poder pronosticar las ventas del producto en el futuro de una mejor 
manera. 
 Las ventas históricas forman una serie de tiempo que es un conjunto de 
observaciones de una variable medida en puntos o periodos sucesivos en el tiempo. 
 
En esencia, existen dos enfoques de pronósticos: cualitativo y cuantitativo. 
 
Los métodos de pronóstico cualitativos son importantes en especial cuando no 
se dispone de datos históricos, como sería el caso de un departamento de finanzas que 
desea pronosticar los ingresos de una compañía nueva. Los métodos de pronóstico 
cualitativos se consideran altamente subjetivos o basados en la opinión. Incluyen el 
método de elaboración de escenarios, la opinión de expertos y la técnica Delphi. 
 
Método Delphi. El método délfico, desarrollado en principio por un grupo de 
investigación de la Rand Corporation. Trata de determinar pronósticos mediante 
¨consenso de grupo¨. En forma normal, a los miembros de un equipo de expertos, todos 
ellos separados físicamente y desconocidos entre sí, se les pide contestar una serie de 
cuestionarios. Se tabulan las respuestas del primer cuestionario y éstas se usan para 
preparar un segundo cuestionario que contiene la información y las opiniones de todo el 
grupo. A continuación se pide a cada encuestado reconsiderar y, posiblemente, corregir 
sus respuestas anteriores a la vista de la información obtenida con el grupo. 
T 
140 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 Este proceso continua hasta que el coordinador siente que ha alcanzado 
cierto nivel de consenso. El objetivo del método délfico no es llegar al resultado de una 
sola respuesta, sino producir un conjunto compacto de opiniones dentro del cual esté la 
mayoría de los expertos. 
 
Opinión de expertos. Con frecuencia, los pronósticos se basan en el juicio de un 
solo experto, o representan el consenso de un grupo de expertos. Por ejemplo, cada año 
se reúne un grupo de expertos en Merrill Lynch con el fin de pronosticar el nivel del 
promedio industrial Dow Jones y la tasa prima para el siguiente año. Al hacerlo, los 
expertos se basan, de manera individual en información que cree que influye en el 
mercado accionario y las tasas de interés, a continuación combinan sus conclusiones en 
forma de un pronóstico. No se usa modelo formal alguno, y es improbable que dos 
expertos cualesquiera visualicen de la misma forma la misma observación. 
 
La opinión de expertos es un método de pronóstico que se recomienda 
normalmente cuando es probable que las condiciones en el pasado no rijan en el futuro. 
Aunque no se usa modelo cuantitativo formal, el juicio experto ha producido buenos 
pronósticos en muchos casos. 
 
Elaboración de escenarios. Este método consiste en desarrollar un escenario 
conceptual del futuro, basado en un conjunto bien definido de supuestos. Los distintos 
conjuntos de supuestos producen diferentes escenarios. La tarea de quien toma 
decisiones es decidir lo probable que es cada escenario y, a continuación, tomar las 
decisiones pertinentes. 
 
 Por otro lado, los métodos de pronóstico cuantitativo utilizan los datos 
históricos. La meta es estudiar lo que ocurrió en el pasado para entender mejor la 
estructura fundamental de los datos y proporcionar los medios necesarios para predecir 
los sucesos futuros. 
 Los métodos de pronóstico cuantitativos se dividen en dos tipos: series de 
tiempo y causales. 
 
Los métodos de pronóstico de series de tiempo implican la proyección de los 
valores futuros de una variable basada por completo en las observaciones pasadas y 
presentes de esa variable. 
 
Series de tiempo. Una serie de tiempo es un conjunto de valores numéricos 
obtenidos en periodos iguales en el tiempo 
 
 
Los métodos de pronóstico causales comprenden la determinación de factores 
relacionados con la variable que se predice, e incluyen análisis con variables retrasadas, 
modelado econométrico, análisis de indicador líder, índice de difusión y otros 
medidores económicos más allá del alcance de este libro. La figura 5.1 representa una 
perspectiva de los métodos de pronóstico. 
 
 
 
 
 
 Series de tiempo 141 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
 Figura 5.1 Clasificación de los métodos de pronósticos 
 
 
5.1. Modelo clásico de series de tiempo 
 
La suposición fundamental del análisis de series de tiempo es que los factores que han 
influido en los patrones de actividad en el pasado y el presente tendrán más o menos la 
misma influencia en lo futuro. Entonces la meta principal del análisis de series de 
tiempo es: identificar y aislar estos factores de influencia con el fin de realizar 
predicciones (pronosticar), así como fines administrativos de planeación y control.Para conseguir estas metas, se han desarrollado muchos modelos matemáticos 
que exploran las fluctuaciones entre los factores que componen una serie de tiempo. Tal 
vez el más esencial sea el modelo multiplicativo clásico para datos registrados cada 
año, trimestre o mes. En principio, el modelo multiplicativo clásico se usará para 
pronosticar. Otras aplicaciones incluyen un análisis detallado de los componentes 
particulares mediante la descomposición de las series de tiempo. Por ejemplo, con 
frecuencia los economistas estudian una serie de tiempo anual, trimestral o mensual 
para filtrar el componente cíclico y evaluar su movimiento respecto a la actividad 
económica general. No obstante, las aplicaciones de la descomposición de una serie de 
tiempo están fuera de los objetivos de este libro. 
 
 Para exponer el modelo multiplicativo clásico de series de tiempo, en la figura 
5.2 se presentan los ingresos brutos reales de Eastman Kodak Company de 1975 a 1998. 
Si se intenta observar las características de esta serie de tiempo, es evidente que los 
ingresos reales muestran una propensión a aumentar en este periodo de 24 años. Esta 
inclinación global a largo plazo o impresión de un movimiento hacia arriba o hacia 
abajo se conoce como tendencia 
 
Método de pronostico 
Cuantitativos 
Causales Serie temporal 
Suavizamiento 
Proyección de tendencia 
Proyección de tendencia ajustada por 
 influencia estacional 
Cualitativos 
142 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
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Figura 5.2 Gráfica de ingresos netos reales (en miles de millones de dólares) de Eastman Kodak Company 
(1975-1998) 
 
 
 
 Sin embargo, la tendencia no es el único factor componente que influye en estos 
datos en particular o en otra serie de tiempo anual. Otros dos factores, el componente 
cíclico y el componente irregular, están presentes en los datos. 
 
El componente cíclico describe la oscilación o movimiento hacia arriba o hacia 
abajo en una serie de tiempo. Los movimientos cíclicos varían en longitud, en general, 
duran de 2 a 10 años; difieren en intensidad o amplitud, y a menudo se relacionan con 
los ciclos de los negocios. En algunos años los valores serán más altos que los 
pronosticados por una sencilla recta de tendencia lineal (es decir, se encuentran en o 
cerca de un pico) de un ciclo); en otros años los valores serán menores que el pronóstico 
de una recta de tendencia (esto es, están en o cerca del fondo o depresión de un ciclo). 
Cualquier dato observado que no siga la tendencia curva modificada por el componente 
cíclico es un indicio del componente aleatorio o irregular. Cuando los datos se 
registran por mes o trimestre, se considera un componente adicional llamado factor 
estacional junto con los componentes de tendencia, cíclico e irregular. 
 
Los tres o cuatro componentes que influyen en una serie de tiempo económica o 
de negocios se resumen en la tabla 5.1. El modelo multiplicativo clásico de series de 
tiempo establece que todo valor observado en una serie de tiempo es el producto de 
estos factores de influencia; es decir, cuando los datos se obtienen cada año, una 
observación registrada en el año se puede expresar por la ecuación (5.1)
Modelo multiplicativo clásico de series de tiempo para datos anuales 
 
 (5.1) 
donde, en el año i 
 
 = valor del componente de tendencia 
 = valor del componente cíclico 
 = valor del componente irregular 
 
 Modelo clásico 143 
 
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Cuando los datos se obtienen por trimestre o por mes, una observación 
registrada en el periodo puede estar dada por la ecuación (5.2) 
 
 
 
 
 
 
 
Tabla 5.1 Factores que influyen en datos de series de tiempo. 
Componentes Clasificación 
del 
 componente 
Definición Razón de la 
influencia 
Duración 
Tendencias 
 
 
 
Estacional 
 
 
 
Cíclico 
 
 
 
 
 
 
Irregular 
Sistemático 
 
 
 
Sistemático 
 
 
 
Sistemático 
 
 
 
 
 
 
No 
sistemático 
Patrón de movimiento 
global o persistente, a 
largo plazo hacia 
arriba o hacia abajo. 
Fluctuación más o menos 
regular que ocurre en 
cada periodo de 12 meses 
cada año. 
Oscilación o movimiento 
repetitivo arriba o abajo 
en cuatro 4 etapas; 
pico(prosperidad), 
contracción (recesión), 
fondo (depresión) y 
expansión (recuperación) 
Fluctuación errática o 
residual en una serie que 
está presente después de 
tomar en cuenta los 
efectos sistemáticos (de 
tendencia, estacional y 
cíclica) 
Cambios en tecnología, 
población, riqueza, 
Valores. 
 
Condiciones de clima, 
costumbres sociales y 
religiosas. 
 
Interacción de 
numerosas 
combinaciones de 
factores que influyen en 
la economía 
 
 
Variaciones aleatorias 
en los datos o debidas a 
eventos no previstos 
como huelgas, 
huracanes, 
inundaciones, 
asesinatos políticos, tec. 
Varios años 
 
 
 
Dentro de 12 
meses (o datos 
menstruales o 
trimestrales). 
De 2 a 10 años 
con diferente 
intensidad en el 
ciclo completo 
 
 
 
Corta duración y 
sin repetición. 
 
 
5.2. Análisis de fluctuaciones 
 
El primer paso en un análisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y 
observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un 
movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la 
serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso (es 
decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), puede emplearse el método de 
promedios móviles o el de suavización exponencial para “emparejar” la serie y 
Modelo multiplicativo clásico de series de tiempo para datos con 
Componente estacional 
 
 (5.2) 
donde 
 
 = valores respectivos del componente de tendencia, cíclico e 
 irregular en el periodo 
 = valor del componente estacional en el periodo 
 
144 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
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proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una 
tendencia, se pueden aplicar varios métodos de pronóstico de series de tiempo al 
manejar datos anuales, y otro método para los datos de series de tiempo mensual o 
trimestral. 
 El patrón o comportamiento de los datos en una serie de tiempo tiene diversos 
componentes. El supuesto usual es que se combinan cuatro componentes separados: la 
tendencia, el cíclico, el estacional y el irregular para definir valores específicos de la 
serie de tiempo. Examinaremos cada uno de estos componentes. 
El gráfico de la serie permitirá: 
a) Detectar Outlier: se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal. Un 
outliers es una observación de la serie que corresponde a un comportamiento anormal 
del fenómeno (sin incidencias futuras) o a un error de medición. Se debe determinar 
desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o 
reemplazar por otro valor antes de analizar la serie. 
 
Por ejemplo, en un estudio de la producción diaria en una fábrica se presentó la 
siguiente situación ver figura 5.3: 
 
 Figura 5.3 Producción diaria 
 
 
 
 
 
 
Los dos puntos enmarcados en una flecha parecen corresponder a un 
comportamiento anormal de la serie.Al investigar estos dos puntos se vio que 
correspondían a dos días de paro, lo que naturalmente afectó la producción en esos días. 
El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando. 
 
b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento 
predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio 
de la media a lo largo de un periodo. 
 
 c) Variación estacional: la variación estacional representa un movimiento periódico de 
la serie de tiempo. La duración de la unidad del periodo es generalmente menor que un 
 Análisis de fluctuaciones 145 
 
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año. Puede ser un trimestre, un mes o un día, etc. 
 
Matemáticamente, podemos decir que la serie representa variación 
estacional si existe un número s tal que x(t) = x(t + ks). 
Las principales fuerzas que causan una variación estacional son las 
condiciones del tiempo, como por ejemplo: 
1) en invierno las ventas de helado 
2) en verano la venta de lana 
3) exportación de fruta en marzo. 
 
Todos estos fenómenos presentan un comportamiento estacional (anual, 
semanal, etc.) 
 
d) Variaciones irregulares (componente aleatoria): los movimientos irregulares (al 
azar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea 
tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cíclicas. 
 
Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) 
puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, 
estacionalidad y un término de error aleatorio. 
 
Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se 
aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los 
componentes de los datos observados. Estos son: 
 
1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t) 
 
2. Multiplicativo: X(t) = T(t) · E(t) · A(t) 
 
3. Mixto: X(t) = T(t) · E(t) + A(t) 
 
donde: 
X(t) serie observada en instante t 
 
T(t) componente de tendencia 
E(t) componente estacional 
A(t) componente aleatoria (accidental) 
 
 
Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco 
con media cero y varianza constante. 
 
Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de 
otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la 
tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el 
modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se 
presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie. 
146 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
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5.3. Análisis de tendencia 
 
En el análisis de serie de tiempo, las mediciones pueden efectuarse cada hora, día, 
semana, mes o año o en cualquier otro intervalo regular periódico. Aunque los datos de 
serie de tiempo presentan, por lo general, fluctuaciones aleatorias, esta serie puede 
mostrar también desplazamientos o movimientos graduales hacia valores relativamente 
mayores o menores a lo largo de un lapso importante de tiempo. El desplazamiento 
gradual de la serie de tiempo se llama tendencia de esa serie; este desplazamiento o 
tendencia es, por lo común, el resultado de factores a largo plazo, como cambios en la 
población, características demográficas de la misma, la tecnología y/o las preferencias 
del consumidor. 
 Por ejemplo, un fabricante de bicicletas podría detectar cierta variabilidad, de 
año a año, en la cantidad de bicicletas vendidas. Sin embargo, al revisar las ventas 
durante los últimos 10 años, puede encontrar que hay un aumento gradual en el volumen 
anual de ventas. Suponga que sus ventas fueron: 
 
Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Ventas (miles) 21,6 22,9 25,5 21,9 23,9 27,5 31,5 29,7 28,6 31,4 
 
Este crecimiento anual de las ventas a través del tiempo muestra una tendencia 
creciente de la serie de tiempo. La figura 5.4 presenta una recta que puede ser una buena 
aproximación a la tendencia de las ventas de bicicletas. Aunque esa tendencia parece ser 
lineal y aumentar con el tiempo a veces, en una serie de tiempo, la tendencia se puede 
describir mejor mediante otros patrones. 
 
 Figura 5.4 Tendencia lineal de las ventas de bicicletas 
 
 
 
Si al graficar nuestros datos observamos de manera clara la tendencia lineal a 
largo plazo (no importando si es positiva o negativa), entonces estaremos en la posición 
de pronosticar con un buen nivel de confianza, con alguno de los métodos que se 
indicaran más adelante. 
 
La figura 5.5 muestra otros patrones posibles de tendencia. La sección A 
representa una tendencia no lineal; en este caso, la serie de tiempo crece poco al 
principio; luego tiene un crecimiento rápido y, finalmente, se nivela. 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
0 2 4 6 8 10 12 
V
e
n
ta
 (m
ile
s)
 
Año 
 Análisis de tendencia 147 
 
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Esa tendencia podría ser una buena aproximación de las ventas de un producto, 
desde su introducción, pasando por un periodo de crecimiento y llegando a una etapa de 
saturación del mercado. La tendencia lineal decreciente en la sección B se aplica a una 
serie de tiempo que tenga una disminución continua a través del tiempo. La recta 
horizontal de la sección C representa una serie de tiempo que no tiene aumento o 
disminución consistentes a través del tiempo y que, en consecuencia, no tiene tendencia. 
 
Figura 5.5 Ejemplos de algunos posibles patrones de tendencia en series de tiempo 
 
 
 
 
 
 
 A B C 
 
5.4. Análisis de variaciones cíclicas 
 
Aunque una serie de tiempo puede presentar una tendencia a través de periodos grandes, 
sus valores no caerán con exactitud sobre la línea de tendencia. De hecho, con 
frecuencia estas series temporales presentan secuencias alternas de puntos abajo y arriba 
de la línea de tendencia. Toda secuencia recurrente de puntos arriba y debajo de la línea 
de tendencia, que dura más de un año, se puede atribuir a un componente cíclico de la 
serie. La figura 5.6 es la gráfica de una serie de tiempo con un componente cíclico 
obvio. Las observaciones se hicieron con intervalos de un año. 
 
Figura 5.6 Componente de tendencia y cíclico de una serie de tiempo con datos anuales 
 
 
 Los ciclos aparecen como series de 
 Observaciones sobre y debajo 
 V de la línea de tendencia 
 o 
 l 
 u 
 m 
 e 
 n 
 Línea de tendencia 
 Tiempo 
 
 
Muchas series se tiempo presentan comportamiento cíclico con tramos regulares 
de observaciones abajo y arriba de la línea de tendencia. En general, este 
comportamiento de la serie se debe a movimientos cíclicos de la economía a través de 
varios años. Por ejemplo, los periodos de inflación moderada seguidos de periodos de 
148 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
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inflación rápida pueden determinar series de tiempo que se alternan abajo y arriba de 
una línea de tendencia ascendente en general (como la serie de tiempo de los costos de 
vivienda). Diversas series de tiempo de principios de la década de los ochenta 
presentaron este comportamiento 
 
 
5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares 
 
Mientras que la tendencia y los componentes cíclicos de una serie de tiempo se 
identifican analizando los movimientos de datos históricos a través de varios años, hay 
muchas series de tiempo que muestran un patrón regular dentro de un periodo de un 
año. Por ejemplo, un fabricante de albercas inflables espera poca actividad de ventas 
durante los meses de otoño e invierno, y ventas máximas en los de primavera y verano. 
Los fabricantes de equipo para la nieve y de ropa de abrigo esperan un comportamiento 
anual opuesto al del fabricante de albercas. No es de sorprender que el componente de la 
serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos, debida a influencias de las 
estaciones, se llama componente estacional. Aunque uno suele imaginarse que un 
movimiento estacional de una serie de tiempo sucede dentro de un año, también se 
puede usar para representar cualquier patrón regularmente repetitivo cuya duración sea 
menor de un año. Por ejemplo, los datos diarios de intensidad de tráfico muestran un 
comportamiento “estacional” dentro del mismo día, así se tiene que el flujo máximo se 
presenta durante las horas de aglomeración, el moderado durante el resto del día y al 
caer la noche, y el mínimo a partir de la medianoche hasta temprano por la mañana. 
 
El componente irregular de la serie de tiempo es el factor residual, “mil usos”, 
que explica las desviaciones de la serie de tiempo real respecto a los factores 
determinados por los efectos de la tendencia y los componentes cíclicos y estacionales. 
Se debe a factores a corto plazo, imprevisibles y no recurrentes que afecta a la serie de 
tiempo. Como este componente explica la variabilidad aleatoria de la serie, es 
impredecible; de esta manera, no se puede esperar predecir su impacto sobre la serie de 
tiempo 
 
5.6. Aplicación de ajustes estacionales 
Una aplicación frecuente de índices estacionales es la de ajustar datos de serie de tiempo 
observados para eliminar la influencia del componente estacional en ellos; se llaman datos con 
ajuste estacional. Los ajustes estacionales son particularmente pertinentes cuando se desea 
comparar datos de diferentes meses para determinar si ha tenido lugar un incremento 
(o decremento) en relación con las expectativas estacionales. Los valores de serie de tiempo 
mensuales (o trimestrales) observados se ajustan respecto de la influencia estacional dividiendo 
cada valor entre el índice mensual (o trimestral) de ese mes. El resultado se multiplica luego 
por 100 para mantener la posición decimal de los datos originales. La serie que resultante se 
llama ventas desestacionalizadas o ventas ajustadas estacionalmente. 
 Suavización 149 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
La razón para desestacionalizar las series de ventas es similar las fluctuaciones 
estaciónales a fin de estudiar la tendencia y el ciclo. Para ilustrar el procedimiento, los 
totales trimestrales de ventas de la empresa 
 Tabla 5.2 Ajuste para datos trimestrales 
Año Trimestre Ventas Índice 
estacional 
Ventas 
desestacionalizadas 
1996 Invierno 
Primavera 
Verano 
Otoño 
6,7 
4,6 
10,0 
12,7 
0,765 
0,575 
1,141 
1,519 
8,76 
8,00 
8,76 
8,36 
1997 Invierno 
Primavera 
Verano 
Otoño 
6,5 
4,6 
9,8 
13,6 
0,765 
0,575 
1,141 
1,519 
8,50 
8,00 
8,59 
8,95 
1998 Invierno 
Primavera 
Verano 
Otoño 
6,9 
5,0 
10,4 
14.1 
0,765 
0,575 
1,141 
1,519 
9,02 
8,70 
9,11 
9,28 
1999 Invierno 
Primavera 
Verano 
Otoño 
7,0 
5,5 
10,8 
15,0 
0,765 
0,575 
1,141 
1,519 
9,15 
9,57 
9,46 
9,88 
2000 Invierno 
Primavera 
Verano 
Otoño 
7,1 
5,7 
11,1 
14,5 
0,765 
0,575 
1,141 
1,519 
9,28 
9,92 
9,72 
9,55 
2001 Invierno 
Primavera 
Verano 
Otoño 
8,0 
6,2 
11,4 
14,9 
0,765 
0,575 
1,141 
1,519 
10,46 
10,79 
9,99 
9,81 
 
A fin de eliminar el efecto de la variación estacional, la cantidad estacional, la 
cantidad de ventas para cada trimestre (que contiene efectos de tendencia, cíclicos, 
irregulares y estaciónales) se divide entre el índice estacional de ese trimestre; esto es, 
TSCI/S. 
 
Por ejemplo, las ventas reales para el primer trimestre de 1996 fueron 6.7 
millones de dólares, el índice estacional par el trimestre de invierno es 76.5 el índice 
76.5 indica que las ventas en el primer trimestre normalmente se encuentran 23.5% 
abajo del promedio de un trimestre normal. Dividiendo las ventas reales $6.7 millones 
entre 76.5 y multiplicando el resultado por 100 se encuentra el valor de las ventas 
desestacionalizadas del primer trimestre de 1996. El valor es $8758170 que se obtuvo 
de ($6700000/76.5)100. 
 
Este proceso se repite con los demás trimestres en la columna 3 de la tabla 5.2 y 
los resultados se dan en millones de dólares. Puesto que la componente estacionalizadas 
contiene solo las componentes de tendencia (T), ciclo © e irregular (I). Al revisar las 
ventas desestacionalizadas. Es claro que la eliminación del factor estacional permite 
considerar la tendencia general a largo plazo de las ventas. También se podrá determinar 
la ecuación de regresión de los datos de tendencia y usarla para pronosticar ventas 
futuras. 
 
150 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
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5.7. Pronósticos basados en factores de tendencia y estacionales. 
 
Como lo indicamos anteriormente el primer pasó en un análisis de series de tiempo, 
consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe 
determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en 
la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el 
tiempo. En este caso (es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), se 
recomienda antes de aplicar alguno de los métodos de pronostico ¨suavizar¨ nuestros 
datos a fin de que la tendencia se observe de manera clara. 
 
Los métodos que pueden emplearse para suavizar nuestros datos usualmente son: 
a) El método de promedios móviles 
b) El método de suavización exponencial 
El objetivo de ambos métodos es el de “emparejar” la serie y proporcionar un 
panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se 
pueden aplicar varios métodos de pronóstico de series de tiempo al manejar datos 
anuales, y otro método para los datos de series de tiempo mensual o trimestral, los 
cuales se verán posteriormente. 
 
Suavización de una serie de tiempo anual 
La tabla 5.3 presenta las ventas mundiales de una fábrica (en millones de unidades) de 
automóviles, camiones y autobuses hechos por General Motors Corporation (GM). Para 
un periodo de 24 años, de 1975 a 1998, y la figura 5.7 es una gráfica de serie de tiempo 
de estos datos. Al examinar este tipo de datos anuales, la impresión visual de las 
tendencias globales a largo plazo o movimientos de tendencia en la serie quedan veladas 
por la cantidad de variación de un año a otro. Entonces se vuelve difícil juzgar si en esta 
serie en realidad existe un efecto de tendencia positivo o negativo a largo plazo. 
 
Tabla 5.3 Ventas de fábrica (en millones de unidades) Para la General Motors Corporation (1975-1998)Año Ventas de fábrica Año Ventas de fábrica Año Ventas de fábrica 
 
 1975 6.6 1983 7.8 1991 7.4 
 1976 8.6 1984 8.3 1992 7.7 
 1977 9.1 1985 9.3 1993 7.8 
 1978 9.5 1986 8.6 1994 8.4 
 1979 9.0 1987 7.8 1995 8.3 
 1980 7.1 1988 8.1 1996 8.4 
 1981 6.8 1989 7.9 1997 8.8 
 1982 6.2 1990 7.5 1998 8.1 
 
 
 
 En situaciones como éstas, se pueden usar el método de promedios móviles o la 
suavización exponencial para suavizar o emparejar la serie de tiempo y proporcionar 
un panorama global del patrón de movimiento de los datos en el tiempo. 
 Suavización 151 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
 
 Figura 5.7 Gráfica de las ventas de fábrica (en millones de unidades) 
 Para la General Motors Corporation (1975-1998) 
 
 
 
Promedios móviles 
El método de promedios móviles para suavizar una serie de tiempo es muy subjetivo y 
dependiente de L, la longitud del periodo seleccionado para calcular los promedios. Para 
eliminar las fluctuaciones cíclicas, el periodo elegido debe ser un valor entero que 
corresponda a (o sea múltiplo de) la longitud promedio estimada de un ciclo en una 
serie. Los promedios móviles para un promedio determinado de longitud L consiste en 
una serie de promedios aritméticos en el tiempo tales que cada uno se calcula a partir de 
una secuencia de L valores observados. Estos promedios móviles se representan por el 
símbolo PM (L) 
 
A manera de ejemplo, suponga que se desea calcular promedios móviles de 5 años de 
una serie que contiene n = 11 años. Como L = 5, los promedios móviles de 5 años 
consisten en una serie de medidas obtenidas en el tiempo al promediar secuencias 
consecutivas de cinco valores observados. El primer promedio móvil de 5 años se 
calcula con la suma de los valores para los primeros 5 años en la serie, dividida entre 5. 
 
PM (5) = 
5
54321 YYYYY  
El segundo promedio móvil de 5 años se calcula con la suma de los valores de los años 
2 a 6 en la serie, dividida entre 5 
PM (5) = 
5
65432 YYYYY  
Este proceso continúa hasta calcular el último promedio móvil de 5 años con la suma de 
los valores de los últimos 5 años en la serie (años del 7 al 11), dividida entre 5. 
 
PM (5) = 
5
1110987 YYYYY  
 Cuando se trata de una serie de tiempo anual, L, la longitud del periodo elegido 
para construir los promedios móviles, debe ser un número de años impar. Al seguir esta 
regla se observa que no se pueden obtener promedios móviles para los primeros (L – 
Ventas de fabrica para General Motors
0
2
4
6
8
10
1970 1980 1990 2000
Año
U
n
id
ad
es
 (m
ill
o
n
es
)
152 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
1)/2 años o los últimos (L -1)/2 años en la serie. Entonces, para un promedio móvil de 5 
años, no es posible hacer cálculos para los primeros 2 años o los últimos 2 años de la 
serie. 
 Al graficar los promedios móviles, cada valor calculado se coloca en el año a la 
mitad de la secuencia de años usada para calcularlos. Si n = 11 y L = 5, el primer 
promedio móvil se centra en el tercer año, el segundo promedio móvil se centra en el 
cuarto año y el último en el noveno año. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo: 
 
Suponga que los siguientes datos representan los ingresos totales (en millones de 
dólares constantes de 1995) de una agencia donde se rentan automóviles, en un intervalo 
de 11 años de 1987 a 1997: 
 
4.0 5.0 7.0 6.0 8.0 9.0 5.0 2.0 3.5 5.5 6.5 
 
Calcule los promedios móviles de 5 años para esta serie de tiempo anual. 
 
Solución 
El primer promedio móvil de 5 años es 
 
PM (5) = 0.6
5
0.30
5
0.80.60.70.50.4


 
Es decir, para calcular un promedio móvil de 5 años, primero se obtiene la suma de los 
cinco años y se divide entre 5. Después el promedio se centra en el valor medio, el 
tercer año de esta serie de tiempo. Los siguientes valores quedan de la siguiente manera: 
 
PM (5) = 0.7
5
0.35
5
0.90.80.60.70.5


 
PM (5) = 0.7
5
0.35
5
0.50.90.80.60.7


 
PM (5) = 0.6
5
0.30
5
0.20.50.90.80.6


 
PM (5) = 5.5
5
5.27
5
5.30.20.50.90.8


 
PM (5) = 0.5
5
0.25
5
5.55.30.20.50.9


 
PM (5) = 5.4
5
5.22
5
5.65.55.30.20.5


 
Estos promedios móviles se centran en sus respectivos valores medios, el quinto, sexto 
y séptimo años de la serie de tiempo. Se observa que al obtener promedios móviles de 5 
años, no se pueden calcular los valores para los primeros dos y los últimos dos valores 
de la serie de tiempo. 
 
 Suavización 153 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
En la práctica, al obtener promedios móviles se debe usar un programa de computadora 
como Microsoft Excel o Minitab para evitar los cálculos tediosos. La tabla 5.4 y 5.5 
presenta las ventas anuales de la fábrica (General Motors) que ampara el periodo de 24 
años de 1975 a 1998 junto con los cálculos para los promedios móviles de 3 y 7 años. 
La gráfica de las dos series construidas se presenta en la figura 5.8 y 5.9 con los datos 
originales. 
 
Se observa en la tabla 5.4 que al obtener los promedios móviles de 3 años, no se pueden 
calcular valores para el primero o el último valor en la serie de tiempo. 
 
 Tabla 5.4 promedios móviles de 3 y 7 años obtenida con Microsoft Excel 
 
Figura 5.8 Gráfica de promedios móviles de 3 y 7 año 
 
 Año 
 
 Ventas PM 3 años PM 7 años 
1975 6,6 #N/A #N/A 
1976 8,6 8,1 #N/A 
1977 9,1 9,06666667 #N/A 
1978 9,5 9,2 8,1 
1979 9 8,53333333 8,04285714 
1980 7,1 7,63333333 7,92857143 
1981 6,8 6,7 7,81428571 
1982 6,2 6,93333333 7,78571429 
1983 7,8 7,43333333 7,72857143 
1984 8,3 8,46666667 7,82857143 
1985 9,3 8,73333333 8,01428571 
1986 8,6 8,56666667 8,25714286 
1987 7,8 8,16666667 8,21428571 
1988 8,1 7,93333333 8,08571429 
1989 7,9 7,83333333 7,85714286 
1990 7,5 7,6 7,74285714 
1991 7,4 7,53333333 7,82857143 
1992 7,7 7,63333333 7,85714286 
1993 7,8 7,96666667 7,92857143 
1994 8,4 8,16666667 8,11428571 
1995 8,3 8,36666667 8,21428571 
1996 8,4 8,5 #N/A 
1997 8,8 8,43333333 #N/A 
1998 8,1 #N/A #N/A 
 
 
 
 
0
2
4
6
8
10
19
75
19
78
19
81
19
84
19
87
19
90
19
93
19
96
VENTAS
PM 3 años
PM 7 años
154 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 Tabla 5.5 promedios móviles de 3 y 7 años obtenida con Minitab 
Tiempo Ventas MA 3 años MA 7 años 
1975 6,6 * * 
1976 8,6 8,10000 * 
1977 9,1 9,06667 * 
1978 9,59,20000 8,10000 
1979 9,0 8,53333 8,04286 
1980 7,1 7,63333 7,92857 
1981 6,8 6,70000 7,81429 
1982 6,2 6,93333 7,78571 
1983 7,8 7,43333 7,72857 
1984 8,3 8,46667 7,82857 
1985 9,3 8,73333 8,01429 
1986 8,6 8,56667 8,25714 
1987 7,8 8,16667 8,21429 
1988 8,1 7,93333 8,08571 
1989 7,9 7,83333 7,85714 
1990 7,5 7,60000 7,74286 
1991 7,4 7,53333 7,82857 
1992 7,7 7,63333 7,85714 
1993 7,8 7,96667 7,92857 
1994 8,4 8,16667 8,11429 
1995 8,3 8,36667 8,21429 
 1996 8,4 8,50000 * 
 1997 8,8 8,43333 * 
 1998 8,1 * * 
 
Figura 5.9 Gráfica de promedios móviles de 3 y 7 años en Minitab 
200019951990198519801975
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
Año
D
at
os
 Y
Ventas
PM 3 Años
PM 7 Años
Variable
Gráfica de dispersión de Ventas; PM 3 Años; PM 7 Años vs. Año
 
 
Suavización exponencial 
La suavización exponencial es otra técnica que se usa para alisar una serie de tiempo y 
proporcionar una visualización global de los movimientos a largo plazo de los datos. 
Además, se puede usar el método de suavización exponencial para obtener pronósticos a 
corto plazo (un periodo futuro) para series de tiempo. 
 El método de suavización exponencial obtiene su nombre del hecho de que 
proporciona un promedio móvil con ponderación exponencial a través de la serie de 
tiempo. En toda la serie, cada cálculo de suavización o pronóstico depende de todos los 
valores observados anteriores. Ésta es otra ventaja respecto al método de pronósticos 
móviles, que no toma en cuenta todos los valores observados de esta manera. Con la 
 Suavización 155 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
suavización exponencial, los pesos asignados a los valores observados decrecen en el 
tiempo, de manera que al hacer un cálculo, el valor observado más reciente recibe el 
peso más alto, el valor observado anterior tiene el siguiente peso más alto, y así 
sucesivamente, por lo que el valor observado inicial tiene la menor ponderación. 
Aunque la magnitud de los cálculos involucrados puede parecer enorme, la suavización 
exponencial al igual que los métodos de promedios móviles está disponible entre los 
procedimientos de Microsoft Excel y Minitab. 
 
 Si se centra la atención en los aspectos de suavización de la técnica (más que en 
el aspecto del pronóstico), las fórmulas desarrolladas para suavizar exponencialmente 
una serie en un periodo dado i se basa en sólo tres términos: el valor observado actual 
en la serie de tiempo , valor con suavización exponencial calculado anterior 1iE y un 
peso subjetivo asignado o coeficiente de suavización W. Así, para alisar una serie en 
cualquier periodo , se tiene la siguiente expresión. 
Obtención de un valor que tiene suavización exponencial en el periodo 
 
donde 
 EI = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo 
 EI – 1 = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo – 1 
 Yi = valor observado de la serie de tiempo en el periodo 
 W = peso subjetivo asignado o coeficiente de suavización (donde 0 < W < 1) 
 E1 = Y1 
 
 La elección del coeficiente de suavización o peso que se asigna a la serie de 
tiempo es crítica porque afectará en forma directa los resultados. Es desafortunado que 
esta selección sea subjetiva. Si se desea sólo suavizar una serie con la eliminación de la 
variación cíclica y la irregular, debe elegirse un valor pequeño para W (cercano a 0). 
Por otro lado, si la meta es pronosticar, debe elegirse un valor grande para W (más 
cercano a 1). En el primer caso, se podrán observar las tendencias globales a largo plazo 
de la serie; en el último caso, es posible predecir direcciones futuras a corto plazo de 
manera más adecuada. 
 
Los cálculos de la suavización exponencial se ilustra para un coeficiente de 
suavización de W = 0.25. Como punto de partida, se utiliza el valor observado inicial 
(tabla 5.3), Y1975 = 6.6 como el primer valor de suavización (E1975 = 6.6) Después, con 
el valor observado de la serie de tiempo para el año 1976 (Y1976 = 8.6), se suaviza la 
serie para el año de 1976 con el cálculo 
 
1)1(  iii EWYWE 
E1976 = WY1976 + (1 – W)E1975 = (0.25)(8.6) + (0.75)(6.6) = 7.10 millones 
E1977 = WY1977 + (1 – W)E1976 = (0.25)(9.1) + (0.75)(7.1) = 7.6 
E1978 = WY1978 + (1 – W)E1977 = (0.25)(9.5) + (0.75)(7.6) = 8.08 
156 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
Este proceso continúa hasta obtener los valores de la suavización exponencial 
para los 24 años en la serie de las ventas anuales de la fábrica (General Motors), como 
se muestra en la tabla 5.6 y 5.7, y las figuras 5.10 y 5.11 
 
 Tabla 5.6 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM 
 obtenida con Microsoft Excel 
 Año 
 
 Ventas 
 
 SE 
 (W=0.25) 
 
 SE 
 (W=0.50) 
1975 6,6 6,6 6,6 
1976 8,6 7,1 7,6 
1977 9,1 7,6 8,35 
1978 9,5 8,075 8,925 
1979 9 8,30625 8,9625 
1980 7,1 8,0046875 8,03125 
1981 6,8 7,70351563 7,415625 
1982 6,2 7,32763672 6,8078125 
1983 7,8 7,44572754 7,30390625 
1984 8,3 7,65929565 7,80195313 
1985 9,3 8,06947174 8,55097656 
1986 8,6 8,20210381 8,57548828 
1987 7,8 8,10157785 8,18774414 
1988 8,1 8,10118339 8,14387207 
1989 7,9 8,05088754 8,02193604 
1990 7,5 7,91316566 7,76096802 
1991 7,4 7,78487424 7,58048401 
1992 7,7 7,76365568 7,640242 
1993 7,8 7,77274176 7,720121 
1994 8,4 7,92955632 8,0600605 
1995 8,3 8,02216724 8,18003025 
1996 8,4 8,11662543 8,29001513 
1997 8,8 8,28746907 8,54500756 
1998 8,1 
 
 
 Figura 5.10 Gráfica de una serie suavizada exponencialmente 
 (W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas de GM 
 
 
 Suavización 157 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
 Tabla 5.7 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM 
 obtenida con Minitab 
 
 Año Ventas Suavizar 0,25 Suavizar 0,50 
1975 6,6 6,60000 6,60000 
1976 8,6 7,10000 7,60000 
1977 9,1 7,60000 8,35000 
1978 9,5 8,07500 8,92500 
1979 9,0 8,30625 8,96250 
1980 7,1 8,00469 8,03125 
1981 6,8 7,70352 7,41563 
1982 6,2 7,32764 6,80781 
1983 7,8 7,44573 7,30391 
1984 8,3 7,65930 7,80195 
1985 9,3 8,06947 8,55098 
1986 8,6 8,20210 8,57549 
1987 7,8 8,10158 8,18774 
1988 8,1 8,10118 8,14387 
1989 7,9 8,05089 8,02194 
1990 7,5 7,91317 7,76097 
1991 7,4 7,78487 7,58048 
1992 7,7 7,76366 7,64024 
1993 7,8 7,77274 7,72012 
1994 8,4 7,92956 8,06006 
1995 8,3 8,02217 8,18003 
1996 8,4 8,11663 8,29002 
19978,8 8,28747 8,54501 
1998 8,1 8,24060 8,32250 
 
 
 
 
Figura 5.11 Gráfica de una serie suavizada exponencialmente (W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas de 
GM en Minitab 
 
200019951990198519801975
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
Año
Da
to
s 
Y
Ventas
Suavizar 0,25
Suavizar 0,50
Variable
Gráfica de dispersión de Ventas; Suavizar 0,25; Suavizar 0,50 vs. Año
 
 
Proyección de tendencias 
Para pronosticar una serie de tiempo que tiene una tendencia lineal a largo plazo. El tipo 
de serie de tiempo para el cual se aplica el método de proyección de tendencias presenta 
un aumento o disminución consistentes a través del tiempo; y no es estable como para 
aplicar los métodos de suavizamiento analizados en la sección anterior. 
 
158 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 Veamos la serie de tiempo de ventas de bicicletas de determinado fabricante 
durante los últimos 10 años, que se muestran en la tabla 5.8 y en la figura 5.12. Observe 
que en el primer año se vendieron 21 600 bicicletas, en el segundo, 22 900, y así 
sucesivamente. En el décimo año, el más reciente, se vendieron 31 400 bicicletas. 
Aunque la figura 5.12 muestra algo de movimiento hacia arriba y hacia abajo durante 
los 10 años, parece que la serie de tiempo tiene una tendencia general de aumento o 
crecimiento 
 
 Tabla 5.8 Serie de tiempo de venta de bicicletas 
Año 
(t) 
Ventas 
(miles) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
21,6 
22,9 
25,5 
21,9 
23,9 
27,5 
31,5 
29,7 
28,6 
31,4 
 
 
 
 
 Figura 5.12 Serie de tiempo de venta de bicicletas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este caso no se trata de que el componente de tendencia de una serie de 
tiempo siga cada aumento y disminución; más bien ese componente debe reflejar el 
desplazamiento gradual, que para este caso es el crecimiento, de los valores de la serie 
de tiempo. 
 
10987654321
32
30
28
26
24
22
Año
v
e
n
ta
s
Gráfica de series de tiempo de ventas
 Proyección de tendencias 159 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
Después de examinar los datos de la serie de tiempo en la tabla 5.8 y en la 
gráfica de la figura 5.12 concordamos que con una tendencia líneas, como la que 
muestra la figura 5.13, se obtiene una descripción razonable del movimiento en la serie 
a largo plazo. 
 
 Vamos a emplear los datos de ventas de bicicletas para ilustrar los cálculos del 
análisis de regresión, a fin de identificar una tendencia lineal. Recuerde que en la 
descripción de la regresión lineal simple, describimos cómo se aplica el método de 
mínimos cuadrados para determinar la mejor relación lineal entre dos variables; tal 
metodología es la que usaremos para definir la línea de tendencia para la serie de tiempo 
de ventas de bicicletas. En forma específica, aplicaremos el análisis de regresión para 
estimar la relación entre el tiempo y el volumen de ventas. 
 
 Figura 5.13 Tendencias de las ventas de bicicletas, representada por una función lineal 
10987654321
32
30
28
26
24
22
20
Año
v
e
n
ta
s
MAPE 5,06814
MAD 1,32000
MSD 3,07000
Medidas de exactitud
Actual
Ajustes
Variable
Gráfica de análisis de tendencia de ventas
Modelo de tendencia lineal
Yt = 20,40 + 1,10*t
 
 
 La ecuación de regresión que describe una relación lineal entre una variable 
independiente, , y una variable dependiente, , es 
 
 
 
Para enfatizar que el tiempo es la variable independiente en los pronósticos, 
usaremos en la ecuación en lugar de ; además, usaremos en lugar de . Así para 
una tendencia lineal, el volumen estimado de ventas, expresado en función del tiempo, 
se puede escribir como sigue: 
 
 
donde 
 = valor de la tendencia de la serie de tiempo en el periodo 
 = ordenada al origen e la línea de tendencia 
 = pendiente de la línea de tendencia 
 = tiempo 
 
 En esta ecuación igualaremos = 1 para el tiempo en que se obtiene el primer 
dato de la serie de tiempo, = 2 para el tiempo del segundo dato y así sucesivamente. 
160 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 Observe que, para la serie de tiempo de ventas de bicicletas, = 1 correspondiente 
al valor más antiguo de esa serie y = 10 al más reciente. 
 
 Las fórmulas para calcular los coeficientes estimados de regresión, y , en 
la ecuación que se muestra a continuación. 
 
 
 
 
 
 
 
donde 
 = valor de la serie de tiempo en el periodo 
 = número de periodos 
 = valor promedio de la serie de tiempo, 
 = valor promedio de 
 Con las ecuaciones anteriores y los datos de las ventas de bicicletas de la tabla 
5.8 podemos calcular como sigue: 
t 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
21,6 
22,9 
25,5 
21,9 
23,9 
27,5 
31,5 
29,7 
28,6 
31,4 
21,6 
45,8 
76,5 
87,6 
119,5 
165,0 
220,5 
237,6 
257,4 
314,0 
1 
4 
9 
16 
25 
36 
49 
64 
81 
100 
55 264,5 1545,5 385 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por consiguiente, 
 
 
 
 Proyección de tendencias 161 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
 
 
Es la ecuación del componente de tendencia lineal para la serie de tiempo de 
ventas de bicicletas. 
La pendiente 1,1 indica que, durante los últimos 10 años, la empresa ha tenido 
un crecimiento promedio de ventas igual a 1100 unidades anuales, aproximadamente. Si 
suponemos que la tendencia en los 10 años pasados es un buen indicador del futuro, 
aplicamos la ecuación para proyectar el componente de tendencia de la serie de tiempo. 
Por ejemplo, al sustituir = 11 en esa ecuación, se obtiene la proyección de tenencia 
para el año próximo, 
 
 
 
Así sólo con el componente de tendencia pronosticaríamos ventas de 32 500 
bicicletas para el próximo año. 
Utilice Microsoft Excel o Minitab para resolver los siguientes problemas 
 
Ejercicios 
1.- En la compañía Pérez, los porcentajes mensuales de los embarques recibidos durante 
los últimos 12 meses fueron 
80, 82, 84, 83, 83, 84, 85, 84, 82, 83, 84 y 83 
a) Compare el pronóstico con promedios móviles de tres meses con uno de 
suavizamiento exponencial con ¿Con cuál se obtienen mejores 
pronósticos? 
 
2.- La siguiente serie de tiempo representa las ventas de un producto durante los últimos 
12 meses. 
 
Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Ventas 10535 120 105 90 120 145 140 100 80 100 110 
 
a) Use con para calcular los valores de suavizamiento exponencial de la 
serie de tiempo 
b) Use una constante de suavizamiento igual a 0,5 para calcular los valores de 
suavizamiento exponencial. ¿Cuál de las constantes 0,3 o 0,5, parece producir 
los mejores pronósticos 
 
Resumen de Excel donde observamos los coeficientes 
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple 0,874526167
Coeficiente de determinación R^2 0,764796016
R^2 ajustado 0,735395518
Error típico 1,958953802
Observaciones 10
ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados de libertad Suma de cuadrados Promedio de los cuadrados F Valor crítico de F
Regresión 1 99,825 99,825 26,01302930,000929509
Residuos 8 30,7 3,8375
Total 9 130,525
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95%
Intercepción 20,4 1,338220211 15,24412786 3,3999E-07 17,31405866
Año 1,1 0,215673715 5,100296983 0,00092951 0,602655521
162 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
3.- Los datos que siguen representan el número anual de empleados (en miles) de una 
compañía petrolera para los años 1978 a 1997. 
 
Número de empleados (en miles) 
 
 Año Número Año Número Año Número 
1978 1.45 1985 2.04 1992 1.65 
1979 1.55 1986 2.06 1993 1.73 
1980 1.61 1987 1.80 1994 1.88 
1981 1.60 1988 1.73 1995 2.00 
1982 1.74 1989 1.77 1996 2.08 
1983 1.92 1990 1.90 1997 1.88 
 1984 1.95 1991 1.82 
 
 
a) Grafique los datos en un diagrama 
b) Ajuste un promedio móvil de 3 años a los datos y grafique los resultados en el 
diagrama 
c) Utilice un coeficiente de suavización W = 0.50, aplique la suavización exponencial a 
la serie y grafique los resultados en el diagrama 
 
4.- Los siguientes datos representan las ventas anuales (en millones de dólares) de una 
compañía que procesa alimentos para los años 1972 a 1997 
 
 Ventas anuales (millones de dólares) 
 
 Año Ventas Año Ventas Año Ventas 
 1972 41.6 1981 53.2 1990 36.4 
 1973 48.0 1982 53.3 1991 38.4 
 1974 51.7 1983 51.6 1992 42.6 
 1975 55.9 1984 49.0 1993 34.8 
 1976 51.8 1985 38.6 1994 28.4 
 1977 57.0 1986 37.3 1995 23.9 
 1978 64.4 1987 43.8 1996 27.8 
 1979 60.8 1988 41.7 1997 42.1 
 1980 56.3 1989 38.3 
 
 
a) Grafique los datos en un diagrama 
b) Ajuste un promedio móvil de 7 años a los datos y grafique los resultados en el 
diagrama 
c) Utilice un coeficiente de suavización W = 0.25, aplique la suavización exponencial a 
la serie y grafique los resultados en el diagrama 
 
 Ejercicios 163 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
5.- Los datos de inscripciones, en miles, en una universidad estatal durante los últimos 
seis años son los siguientes: 
 
Año 1 2 3 4 5 6 
Inscripción 20,5 20,2 19,5 19,0 19,1 18,8 
 
Deduzca una ecuación del componente de tendencia lineal en esta serie de 
tiempo. Haga comentarios acerca de lo que sucede con la inscripción en esta institución. 
 
6.- Al final de la década de los noventa, muchas empresas trataron de reducir su tamaño 
para disminuir sus costos. Uno de los resultados de esas medidas de recorte de costos 
fue una disminución en el porcentaje de empleos gerenciales en la industria privada. Los 
siguientes datos corresponden al porcentaje de mujeres gerentes, de 1990 1 1995 
 
Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 
Porcentaje 7,45 7,53 7,52 7,65 7,62 7,73 
 
a) Deduzca una ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo. 
b) Use la ecuación de la tendencia para estimar el porcentaje de mujeres gerentes 
para 1996 y 1997 
 
7.- ACT Networks. Inc., desarrolla, fabrica y vende productos para acceso a redes de 
banda ancha. Los siguientes datos son las ventas anuales de 1992 a 1997 
 
Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 
Ventas 
(millones) 
 5,4 6,2 12,7 20,6 28,4 44,9 
 
a) Deduzca una ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo 
b) ¿Cuál es el aumento promedio de ventas anuales en esta empresa 
c) Use la ecuación de tendencia para pronosticar las ventas en 1998 
 
 
 
 
Caso a resolver 1 Pronóstico de ventas de alimentos y bebidas 
 
El restaurante Vintage está en la isla Captiva, lugar de descanso cerca de Fort Myers, 
Florida. El restaurante, cuya dueña y operadora es Karen Payne, acaba de completar su 
tercer año de funcionamiento. Karen, durante ese lapso, ha tratado de ganarse una 
reputación como establecimiento de alta calidad que se especializa en mariscos. Sus 
esfuerzos han tenido éxito y su restaurante ha llegado a ser uno de los mejores y de 
mayor crecimiento en la isla. 
 
 Karen ve que, para planear el crecimiento futuro del restaurante, necesita 
desarrollar un sistema que le permita pronosticar las ventas de alimentos y bebidas cada 
mes, hasta con un año de anticipación. Cuenta con los siguientes datos sobre las ventas 
totales de alimentos y bebidas (en miles de dólares) durante los tres años de 
funcionamiento. 
 
164 CAPÍTULO 5 Series de tiempo 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
Mes Primer año Segundo año Tercer año 
Enero 
Febrero 
Marzo 
Abril 
Mayo 
Junio 
Julio 
Agosto 
Septiembre 
Octubre 
Noviembre 
Diciembre 
242 
235 
232 
178 
184 
140 
145 
152 
110 
130 
152 
206 
263 
238 
247 
193 
193 
149 
157 
161 
122 
130 
167 
230 
282 
255 
265 
205 
210 
160 
166 
174 
126 
148 
173 
235 
 
Analice los datos de ventas del restaurant. Prepare un informe a Karen que contenga 
lo que encontró, sus pronósticos y recomendaciones. Dicho informe debe incluir: 
 
a) Una gráfica de la serie de tiempo 
b) Un análisis de influencias estacionales sobre los datos. Indique los índices 
estacionales para cada mes y haga comentarios acerca de los meses con ventas 
altas y bajas. ¿Tiene sentido intuitivo esos índices estacionales? Describa por 
qué. 
c) Un pronóstico de ventas desde enero hasta diciembre del cuarto año. 
d) Recomendaciones sobre cuándo se debe actualizar el sistema que ha preparado, 
para tomar en cuenta nuevos datos de ventas 
e) Todos los cálculos detallados de su análisis aparecen en el apéndice de su 
informe. 
 
Suponga que las ventas en enero del cuarto año fueron de 295 000 dólares. ¿Cuál 
fue su error de pronóstico? Si es grande, Karen se quedará confundida por la diferencia 
entre su pronóstico y el valor real de las ventas. ¿Qué puede hacer para resolver la 
incertidumbre en el procedimiento de pronóstico? 
 
 
Caso a resolver 2 Pronóstico de ventas perdidas 
 
La tienda de departamentos Carlson sufrió graves daños cuando pasó un huracán el 31 
de agosto de 2000. Estuvo cerrada durante cuatro meses (de septiembre a diciembre de 
2000), y ahora tiene una dificultad con su aseguradora acerca de la cantidad de ventas 
perdidas, mientras estuvo cerrada. Se deben resolver dos asuntos clave: 1) la cantidad de 
ventas de Carlson si no la hubiera dañado el huracán, y 2) si Carlson tiene derecho a una 
compensación por ventas adicionales a causa de mayor actividad después de la 
tormenta. A su condado llegaronmás de 8000 millones de dólares en fondos federales 
para desastres y seguros, lo cual ocasionó un aumento en las ventas de las tiendas de 
departamento y de muchos otros negocios. 
 
 La siguiente tabla muestra los datos del departamento de comercio de Estados 
Unidos sobre las ventas totales durante los 48 meses anteriores a la tormenta, en todas 
las tiendas de departamentos en el condado, y también las ventas totales durante los 
cuatro meses en que Carlson estuvo cerrada. Los administradores de Carlson le pidieron 
 Ejercicios 165 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
analizar estos datos y preparar estimados de las ventas perdidas en sus almacenes 
durante los meses de septiembre a diciembre de 2000. También le pidieron determinar si 
es posible alegar exceso de ventas relacionado con el huracán, durante el mismo 
periodo. Si se puede presentar ese argumento. Carlson tiene derecho a compensaciones 
por exceso sobre las ventas ordinarias. 
 
Mes 1996 1997 1998 1999 2000 
Enero 
Febrero 
Marzo 
Abril 
Mayo 
Junio 
Julio 
Agosto 
Septiembre 
Octubre 
Noviembre 
Diciembre 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,71 
1,90 
2,74 
4,20 
1,45 
1,80 
2,03 
1,99 
2,32 
2,20 
1,13 
2,43 
1,90 
2,13 
2,56 
4,16 
2,31 
1,89 
2,02 
2,23 
2,39 
2,14 
2,27 
2,21 
1,89 
2,29 
2,83 
4,04 
2,31 
1,99 
2,42 
2,45 
2,57 
2,42 
2,40 
2,50 
2,09 
2,54 
2,97 
4,35 
2,56 
2,28 
2,69 
2,48 
2,73 
2,37 
2,31 
2,23 
 
Prepare un informe a los gerentes de Carlson que resuma lo que encontró, sus 
pronósticos y recomendaciones. Éste debe incluir: 
a) Un estimado de ventas si no hubiera habido huracán. 
b) Un estimado de ventas en tiendas de departamentos de todo el condado, si no 
 hubiera habido huracán 
c) Un estimado de ventas perdidas de Carlson, de septiembre a diciembre de 200 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
166 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
Apéndice 
 
 
Tablas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 167 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
 
Distribución T de Student 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grados de 
libertad 
 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 
1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 
 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 
0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 
0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 
0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 
0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 
0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 
0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 
0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 
0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 
0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 
0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 
0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 
0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 
0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 
0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 
0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 
0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 
0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 
0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 
0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 
0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 
0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 
0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 
0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 
0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 
0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 
0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 
0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 
0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 
 
168 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
Distribución normal estándar 
 
 
 
 
 
0 Z 
 
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
 
2.0 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
 
3.0 
3.1 
3.2 
3.3 
3.4 
3.5 
3.6 
3.7 
3.8 
3.9 
0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 
0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 
0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 
 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 
0.1915 0.1850 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 
0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 
0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2518 0.2549 
0.2580 0.2612 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 
0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 
0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 
 
0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 
0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 
0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 3.3980 0.3997 0.4015 
0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 
0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.43060.4319 
0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 
0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 
0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 
0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 
0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 
 
0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 
0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 
0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 
0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 
0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 
0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 
0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 
0.4956 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 
0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 
0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 
 
0.4986 0.4986 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4990 
0.4990 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 
0.4993 0.4993 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 
0.4995 0.4995 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 
0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 
0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 
0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 
0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 
0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 
0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 
 
 169 
 
Instituto Tecnológico de Ensenada Biol. Raúl Jiménez González 
 
Distribución normal para una cola 
 
 
 
 
 
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
3.0 
0.5000 0.5039 0.5079 0.5119 0.5159 0.5199 0.5239 0.5279 0.5318 0.5358 
0.5398 0.5437 0.5477 0.5517 0.5556 0.5596 0.5635 0.5674 0.5714 0.5753 
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0.6914 0.6949 0.6984 0.7019 0.7054 0.7088 0.7122 0.7156 0.7190 0.7224 
0.7257 0.7290 0.7323 0.7356 0.7389 0.7421 0.7453 0.7485 0.7517 0.7549 
0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7733 0.7763 0.7793 0.7823 0.7852 
0.7881 0.7910 0.7938 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8105 0.8132 
0.8159 0.8185 0.8212 0.8238 0.8263 0.8289 0.8314 0.8339 0.8364 0.8389 
0.8413 0.8437 0.8461 0.8484 0.8508 0.8531 0.8554 0.8576 0.8599 0.8621 
0.8643 0.8665 0.8686 0.8707 0.8728 0.8749 0.8769 0.8790 0.8810 0.8829 
0.8849 0.8868 0.8887 0.8906 0.8925 0.8943 0.8961 0.8979 0.8997 0.9014 
0.9032 0.9049 0.9065 0.9082 0.9098 0.9114 0.9130 0.9146 0.9162 0.9177 
0.9192 0.9207 0.9221 0.9236 0.9250 0.9264 0.9278 0.9292 0.9305 0.9318 
0.9331 0.9344 0.9357 0.9369 0.9382 0.9394 0.9406 0.9417 0.9429 0.9440 
0.9452 0.9463 0.9473 0.9484 0.9494 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9544 
0.9554 0.9563 0.9572 0.9581 0.9590 0.9599 0.9607 0.9616 0.9624 0.9632 
0.9640 0.9648 0.9656 0.9663 0.9671 0.9678 0.9685 0.9692 0.9699 0.9706 
0.9712 0.9719 0.9725 0.9731 0.9738 0.9744 0.9750 0.9755 0.9761 0.9767 
0.9772 0.9777 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9807 0.9812 0.9816 
0.9821 0.9825 0.9829 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9849 0.9853 0.9857 
0.9860 0.9864 0.9867 0.9871 0.9874 0.9877 0.9880 0.9883 0.9886 0.9889 
0.9892 0.9895 0.9898 0.9900 0.9903 0.9906 0.9908 0.9911 0.9913 0.9915 
0.9918 0.9920 0.9922 0.9924 0.9926 0.9928 0.9930 0.9932 0.9934 0.9936 
0.9937 0.9939 0.9941 0.9942 0.9944 0.9946 0.9947 0.9949 0.9950 0.9952 
0.9953 0.9954 0.9956 0.9957 0.9958 0.9959 0.9960 0.9962 0.9963 0.9964 
0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9971 0.9972 0.9973 
0.9974 0.9975 0.9975 0.9976 0.9977 0.9978 0.9978 0.9979 0.9980 0.9980 
0.9981 0.9981 0.9982 0.9983 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 
0.9986 0.9986 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9990