Clase_17_M3 (1)

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Matemáticas III
Clase 17
Profesor: Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Convexidad - concavidad de funciones de varias variables a valores reales
Convexidad - concavidad usando matriz de Hesse
Objetivos de la clase
I Conocer qué es la convexidad - concavidad de funciones de varias
variables (a valores reales)
I Conocer la caracterización de la concavidad - convexidad de una
función a través del signo de la matriz de Hesse de la función.
Caso real
Recordemos que la convexidad de una función f : R→ R se puede ver
desde tres puntos de vista equivalentes:
(a) la función f es convexa si para todo x1, x2 ∈ R y para todo λ ∈]0, 1[
se tiene que
f (λx1 + (1− λ)x2) < λf (x1) + (1− λ)f (x2);
(b) la función f es convexa si para todo x1, x2 ∈ R, x1 6= x2, el
segmento que une los puntos (x1, f (x1)) y (x2, f (x2)) está “sobre”
la porción del gráfico de f entre esos puntos, salvo, obviamente, en
los puntos (x1, f (x1)) y (x2, f (x2));
(c) la función f es convexa si la derivada f ′(x) es creciente, es decir,
f ′′(x) > 0.
NOTA: Para función cóncava: en (a) la desigualdad es con >, en (b)
el segmento está “debajo”, en (c) la segunda derivada es negativa.
Figura: Función convexa
Extensión del concepto para funciones de varias variables
La función f : Rk → R se dice convexa si para todo λ ∈]0, 1[ y para todo
x = (x1, x2, . . . , xk)t ∈ Rk e y = (y1, y2, . . . , yk)t ∈ Rk se cumple que
f (λx + (1− λ)y) < λf (x) + (1− λ)f (y).
Por otro lado, la función f : Rk → R se dice cóncava si para todo
λ ∈]0, 1[ y para todo x = (x1, x2, . . . , xk)t ∈ Rk e
y = (y1, y2, . . . , yk)t ∈ Rk se cumple que
f (λx + (1− λ)y) > λf (x) + (1− λ)f (y).
Desde un punto de vista geométrico, las funciones de varias variables a
valores reales que son convexas tienen gráficos (superficie) que son, o
bien como una “rampa de skate”, o bien como una “olla” (wok).
Figura: Gráfico de funciones convexas
(a) Rampa de skate (b) Wok (comida china)
Idea y caracterización
Para una función real, f (x), sabemos que
I f (x) es convexa si f ′′(x) > 0.
I f (x) es cóncava si f ′′(x) < 0.
• La extensión para f : Rk → R sigue lo anterior, pero teniendo presente
que la segunda derivada es, ahora, una matriz.
(a) La función f : Rk → R es convexa si para todo
x = (x1, x2, . . . , xk)t ∈ Rk ocurre que
Hf (x) ∈ Rk×k
es definida positiva.
(b) La función f : Rk → R es cóncava si para todo x ∈ Rk ocurre que
Hf (x) ∈ Rk×k
es definida negativa.
Problema...
La caracterización de la convexidad - concavidad requiere conocer el
signo de la matriz de Hesse de la función que se analiza.
• Sin embargo, esa matriz depende de las variables donde se evalúa.
• En resumen: requerimos conocer el signo de una matriz que depende de
variables, y eso puede ser complicado.
Solución
Dada f : R2 → R, cuya matriz de Hesse (simétrica) es
Hf (x , y) =

∂2f (x,y)
∂x∂x
∂2f (x,y)
∂x∂y
∂2f (x,y)
∂y∂x
∂2f (x,y)
∂y∂y
 ∈ R2×2,
se tiene que:
(i) Hf (x , y) es definida positiva si
H11(x , y) =
∂2f (x , y)
∂x∂x
> 0, det (Hf (x , y)) > 0.
(ii) Hf (x , y) es definida negativa si
H11(x , y) =
∂2f (x , y)
∂x∂x
< 0, det (Hf (x , y)) > 0.
En complemento:
(a) Hf (x , y) es semidefinida positiva si
H11(x , y) =
∂2f (x , y)
∂x∂x
> 0, det (Hf (x , y)) = 0.
(b) Hf (x , y) es semidefinida negativa si
H11(x , y) =
∂2f (x , y)
∂x∂x
< 0, det (Hf (x , y)) = 0.
(c) Hf (x , y) no tiene signo si
det (Hf (x , y)) < 0.
• Los casos (i) y (ii) permiten conocer si una función f (x , y) es convexa
o cóncava, y las condiciones para que eso se cumpla.
• Los casos (a) y (b) distinguen, si corresponde, cuando la función que
se analiza es débilmente convexa o débilmente cóncava, pero no es
convexa o cóncava
– La diferencia entre convexa y débilmente convexa es tener o no lados
rectos (planos) en el gráfico.
– Las funciones “importantes” son las convexas o cóncavas, no las
que son “débilmente”.
• El caso (c) es importante porque entrega una condición para establecer
cuando una función no es ni cóncava, ni convexa.
– Muchas funciones (la mayoŕıa) no son ni cóncavas, ni convexas.
– Si el determinante de la matriz de Hesse es negativo, la función no
es ni cóncava, ni convexa.
– Note H11 = 0 es otra condición bajo la cual la función no es ni
cóncava, ni convexa.
Ejemplo 1
Considere f : R2 → R tal que
f (x , y) = 3x2 + y2 − xy + x + 4y .
• Se tiene que:
∂f (x , y)
∂x
= 6x − y + 1, ∂f (x , y)
∂y
= 2y − x + 4,
por lo que
∂2f (x , y)
∂x∂x
= 6,
∂2f (x , y)
∂y∂y
= 2,
∂2f (x , y)
∂y∂x
= −1.
• Con lo anterior
Hf (x , y) =
[
6 −1
−1 2
]
.
Como H11 = 6 y det(Hf (x , y)) = 6 · 2− (−1) · (−1) = 11 > 0, por la
condición (i) anterior se concluye que f (x , y) es convexa.
Ejemplo 2
Dada f (x , y) = x2 − y2 + xy se tiene que
Hf (x , y) =
[
2 1
1 −2
]
.
Se tiene entonces que
• H11 = 2 > 0.
• El determinante de la matriz de Hesse es
det(Hf (x , y)) = −4− 1 = −5 < 0.
Conclusión: a pesar de que H11 > 0, el hecho que det(Hf (x , y)) < 0
implica que la función no es ni cóncava, ni convexa (condición (c)
anterior).
Ejemplo 3
Dada f (x , y) = x2 + βy2 + 6xy . Se pide encontrar las condiciones sobre
β para que la función f (x , y) sea convexa.
Se tiene que
Hf (x , y) =
[
2 6
6 2β
]
.
Se tiene entonces que
• H11 = 2 > 0.
• El determinante de la matriz de Hesse es
det(Hf (x , y)) = 4β − 36.
Conclusión: como H11 > 0 y como det(Hf (x , y)) = 4β − 36, para que la
función sea convexa se debe cumplir que
4β − 36 > 0 ⇒ β > 36
4
⇒ β > 9.
Ejemplo 4
Dados α, β > 0, suponga que g : R2++ → R (dominio con variables
positivas) tal que
g(x , y) = xαyβ .
Por cuestiones previas, ya sabemos que
Hg (x , y) =
[
α(α− 1)xα−2yβ αβxα−1yβ−1
αβxα−1yβ−1 β(β − 1)xαyβ−2.
]
.
• A partir de lo anterior se tiene que H11 = α(α− 1)xα−2yβ .
• Por otro lado:
det(Hg (x , y)) =
(
α(α− 1)xα−2yβ
)
·
(
β(β − 1)xαyβ−2
)
−
(
αβxα−1yβ−1
)2
= αβ(α− 1)(β − 1)x2α−2y 2β−2 − α2β2 x2α−2y 2β−2
=
[
αβ(α− 1)(β − 1)− α2β2
]
x2α−2y 2β−2
= αβ[(α− 1)(β − 1)− αβ] x2α−2y 2β−2
= αβ (1− α− β) x2α−2y 2β−2. (1)
• Primero: como x > 0 e y > 0 se concluye que si α ∈]0, 1[ entonces
H11 = α(α− 1)xα−2yβ < 0.
• Segundo, como
det(Hg (x , y)) = αβ(1− α− β) x2α−2y2β−2,
ocurre que (recordar que x > 0 e y > 0 y que asumimos α, β > 0)
det(Hg (x , y)) > 0 ⇐⇒ (1− α− β) > 0
es decir, ese determinante es positivo cuando α + β < 1.
• Concluyendo de lo expuesto, y partiendo de la base que los exponentes
son positivos, si α + β < 1, entonces H11 < 0 y det(Hg (x , y)) > 0. Por
lo mismo:
La función g : R2++ → R tal que g(x , y) = xαyβ es cóncava
cuando α + β < 1. Por otro lado, cuando α + β ≥ 1 ocurre que
g(x , y) no es ni convexa, ni cóncava, pues el determinante de la
matriz de Hesse es cero, o negativo.
Ejemplo 5
“Analicemos la convexidad” (es decir, “estudiemos si es cóncava o
convexa, o bien ninguna de ellas”) de la función
h(x , y) = e−x
2−2y2 .
Se tiene que
∂h(x , y)
∂x
= −2xe−x
2−2y2 ,
∂h(x , y)
∂y
= −4ye−x
2−2y2 ,
por lo que
∂2h(x , y)
∂x∂x
= −2e−x
2−2y2 +(−2x)·(−2x)e−x
2−2y2 = e−x
2−2y2 ·(−2+4x2).
De manera análoga se tiene que
∂2h(x , y)
∂y∂y
= e−x
2−2y2 · (−4 + 16y2).
Finalmente,
∂2h(x , y)
∂x∂y
= (−2x) · (−4y)e−x
2−2y2 = 8xye−x
2−2y2 .
Usando todo lo anterior:
Hh(x , y) =
 e−x2−2y2 · (−2 + 4x2) 8xye−x2−2y2
8xye−x
2−2y2 e−x
2−2y2 · (−4 + 16y2)
 .
Para estudiar el signo de Hh(x , y) debemos estudiar los signos de (i)
H11 y de (ii) det(Hh(x , y)). Se tiene que
H11 = e
−x2−2y2 · (−2 + 4x2),
y que
det(Hh(x , y)) = (e
−x2−2y2)2 ·
[
(−2 + 4x2) · (−4 + 16y2)− (8xy)2
]
= (e−x
2−2y2)2 ·
[
(8 + 64x2y2 − 16x2 − 32y2)− 64x2y2
]
= (e−x
2−2y2)2 · (8− 16x2 − 32y2)
• Solo por el hecho que H11 puede ser positivo o negativo (incluso 0), la matriz
de Hesse no tiene signo, es decir, la función no es ni cóncava ni convexa.
• En complemento (si lo anterior no fuese claro), como det(Hh(x , y)) puede ser
negativo para ciertos valores de “x” e “y” ocurre que la funciónno es ni
cóncava, ni convexa.
Complemento
En el ejemplo anterior, la cuestión clave para establecer si la función es
cóncava o convexa es conocer el signo de H11 y de det(Hh(x , y)).
• Para que la función sea convexa, debe ocurrir que para todo “x” e
“y” se debe cumplir que H11 > 0 y que det(Hh(x , y)) > 0. Si esto se
cumple para algunos valores de las variables, y no para otros, entonces la
función no es convexa.
• Para que la función sea cóncava debe ocurrir que para todo “x” e “y”
se debe cumplir que H11 < 0 y que det(Hh(x , y)) > 0. Si esto se cumple
para algunos valores de las variables, y no para otros, entonces la función
no es cóncava.
• Por lo tanto, si las condiciones indicadas se cumplen para ciertos
valores de las variables, y no para otros, entonces la función no es ni
convexa, ni cóncava: según el caso, para concluir que hay concavidad o
convexidad, el signo de H11 y del determinante de la matriz de Hesse no
puede depender del punto donde se evalúan.
	Objetivos de la clase
	Convexidad - concavidad de funciones de varias variables a valores reales
	Convexidad - concavidad usando matriz de Hesse