Clase_12_M3

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Matemáticas III
Clase 12
Profesor: Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Motivación
Regla de la cadena
Objetivos de la clase
1. Conocer y entender la regla de la cadena para funciones de varias
variables a valores reales.
Motivación
• Supongamos que la satisfacción que obtiene una persona depende del
consumo de dos bienes, el bien 1 y el bien 2.
• Si consume x1 ≥ 0 cantidad de bien uno y x2 ≥ 0 cantidad de bien dos,
la medida de la satisfacción es u(x1, x2), donde u : R2+ → R se conoce
como función de utilidad.
• Por ejemplo, dados α, β ∈ R++,
u(x1, x2) = x
α
1 · x
β
2 , u(x1, x2) = αx1 +βx2, u(x1, x2) = x
α
1 + x
β
2 , etc.
• Un cambio “marginal” (es decir, “muy pequeño”) en la cantidad de
bien uno (bien dos) provoca un cambio en la satisfacción. La medida del
efecto sobre la satisfacción por el cambio en el consumo es la derivada
parcial
∂u(x1, x2)
∂x1
,
∂u(x1, x2)
∂x2
.
• Supongamos ahora que la cantidad de bien uno que se consume
depende de los precios p1, p2 de los bienes y, además, de la riqueza
(“ingreso”, dinero, recursos, etc.) de la persona, que denotamos como R.
Digamos entonces que x1 y x2 son funciones de las variables p1, p2,R:
x1(p1, p2,R), x2(p1, p2,R).
• Si los precios e ingreso son p1, p2,R, ocurre que el bienestar de la
persona es, en definitiva, una función de esas variables:
I las variables p1, p2,R determinan los consumos de los bienes:
x1(p1, p2,R) y x2(p1, p2,R).
I una vez conocidos los consumos a partir de precios e ingreso, se
obtiene la medida de satisfacción, que llamamos V (p1, p2,R), de
modo que
V (p1, p2,R) = u(x1(p1, p2,R), x2(p1, p2,R)).
• ¿Qué ocurre entonces si, por ejemplo, p1 se “mueve” (cambia, se
modifica)?
• Dado un cambio en p1 se modifica el valor de V (p1, p2,R), y el efecto
se mide con la derivada parcial
∂V (p1, p2,R)
∂p1
.
• Por otro lado, debido al “movimiento” que hubo en precio p1 ocurre
que la demanda por el bien uno, y por el bien dos, también se “mueve”.
El efecto del movimiento de p1 sobre las demandas es
∂x1(p1, p2,R)
∂p1
,
∂x2(p1, p2,R)
∂p1
.
• A su vez, el movimiento de las demandas tiene efecto sobre la función
de utilidad, dado por (note que las derivadas de la utilidad se evalúa en
la demanda):
∂u(x1(p1, p2,R), x2(p1, p2,R))
∂x1
,
∂u(x1(p1, p2,R), x2(p1, p2,R))
∂x2
.
En resumen:
A partir del hecho que V (p1, p2,R) = u(x1(p1, p2,R), x2(p1, p2,R)), un
movimiento del precio p1 provoca cinco movimientos, dados por (en lo
que sigue, denotamos p = (p1, p2)):
∂V (p,R)
∂p1︸ ︷︷ ︸
(1)
,
∂u(x1(p,R), x2(p,R))
∂x1︸ ︷︷ ︸
(2)
,
∂x1(p,R)
∂p1︸ ︷︷ ︸
(3)
,
∂u(x1(p,R), x2(p,R))
∂x2︸ ︷︷ ︸
(4)
,
∂x2(p,R)
∂p1︸ ︷︷ ︸
(5)
.
• La relación que existe entre esos cinco movimientos es dada por la
regla de la cadena. Ella establece que:
∂V (p,R)
∂p1
=
∂u(x1(p,R), x2(p,R))
∂x1
·∂x1(p,R)
∂p1
+
∂u(x1(p,R), x2(p,R))
∂x2
·∂x2(p,R)
∂p1
.
• De manera análoga, se puede probar que
∂V (p,R)
∂p2
=
∂u(x1(p,R), x2(p,R))
∂x1
·∂x1(p,R)
∂p2
+
∂u(x1(p,R), x2(p,R))
∂x2
·∂x2(p,R)
∂p2
.
¿Qué ocurre si hay un cambio (marginal) en R? Siguiendo lo anterior, al
mover R se mueve V (p,R). A su vez, ese cambio (en R) provoca
cambios en las demandas que, a su vez, cambian la utilidad. Los
“movimientos” provocados se relacionan de la siguiente manera:
∂V (p,R)
∂R
=
∂u(x1(p,R), x2(p,R))
∂x1
·∂x1(p,R)
∂R
+
∂u(x1(p,R), x2(p,R))
∂x2
·∂x2(p,R)
∂R
.
Regla de la cadena
• Considere g : Rk → R de modo que g(x1, x2, . . . , xk) ∈ R.
• Supongamos que esas k variables dependen de otras m variables:
xi (p1, p2, . . . , pm) ∈ R, i ∈ {1, . . . , k}.
• Definamos H : Rm → R tal que a p = (p1, p2, . . . , pm)t ∈ Rm le asocia
H(p1, p2, . . . , pm) = g(x1(p), x2(p), . . . , xk(p)) ∈ R.
NOTA. La función H es una composición de funciones: definiendo
X : Rm → Rk tal que
X (p1, p2, . . . , pm) =

x1(p1, p2, . . . , pm)
x2(p1, p2, . . . , pm)
...
xk(p1, p2, . . . , pm)
 ∈ Rk
se tiene que
H(p1, p2, . . . , pm) = (g ◦ X )(p1, p2, . . . , pm) = g(X (p1, p2, . . . , pm)).
• Si “movemos” pj , j = 1, 2, . . . ,m, se “mueve” H:
∂H(p)
∂pj
.
• Denotando x(p) = (x1(p), x2(p), . . . , xk(p))t ∈ Rk , si “movemos” pj se
“mueven” cada una de las componentes xi (p), i = 1, 2, . . . , k:
∂xi (p)
∂pj
.
• Si se “mueve” xi entonces se mueve g :
∂g(x(p))
∂xi
.
•La regla de la cadena sostiene que
∂H(p)
∂pj
=
∂g(x(p))
∂x1
· ∂x1(p)
∂pj
+
∂g(x(p))
∂x2
· ∂x2(p)
∂pj
+· · ·+ ∂g(x(p))
∂xk
· ∂xk(p)
∂pj
.
Ejemplo 1
Suponga que f (x , y) = x2 + ln(x + y2). Se tiene entonces que:
∂f (x , y)
∂x
= 2x +
1
x + y2
,
∂f (x , y)
∂y
=
2y
x + y2
.
• Supongamos que x e y dependen de las variables p y q, de modo que
x(p, q) = p2 · q, y(p, q) = peq.
• Con esto, evaluando la función f (x , y) en x(p, q) e y(p, q) se obtiene
una expresión que solo depende de p y de q. Digamos,
H(p, q) = f (x(p, q), y(p, q)).
De hecho:
H(p, q) = (x(p, q))2 + ln(x(p, q) + (y(p, q))2)
= (p2q)2 + ln(p2 q + (peq)2)
= p4q2 + ln(p2q + p2 e2q)
• Por lo tanto, derivando directamente H(p, q) con respecto a p:
H(p, q) = p4q2+ln(p2q+p2 e2q) ⇒ ∂H(p, q)
∂p
= 4p3q2 +
2pq + 2pe2q
p2q + p2 e2q
.
• Por otro lado, notamos que
x(p, q) = p2 q ⇒ (1) : ∂x(p, q)
∂p
= 2pq, y(p, q) = peq ⇒ (2) : ∂y(p, q)
∂p
= eq.
• En complemento, como ∂f (x,y)∂x = 2x +
1
x+y2 , al evaluarla en x = p
2q,
y = peq se tiene que
(3) :
∂f (x(p, q), y(p, q))
∂x
= 2 · (p2q) + 1
p2q + p2 e2q
.
• Como ∂f (x,y)∂y =
2y
x+y2 , al evaluarla en x = p
2q, y = peq se tiene que
(4) :
∂f (x(p, q), y(p, q))
∂y
=
2peq
p2q + p2 e2q
.
• Notamos ahora que:
(3) ·(1)+(4) ·(2) =
(
2 · (p2q) + 1
p2q + p2 e2q
)
·(2pq)+
(
2peq
p2q + p2 e2q
)
·(eq),
es decir,
(3) · (1) + (4) · (2) = 4p3q2 + 2pq + 2pe
2q
p2q + p2 e2q
,
que es el resultado que hab́ıamos obtenido para la derivada ∂H(p,q)∂p .
• Con lo anterior hemos comprobado la regla de la cadena:
∂H(p, q)
∂p
=
∂f (x(p, q), y(p, q))
∂x︸ ︷︷ ︸
(3)
· ∂x(p, q)
∂p︸ ︷︷ ︸
(1)
+
∂f (x(p, q), y(p, q))
∂y︸ ︷︷ ︸
(4)
· ∂y(p, q)
∂p︸ ︷︷ ︸
(2)
.
Ejemplo 2
Dados α, β > 0, sea g(K , L) = Kα · Lβ . Supongamos además que
L(r ,w) = 1− rw y que K (r ,w) = r2 + ln(w).
• Dado lo anterior, definamos S(r ,w) como
S(r ,w) = g(K (r ,w), L(r ,w)). Por regla de la cadena, se tiene entonces
que
∂S(r ,w)
∂r
=
∂g(K(r ,w), L(r ,w))
∂K
· ∂K(r ,w)
∂r
+
∂g(K(r ,w), L(r ,w))
∂L
· ∂L(r ,w)
∂r
.
En lo anterior, note que:
• Las derivadas parciales de la función g(K , L) se evalúa en K (r ,w) y en
L(r ,w). Por lo tanto, primero se deriva esa función y luego se evalúa en
las relaciones que hay para K y L.
• Las derivadas parciales de las funciones K (r ,w) y L(r ,w) son directas
a partir de las definiciones de esas funciones:
∂K (r ,w)
∂r
= 2r ,
∂K (r ,w)
∂w
=
1
w
,
∂L(r ,w)
∂r
= −w , ∂L(r ,w)
∂w
= −r .
• De esta manera: como
∂g(K , L)
∂K
= αKα−1Lβ ,
∂g(K , L)
∂L
= βKαLβ−1,
se tiene que (recordar que K (r ,w) = r2 + ln(w) y que L(r ,w) = 1− rw)
∂g(K (r ,w), L(r ,w))
∂K
= α(r2 + ln(w))α−1(1− rw)β ,
∂g(K (r ,w), L(r ,w))
∂L
= β(r2 + ln(w))α(1− rw)β−1.
• Luego:
∂S(r ,w)
∂r
= α(r 2+ln(w))α−1(1−rw)β ·(2r)+β(r 2+ln(w))α(1−rw)β−1 ·(−w),
∂S(r ,w)
∂w
= α(r 2+ln(w))α−1(1−rw)β ·
(
1
w
)
+β(r 2+ln(w))α(1−rw)β−1·(−r) .
Ejemplo 3
Supongamos que es dada la función f (x , y), y con ella definamos la
función g : R→ R tal que
g(t) = f (t2, tet).
Por ejemplo, si f (x , y) = x2 + xy , entonces (reemplazar x por t2 e y
por tet en la expresión de f (x , y)):
g(t) = (t2)2 + t2 · (tet) = t4 + t3et .
• Notamos que g(t) es una “función real estándar”, por lo que
g ′(t) = 4t3 + 3t2et + t3et .
• ¿Podemos aplicar la regla de la cadena para obtener g ′(t)? Śı, ya que
g(t) corresponde a la función f (x , y) considerando que x(t) = t2 e
y(t) = tet . Luego, por regla de la cadena se tiene que
g ′(t) =
∂f (x(t), y(t))
∂x
· ∂x(t)
∂t
+
∂f (x(t), y(t))
∂y
· ∂y(t)
∂t
.
• Verifiquemos que “todo cuadra”. Como
∂f (x , y)
∂x
= 2x + y ,
∂f (x , y)
∂y
= x
se tiene que
(1) :
∂f (x(t), y(t))∂x
= 2x(t) + y(t) = 2t2 + tet , (2) :
∂f (x , y)
∂y
= t2.
• Por otro lado,
(3) :
∂x(t)
∂t
= 2t, (4) :
∂y(t)
∂t
= et + tet ,
por lo que (regla de la cadena)
g ′(t) =
(1)︷ ︸︸ ︷(
2t2 + tet
)
·
(3)︷︸︸︷
(2t) +
(2)︷︸︸︷(
t2
)
·
(4)︷ ︸︸ ︷(
et + tet
)
= 4t3 + 3t2et + t3et .
NOTA
Sobre el Ejemplo 3, notemos que g(t) es, en estricto rigor, una
composición de funciones.
• En efecto, teniendo en cuenta que f : R2 → R es dada, definiendo la
función h : R→ R2 tal que
h(t) =
(
t2
tet
)
∈ R2,
se tiene que (recuerde que un vector se pone como fila cuando se usa de
argumento en una función)
g(t) = f ◦ h(t) = f (h(t)) (= f (t2, tet)︸ ︷︷ ︸
h(t)
).
• Note que h : R→ R2 y que f : R2 → R, por lo que f ◦ h : R→ R.
Ejemplo 4
Dado h : R2 → R, definamos S : R2 → R tal que
S(p, q) = h(p2 − pq, pep+q
2
).
Queremos obtener la expresión de ∂S(p,q)∂q .
• Primero, no hemos mencionado cuáles son las variables de la función f .
Como ella depende de dos variables, esas las denotamos como x1 y x2
(primera y segunda). Pudimos haber escogido otros nombres.
• Por definición, S(p, q) es la función f (x1, x2) evaluada en
x1 = p
2 − pq y x2 = pep+q
2
.
• Denotando x1(p, q) = p2 − pq, x2(p, q) = pep+q
2
, por regla de la
cadena se tiene que
∂S(p, q)
∂p
=
∂f (x1(p, q), x2(p, q))
∂x1
·(2p−q)+∂f (x1(p, q), x2(p, q))
∂x2
·(pep+q
2
+ep+q
2
).
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	Motivación
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