Clase_9_M3

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Matemáticas III
Clase 9
Profesor: Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Idea y concepto de función de varias variables
Dominio de funciones de varias variables
Operaciones con funciones de varias variables a valores reales
Composición de funciones
Objetivos de la clase
I Idea y concepto de función de varias variables.
I Funciones de varias variables a valores reales y funciones de varias
variables a valores vectoriales.
I Dominio de una función de varias variables.
I Suma, producto, cociente y composición de funciones de varias
variables.
Función de utilidad
• Hay “k” tipos de bienes en la econoḿıa (bien 1 es pan, bien 2 es fruta,
bien 3 es carne, bien 4 es agua, etc.).
• Canasta de consumo: es un vector (columna)
x =

x1
x2
...
xk
 ∈ Rk .
donde x1 es cierta cantidad de bien uno, x2 cierta cantidad de bien dos,
. . ., xk cierta cantidad de bien k .
• La satisfacción por consumir la canasta x ∈ Rk es dada por u(x) ∈ R,
donde “u” es una función de utilidad que convierte la canasta (vector)
x en una cantidad real (la “medida” de la satisfacción):
u : Rk → R.
Ecuación de Mincer
• La “ecuación de Mincer” relaciona los ingresos de las personas, Y , con
el número de años de educación formal completada, S , y con los años de
experiencia laboral, E . Establece que
Y = eα0+α1S+α2E+α3E
2
,
donde α0, α1, α2 y α3 son ciertos parámetros (reales).
• Conocidos los parámetros, dado S ∈ R+ y dado E ∈ R+ es posible
“conocer” los ingresos (monetarios) de las personas.
• La “relación” entre Y (ingresos) y las variables S , E es, en definitiva,
una función de dos variables:
Y : R2+ → R tal que
(
S
E
)
7→ Y (S ,E ) = eα0+α1S+α2E+α3E
2
.
Funciones de varias variables a valores reales
• En general: dado A ⊂ Rk un conjunto no vaćıo, una función f de A en
R asocia elementos de A (vectores en el conjunto A) con números
reales:
f : A→ R.
• La función f es de k variables: el argumento es un vector que tiene k
componentes.
• Será usual que A = Rk , que A = Rk+ o bien que A = Rk++.
• La imagen del vector

x1
x2
...
xk
 ∈ Rk por la función f : Rk → R es
f

x1
x2
...
xk
 ∈ R.
Notación importante
• NOTACIÓN
Claramente lo anterior es “inadecuado” para escribir la imagen de
un vector por una función. Por eso, de ahora en adelante escribimos:
f

x1
x2
...
xk
 = f (x1, x2, . . . , xk).
Variables y “valores” de las variables
• En lo anterior: las variables de la función “f ” son: “variable 1”, cuya
cantidad genérica es x1, la “variable 2” cuya cantidad genérica es x2,
. . ., la variable k, cuya cantidad genérica es xk .
• Es usual confundir “variable” con “cantidad genérica”. Por ejemplo,
normalmente uno dirá
“considere la función f (x , y) = x2 + exy”
cuando, en rigor, debeŕıa decir algo aśı como
“considere una función de dos variables de modo que si la primera
toma el valor “x” y la segunda variable toma el valor “y” se tiene
que f (x , y) = x2 + exy”...
Comentario
• Cuando escribimos
f (x1, x2) = x
α
1 + β ln(x2)
estamos informando que la función f depende de dos variables de modo
que si la primera variable toma el valor x1 y la segunda variable toma
el valor x2, se tiene que
f (x1, x2) = x
α
1 + β ln(x2).
• A este respecto, notamos entonces que:
f (x2, x1) = x
α
2 +ln(x1), f (x , y) = x
α+β ln(y), f (2, z) = 2α+β ln(z).
Funciones de varias variables a valores vectoriales
• Una función de varias variables a valores vectoriales “convierte
vectores en vectores”.
• Digamos, F : Rk → Rm es una función que toma vectores de Rk y los
convierte en vectores de Rm.
• Una función F : Rk → Rm queda caracterizada por “m” funciones de
Rk en R:
F (x1, x2, . . . , xk) =

f1(x1, x2, . . . , xk)
f2(x1, x2, . . . , xk)
...
fm(x1, x2, . . . , xk)
 ∈ Rm,
donde para cada i = 1, 2 . . . ,m, se tiene que
fi : Rk → R.
• NOTA. Las funciones “relevantes” para nuestro análisis son aquellas
de varias variables a valores reales.
Ejemplo 1
La siguiente es una función de R2 en R3:
F (x , y) =

x2 + y2 − xy√
x2 + y2
ln (1 + exy )
 ∈ R3.
• En lo anterior identificamos lo siguiente:
F (x , y) =

f1(x , y)
f2(x , y)
f3(x , y)
 ,
donde fi : R2 → R de modo que
f1(x , y) = x
2 + y2− xy , f2(x , y) =
√
x2 + y2, f3(x , y) = ln (1 + e
xy ) .
Idea y concepto
• Usualmente una función de varias variables la identificamos por la
expresión algebraica que la define.
• Si no se menciona el dominio de una función, uno entiende que es el
conjunto de puntos donde tiene sentido evaluar la fórmula (expresión)
que la define.
• A su vez, notar también que la fórmula (expresión) con que se define
una función indica el número de variables de ella.
Ejemplo 2
• Considere la función
f (x , y) =
x2 · y
x − 1
+ ln(y).
Esto informa que:
• Primero, la función f depende de dos variables.
• Segundo, ya que la expresión anterior se puede evaluar cuando x 6= 1 y
cuando y > 0, el dominio de la función f (x , y) es
[R \ {1}]× R++ ⊆ R2,
es decir, la primera variable está en los reales diferentes de 1 y la segunda
variable es positiva.
Operaciones básicas
Para funciones f , g : Rk → R (pudiendo ser otro dominio, mismo para
ambas), para x ∈ Rk se tiene que:
(a) Suma y ponderación de f con g : dados α, β ∈ R, es la función
αf + βg : Rk → R tal que
(αf + βg)(x) = α f (x) + β g(x).
(b) Producto de f con g es la función f · g : Rk → R tal que
(f · g)(x) = f (x) · g(x).
(c) Donde g(x) 6= 0, la función cociente de f con g es la función
f
g : R
k → R tal que (
f
g
)
(x) =
f (x)
g(x)
.
Ejemplo 3
Definidas en R2++, para f (x , y) = xy , g(x , y) = x2 + ln(y), si
h1(x , y) =
f (x , y) · g(x , y) + (f (x , y))2
f (x , 1)
, h2(x , y) =
f (x , y) + f (y , x)
g(x , y) + g(x , 1)
se tiene que:
h1(x , y) =
f (x , y) · g(x , y) + (f (x , y))2
f (x , 1)
=
xy · (x2 + ln(y)) + (xy )2
x1
=
xy · (x2 + ln(y)) + x2y
x
,
mientras que
h2(x , y) =
f (x , y) + f (y , x)
g(x , y) + g(x , 1)
=
xy + y x
2 x2 + ln(y)
.
Note que todas las anteriores son funciones de dos variables.
Composición de funciones
Para k, s, n ∈ N considere las funciones
g : Rk → Rn, f : Rn → Rs .
La composición de f con g es la función
f ◦ g : Rk → Rs tal que (f ◦ g)(x) = f (g(x)).
• Note que si s 6= k entonces no se puede definir la composición de g con
f : para x ∈ Rn ocurre que f (x) ∈ Rs no es un elemento Rk , el dominio
de g .
Figura: Composición de funciones
Caso particular importante
Un caso particular relevante es cuando s = 1:
g : Rk → Rn, f : Rn → R.
• Asumiendo que
g(x1, x2, . . . , xk) =

g1(x1, x2, . . . , xk)
g2(x1, x2, . . . , xk)
...
gn(x1, x2, . . . , xk)

con gi : Rk → R, i = 1, . . . , n, la composición de f con g es tal que
(f ◦ g)(x) = f (g(x))
= f (g1(x1, x2, . . . , xk), g2(x1, x2, . . . , xk), . . . , gn(x1, x2, . . . , xk))
Ejemplo 4
Suponga que f : R2 → R y que g : R2 → R2 tal que
f (x , y) = x2 + 2y2 + xey ∈ R, g(x , y) =
 xy
x + 3
√
y
 ∈ R2.
Entonces, para x = (x1, x2)t ∈ R2 se tiene que:
g(x1, x2) =
 x1x2
x1 + 3
√
x2
 ,
por lo que
(f ◦ g)(x1, x2) = f (g(x1, x2))
= f (x1x2, x1 + 3
√
x2)
= (x1x2)
2 + 2(x1 + 3
√
x2)
2 + (x1x2) · ex1+3
√
x2
= x21 x
2
2 + 2x
2
1 + 12x1
√
x2 + 18x2 + x1x2e
x1+3
√
x2
Ejemplo 5
Dado f : R2+ → R tal que f (x , y) = x2 + ln(1 + xy), definamos la función
h : R2+ → R tal que
h(p, q) = f (p2 + 3q2, ln(1 + epq)).
En este caso, notamos que:
I La función f (x , y) es de dos variables a valores reales. Las variables
son “x” e “y”.
I La función h(p, q) es de dos variables a valores reales. Las variables
son “p” y “q”.
I Definiendo la función g : R2 → R2+ tal que
g(p, q) =
g1(p, q)
g2(p, q)
 =
 p2 + 3q2
ln(1 + epq)
 ,
ocurre que
h(p, q) = f (g(p, q)) = f (g1(p, q), g2(p, q)).
Ejemplo 6
• Considere una función f (x , y) a valores reales. Sus dos variables son
“x” e “y”.
• Supongamos ahora que las “variables” x e y dependen,a su vez, de
otras variables, digamos p, q, r :
x(p, q, r), y(p, q, r).
• Definamos entonces la función h tal que
h(p, q, r) = f (x(p, q, r), y(p, q, r)))
• Por lo anterior, la función h depende de tres variables, y es una
composición de funciones. En efecto, definiendo g : R3 → R2 tal que
g(p, q, r) =
[
x(p, q, r)
y(p, q, r)
]
se tiene que h : R3 → R es la composición de f con g :
h(p, q, r) = f (g(p, q, r)).
Ejemplo 7
Supongamos que f (x , y) = x2 − exy , y que
x(p, q, r) = p2 + r · ln(q), y(p, q, r) = p + pq + qr ,
entonces h(p, q, r) = f (x(p, q, r), y(p, q, r)) cumple que
h(p, q, r , ) =
(
p2 + r · ln(q)
)2 − e(p2+r ·ln(q))·(p+pq+qr).
Sobre lo anterior:
1. La función f depende de dos variables: “x” e “y”.
2. Cada variable de f , “x” e “y”, depende de las variables p, q, r .
3. La función h depende de tres variables: “p”, “q” y “r”.
4. La función h es una composición de funciones:
h(p, q, r) = f (g(p, q, r)) con g(p, q, r) =
[
p2 + r · ln(q)
p + pq + qr
]
.
Ejemplo 8
¿De qué depende la nota en la Solemne 1 de Mate III? Para simplificar,
supongamos que depende del tiempo que dedico a estudiar, t, y de la
cantidad de café que consumo, c . La función nota en la Solemne 1 de
Mate III es, digamos, N(t, c).
• Supongamos ahora que el café que consumo depende de, por ejemplo,
el dinero que tengo, R, y del precio del café, p. A su vez, el tiempo que
dedico a estudiar también depende del dinero que tengo (eso porque
trabajo si tengo poco dinero) y del precio del café (si el café es muy caro,
consumo menos café y debo compensar con más estudio). Escribimos
entonces
t(p,R), c(p,R).
• En definitiva, ¿de qué depende la nota de Mate III? Depende de las
variables p y R, ya que la nota depende de t y de c , pero esas dependen
de p y R:
N(t, c)
t(p,R), c(p,R)
=⇒ N(t(p,R), c(p,R)).
Comentario: composición de funciones en la práctica
(a) Medidas de satisfacción (bienestar), de beneficio (ganancia monetaria),
de costo, etc., son definidas por medio de alguna función de varias
variables a valores reales.
(b) Por ejemplo, si se consume x1 de bien uno, x2 de bien dos, . . ., xn de bien
n, la satisfacción que se obtiene es u(x1, x2, . . . , xn), donde u : Rn → R.
(c) A su vez, el “consumo” de cada bien depende de otras variables:
precios, ingreso (monetario), subsidios, impuestos, etc. Si esas variables
son p1, p2, p3, · · · , pk , el consumo de bien uno es una función
x1(p1, p2, . . . , pk), . . ., el consumo de bien n es xn(p1, p2, . . . , pk).
(d) Por lo anterior, los precios, ingreso, impuestos, etc., determinan la
demanda por bienes, y esas, a su vez, determinan el bienestar:
Bienestar = u(x1(p1, p2, . . . , pk), x2(p1, p2, . . . , pk), . . . , xn(p1, p2, . . . , pk)).
(e) El Bienestar es, en definitiva, una composición de funciones.
	Objetivos de la clase
	Idea y concepto de función de varias variables
	Dominio de funciones de varias variables
	Operaciones con funciones de varias variables a valores reales
	Composición de funciones