PROBLEMAS_CON_CONJUNTOS

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1°
Prof. RENATO RODRIGUEZ VELARDES
MATEMÁTICA
PROBLEMAS CON CONJUNTOS
IDENTIFICACIÓN DE ZONAS 
En una encuesta a un grupo de alumnos sobre la preferencia por el curso de 
ARITMÉTICA (A) o BIOLOGÍA (B), encontramos las siguientes zonas (la parte 
coloreada nos indica la zona respectiva) 
* Prefieren Aritmética.
* Les gusta Aritmética. 
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON 2 CONJUNTOS 
❖ Prefieren sólo Aritmética.
➢ Prefieren Biología.
❖ Prefieren solamente Aritmética. 
❖ Prefieren Aritmética pero 
no Biología. 
➢ Les gusta Biología. 
✓ Prefieren sólo Biología. 
✓ Prefieren solamente Biología.
✓ Prefieren Biología pero 
no Aritmética.
❑ Prefieren Aritmética 
y Biología.
✓ No prefieren ni Aritmética, 
ni Biología.
❖ No prefieren Aritmética. 
▪ No prefieren Biología. 
➢ Prefieren Aritmética 
o Biología. 
➢ Prefieren solamente un curso.
➢ Prefieren Aritmética o Biología
pero no ambos.
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON 3 CONJUNTOS 
En una encuesta a un grupo de alumnos sobre la preferencia por el curso de
ÁLGEBRA (A), BOTÁNICA (B) y COMUNICACIÓN (C) encontramos las
siguientes zonas (La parte coloreada nos indica la zona respectiva)
➢ No prefieren solo Álgebra o 
solo Botánica o solo 
Comunicación.
❖ No prefieren Álgebra, Botánica
y Comunicación a la vez. 
❑ Prefieren Álgebra, Botánica 
y Comunicación. 
✓ Prefieren Álgebra o Comunicación
pero no Botánica. 
❖ Prefieren sólo Álgebra o sólo 
Comunicación o sólo Botánica. 
❖ Prefieren sólo uno de los tres cursos.
1. De 120 personas entrevistadas respecto a sus preferencias por los sabores de fresa o chocolate en los helados, 
se obtuvo la siguiente información:
* 30 prefieren otros sabores de helado, pero no los mencionados.
* A 65 les gusta el helado de fresa.
* A 58 les gusta el helado de chocolate.
¿A cuántos les gusta ambos sabores de helado?
SOLUCIÓN:
PRÁCTICA DE CLASE 
65 − 𝑥 + 𝑥 + 58 − 𝑥 + 30 = 120
𝟔𝟓 − 𝒙
𝑭 𝑪𝑯
𝒙 𝟓𝟖 − 𝒙
𝐔
𝟔𝟓 ← → 𝟓𝟖
𝟑𝟎
→ 𝟏𝟐𝟎
153−𝑥 = 120
𝟑𝟑 = 𝒙
Clave: 33 (E)
2. De un total de 29 personas se sabe:
- 15 gustan del teatro.
- 19 gustan del cine.
- 8 gustan del cine y del teatro.
I. ¿Cuántos gustan solo del cine?
II. ¿Cuántos gustan solo del teatro?
III. ¿Cuántos no gustan del cine ni del teatro?
SOLUCIÓN:
𝐼. 𝐿𝑒𝑠 𝑔𝑢𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑛𝑒 11 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
𝟕
𝑻 𝑪
𝟖 1𝟏
𝑼
𝟏𝟓 ← → 𝟏𝟗
→ 𝟐𝟗
II. Les gusta solo el teatro a 7 personas
𝐼𝐼𝐼. 7 + 8 + 11 + 𝑥 = 29
𝒙
26 + 𝑥 = 29
𝑥 = 3
Clave: 11,7 y 3 (A)
3. De 40 alumnos de una sección, 15 aprobaron Física, 6 aprobaron Física y Química, y 13 aprobaron 
Química.
¿Cuántos alumnos desaprobaron ambos cursos?
SOLUCIÓN:
9 + 6 + 7 + 𝑥 = 40
𝟗
𝑨𝑭 𝑨𝑸
𝟔 7
𝑼
𝟏𝟓 ← → 𝟏𝟑
𝑿
→ 𝟒𝟎
22 + 𝑥 = 40
𝒙 = 𝟏𝟖
Clave: 18 (A)
4. En un grupo de 100 estudiantes; 49 no siguen el curso de Álgebra y 53 no siguen el curso de 
Aritmética; si 27 alumnos, no siguen Aritmética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno 
de tales cursos.
SOLUCIÓN:
𝑿
𝑨𝒍 𝑨𝒓
Y
𝑼
𝟐𝟕
→ 𝟏𝟎𝟎
X + 𝑌 = 26 + 22
No siguen Álgebra = Y + 27
49 = Y + 27 ⇒ 22 = Y 
No siguen Aritmética = X + 27
53 = X + 27 ⇒ 26 = X 
Luego, el número de alumnos que llevan 
exactamente un curso:
𝑿 + 𝒀 = 𝟒𝟖
Clave: 48 (D)
5. Si el 61% de una población consume carne de ave y el 77% carne de pescado, el porcentaje de
población que consume ambas carnes es:
SOLUCIÓN:
61 − 𝑥 + 𝑥 + 77 − 𝑥 = 100
𝟔𝟏 − 𝒙
𝑨
𝑷
𝒙
𝑼
𝟔𝟏% ←
→ 𝟕𝟕%
→ 𝟏𝟎𝟎%
138 − 𝑥 = 100
38% = 𝒙
77−𝒙
Clave: 38% (B)
6. En una aula del CEPUNT que consta de 55 alumnos, 25 son hinchas de SC, 32 de AL, 33 de la U y 5 son
hinchas de los tres equipos ¿Cuántos alumnos son hinchas de sólo dos equipos?
SOLUCIÓN:
Hinchas de solo dos equipos: a + b + c
𝟐𝟎 − 𝒂 − 𝒃
𝑺𝑪
𝑨𝑳
𝟓
𝟐𝟕 − 𝒂 − 𝒄
𝑼
25←
→ 𝟑𝟐
𝒂
→ 𝟓𝟓
20−𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 27 − 𝑎 − 𝑐 + 5 + 𝑏 + 𝑐 + 28 − 𝑏 − 𝑐 = 55
80 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 = 55
℧→ 𝟑𝟑
𝒃 𝒄
𝟐𝟖 − 𝒃 − 𝒄
20 + 27 − 𝑎 + 5 + 28 − 𝑏 − 𝑐 = 55
25 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
Clave: 25 (E)
7. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 básquetbol y 75 natación. Si 20 alumnos 
practican los tres deportes y 10 no practican ninguno. ¿Cuántos alumnos practican un deporte y sólo 
uno?
SOLUCIÓN:
Practican deporte: 135 – 10 = 125
𝟕𝟎 − 𝒂 − 𝒃
𝑭
𝑩
𝟐𝟎
𝟑𝟓 − 𝒂 − 𝒄
𝑼
90←
→ 𝟓𝟓
𝒂
→ 𝟏𝟑𝟓
70−𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 35 − 𝑎 − 𝑐 + 20 + 𝑏 + 𝑐 + 55 − 𝑏 − 𝑐 = 125
180 − 125 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑵 → 𝟕𝟓
𝒃 𝒄
𝟓𝟓 − 𝒃 − 𝒄
Practican solo un deporte 
𝟏𝟎
70 − 𝑎 − 𝑏 + 35 − 𝑎 − 𝑐 + 55 − 𝑏 − 𝑐
160 − 2𝑎 − 2𝑏 − 2𝑐
⇒ 55 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
160 − 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 160 − 2(55)
160 − 110 ⇒ 𝟓𝟎 Clave: 50 (A)
8. En la ciudad de Trujillo se determinó que el 46% de la población no lee la revista A, que el 60% no lee
la revista B y el 58% lee A o B pero no ambas. Si 63000 personas leen las revistas A y B. ¿Cuántas
personas hay en Trujillo?
SOLUCIÓN:
𝒂
𝑨 𝑩
𝒃 𝒄
𝑼
𝒅
→ 𝟏𝟎𝟎%
a + c + 2d= 106
No leen “A” : c + d = 46
No leen “B” : a + d = 60
Leen “A” o “B" pero no ambas : a + c = 58
c + d = 46
a + d = 60
(+)
58 + 2d= 106 ⇒ 2d= 48
d= 24
Como: a + c + b + d = 100
58 + b + 24 = 100 ⇒ b = 18
𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 63000 ; equivale a los 18% del total(T)
18% 𝑇 = 63000
18
100
𝑇 = 63000 ⇒ 𝑇 =
63000 𝑥 100
18
𝑻 = 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏
𝟑𝟓𝟎𝟎
9. De un grupo de 1800 estudiantes, el número de los que sólo rindieron el 2do. examen, es la mitad de 
los que rindieron el primero. El número de los que sólo rindieron el 1er examen es el triple de los que 
rindieron ambos exámenes e igual al de los que no rindieron ningún examen. ¿Cuántos rindieron al 
menos un examen?
SOLUCIÓN:
Sea “𝑥” los que rindieron ambos exámenes
𝟑𝒙
𝑬𝟏
𝑬𝟐
𝒙 2𝒙
𝑼
𝟑𝒙
→ 𝟏𝟖𝟎𝟎
Se tendrá entonces:
3𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 = 1800
Los que solo rindieron E1 = 3 𝑥 = no rindieron ningún examen
Los que solo rindieron E2 = 
𝐸1
2
= 2𝑥
9𝑥 = 1800
𝑥 = 200
Rindieron al menos un examen:
3𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 6𝑥
= 6(200)
= 𝟏𝟐𝟎𝟎
10. En una población el 45% de los habitantes leen las revistas A o B pero no los dos a la vez, el 50% no lee la
revista A, el 75% no lee la revista B y 4800 personas leen las revistas A y B. ¿Cuántos habitantes hay en la
población?
SOLUCIÓN:
𝒂
𝑨 𝑩
𝒃 𝒄
𝑼
𝒅
→ 𝟏𝟎𝟎%
a + d + 2c= 95
a + c = 45
No leen “A” : d + c = 50
No leen “B”: a + d = 75
a + c = 45
d + c = 50
(+)
75 + 2c= 95 ⇒ 2c= 20
𝑐 = 10
Como: a + d + c + b = 100
75 + 10 + b = 100 ⇒ b = 15
b = 4800 ; equivale a los 15% del total(T)
15% 𝑇 = 4800
15
100
𝑇 = 4800 ⇒ 𝑇 =
4800 𝑥 100
15
𝑻 = 𝟑𝟐𝟎𝟎𝟎b = 4800
𝟏
𝟑𝟐𝟎
11.En un grupo de 100 estudiantes, 42 aprobaron matemática; 30 el curso de química, 28 el curso de
física; 10 de matemática y física; 8 física y química, 5 matemática y química y sólo 3 aprobaron los tres
cursos. ¿Cuántos no aprobaron ningún curso?
SOLUCIÓN:
𝑴 𝑸
𝑭
42 ← → 30 
28 ←
3
2
5 7 
30 20
13 
x
𝑼→ 100 
30 + 2 + 20 + 7 + 3 + 5 + 13 + x = 100
Se tiene que cumplir que:
80+x = 100
𝐱 = 𝟐𝟎
12. De un grupo de 59 personas se observa lo siguiente:8 personas solo ven televisión. 16 personas solo
escuchan radio. 20 personas solo leen periódico. 7 personas ven televisión y escuchan radio. 8 personas
ven televisión y leen periódico, 4 personas escuchan radio y leen periódico, 2 personas no realizan
ninguna de estas 3 actividades. ¿Cuántas personas realizan las 3 actividades?
SOLUCIÓN:
𝑻𝑽 𝑹𝒂
𝑷𝒆
→59
x
7 - x
8 16
20 
2
𝑼
U = 8 + 16 + 20 + 7 − x + 8 − x + 4 − x + x + 2
Se tiene que cumplir que:
𝟓𝟗 = 𝟔𝟓 − 𝟐𝐱
𝟐𝐱 = 𝟔𝟓 − 𝟓𝟗
𝟐𝐱 = 𝟔
𝐱 = 𝟑
13. En una estación de transportes había 100 personas, de las cuales 40 hombres eran provincianos, 30
mujeres eran limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres limeños.
¿Cuántas mujeres hay en total?
SOLUCIÓN:
CONJUNTOS
HOMBRES
MUJERES
TOTAL
PROVINCIANOS (AS) LIMEÑOS (AS)TOTAL
100
40
30
x
x + 10
40 + 30 + x + x + 10 = 100
80 + 2x = 100
2x = 20
x = 10
50
50
4060
Respuesta: En total hay 50 mujeres.
14. En una fiesta donde había 120 personas, 30 eran hombres que no les gusta la música “criolla”, 50 eran
mujeres que gustaban de esta música. Si el número de hombres que gustaban de la música “criolla” es la
tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música. ¿Cuántas personas gustan de la música
“criolla”?
SOLUCIÓN:
CONJUNTOS
HOMBRES
MUJERES
TOTAL
✓ CRIOLLA X CRIOLLA TOTAL
120
x
3x
30
50
50 + 30 + x + 3x = 120
80 + 4x = 120
4x = 40
x = 10
80
40
6060
Respuesta: 60 personas gustan de la música criolla.
15. De 150 personas que fueron encuestadas se obtuvo los siguientes resultados:
- 70 son mujeres
- 85 personas beben café
- 18 mujeres no beben café
¿Cuántos hombres no beben café?
SOLUCIÓN:
CONJUNTOS
HOMBRES
MUJERES
TOTAL
✓ CAFÉ X CAFÉ TOTAL
150
33
18
47
52 70
80
6585
Respuesta: 47 hombres no beben café.