Potencial eléctrico

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752
 E ste capítulo trata de la energía asociada con las interacciones eléctricas. Cada vez que se enciende una luz, se habla por un teléfono móvil, o se tuesta algo en un tostador, se utiliza energía eléctrica, un elemento indispensable en nuestra 
sociedad tecnológica. En los capítulos 6 y 7 se presentaron los conceptos de trabajo y
energía en el contexto de la mecánica; ahora se combinarán estos conceptos con lo que 
hemos aprendido sobre cargas eléctricas, fuerzas eléctricas y campos eléctricos. Como
vimos en muchos problemas de mecánica, las ideas sobre la energía hacen más fácil la
solución de diversos problemas; de manera análoga ocurre con la electricidad. 
Cuando una partícula con carga se mueve en un campo eléctrico, este último ejerce
una fuerza que efectúa un trabajo sobre la partícula. Dicho trabajo siempre se puede 
expresar en términos de la energía potencial eléctrica. Así como la energía potencial 
gravitacional depende de la altura de una masa sobre la superficie terrestre, la ener-
gía potencial eléctrica depende de la posición que ocupa la partícula con carga en el
campo eléctrico. Describiremos la energía potencial eléctrica utilizando un concepto 
nuevo, llamado potencial eléctrico o simplemente potencial. En el estudio de los cir-
cuitos, es frecuente llamar voltaje a una diferencia de potencial entre un punto y otro. 
Los conceptos de potencial y voltaje son fundamentales para entender la manera en 
que funcionan los circuitos eléctricos, y tienen aplicaciones importantes en los haces 
de electrones que se utilizan en la radioterapia contra el cáncer, los aceleradores de 
partículas de alta energía y muchos otros dispositivos. 
 23.1 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA 
 Se ha comprobado que los conceptos de trabajo, energía potencial y conservación de la 
energía son muy útiles en el estudio de la mecánica. En esta sección se verá que estos 
conceptos son igual de útiles para comprender y analizar las interacciones eléctricas. 
Comencemos por revisar tres aspectos esenciales de los capítulos 6 y 7. En primer lu-
gar, cuando una fuerza F
S
 actúa sobre una partícula que se mueve de un puntoF a a un pun-
to b, el trabajo WaWW Sb efectuado por la fuerza está dado por la siguiente integral de línea:
 WaWW Sb = L
b
aLL F
S
~ d l
S
= L
b
aLL F cosf dl (trabajo realizado por una fuerza) (23.1)
 donde dldd
S
es un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria de la partícula, 
y f es el ángulo entre F
S
 yF dldd
S
 en cada punto de la trayectoria. 
? En cierto tipo de soldadura,fluye carga eléctrica entre
la herramienta que suelda y las
piezas metálicas por unir, lo cual
produce un arco muy brillante,
y su alta temperatura funde las
piezas uniéndolas. ¿Por qué debe
mantenerse la herramienta cerca
de las piezas que se sueldan?
i. para maximizar la diferencia de 
potencial entre la herramienta y
las piezas; ii. para minimizar esta
diferencia de potencial; iii. para 
maximizar el campo eléctrico entre
la herramienta y las piezas; iv. para
minimizar este campo eléctrico;
v. más de una de estas opciones.
OBETIVOS DE APRENDIZAJE
 Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: 
 23.1 A ca lcular la energía potencial eléctrica
de un conjunto de cargas.
 23.2 El s ignificado y la importancia del
potencial eléctrico.
 23.3 A determinar el potencial eléctrico que
un conjunto de cargas produce en un 
punto en el espacio. 
 23.4 Cómo utilizar las superficies equipoten-
ciales para visualizar la forma en que varía
el potencial eléctrico en el espacio.
 23.5 A e mplear el potencial eléctrico para 
calcular el campo eléctrico. 
 Repase lo estudiado en la sección … 
 7.1–7.4 Fuerzas conservativas y energía
potencial. 
 21.1–21.6 Fuerza eléctrica y campos eléctricos. 
 22.4, 22.5 Aplicaciones de la ley de Gauss. 
 POTENCIAL ELÉCTRICO 23 
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23.1 Energía potencial eléctrica 753
En segundo lugar, si la fuerza F
S
 esF conservativa, según se definió el término en la 
sección 7.3, el trabajo realizado por F
S
 siempre se puede expresar en términos de una F
energía potencial U. Cuando la partícula se mueve de un punto donde la energía po-
tencial es UaUU a otro donde es UbU , el cambio en la energía potencial es ∆U = UbU - UaUU , y 
WaSb = Ua - Ub = -1Ub - Ua2 = -∆U (23.2)
Energía potencial en la posición inicial
Energía potencial en la posición final
Negativo del cambio
en la energía potencial
Trabajo
efectuado por
una fuerza
conservativa
Cuando WaWW Sb es positivo, UaUU es mayor que UbU , ∆U es negativo yU disminuye la ener-
gía potencial. Eso es lo que ocurre cuando una pelota de béisbol cae de un punto ele-
vado (a) a otro más bajo (b) por el efecto de la gravedad terrestre; la fuerza de la 
gravedad realiza un trabajo positivo, y la energía potencial gravitacional disminuye
(figura 23.1). Cuando se lanza una pelota hacia arriba, la fuerza gravitacional realiza
un trabajo negativo durante el ascenso, y aumenta la energía potencial.
En tercer lugar, el teorema del trabajo y la energía establece que el cambio en la
energía cinética ∆K = KbK - KaKK durante cualquier desplazamiento es igual al trabajo
total realizado sobre la partícula. Si el trabajo sobre la partícula lo realizan sólo fuerzasl
conservativas, entonces la ecuación (23.2) da el trabajo total, y KbK - KaKK = -(UbU - UaUU ).
Por lo general, esto se escribe así:
KaKK + UaUU = KbK + UbU (23.3)
Es decir, en tales circunstancias, se conserva la energía mecánica total (energía ciné-
tica más energía potencial).
Energía potencial eléctrica en un campo uniforme 
A continuación veremos un ejemplo en el caso eléctrico utilizando los conceptos bá-
sicos. En la figura 23.2 un par de placas metálicas paralelas con carga generan un
campo eléctrico uniforme descendente de magnitud E. El campo ejerce una fuerza
hacia abajo de magnitud F = q0E sobre una carga de prueba positiva E q0. A medida que
la carga se mueve hacia abajo una distancia d del puntod a al punto b, la fuerza sobre la
carga de prueba es constante e independiente de su ubicación. Por lo tanto, el trabajo
realizado por el campo eléctrico es el producto de la magnitud de la fuerza y la compo-
nente de desplazamiento en la dirección (descendente) de la fuerza:
WaWW Sb = Fd = q0 Ed (23.4)
Este trabajo es positivo, ya que la fuerza está en la misma dirección que el desplaza-
miento neto de la carga de prueba.
La componente y de la fuerza eléctrica, FyFF = -q0E, es constante, y no hay compo-
nente x ni x z. Lo anterior es análogo a la fuerza gravitacional que actúa sobre una masa
m cerca de la superficie de la Tierra; para esta fuerza, existe una componente y cons-
tante FyFF = -mg, y las componentes x y x z son iguales a cero. A partir de esta analogía
se puede concluir que la fuerza ejercida sobre q0 por el campo eléctrico uniforme en
la figura 23.2 es conservativa, igual que la fuerza gravitacional. Esto significa que el
trabajo WaWW Sb efectuado por el campo es independiente de la trayectoria que sigue la
partícula de a a b. Este trabajo puede representarse con una función de energía poten-
cial U, tal como se hizo para la energía potencial gravitacional en la sección 7.1. La
energía potencial para la fuerza gravitacional FyFF = -mg fue U = mgy; por consiguiente,
la energía potencial para la fuerza eléctrica FyFF = -q0E esE
U = q0Ey (23.5)
Cuando la carga de prueba se mueve de la altura ya a la altura yb, el trabajo efectuado
sobre la carga por el campo está dado por
WaWW Sb = -U = -(UbU - UaUU ) = -(q0 Eyb - q0 Eya) = q0 E(ya - yb) (23.6)
23.1 Trabajo realizado sobre una pelota
de béisbol en movimiento en un campo
gravitacional uniforme.
El trabajo realizado por
la fuerza gravitacional
es el mismo para cualquier
trayectoria de a a b:
WaSb = -∆U = mgh
Objeto en movimiento en un campo
gravitacional uniforme
h
a
b
w = mgmSS
23.2 Trabajo realizado sobre una carga
puntual que se mueve en un campo
eléctricouniforme. Compare esta
ilustración con la figura 23.1.
Carga puntual q0 que
se mueve en un campo
eléctrico uniforme
El trabajo realizado por la fuerza
eléctrica es el mismo para cualquier
trayectoria de a a b:
WaSb = -∆U = q0Ed
b
a
y
d
y
 O
q0
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
E
S
F == q0E00
SS
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754 CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico
Cuando ya es mayor que yb (figura 23.3a), la carga de prueba positiva q0 se mueve
hacia abajo, en la misma dirección que E
S
; el desplazamiento tiene lugar en la misma
dirección que la fuerza F
S
= q0 E
S
, por lo que el campo realiza trabajo positivo y U
disminuye. [En particular, si ya - yb = d como en la figura 23.2, la ecuación 23.6 dad
WaWW Sb = q0 Ed, en concordancia con la ecuación (23.4)]. Cuando ya es menor que yb
(figura 23.3b), la carga de prueba positiva q0 se mueve hacia arriba, en dirección 
opuesta a E
S
; el desplazamiento es opuesto a la fuerza, el campo realiza un trabajo 
negativo y U aumenta.U
Si la carga de prueba q0 es negativa, la energía potencial aumenta cuando se mueve 
a favor del campo, y disminuye cuando se mueve en contra del campo (figura 23.4).
Sea positiva o negativa la carga de prueba, se aplican la siguientes reglas genera-
les: U aumenta si la carga de prueba q0 se mueve en la dirección opuesta a la fuerza
eléctrica F
S
= q0 E
S
 (figuras 23.3b y 23.4a); U disminuye si q0 se mueve en la misma 
dirección que F
S
q00
= q0 E
S
 (figuras 23.3a y 23.4b). Éste es el mismo comportamiento 
de la energía potencial gravitacional, la cual aumenta si una masa m se mueve hacia 
arriba (en dirección opuesta a la dirección de la fuerza gravitacional) y disminuye si m
se mueve hacia abajo (en la misma dirección que la fuerza gravitacional).
CUIDADO Energía potencial eléctrica La relación que hay entre el cambio en la energía po-
tencial eléctrica y el movimiento en un campo eléctrico es muy importante, y se utilizará con 
frecuencia, aunque requiere cierto esfuerzo para comprenderla del todo. Tómese el tiempo nece-
sario para estudiar cuidadosamente el párrafo anterior así como las figuras 23.3 y 23.4. ¡Hacerlo
ahora será de gran utilidad más adelante! ❙
 Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales 
La idea de la energía potencial eléctrica no se limita al caso especial de un campo eléc-
trico uniforme. En realidad, el concepto se aplica a una carga puntual en cualquier campo
eléctrico generado por una distribución de carga estática. Recuerde del capítulo 21 que
cualquier distribución de carga se puede representar como un conjunto de cargas puntua-
les. Por consiguiente, es útil calcular el trabajo realizado sobre una carga de prueba q0
que se mueve en el campo eléctrico generado por una sola carga puntual estacionaria q.
En primer lugar se considerará un desplazamiento a lo largo de una línea radial,
como se ilustra en la figura 23.5. La fuerza sobre q0 está dada por la ley de Coulomb,
y su componente radial es
FrFF =
1
4pP0
qq0
r2
(23.7)
Si q y q0 tienen el mismo signo (+ o -), la fuerza es de repulsión y FrF es positiva; si lasr
dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracción y FrF es negativa. La fuerzar
23.3 Carga positiva que se desplaza
a) en la dirección del campo eléctrico E
S
y b) en la dirección opuesta de E
S
.
E
S
E
S
+
+
+
+
– – – – –
+ ++ + +
– – – – –
+ ++ + +
ya
a
b
yb
y
O
yb
b
a
ya
y
O
F= q0E
S S
b) La carga positiva q0 se desplaza
en dirección opuesta de E:
negativo
.
U aumenta.
F= q0E
SS
S
a) La carga positiva q0 se desplaza
en dirección de E:
positivo
.
U disminuye.
S
23.4 a) en dirección del campo eléctrico E
S
y b) en dirección 
opuesta de E
S
. Compare con la figura 23.3.
E
S
E
S
–
––
–
– – – – –
+ ++ + +
– – – – –
+ ++ + +
a) La carga negativa q0 se desplaza en la
dirección de E:
negativo .
U aumenta.
ya
a
b
yb
F= q0E
y
O
b) La carga negativa q0 se desplaza en dirección
E:
positivo .
U disminuye.
yb
b
a
ya
y
O
SS
S S
F= q0E
S S
23.5 La carga de prueba q0 se desplaza
a lo largo de una línea recta que se
extiende en forma radial desde la carga q.
Conforme se desplaza de a a b, la
distancia varía de rar a rbr .
E
S
E
S
+
rbr
r
q0
a
rar
q
b
La carga q0 se desplaza
de a a b a lo largo de
una línea radial
desde q.
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23.1 Energía potencial eléctrica 755
no es constante durante el desplazamiento, y se tiene que integrar para calcular el tra-
bajo WaWW Sb que realiza esta fuerza sobre q0 a medida que q0 se mueve de a a b:
WaWW Sb = L
rbr
rLLaLrL FrFF dr = L
rbr
rLLaLrL
1
4pP0
qq0
r2
dr =
qq0
4pP0
a 1
rarr
-
1
rbrr
b (23.8) 
El trabajo efectuado por la fuerza eléctrica para esta trayectoria particular depende 
únicamente de los puntos en los extremos.
Consideremos ahora un desplazamiento más general (figura 23.6) donde a y b
no están en la misma línea radial. De la ecuación (23.1), el trabajo efectuado sobre q0
durante este desplazamiento está dado por
WaWW Sb = L
rbr
rLLaLrL Fcosf dl = L
rbr
rLLaLrL
1
4pP0
qq0
r2
cosf dl
Pero la figura 23.6 muestra que cos f dl = dr. Es decir, el trabajo realizado durante
un desplazamiento pequeño dldd
S
q
depende sólo del cambio dr de la distanciar r entre lasr
cargas, la cual es la componente radial del desplazamiento. Así, la ecuación (23.8) esl
válida incluso para este desplazamiento más general; el trabajo que efectúa sobre q0 el
campo eléctrico E
S
producido por q sólo depende de rar y rbr , y no de los detalles de la
trayectoria. Asimismo, si q0 regresa a su punto inicial a por una trayectoria diferente,
el trabajo total que se realiza en el desplazamiento de ida y vuelta es igual a cero [la
integral en la ecuación (23.8) es de rar a rar ]. Éstas son las características propias de
una fuerza conservativa, según se definió en la sección 7.3. Así, la fuerza sobre q0 es
conservativa.
Se observa que las ecuaciones (23.2) y (23.8) son consistentes si se define
UaUU = qq0>4pP0rar como la energía potencial cuando q0 está a una distancia rar de q,
y se define UbU = qq0>4pP0rbr como la energía potencial cuando q0 está a una distan-
cia rbr de q. Así, 
(23.9)
Valores de las
dos cargas
Distancia entre
las dos cargasConstante eléctrica
Energía potencial eléctrica
de dos cargas puntuales U = 4pP0
1
r
qq0
 La ecuación (23.9) es válida independientemente de los signos de q y q0. La energía
potencial es positiva si las cargas q y q0 tienen el mismo signo (figura 23.7a), y nega-
tiva si tienen signos opuestos (figura 23.7b).
La energía potencial siempre se define en relación con algún punto de referencia
donde U = 0. En la ecuación (23.9), U es igual a cero cuandoU q y q0 están infinita-
mente alejadas y r = q. Entonces, U representa el trabajo que realizaría el campo deU
q sobre la carga de prueba q0 si esta última se desplazara de una distancia inicial r alr
infinito. Si q y q0 tienen el mismo signo, la interacción será de repulsión, este trabajo
será positivo y U será positiva en cualquier separación finita (figura 23.7U a). Si las
cargas tienen signos opuestos, la interacción es de atracción, el trabajo efectuado será
negativo y U será negativa (figura 23.7U b).
Es importante destacar que la energía potencial U dada por la ecuación (23.9) esU
una propiedad compartida de las dos cargas. Si la distancia entre q y q0 cambia de rar
a rbr , el cambio en la energía potencial es el mismo si q permanece fija y q0 se mueve,
o si q0 se mantiene fija y es q la que se mueve. Por tal razón, nunca se usa la frase “la
energía potencial eléctrica de una carga puntual” (de igual manera, si una masa m se
encuentra a una altura h sobre la superficie de la Tierra, la energía potencial gravita-
cional es una propiedad compartida de la masa m y la Tierra. En las secciones 7.1 y
13.3, se hizo énfasis al respecto).
La ecuación (23.9) también se cumple, si la carga q0 está afuera de una distribución 
de carga con simetría esféricacon carga total q; la distancia r va der q0 al centro de la
distribución. Esto es porque la ley de Gauss indica que el campo eléctrico afuera de
tal distribución es el mismo que habría si toda la carga q estuviera concentrada en el
centro (vea el ejemplo 22.9 de la sección 22.4).
CUIDADO Energía potencial eléctrica 
contra fuerza eléctrica Hay que tener cui-
dado de no confundir la ecuación (23.9) de
la energía potencial de dos cargas puntua-
les con la expresión similar en la ecuación
(23.7) de la componente radial de la fuerza
eléctrica que una carga ejerce sobre la otra.
La energía potencial U es proporcional U
a 1>r, mientras que la componente de la 
fuerza, FrF , es proporcional a 1>r2rr . ❙
23.6 El trabajo realizado sobre la
carga q0 por el campo eléctrico de carga q
no depende de la trayectoria seguida, sino
tan sólo de las distancias rar y rbr .
E
S
F
S
f
dr
rarr
r
b
a
rbr
drdd
La carga de prueba q0 se desplaza de a a b a lo
largo de una trayectoria arbitraria.
q0
dldd
qq
S S
23.7 Gráficas de la energía potencial U
de dos cargas puntuales q y q0 contra
su separación r.
–
– –
–+
+ +
+
q
r
q0
r
O
U
q
r
q0
o bien
a) q y q0 tienen el mismo signo.
q
r
q0
rO
U
q
r
q0
o bien
b) q y q0 tienen signos opuestos.
U 7 0
r S 0, U S +q.
r S q, U S 0.
U 6 0
r S 0, U S -q.
r S q, U S 0.
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756 CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico
 EJEMPLO 23.1 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CON FUERZAS ELÉCTRICAS
Un positrón (antipartícula del electrón) tiene una masa de 9.11 *
10-31 kg y una carga q0 = +e = 1.60 * 10-19 C. Suponga que un posi-
trón se mueve en la vecindad de una partícula a (alfa), cuya carga es
q = +2e = 3.20 * 10-19 C y con masa 6.64 * 10-27 kg. La partícu-
la a tiene una masa 7000 veces mayor que la del positrón, por lo que
se supondrá que está en reposo. Cuando el positrón está a 1.00 *
10-10 m de la partícula a, se aleja de ésta con una rapidez de 3.00 *
106 m>s. a) ¿Cuál es la rapidez del positrón cuando las dos partícu-
las están separadas una distancia de 2.00 * 10-10 m? b) ¿Cuál es
la rapidez del positrón cuando está muy alejado de la partícula a?
c) Suponga que las condiciones iniciales son las mismas, pero la par-
tícula que se mueve es un electrón (con la misma masa que el posi-
trón, pero con carga q0 = -e). Describa el movimiento subsiguiente.
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: La fuerza eléctrica entre un positrón (o
un electrón) y la partícula a es conservativa, por lo que se conserva la
energía mecánica (cinética más potencial). La energía potencial U aU
cualquier distancia r está dada por la ecuación (23.9). La función de r
la energía potencial de los incisos a) y b) se parece a la de la figura
23.7a, y la función del inciso c) se parece a la de la figura 23.7b. Se
conoce la rapidez del positrón va = 3.00 * 106 m>s cuando la separa-
ción entre las partículas es rar = 1.00 * 10-10 m. En los incisos a) y b)
se usan las ecuaciones (23.3) y (23.9) para determinar la rapidez de
r = rbr = 2.00 * 10-10 m y r = rcr S q, respectivamente. En el inciso
c) se sustituye el positrón por un electrón y se vuelve a resolver el
problema. 
 EJECUTAR: a) Ambas partículas tienen carga positiva, de modo
que el positrón aumenta su rapidez conforme se aleja de la partícu-
la a. De acuerdo con la ecuación de la conservación de la energía, la
ecuación (23.3), la energía cinética final es 
KbKK = 12 mv 2b = KaKK + UaUU - UbUU
En esta expresión,
KaKK = 12 mv 2a =
1
2 19.11 * 10-31 kg 2 13.00 * 106 m>s 22
= 4.10 * 10-18 J
UaUU =
1
4pP0
qq0
rarr
= 19.0 * 109 N # m2>C2 2
*
13.20 * 10-19 C 2 11.60 * 10-19 C 2
1.00 * 10-10 m
= 4.61 * 10-18 J
UbUU =
1
4pP0
qq0
rbrr
= 2.30 * 10-18 J
De modo que la energía cinética del positrón y su rapidez en r = rbr =
2.00 * 10-10 m son
KbKK = 12 mv 2b = 4.10 * 10-18 J + 4.61 * 10-18 J - 2.30 * 10-18 J
= 6.41 * 10-18 J
vb = B
2KbKK
mB
=
B
2 16.41 * 10-18 J 2
9.11 * 10-31 kgB
= 3.8 * 106 m>s
b) Cuando el positrón y la partícula a están muy separados de modo 
que r = rcr S q, la energía potencial final UcUU tiende a cero. Nuevamente,
a partir de la conservación de la energía, en este caso la energía cinética 
final y la rapidez del positrón son
KcKK = KaKK + UaUU - UcUU = 4.10 * 10-18 J + 4.61 * 10-18 J - 0
= 8.71 * 10-18 J
vc = B
2KcKK
mB
=
B
21 8.71 * 10-18 J2
9.11 * 10-31 kgB
= 4.4 * 106 m>s
c) El electrón y la partícula a tienen cargas opuestas, de modo que 
la fuerza es de atracción y el electrón desacelera conforme se aleja.
El cambio de signo de la partícula en movimiento de +e a -e quiere
decir que la energía potencial inicial es ahora UaUU = -4.61 * 10-18 J, la
cual representa la energía negativa mecánica total:
KaKK + UaUU = 1 4.10 * 10-18 J2 - 1 4.61 * 10-18 J2
= -0.51 * 10-18 J
La energía mecánica total tiene que ser positiva para que el electrón
se mueva infinitamente lejos de la partícula a. Al igual que una pie-
dra lanzada con poca rapidez hacia arriba desde la superficie de la
Tierra, alcanzará su separación máxima r = rdr de la partícula d a antes 
de invertir su dirección. En este punto, su rapidez y energía cinética
KdKK son iguales a cero, de modo que en la separaciónd rdr tenemosd
UdUU = KaKK + UaUU - KdKK = 1 -0.51 * 10-18 J 2 - 0
UdUU =
1
4pP0
qq0
rdrr
= -0.51 * 10-18 J
rdrr =
1
UdUU
qq0
4pP0
=
19.0 * 109 N # m2>C2 2
-0.51 * 10-18 J
13.20 * 10-19 C 2 1 -1.60 * 10-19 C2
= 9.0 * 10-10 m
 Para rbr = 2.00 * 10-10 m, tenemos que UbU = -2.30 * 10-18 J, de ma-
nera que la energía cinética y la rapidez del electrón en este punto son
KbKK = 12 mv 2b
= 4.10 * 10-18 J + 1 -4.61 * 10-18 J 2 - 1 -2.30 * 10-18 J2
= 1.79 * 10-18 J
vb = B
2KbKK
mB
=
B
2 11.79 * 10-18 J 2
9.11 * 10-31 kgB
= 2.0 * 106 m>s
 EVALUAR: Ambas partículas se comportan como se esperaba con-
forme se alejan de la partícula a: el positrón acelera, y el electrón 
desacelera y, con el tiempo, regresa. ¿Con qué rapidez se tendría que
mover un electrón en rar = 1.00 * 10-10 m para viajar infinitamente 
lejos de la partícula a? (Sugerencia: Vea el ejemplo 13.5 de la sec-
ción 13.3).
SO
LU
C
IÓ
N
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23.1 Energía potencial eléctrica 757
 Energía potencial eléctrica con varias cargas puntuales 
 Suponga que el campo eléctrico E
S
 donde se desplaza la carga q0 se debe a varias car-
gas puntuales q1, q2, q3,… a distancias r1, r2rr , r3,… a partir de q0, como se ilustra en la
figura 23.8. Por ejemplo, q0 podría ser un ion positivo que se mueve en presencia de
otros iones (figura 23.9). El campo eléctrico total en cada punto es la suma vectorial 
de los campos debidos a las cargas individuales, y el trabajo total realizado sobre q0
durante cualquier desplazamiento es la suma de las contribuciones de las cargas indi-
viduales. A partir de la ecuación (23.9), se concluye que la energía potencial asociada 
con la carga de prueba q0 en el punto a en la figura 23.8 es una suma algebraica (no la
suma vectorial): 
(23.10)
Constante eléctrica Distancias de q0 a q1, q2, q3, ...
Energía potencial eléctrica de una carga puntual q0 y un conjunto de cargas q1, q2, q3, ...
U =
4pP0
q0 =
4pP0
q0+
r1
q1
r2rr
q2 + + c
r3
q3a b
ri
qia
i
Cuando q0 está en un punto b diferente, la energía potencial está dada por la mis-
ma expresión, pero r1, r2rr ,… son las distancias desde q1, q2,… hasta el punto b. El
trabajo efectuado sobre la carga q0 cuando se desplaza de a a b a lo largo de cualquier 
trayectoria es igual a la diferencia UaUU - UbU entre las energías potenciales cuando q0
está en a y luego en b.
Se puede representar cualquier distribución de carga como un conjunto de cargas r
puntuales, por lo que la ecuación (23.10) indica que siempre es posible encontrar una 
función de la energía potencial para cualquier campo eléctrico estático. Se infiere que r
para cualquier campo eléctrico debido a una distribución de carga estática, la 
fuerza ejercida por ese campo es conservativa.Las ecuaciones (23.9) y (23.10) establecen que U es igual a cero cuando todas las U
distancias r1, r2rr ,… son infinitas, es decir, cuando la carga de prueba q0 está muy lejos 
de todas las cargas que producen el campo. Igual que para cualquier función de la
energía potencial, el punto donde U = 0 es arbitrario; siempre se puede sumar una 
constante que iguale U con cero en cualquier punto que se elija. En los problemas U
de electrostática, por lo general, lo más sencillo es elegir que este punto se encuentre
en el infinito. Cuando se analicen circuitos eléctricos en los capítulos 25 y 26, habrá 
otras elecciones que resulten más convenientes.
La ecuación (23.10) da la energía potencial asociada con la presencia de la carga de
prueba q0 en el campo E
S
producido por q1, q2, q3,… Pero también hay energía poten-
cial implicada en el arreglo de estas cargas. Si se comienza con las cargas q1, q2, q3,…, 
todas separadas entre sí por distancias infinitas, y luego se acercan de manera que la 
distancia entre qi y qjq sea rij, la energía potencial total U es la suma de las energías po-U
tenciales de la interacción de cada par de cargas. Esto se escribe como
U =
1
4pP0 ai6 j6
qiqjq
rirr ji
(23.11)
Esta suma se extiende sobre todos los pares de cargas; no se permite que i = j (por-
que eso sería la interacción de una carga consigo misma), y sólo se incluyen términos
con i 6 j para garantizar que cada par se tome en cuenta sólo una vez. Así, para con-
siderar la interacción entre q3 y q4, se incluye un término con i = 3 y j = 4, pero no
un término con i = 4 y j = 3. 
Interpretación de la energía potencial eléctrica 
 Como comentario final, a continuación se exponen dos puntos de vista sobre la ener-
gía potencial eléctrica. Se ha definido la energía potencial eléctrica en términos del tra-
bajo realizado por el campo eléctrico sobre una partícula con carga que se mueve en el
campo, en forma similar a la definición de energía potencial que se dio en el capítulo 7
en términos del trabajo efectuado por la gravedad o por un resorte. Cuando una partícula
se desplaza del punto a al punto b, el trabajo que realiza sobre ella el campo eléctrico es
WaWW Sb = UaUU - UbU . Entonces, la diferencia de energía potencial UaUU - UbU es igual al trabajo
23.9 Este motor de iones para naves
espaciales utiliza fuerzas eléctricas para
expulsar un chorro de iones positivos de
xenón (Xe+) con una rapidez superior a
30 km>s. La propulsión que ocasiona es
muy baja (alrededor de 0.09 newtons),
pero es posible mantenerla continuamente
durante varios días, en contraste con los
cohetes de combustible químico, que
generan una enorme propulsión durante
un breve lapso (vea la figura 8.34). Los
motores de iones se han utilizado para
maniobrar las naves interplanetarias.
23.8 La energía potencial asociada con
la carga q0 en el punto a depende de las
cargas q1, q2 y q3 y de sus distancias r1, 
r2rr y r3 desde el punto a.
r2r
r3
r1
q1
q2
q3
a
q0
M23 Fisica 01 SE HA 44404.indd 757 4/27/18 7:36 PM
758 CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico
que efectúa la fuerza eléctrica cuando la partícula se desplaza de a a b. Cuando UaUU es
mayor que UbU , el campo realiza trabajo positivo sobre la partícula conforme “cae” de un
punto de mayor energía potencial (a) a otro con menor energía potencial (b).
Un punto de vista alternativo pero equivalente es considerar cuánto trabajo se hu-
biera tenido que realizar para “subir” la partícula desde un punto b, donde la energía
potencial es UbU , hasta un punto a en el cual la energía potencial tiene un valor mayor 
UaUU (como al empujar dos cargas positivas para acercarlas). Para mover la partícula
lentamente (de manera que no se le imparta ninguna energía cinética), es necesario
ejercer una fuerza externa adicional F
S
ext que sea igual y opuesta a la fuerza del campot
eléctrico y realice un trabajo positivo. La diferencia de energía potencial UaUU - UbU se 
define entonces como el trabajo que debe efectuar una fuerza externa para desplazar 
lentamente la partícula desde b hasta a en contra de la fuerza eléctrica. Como F
S
pp
ext es t
el negativo de la fuerza del campo eléctrico y el desplazamiento ocurre en dirección
opuesta, esta definición de la diferencia de potencial UaUU - UbU es equivalente a la que
se dio antes. Este punto de vista alternativo también funciona si UaUU es menor que UbU ,
lo que corresponde a “bajar” la partícula; un ejemplo de esto es alejar dos cargas po-
sitivas una de otra. En este caso, UaUU - UbU de nuevo es igual al trabajo realizado por la
fuerza externa, pero ahora este trabajo es negativo.
En la siguiente sección se considerarán estos dos puntos de vista para interpretar lo 
que se conoce como potencial eléctrico, o energía potencial por unidad de carga.
 EJEMPLO 23.2 SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES
 Dos cargas puntuales se localizan en el eje x: q1 = -e en x = 0,
y q2 = +e en x = a. a) Determine el trabajo que debe realizar una
fuerza externa para llevar una tercera carga puntual q3 = +e del infi-
nito a x = 2a. b) Determine la energía potencial total del sistema de
tres cargas.
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: La figura 23.10 presenta el arreglo final
de las tres cargas. En el inciso a) necesitamos obtener el trabajo W
que debe realizar sobre q3 una fuerza externa F
S
ext para traer at q3 del
infinito a x = 2a. Esto se hace usando la ecuación (23.10) para obte-
ner la energía potencial asociada con q3 en presencia de q1 y q2. En
el inciso b) se emplea la ecuación (23.11), que es la expresión de la
energía potencial de un conjunto de cargas puntuales, para determi-
nar la energía potencial total del sistema.
 EJECUTAR: a) El trabajo W es igual a la diferencia entreW i. la energía
potencial U asociada con U q3 cuando está en x = 2a y ii. la ener-
gía potencial que tiene cuando está infinitamente lejos. La segunda
de estas es igual a cero, por lo que el trabajo requerido es igual a U.
Las distancias entre las cargas son r13 = 2a y r23rr = a, por lo que
a partir de la ecuación (23.10),
W = U =
q3
4pP0
a q1
r1rr 3
+
q2
r2rr 3
b = +e
4pP0
a -e
2a
+
+e
a
b = +e2
8pP0a
 El trabajo es positivo, tal como lo esperábamos. Si q3 se trae del in-
finito a lo largo del eje +x++ , es atraída por q1 pero repelida con más
fuerza por q2; por ello, debe hacerse un trabajo positivo para llevar 
q3 a la posición x = 2a. 
b) La energía potencial total del sistema de tres cargas está dada
por la ecuación (23.11):
U =
1
4pP0 ai6 j6
qiqjq
rirr ji
=
1
4pP0
aq1q2
r1rr 2
+
q1q3
r1rr 3
+
q2q3
r2rr 3
b
=
1
4pP0
c 1 -e2 1 e2
a
+
1 -e2 1 e2
2a
+
1 e2 1 e2
a
d = -e2
8pP0a
 EVALUAR: El resultado negativo en el inciso b) significa que el sis-
tema tiene menos energía potencial de la que tendría si las tres car-
gas estuvieran infinitamente alejadas. Una fuerza externa tendría que
hacer trabajo negativo para traerlas del infinito y acomodarlas en su 
arreglo, y trabajo positivo para llevarlas de regreso al infinito. 
SO
LU
C
IÓ
N 
 EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 23.1 Considere el sistema de tres 
cargas puntuales del ejemplo 21.4 (sección 21.3) y que se ilustra en la figura 21.14. a) ¿Cuál es
el signo de la energía potencial total de este sistema? i. positivo; ii. negativo; iii. cero. b) ¿Cuál
es el signo de la cantidad total de trabajo que tendría que hacerse para llevar las cargas infinita-
mente lejos una de otra? i. positivo; ii. negativo; iii. cero. ❙
23.10 Diagrama de la situación después de que se ha traído la
tercera carga desde el infinito.
M23 Fisica 01 SE HA 44404.indd 758 4/27/18 7:36 PM
23.2 Potencial eléctrico 759
 23.2 POTENCIAL ELÉCTRICO 
En la sección 23.1 se estudió la energía potencial U asociada con una carga de prue-U
ba q0 en un campo eléctrico. Ahora nos interesa describir esta energía potencial “por 
unidad de carga”, de la misma forma como el campo eléctrico describe la fuerza
por unidad de carga sobre una partícula cargada en el campo. Esto nos lleva al con-
ceptode potencial eléctrico, al que con frecuencia se le llama simplemente poten-
cial. Es un concepto muy útil en los cálculos que implican energías de partículas con
carga. También facilita muchos cálculos relacionados con el campo eléctrico porque 
el potencial eléctrico se relaciona estrechamente con el campo eléctrico E
S
. Cuando
se necesita determinar un campo eléctrico, a menudo es más fácil determinar primero
el potencial y, después, a partir de éste, el campo.
El potencial es la energía potencial por unidad de carga. El potencial V se define,V
en cualquier punto del campo eléctrico, como la energía potencial U por unidad de
carga asociada con una carga de prueba q0 en ese punto: 
V =
U
q0
o bien, U = q0V (23.12) 
Tanto la energía potencial como la carga son escalares, por lo que el potencial es una 
cantidad escalar. Sus unidades se determinan a partir de la ecuación (23.12), al dividir 
unidades de energía entre las unidades de carga. La unidad de potencial en el SI se
llama volt (1 V), en honor del científico italiano y experimentador en el campo de la
electricidad Alejandro Volta (1745-1827), y es igual a 1 joule por coulomb:
1 V = 1 volt = 1 J>C = 1 joule>coulomb
La ecuación (23.2) iguala el trabajo realizado por la fuerza eléctrica durante un des-
plazamiento de a a b con la cantidad -∆U = -(UbU - UaUU ), sobre la base de “trabajo por 
unidad de carga”. Al dividir esta ecuación entre q0 se obtiene:
WaWW Sb
q0
= -
∆U
q0
= - aUbUU
q0
-
UaUU
q0
b = - 1 VbVV - VaVV 2 = VaVV - VbVV (23.13)
donde VaVV = UaUU >q0 es la energía potencial por unidad de carga en el punto a; VbVV se
define de forma análoga. VaVV y VbVV se denominan el potencial en el punto a y potencial 
en el punto b, respectivamente. De este modo, el trabajo realizado en cada unidad de
carga, por la fuerza eléctrica cuando un cuerpo con carga se desplaza de a a b es igual
al potencial en a menos el potencial en b.
La diferencia VaVV - VbVV se llama potencial de a con respecto a b; en ocasiones esa
diferencia se abrevia como VabVV = VaVV - VbVV (observe el orden de los subíndices). Con
frecuencia, esta expresión se conoce como diferencia de potencial entre a y b; pero
se trata de una ambigüedad, a menos que se especifique cuál es el punto de referen-
cia. En los circuitos eléctricos, que se analizarán en capítulos posteriores, la diferencia
de potencial entre dos puntos con frecuencia se denomina voltaje (figura 23.11).
Así, la ecuación (23.13) establece: VabVV , el potencial (en V) de a con respecto a b, es
igual al trabajo (en J) realizado por la fuerza eléctrica cuando una UNIDAD de
carga (1 C) se desplaza de a a b.
Otra manera de interpretar la diferencia de potencial VabVV en la ecuación (23.13)
consiste en usar el punto de vista alternativo que se mencionó al final de la sección
23.1. Desde ese punto de vista, UaUU - UbU es la cantidad de trabajo que debe realizar una
fuerza externa para desplazar con lentitud una partícula de carga q0 desde b hasta a en
contra de la fuerza eléctrica. El trabajo que debe hacer por unidad de carga la fuerza
externa es, por lo tanto, (UaUU - UbU )>q0 = VaVV - VbVV = VabVV . En otras palabras, VabVV , el po-
tencial (en V) de a con respecto a b, es igual al trabajo (en J) que debe efectuarse
para desplazar con lentitud una UNIDAD de carga (1 C) desde b hasta a contra
la fuerza eléctrica.
El instrumento que mide la diferencia de potencial entre dos puntos se llama
voltímetro (en el capítulo 26 se analizará cómo funciona este dispositivo). Son co-
munes los voltímetros capaces de medir diferencias de potencial de 1 mV, y es posible
obtener sensibilidades de hasta 10-12 V.
23.11 El voltaje de esta batería es igual
a la diferencia de potencial VabVV = VaVV - VbVV
entre su terminal positiva (punto a) y
su terminal negativa (punto b).
Punto a (terminal positiva)
Punto b (terminal negativa)
VaVV b = 1.5 volts
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760 CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico
 Cálculo del potencial eléctrico 
 Para obtener el potencial V debido a una sola carga puntualV q, se divide la ecuación 
(23.9) entre q0:
(23.14)
Constante eléctrica
Valor de una carga puntual
Distancia de la carga puntual al
sitio donde se mide el potencial
Potencial eléctrico debido
a una carga puntual V = 4pP0
1
r
q
Si q es positiva, el potencial que produce es positivo en todos los puntos; si q es negativa, 
produce un potencial negativo en todo lugar. En cualquier caso, V es igual a cero en V
r = q, una distancia infinita desde la carga puntual. Observe que el potencial, como el 
campo eléctrico, es independiente de la carga de prueba q0 que se utiliza para definirlo.
De manera similar, para obtener el potencial debido a un conjunto de cargas pun-
tuales, se divide la ecuación (23.10) entre q0:
(23.15)
Valor de la i-ésima carga puntual
Distancia de la carga puntual al
sitio donde se mide el potencial
Potencial eléctrico
debido a un conjunto
de cargas puntuales
V =
4pP0
1
ri
qia
i
Constante eléctrica
Así como el campo eléctrico debido a un conjunto de cargas puntuales es la suma vec-
torial de los campos producidos por cada carga, el potencial eléctrico debido a un con-l
junto de cargas puntuales es la suma escalar de los potenciales debidos a cada carga. r
Cuando se tiene una distribución continua de carga a lo largo de una línea, sobre una 
superficie o a través de un volumen, se divide la carga en elementos infinitesimales dq,
y la suma en la ecuación (23.15) se convierte en una integral:
(23.16)
Constante eléctrica
Elemento de carga
Integral sobre la distribución de carga
Distancia del elemento de carga al
sitio donde se mide el potencial
Potencial eléctrico
debido a una
distribución
continua de carga
LV = 4pP0
1
r
dqdd
Estudiaremos varios ejemplos de tales casos. El potencial definido por las ecuaciones
(23.15) y (23.16) es igual a cero en puntos que están infinitamente lejos de todas las
cargas. Más adelante encontraremos casos donde la distribución de carga se extiende 
al infinito. En tales casos, se verá que no se puede establecer V = 0 en el infinito, por lo
que es necesario tener cuidado en el uso y la interpretación de las ecuaciones (23.15)
y (23.16).
CUIDADO ¿Qué es el potencial eléctrico? Antes de entrar en los detalles del cálculo del poten-
cial eléctrico, debemos detenernos y recordar qué es el potencial. El potencial eléctrico en cierto l
punto es la energía potencial por unidad de carga colocada en ese punto. Por ello, el potencial d
se mide en joules por coulomb o volts. Asimismo, hay que tener muy presente que no es nece-
sario que haya una carga en un punto dado para que ahí exista un potencial V (de igual forma, V
un campo eléctrico puede existir en un punto dado aun si no hay una carga que responda a él). ❙
 Obtención del potencial eléctrico 
a partir del campo eléctrico 
Cuando se tiene un conjunto de cargas puntuales, la ecuación (23.15) es por lo general
la forma más fácil de calcular el potencial V. Pero en ciertos problemas en los que se VV
conoce el campo eléctrico o se puede calcular sin mayor dificultad, es más fácil deter-
minar V a partir de V E
S
. La fuerza F
S
 sobre una carga de prueba q0 se escribe como F
S
=
q0 E
S
, por lo que, según la ecuación (23.1), el trabajo realizado por la fuerza eléctrica 
conforme la carga de prueba se desplaza de a a b está dado por:
WaWW Sb = L
b
aLL F
S
~ d l
S
= L
b
aLL q0E
S
~ d l
S
BIO Aplicación Electrocardiografía 
Los electrodos que se usan para obtener un
electrocardiograma (ECG) miden la diferencia 
de potencial (normalmente no mayor que 
1 mV = 10-3 V) entre diversas partes de la piel
de los pacientes. Son indicadores de las
diferencias de potencial entre regiones del
corazón, y constituyen un método eficaz para 
identificar anormalidades en la actividad 
eléctrica que rige la función cardiaca.
M23 Fisica 01 SE HA 44404.indd 760 4/27/18 7:36 PM
23.2 Potencial eléctrico 761
Si esto se divide entre q0 y se compara el resultadocon la ecuación (23.13), se encuen-
tra que
(23.17)
Producto escalar del campo eléctrico
por el vector de desplazamiento
Integral a lo largo de la trayectoria de a a b
Magnitud del
campo eléctrico
Desplazamiento
Diferencia
de potencial
eléctrico L
b
aLL E ~ dldd =L
b
aLL E cosff dlVaVV - VbVV =
S S
Ángulo entre
E y dl
S S
El valor de VaVV - VbVV es independiente de la trayectoria seguida de a a b, del mismo
modo que el valor de WaWW Sb es independiente de la trayectoria. Para interpretar la ecua-
ción (23.17), hay que recordar que E
S
 es la fuerza eléctrica por unidad de carga sobre
una carga de prueba. Si la integral de línea 1a11
b E
S
#dldd
S
 es positiva, el campo eléctrico
efectúa un trabajo positivo sobre una carga de prueba positiva, conforme ésta se des-
plaza de a a b. En este caso, la energía potencial eléctrica disminuye a medida que la
carga de prueba se desplaza, por lo que la energía potencial por unidad de carga tam-
bién decrece; por consiguiente, VbVV es menor que VaVV , y VaVV - VbVV es positiva.
Como ilustración, considere una carga puntual positiva (figura 23.12a). El campo 
eléctrico se aleja de la carga, y V = q>4pP0r es positivo a cualquier distancia finita der
la carga. Si nos alejamos de la carga, en dirección de E
S
, nos movemos hacia valores
menores de V; si nos acercamos a la carga, en dirección opuesta a E
S
, nos desplaza-
mos hacia valores mayores de V. Para la carga puntual negativa de la figura 23.12VV b,
E
S
 está dirigido hacia la carga y V = q>4pP0r es negativo a cualquier distancia finitar
de la carga. En este caso, si nos desplazamos hacia la carga, nos moveremos en la
dirección de E
S
 y en la dirección decreciente de V (hacia valores más negativos). AlV
alejarnos de la carga, en dirección opuesta a la de E
S
, nos desplazamos hacia valores
crecientes de V (menos negativos). La regla general, válida para V cualquier campo eléc-r
trico, es la siguiente: desplazarse en la dirección de E
S
significa hacerlo en la dirección
decreciente de V, y desplazarseVV contra la dirección de E
S
g
significa moverse en la di-
rección creciente de V.VV
Asimismo, una carga de prueba positiva q0 experimenta una fuerza eléctrica en
la dirección de E
S
, hacia menores valores de V; una carga de prueba negativa experi-
menta una fuerza opuesta a E
S
, hacia valores más grandes de V. Así, una carga positivaVV
tiende a “caer” de una región de potencial elevado a otra de menor potencial. Lo con-
trario también se cumple para una carga negativa.
Observe que la ecuación (23.17) se puede rescribir como 
VaVV - VbVV = - L
a
bLL E
S
~ d l
S
(23.18) 
La diferencia con la integral de la ecuación (23.17) es que ésta tiene signo negativo 
y los límites están invertidos; de ahí que las ecuaciones (23.17) y (23.18) sean equiva-
lentes. Pero la ecuación (23.18) tiene una interpretación un poco diferente. Para mover 
una unidad de carga lentamente en contra de la fuerza eléctrica, se debe aplicar una 
fuerza externa por unidad de carga igual a −E
S
, igual y opuesta a la fuerza eléctrica
por unidad de carga E
S
. La ecuación 23.18 indica que VaVV - VbVV = VabVV , el potencial de
a con respecto a b es igual al trabajo realizado por unidad de carga por esta fuerza
externa para desplazar una unidad de carga de b a a: la misma interpretación alter-
nativa que se analizó con la ecuación (23.13).
Las ecuaciones (23.17) y (23.18) demuestran que la unidad de la diferencia de
potencial (1 V) es igual a la unidad del campo eléctrico (1 N>C) multiplicada por la
unidad de distancia (1 m). Así, la unidad de campo eléctrico se expresa como 1 volt 
por metro (1 V>m), o como 1 N>C:
1 V>m = 1 volt>t metro = 1 N>C = 1 newton>coulomb
En la práctica, la unidad habitual para la magnitud del campo eléctrico es el volt por 
metro. 
LOS DATOS HABLAN
Potencial eléctrico y energía
potencial eléctrica
Cuando se pidió a los estudiantes resolver 
un problema involucrando potencial eléc-
trico y energía potencial eléctrica, más del 
20% respondieron incorrectamente. 
Errores frecuentes:
● Confundir entre energía potencial y 
potencial. La energía potencial eléctrica 
se mide en joules; el potencial eléctrico 
es energía potencial por unidad de carga 
y se mide en volts.
● Olvidar las relaciones entre el potencial 
eléctrico V, el campo eléctrico E
S
 y 
la fuerza eléctrica. E
S
 siempre apunta 
de las regiones de alto potencial 
a las regiones de bajo potencial; 
la dirección de la fuerza eléctrica sobre 
una carga puntual q es la misma que 
la dirección de E
S
 si q 7 0 pero opuesta 
a E
S
 si q 6 cero.
23.12 Si nos movemos en la dirección
de E
S
, el potencial eléctrico V disminuye;V
si nos movemos en dirección opuesta
a E
S
, V se incrementa.V
EE
S
E
S –
+
V disminuye
conforme
nos alejamos
de la carga.
V aumenta
conforme nos
acercamos
a la carga.
V aumenta
al alejarnos
de la carga
V disminuye
al acercarnos
a la carga
a) Una carga puntual positiva
b) Una carga puntual negativa
M23 Fisica 01 SE HA 44404.indd 761 4/27/18 7:36 PM
762 CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico
 Electrón-volts 
La magnitud e de la carga del electrón se usa para definir una unidad de energía que 
es útil en muchos cálculos en los sistemas atómico y nuclear. Cuando una partícula 
con carga q se desplaza de un punto donde el potencial es VbVV a otro donde es VaVV , el 
cambio en la energía potencial U esU
UaUU - UbUU = q 1VaVV - VbVV 2 = qVaVV b
Si la carga q es igual a la magnitud e de la carga del electrón, 1.602 * 10-19 C, y la 
diferencia de potencial es VabVV = 1 V, el cambio en la energía es
UaUU - UbUU = 11.602 * 10-19 C 2 11 V 2 = 1.602 * 10-19 J
Esta cantidad de energía se define como 1 electrón-volt (1 eV):
1 eV = 1.602 * 10-19 J
A menudo se utilizan los múltiplos meV, keV, MeV, GeV y TeV.
CUIDADO Electrón-volts contra volts Recuerde que el electrón-volt es una unidad de energía, 
¡no una unidad de potencial ni de diferencia de potencial! ❙
 Cuando una partícula con carga e se mueve a través de una diferencia de potencial 
de 1 volt, el cambio en la energía potencial es 1 eV. Si la carga es algún múltiplo de e, 
digamos Ne, el cambio en la energía potencial en electrón-volts es N veces la diferen-N
cia de potencial expresada en volts. Por ejemplo, cuando una partícula alfa, que tiene 
una carga de 2e, se desplaza entre dos puntos con diferencia de potencial de 1000 V, el 
cambio en la energía potencial es 2(1000 eV) = 2000 eV. Para confirmarlo, se escribe 
UaUU - UbUU = qVaVV b = 12e 2 11000 V 2 = 12 2 11.602 * 10-19 C 2 11000 V 2
= 3.204 * 10-16 J = 2000 eV
Si bien se ha definido el electrón-volt para cuantificar la energía potencial, se uti-
liza para cualquier forma de energía, como la energía cinética de una partícula en r
movimiento. Cuando se habla de “un millón de electrón-volts protón”, significa que 
hay un protón cuya energía cinética es de un millón de electrón-volts (1 MeV), que es
igual a (106)(1.602 * 10-19 J) = 1.602 = * 10-13 J. El Gran Colisionador de Hadrones, 
cerca de Ginebra, Suiza, se diseñó para acelerar protones a una energía cinética de 
7 TeV (7 * 1012 eV).
 BIO Aplicación Electrón-volts y 
radioterapia contra el cáncer 
Un método para destruir un tumor canceroso 
es dispararle electrones de alta energía.
Cada electrón tiene una energía cinética de
4 a 20 millones de electrones volt, o MeV 
(1 MeV = 106 eV), y transfiere su energía al
tumor a través de colisiones con los átomos 
del tumor. Los electrones en este intervalo de
energía sólo penetran unos cuantos
centímetros en un paciente, lo que los
vuelve adecuados para tratar tumores 
superficiales, como los de la piel o los labios. 
 EJEMPLO 23.3 FUERZA ELÉCTRICA Y POTENCIAL ELÉCTRICO
 Un protón (carga +e = 1.602 * 10-19 C) se desplaza en línea recta de 
un punto a a otro punto b una distancia d = 0.50 m en un acelerador 
lineal. A lo largo de esta línea, el campo eléctrico es uniforme con 
magnitud E = 1.5 * 107 V>m = 1.5 * 10 N>C en la direcciónde a a b. 
Determine a) la fuerza sobre el protón; b) el trabajo realizado sobre 
el protón por el campo; c) la diferencia de potencial VaVV - VbVV .
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: Este problema usa la relación entre el 
campo eléctrico y la fuerza eléctrica. También utiliza la relación entre 
fuerza, trabajo y diferencia de energía potencial. Se da el campo eléc-
trico, por lo que es fácil determinar la fuerza eléctrica que se ejerce
sobre el protón. El cálculo del trabajo también es sencillo porque E
S
 es 
uniforme, lo cual significa que la fuerza sobre el protón es constante.
Una vez que se conoce el trabajo, se determina VaVV - VbVV empleando la 
ecuación (23.13).
 EJECUTAR: a) La fuerza sobre el protón tiene la misma dirección que 
el campo eléctrico, y su magnitud es
F = qE = 11.602 * 10-19 C 2 11.5 * 107 N>C2
= 2.4 * 10-12 N
b) La fuerza es constante y está en la misma dirección que el des-
plazamiento, de manera que el trabajo efectuado sobre el protón es 
WaWW Sb = FdFF = 12.4 * 10-12 N 2 10.50 m2m
= 1.2 * 10-12 J
= 11.2 * 10-12 J 2 1 eV
1.602 * 10-19 J
= 7.5 * 106 eV = 7.5 MeV
SO
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N
M23 Fisica 01 SE HA 44404.indd 762 4/27/18 7:36 PM
23.2 Potencial eléctrico 763
c) De la ecuación (23.13), la diferencia de potencial es el trabajo 
en cada unidad de carga, que es
VaVV - VbVV =
WaWW Sb
q
=
1.2 * 10-12 J
1.602 * 10-19 C
= 7.5 * 106 J>C = 7.5 * 106 V = 7.5 MV
Se obtiene el mismo resultado con más facilidad si se recuerda que
1 electrón-volt es igual a 1 volt multiplicado por la carga e. Como el
trabajo realizado es 7.5 * 106 eV y la carga es e, entonces, la diferen-
cia de potencial es (7.5 * 106 eV)>e = 7.5 * 106 V.
 EVALUAR: El resultado del inciso c) se comprueba con las ecuacio-
nes (23.17) o (23.18). El ángulo f entre el campo constante E
S
 y el 
desplazamiento es igual a cero, así que la ecuación (23.17) se con-
vierte en
VaVV - VbVV = L
b
aLL E cosf dl = L
b
aLL E dl = EL
b
aLL dl
La integral de dl del a a b es exactamente la distancia d, por lo que 
una vez más se obtiene
VaVV - VbVV = EdEE = 11.5 * 107 V>m 2 10.50 m 2 = 7.5 * 106 V
 EJEMPLO 23.4 POTENCIAL DEBIDO A DOS CARGAS PUNTUALES
Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas puntuales, q1 =
+12 nC y q2 = -12 nC, separadas una distancia de 10 cm (figu-
ra 23.13). Calcule los potenciales eléctricos en los puntos a, b y c.
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: Se trata del mismo ordenamiento de 
cargas que el del ejemplo 21.8, donde se calculó el campo eléctrico 
en cada punto por medio de una suma vectorial. La incógnita es el 
potencial eléctricol V en tres puntos, lo cuales se obtienen haciendo V
la suma algebraica en la ecuación (23.15). 
 EJECUTAR: En el punto a tenemos que r1 = 0.060 m y r2rr = 0.040 m, 
de modo que la ecuación (23.15) se convierte en
VaVV =
1
4pP0 ai
qi
rirr
=
1
4pP0
q1
r1rr
+
1
4pP0
q2
r2rr
= 1 9.0 * 109 N # m2>C22 12 * 10-9 C
0.060 m
+ 1 9.0 * 109 N # m2>C22 1 -12 * 10
-9 C2
0.040 m
= 1800 N # m>C + 1 -2700 N # m>C2
= 1800 V + 1 -2700 V2 = -900 V
De forma análoga, se puede demostrar que el potencial en el punto b
(donde r1 = 0.040 m y r2rr = 0.140 m) es VbVV = 1930 V y que el poten-
cial en el punto c (donde r1 = r2rr = 0.130 m) es VcVV = 0.
 EVALUAR: Confirmaremos que estos resultados son lógicos. El punto 
a está más cerca de la carga de a -12 nC que de la carga de +12 nC, de
modo que el potencial a es negativo. El potencial es positivo en el puntoa
b, que está más cerca de la carga de +12 nC que de la carga de -12 nC. 
Finalmente, el punto c está a la misma distancia de la carga de c +12 nC 
y de la de -12 nC, de modo que el potencial es igual a cero (el poten-
cial también es igual a cero en un punto infinitamente alejado de ambas 
cargas). 
Al comparar este ejemplo con el 21.8, se aprecia que es mucho
más fácil calcular el potencial eléctrico (un escalar) que el campo
eléctrico (un vector). Hay que aprovechar esta simplificación siempre
que sea posible.
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N 
23.13 ¿Cuáles son los potenciales en los puntos a, b y c debidos
a este dipolo eléctrico?
 EJEMPLO 23.5 POTENCIAL Y ENERGÍA POTENCIAL
Calcule la energía potencial asociada con una carga puntual q de 
+4.0 nC si se coloca en los puntos a, b y c de la figura 23.13.
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: La energía potencial U asociada conU
una carga puntual q, en un lugar donde el potencial eléctrico sea V, VV
es U = qV. Se utilizan los valores deVV V del ejemplo 23.4.V
 EJECUTAR: En los tres puntos obtenemos 
UaUU = qVaVV = 1 4.0 * 10-9 C2 1 -900 J>C2 = -3.6 * 10-6 J
UbUU = qVbVV = 1 4.0 * 10-9 C2 1 1930 J>C2 = 7.7 * 10-6 J
UcUU = qVcVV = 0
Todos estos valores se obtienen al considerar U y U V igual a cero enV
el infinito.
 EVALUAR: Observe que el trabajo neto sobre la carga de 4.0 nC es 
cero si ésta se desplaza del punto c al infinito por cualquier trayec-
toria. En particular, considere la trayectoria a lo largo de la bisectriz 
perpendicular de la línea que une las otras dos cargas q1 y q2 en la
figura 23.13. Como se vio en el ejemplo 21.8 (sección 21.5), en los
puntos situados sobre la bisectriz, la dirección de E
S
es perpendicu-
lar a la misma. Por lo tanto, la fuerza sobre la carga de 4.0 nC es 
perpendicular a la trayectoria, y no se realiza ningún trabajo en cual-
quier desplazamiento a lo largo de ella.
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–+
q1 q2
6.0
cm
4.0
cm
4.0
cm
c
13.0 cm13.0 cm
ab
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764 CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico
 EJEMPLO 23.6 CÁLCULO DEL POTENCIAL POR INTEGRACIÓN
 Integrando el campo eléctrico como en la ecuación (23.17), calcule el
potencial a una distancia r de una carga puntualr q. 
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: Ubicamos el punto a de la ecuación
(23.17) a una distancia r y el punto r b en el infinito (figura 23.14).
Como de costumbre, hacemos que el potencial sea cero a una distan-
cia infinita de la carga q. 
 EJECUTAR: Para resolver la integral, podemos elegir cualquier ca-
mino entre los puntos a y b. El más conveniente es una línea recta
radial como se muestra en la figura 23.14, de manera que dldd
S
esté en
la dirección radial y tenga magnitud dr. Al escribir dldd
S
= rB drrB , a partir 
de la ecuación (23.17):
V - 0 = V = L
q
rLL E
S
~ d l
S
= L
q
rLL
1
4pP0
q
r2
rn ~ rndr = L
q
rLL
q
4pP0r2
dr
= -
q
4pP0r
2 q
r
= 0 - a - q
4pP0r
b = q
4pP0r
 EVALUAR: Este resultado concuerda con la ecuación (23.14) y es co-
rrecto para una carga q positiva o negativa. 
SO
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23.14 Cálculo de la energía potencial por integración de E
S
 para una
sola carga puntual.
 EJEMPLO 23.7 MOVIMIENTO A TRAVÉS DE UNA DIFERENCIA DE POTENCIAL
En la figura 23.15, una partícula de polvo, cuya masa es m =
5.0 * 10-9 kg = 5.0 mg y con carga q0 = 2.0 nC, parte del reposo
en un punto a y se mueve en línea recta hasta un punto b. ¿Cuál es 
su rapidez v en el punto b?
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: Sobre la partícula actúa sólo la fuer-
za eléctrica conservativa, por lo que la energía mecánica se con-
serva: KaKK + UaUU = KbK + Ub. Las energías potenciales U se obtienen U
de los potenciales V correspondientes usando la ecuación (23.12): V
UaUU = q0VaVV y UbU = q0VbVV .
 EJECUTAR: Tenemos que KaKK = 0 y KbK =
1
2 mv2. Al sustituir esto y las
expresiones de UaUU y UbU en la ecuación de conservación de la energía
y despejar v, se encuentra que
0 + q0VaVV = 12 mv2 + q0VbVV
v =
B
2q0 1VaVV - VbVV 2
mB
Se calculan los potenciales usando la ecuación 23.15, V = q>4pP0r:
VaVV = 19.0 * 109 N # m2>C2 2 *
a3.0 * 10-9 C
0.010 m
+
1 -3.0 * 10-9 C 2
0.020 m
b
= 1350 V
VbVV = 19.0 * 109 N # m2>C2 2 *
a3.0 * 10-9 C
0.020 m
+
1 -3.0 * 10-9 C 2
0.010 m
b
= -1350 V
VaVV - VbVV = 11350 V 2 - 1 -1350 V 2 = 2700 V
Finalmente,
v =
B
2 12.0 * 10-9 C 2 12700 V 2
5.0 * 10-9 kgB
9
= 46 m>m s
 EVALUAR: El resultado es razonable: la partícula de polvo positiva
gana rapidez conforme se aleja de la carga de +3.0nC y se acerca a
la carga de -3.0 nC. Para comprobar la consistencia de las unida-
des en el último renglón del cálculo, se observa que 1 V = 1 J>C,
por lo que el numerador bajo el radical tiene unidades iguales a J
o kg # m2>s2. 
SO
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A un punto b en el infinito
23.15 La partícula se mueve del punto a al punto b y su aceleración
no es constante.
–+
1.0
cm
1.0
cm
1.0
cm
a b
-3.0 nC3.0 nC
Partícula
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23.3 Cálculo del potencial eléctrico 765
 23.3 CÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO 
 Cuando se calcula el potencial debido a una distribución de carga, por lo general se
sigue uno de dos caminos. Si se conoce la distribución de carga se emplea la ecuación
(23.15) o la (23.16). O si se conoce el modo en que el campo eléctrico depende de la
posición, se usa la ecuación (23.17) haciendo el potencial igual a cero en algún lugar 
conveniente. Algunos problemas requieren una combinación de estos enfoques. 
Conforme se analicen los ejemplos, compárelos con aquellos relacionados con el
cálculo del campo eléctrico en la sección 21.5. Verá que es mucho más fácil calcular 
potenciales eléctricos escalares que campos eléctricos vectoriales. El mensaje es claro:
siempre que sea posible, resuelva los problemas utilizando el enfoque de energía (po-
tencial eléctrico y energía potencial eléctrica) en vez del enfoque de dinámica (campos
eléctricos y fuerzas eléctricas).
 IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Recuerde que el potencial 
eléctrico es energía potencial por unidad de carga.
 PLANTEAR el problema de acuerdo con los siguientes pasos:
 1. Elabore un dibujo que muestre las ubicaciones y los valores de las 
cargas (que pueden ser puntuales o una distribución continua de 
carga), así como su elección de los ejes de coordenadas.
 2. Indique en el dibujo la posición del punto donde se desea calcular 
el potencial eléctrico V. En ocasiones esta posición será arbitraria VV
(por ejemplo, un punto a una distancia r del centro de una esfera r
con carga). 
 EJECUTAR la solución como sigue: 
 1. Para determinar el potencial debido a un conjunto de cargas pun-
tuales, utilice la ecuación (23.15). Si se da una distribución conti-
nua de carga, hay que ver la manera de dividirla en elementos in-
finitesimales y luego emplear la ecuación (23.16). Realice la 
integración utilizando los límites adecuados que incluyan toda
la distribución de carga. 
 2. Si se da el campo eléctrico, o si éste se puede obtener con algu-
no de los métodos presentados en los capítulos 21 o 22, tal vez sea
más fácil usar la ecuación (23.17) o (23.18) para calcular la 
diferencia de potencial entre los puntos a y b. Cuando sea per-
tinente, defina V igual a cero en algún lugar conveniente, y de-V
fina éste como el punto b. (Para cargas puntuales, por lo general,
éste se ubicará en el infinito. Para otras distribuciones de carga,
en especial aquellas que se extienden al infinito, quizá sea nece-
sario que VbVV sea igual a cero a cierta distancia finita de la distri-
bución de carga). Entonces, el potencial en cualquier otro punto,
digamos a, se obtiene con las ecuaciones (23.17) o (23.18) con 
VbVV = 0.
 3. Aun cuando el potencial V sea una cantidadV escalar, tal vez se 
tengan que usar las componentes de los vectores E
S
 y dldd
S
 cuando 
se emplee la ecuación (23.17) o la (23.18) para calcular V.VV
 EVALUAR la respuesta: Compruebe que la respuesta concuerde con 
la intuición. Si el resultado da V como una función de la posición,V
elabore la gráfica de esta función para saber si es razonable. Si se
conoce el campo eléctrico, es posible hacer una comprobación apro-
ximada del resultado de V verificando queV V disminuye si nos move-V
mos en la dirección de E
S
. 
 ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 23.1 CÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO 
 EJEMPLO 23.8 ESFERA CONDUCTORA CON CARGA
 Una esfera conductora sólida de radio R tiene una carga total q.
Determine el potencial eléctrico en todos los puntos, tanto fuera
como dentro de la esfera.
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: En el ejemplo 22.5 (sección 22.4) se em-
pleó la ley de Gauss para obtener el campo eléctrico en todos los
puntos para esta distribución de carga. El resultado se puede utilizar 
para determinar el potencial correspondiente. 
 EJECUTAR: Del ejemplo 22.5, el campo afuera de la esfera es el mismo 
que si la esfera se eliminara y se sustituyera por una carga puntual q.
Se considera V = 0 en el infinito, como se hizo para una carga pun-=
tual. Por lo tanto, el potencial en un punto en el exterior de la esfera
a una distancia r de su centro es el mismo que el potencial debido a r
una carga puntual q en el centro:
V =
1
4pP0
q
r
 El potencial en la superficie de la esfera es VsuperficieVV = q>4pP0R.
Continúa
SO
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N 
 EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 23.2 Si el potencial eléctrico enl
cierto punto es igual a cero, ¿el campo eléctrico en ese punto tiene que ser cero?
(Sugerencia: Considere el punto c de los ejemplos 23.4 y 21.8). ❙
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766 CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico
 Ionización y descarga de una corona 
 Los resultados del ejemplo 23.8 tienen diversas consecuencias prácticas; una de ellas
se relaciona con el potencial máximo que puede aplicarse a un conductor en el aire.
Este potencial se ve limitado porque las moléculas de aire se ionizan y el aire se con-
vierte en un conductor a una magnitud de campo eléctrico de aproximadamente 3 *
106 V>m. Por el momento, suponga que q es positiva. Cuando se comparan las expre-
siones del ejemplo 23.8 del potencial VsuperficieVV y la magnitud de campo Esuperficie en la 
superficie de una esfera conductora con carga, se observa que VsuperficieVV = EsuperficieR. 
Así, si EmEE representa la magnitud de campo eléctrico a la que el aire se vuelve con-
ductor (lo que se conoce como resistencia dieléctrica del aire), entonces, el potencial 
máximo VmVV que se puede aplicar a un conductor esférico es 
VmVV = REmEE
Para una esfera conductora de 1 cm de radio en el aire, VmVV = (10= -2 m)(3 * 10* 6 V>m)>> =
30,000 V. Ninguna cantidad de “carga” puede elevar el potencial de una esfera conductora 
de este tamaño en el aire más allá de 30,000 V, aproximadamente; si se intenta aumentar 
el potencial más allá de esto agregando carga adicional, se provocaría que el aire circun-
dante se ionizara y se convirtiera en conductor, y la carga adicional escaparía al aire.
Para lograr potenciales aún mayores, las máquinas de alto voltaje como los ge-
neradores Van de Graaff usan terminales esféricas con radios muy grandes (vea la 
figura 22.26 y la fotografía inicial del capítulo 22). Por ejemplo, una terminal de radio 
R = 2 m tiene un potencial máximo VmVV = (2 m)(3 * 106 V>m) = 6 * 106 V = 6 MV.
El resultado del ejemplo 23.8 también explica lo que sucede con un conductor car-
gado de radio de curvatura muy pequeño, como un objeto afilado o un alambre fino.
Como el potencial máximo es proporcional al radio, incluso potenciales relativamente
pequeños aplicados a puntas agudas en el aire producen campos lo suficientemente
elevados justo afuera de las puntas para ionizar el aire circundante y convertirlo en
un conductor. La corriente resultante y el resplandor asociado con ella (visible en un
cuarto oscuro) se llama corona. Las impresoras láser y las máquinas de fotocopiado
utilizan una corona de alambres muy finos para distribuir cargas sobre el tambor que 
forma las imágenes (vea la figura 21.2).
En situaciones en que es importante evitar que exista una corona, se usan conductores r
de radio grande. Ejemplo de esto es el extremo redondeado de los pararrayos metálicos 
(figura 23.17). Si hay un exceso de carga en la atmósfera, como ocurre durante las tor-
mentas eléctricas, en el extremo redondeado se acumula una cantidad sustancial de carga 
 En el interior de la esfera, r E
S
es igual a cero en todos los puntos.De esta forma, no se efectúa ningún trabajo sobre la carga de prue-
ba que se mueve de un punto a otro dentro de la esfera. Esto significa 
que el potencial es el mismo en cualquier punto del interior de la es-
fera y es igual a su valor q>4pP0R en la superficie. 
23.17 El mástil metálico en la parte
superior del edificio Empire State actúa
como pararrayos. El edificio es azotado
por relámpagos hasta 500 veces al año.
 EVALUAR: La figura 23.16 ilustra el campo y el potencial para una
carga positiva q. En este caso, el campo eléctrico apunta radial-
mente alejándose de la esfera. Conforme nos alejamos de la esfera,
en la dirección de E
S
, V disminuye (como debe ser). V
23.16 Magnitud E del campo eléctrico y el potencial E V en puntos dentro y fuera V
de una esfera conductora con carga positiva.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
O O
VE
r r
q
r 2
E = 1
4pP0
q
R2
E =
Conductor cargado
Gráfica del potencialGráfica del campo eléctrico
E = 0
1
4pP0
q
R
V = 1
4pP0
q
r
V = 1
4pP0
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23.3 Cálculo del potencial eléctrico 767
del signo contrario . Como resultado, cuando la carga atmosférica se descarga a través de
relámpagos, tiende a verse atraída hacia el pararrayos y no hacia otras estructuras cerca-
nas que podrían resultar dañadas. (Un cable conductor que conecta el pararrayos con el
suelo permite que la carga adquirida se disipe en forma inofensiva). Un pararrayos con
extremo agudo permitiría que se acumulara menos carga y por ello sería menos eficaz. 
 EJEMPLO 23.9 PLACAS PARALELAS CON CARGAS OPUESTAS
 Obtenga el potencial a cualquier altura y entre las dos placas para-
lelas con cargas opuestas, que se estudiaron en la sección 23.1
(figura 23.18).
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: Analizamos esta situación en la sección 
23.1. Por la ecuación (23.5), sabemos que la energía potencial eléc-l
trica U para una carga de prueba U q0 es U = q0Ey (hacemos que y = 0=
y U = 0 en la placa inferior). Se usa la ecuación (23.12),= U = q0V paraV
determinar el potencial eléctrico l V en función de V y. 
 EJECUTAR: El potencial V(VV y) en la coordenada y es la energía poten-
cial por unidad de carga:
V 1y 2 = U 1y 2
q0
=
q0EyEE
q0
= EyEE
El potencial disminuye conforme nos movemos en la dirección de E
S
de
la placa superior a la inferior. En el punto a, donde y = d yd V(VV y) = VaVV ,
VaVV - VbVV = EdEE y E =
VaVV - VbVV
d
=
VaVV b
d
donde VabVV es el potencial de la placa positiva con respecto a la placa
negativa. Es decir, el campo eléctrico es igual a la diferencia de 
potencial entre las placas dividida entre la distancia que las separa. 
Para una diferencia de potencial dada VabVV , cuanto más pequeña sea
la distancia d entre las dos placas, mayor será la magnitud de d E delE
campo eléctrico. (Esta relación entre E yE VabVV se cumple sólo para
SO
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23.18 Las placas paralelas con carga de la figura 23.2.
la geometría plana descrita. No funciona en situaciones que
implican cilindros o esferas concéntricos donde el campo
eléctrico no es uniforme). 
 EVALUAR: El resultado nos indica que V = 0 en la placa inferior 
(en y = 0), lo cual es congruente con la elección de U = q0V = 0 para 
una carga de prueba colocada en la placa inferior. 
CUIDADO El “potencial cero” es arbitrario Quizá piense que si un 
cuerpo conductor tiene un potencial igual a cero, necesariamente debe 
tener también una carga neta de cero. ¡Pero no es así! Como ejemplo,
la placa en y = 0 en la figura 23.18 tiene un potencial de cero (V = 0), 
pero tiene una carga por unidad de área, -s, distinta de cero. No hay 
nada particularmente especial en el lugar donde el potencial es igual
a cero; este lugar se puede definir donde se desee.r ❙ 
 EJEMPLO 23.10 UNA LÍNEA INFINITA CON CARGA O UN CILINDRO CONDUCTOR CON CARGA
 Obtenga el potencial a la distancia r desde una línea muy larga de r
carga con densidad de carga lineal l (carga por unidad de longitud).
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: Tanto en el ejemplo 21.10 (sección 21.5)
como en el 22.6 (sección 22.4), se determinó que el campo eléctrico
a una distancia radial r de una línea recta y larga de carga (r figu-
ra 23.19a) sólo tiene una componente radial, dada por Er = l>2pP0r.
Esta expresión se utiliza para obtener el potencial por integración de
E
S
, como en la ecuación (23.17).
 EJECUTAR: Como el campo sólo tiene una componente radial, te-
nemos que E
S
#dldd
S
= Erdrrr . Así, de acuerdo con la ecuación (23.17), el
potencial de cualquier punto a con respecto a cualquier otro punto b,
a distancias radiales rar y rbr de la línea de carga, es
VaVV - VbVV = L
b
aLL E
S
~ d l
S
= L
b
aLL Er dr =
l
2pP0 L
rbr
rLLaLrL
dr
r
=
l
2pP0
ln
rbrr
rarr
Si se toma el punto b en el infinito y se establece que VbVV = 0, se de-=
termina que VaVV es infinito para cualquier distancia finita rar a partir 
de la línea cargada: VaVV = (l>2pP0)ln(q>rar ) = q. ¡Ésta no es una
SO
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N
?
E
S
a
y
dy
O
q0
b x
23.19 Campo eléctrico afuera de a) un alambre largo con carga
positiva, y b) un cilindro largo con carga positiva.
a)
Er
r
b)
Er
RRRRR
rrr
+ + + + + + + + +
+ + + +
+ +
+
+
+
+
+ + ++
+
+
+ + + +
+
+
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768 CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico
manera útil de definir V para este problema! La dificultad estriba en V
que la distribución de carga en sí se extiende al infinito.
Para sortear la dificultad, como se recomendó en la estrategia para
resolver problemas 23.1, establecemos que VbVV = 0 en el punto b a una 
distancia radial arbitraria pero finita r0rr . Así, el potencial V = VaVV en 
el punto a a una distancia radial r está dado por r V - 0 = (l>2pP0)ln
(r0rr >r), o bien,
V =
l
2pP0
ln
r0rr
r
 EVALUAR: De acuerdo con el resultado, si l es positiva, entonces V
disminuye conforme r aumenta. Es así como debería ser: r V decrece V
conforme nos movemos en la dirección de E
S
.
 Según el ejemplo 22.6, la expresión de Er con la que se comenzó,r
también se aplica afuera de un cilindro conductor largo con carga por 
unidad de longitud l (figura 23.19b). De esta forma, nuestro resul-
tado también da el potencial para ese cilindro, pero únicamente para
valores de r (la distancia desde el eje del cilindro) mayores que or
iguales al radio R del cilindro. Si se elige que r0rr sea el radio R del
cilindro, de manera que V = 0 cuando r = R, entonces, en cualquier 
punto para el que r 7 R,
V =
l
2pP0
ln
R
r
En el interior del cilindro, E
S
= 0, y V tiene el mismo valor (cero) queV
en la superficie del cilindro.
 EJEMPLO 23.11 ANILLO CON CARGA
Una carga eléctrica Q está distribuida de manera uniforme alrededor 
de un anillo delgado de radio a (figura 23.20). Determine el poten-
cial en un punto P sobre el eje del anillo a una distancia x del centro x
del anillo.
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: Se divide el anillo en segmentos infi-
nitesimales y se usa la ecuación (23.16) para obtener V. Todas las VV
partes del anillo (es decir, todos los elementos de la distribución de
carga) están a la misma distancia de P. 
 EJECUTAR: La figura 23.20 muestra que la distancia entre cada ele-
mento de carga dq sobre el anillo y el punto P es r = 2x22 2 + a2. 
Aquí se saca de la integral el factor 1>r de la ecuación (23.16), yr
V =
1
4pP0 L
dqdd
r
=
1
4pP0
1
2x22 2 + a22 Ldqdd =
1
4pP0
Q
2x22 2 + a22
 EVALUAR: Cuando x es mucho más grande que x a, la expresión para V
se vuelve aproximadamente igual a V = Q>4pP0x00 , que es el potencial 
de una carga puntual Q a una distancia x de la carga puntual x Q. A una
distancia muy lejana del anillo con carga, su potencial eléctrico se
asemeja al de una carga puntual. En el ejemplo 21.9 (sección 21.5)
se llegó a una conclusión similar con respecto al campo eléctrico de
un anillo.
Conocemos el campo eléctrico en todos los puntosa lo largo
del eje x por el ejemplo 21.9 (sección 21.5), de modo que se puedex
calcular V a lo largo de este eje integrando V E
S
#dldd
S
, como en la ecua-
ción (23.17). 
SO
LU
C
IÓ
N 
23.20 Toda la carga en un anillo con carga Q está a la misma
distancia r de un puntor P situado sobre el eje del anillo.
 EJEMPLO 23.12 POTENCIAL DE UNA LÍNEA DE CARGA
Una carga eléctrica positiva Q está distribuida de manera uniforme 
a lo largo de una línea de longitud 2a que se encuentra a lo largo del 
eje y, entre y = -a y y = +a (figura 23.21). Determine el potencial
eléctrico en el punto P sobre el eje x a una distanciax x del origen.x
 SOLUCIÓN 
 IDENTIFICAR y PLANTEAR: Ésta es la misma situación que la del 
ejemplo 21.10 (sección 21.5), donde se obtuvo una expresión para el
campo eléctrico E
S
en un punto arbitrario del eje x. Se puede calcu-
lar V en el puntoV P integrando sobre la distribución de carga con la 
ecuación (23.16). A diferencia de la situación en el ejemplo 23.11, 
cada elemento de carga dQ se encuentra a una distancia diferente del 
punto P, así que la integración será un poco más complicada.
SO
LU
C
IÓ
N
23.21 Diagrama de este problema.
Continúa
a
O x P
Q
r =
x 2 + a 2
2 x2
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23.4 Superficies equipotenciales 769
 EJECUTAR: Igual que en el ejemplo 21.10, el elemento de carga dQ
que corresponde a un elemento de longitud dy sobre la varilla es
dQ = (Q>2a)dy. La distancia de dQ a P es2x22 2 + y22 , y la contribu-
ción dV que el elemento de carga hace al potencial enV P es
dV =
1
4pP0
Q
2a
dydd
2x22 2 + y22
Para determinar el potencial en P debido a toda la varilla, se integra
dV sobre la longitud de la varilla, deV y = -a a y = a:
V =
1
4pP0
Q
2a L
a
-LL a
dydd
2x22 2 + y22
La integral se puede consultar en una tabla. El resultado final es 
V =
1
4pP0
Q
2a
ln a2a22 2 + x22 + a
2a22 2 + x22 - a
b
 EVALUAR: El resultado se comprueba haciendo que x se aproxime alx
infinito. En este límite, el punto P está infinitamente lejos de toda la 
carga, por lo que habría que esperar que V tienda a cero; se invita al V
lector a que verifique esto.
 Conocemos el campo eléctrico en todos los puntos a lo largo del 
eje x por el ejemplo 21.10. Se invita al lector a usar esta información x
para obtener V a lo largo de este eje integrandoV E
S
como en la ecua-
ción (23.17).
 EVALÚE SU COMPRENSIÓN DE LA SECCIÓN 23.3 Si el campo eléctrico en
cierto punto es igual a cero, ¿el potencial eléctrico en ese punto tiene que ser igual a cero?l
(Sugerencia: Considere el centro del anillo en los ejemplos 23.11 y 21.9).) ❙
 23.4 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES 
Las líneas de campo (vea la sección 21.6) nos ayudan a visualizar los campos eléc-
tricos. En forma similar, el potencial en varios puntos de un campo eléctrico puede 
representarse gráficamente por medio de superficies equipotenciales, las cuales utilizan 
la misma idea fundamental que los mapas topográficos que emplean los excursionistas 
y alpinistas (figura 23.22). En un mapa topográfico, las curvas de nivel unen puntos 
que se encuentran a la misma altura. Se puede dibujar cualquier número de ellas, pero 
lo común es tener sólo algunas curvas de nivel a intervalos de igual altura. Si una masa 
m se moviera sobre el terreno a lo largo de una curva de nivel, la energía potencial 
gravitacional mgy no cambiaría porque la altura y sería constante. Así, las curvas de 
nivel en un mapa topográfico en realidad son curvas de energía potencial gravitacional 
constante. Las curvas de nivel están muy cerca unas de otras en las regiones donde el 
terreno está muy inclinado y hay grandes cambios en la altura en una distancia horizon-
tal pequeña; en cambio, las curvas de nivel están muy separadas en los sitios donde el 
terreno tiene poca pendiente. Una pelota que se suelta cuesta abajo experimentaría la 
mayor fuerza gravitacional ahí donde las curvas de nivel están muy cercanas entre sí. 
Por analogía con las curvas de nivel en un mapa topográfico, una superficie equi-
potencial es una superficie tridimensional sobre la que el potencial eléctrico V es el V
mismo en todos los puntos. Si una carga de prueba q0 se desplaza de un punto a otro 
sobre tal superficie, la energía potencial eléctrica q0V permanece constante. En una V
región en la que existe un campo eléctrico, es posible construir una superficie equi-
potencial en cualquier punto. Los diagramas, por lo general, muestran tan sólo algu-
nas superficies equipotenciales representativas, a menudo con iguales diferencias de 
potencial entre superficies adyacentes. Ningún punto puede tener dos potenciales di-
ferentes, por lo que las superficies equipotenciales de distintos potenciales nunca se
tocan ni se intersecan.
 Superficies equipotenciales y líneas de campo 
Como la energía potencial no cambia a medida que una carga de prueba se mueve sobre 
una superficie equipotencial, el campo eléctrico no realiza trabajo sobre esa carga. De 
ello se deduce que E
S
pp
 debe ser perpendicular a la superficie en cada punto, de manera que E
la fuerza eléctrica q0 E
S
siempre sea perpendicular al desplazamiento de una carga 
que se mueve sobre la superficie. Las líneas de campo y las superficies equipotencia-
les siempre son perpendiculares entre sí. En general, las líneas de campo son curvas, y 
las equipotenciales son superficies curvas. Para el caso especial de un campo uniforme, 
donde las líneas de campo son rectas, paralelas y están igualmente espaciadas, las super-
ficies equipotenciales son planos paralelos, perpendiculares a las líneas de campo. 
23.22 Las líneas de nivel en un mapa
topográfico son curvas de altura
constante, es decir, de energía potencial
gravitacional constante.
M23 Fisica 01 SE HA 44404.indd 769 4/27/18 7:36 PM
770 CAPÍTULO 23 Potencial eléctrico
La figura 23.23 muestra tres configuraciones de cargas. Las líneas de campo en el plano
de las cargas están representadas por líneas rojas, y las intersecciones de las superficies
equipotenciales con este plano (es decir, las secciones transversales de estas superficies) se
indican con líneas azules. Las superficies equipotenciales reales son tridimensionales. En
cada cruce de una línea equipotencial con una línea de campo, ambas son perpendiculares. 
En la figura 23.23 aparecen dibujadas superficies equipotenciales de manera que las
diferencias de potencial entre superficies adyacentes sean iguales. En las regiones donde
la magnitud de E
S
 es grande, las superficies equipotenciales están cercanas entre sí por-E
que el campo efectúa una cantidad relativamente grande de trabajo sobre una carga de
prueba en un desplazamiento relativamente pequeño. Éste es el caso cerca de la carga
puntual en la figura 23.23a o entre las dos cargas puntuales en la figura 23.23b. Observe
que en estas regiones las líneas de campo también están más próximas, lo cual tiene una
analogía directa con la fuerza de la gravedad cuesta abajo, que es mayor en las regiones
de un mapa topográfico donde las curvas de nivel están más cerca entre sí. A la inversa,
en las zonas donde el campo es más débil, las superficies equipotenciales están más
separadas; esto ocurre en radios mayores en la figura 23.23a, a la izquierda de la carga 
negativa o a la derecha de la positiva en la figura 23.23b, y a distancias mayores de 
ambas cargas en la figura 23.23c. (Tal vez parezca que dos superficies equipotenciales 
se intersecan en el centro de la figura 23.23c, transgrediendo la regla de que esto nunca 
puede suceder. De hecho, se trata de una sola superficie equipotencial en forma de “8”). 
CUIDADO E no necesariamente es constante en una superficie equipotencial En una superfi-
cie equipotencial dada, el potencial V tiene el mismo valor en todos los puntos. Sin embargo, en V
general, la magnitud E del campo eléctrico E no es la misma en todos los puntos de una superficie 
equipotencial. Por ejemplo, en la superficie equipotencial