NumerosNaturalesyReales__2_

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1. Números Naturales
Aceptaremos la existencia de un conjunto denominado Números Naturales (N), que cumple lo siguientes axiomas. (Peano)
1Є N
nЄ N => n* = n+1 Є N ( n* se llama sucesor de n)
nЄ N => n* ≠ 1
n* = m* => n=m
1Є k ^ nЄ K => n* Є K] => K=N
N = { 1,2,3,4,5, …… }
Notar que la ecuación: 
 x+3 = 3 (1) 
 
no tiene solución en N
Números Naturales y Reales
2. Números Cardinales
N0 = { 0 } U N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,………. }
Notar que la ecuación (1) tiene solución en N0 (x=0)
Sin embargo, la ecuación 
 x+5 = 2 (2) 
 no tiene solución en N0
3. Números enteros
Z= { 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, …….}
Números Naturales y Reales
4. Números Racionales
Q = { x= p/q tales que p, q Є Z con q≠ 0 }
Notar que la ecuación (2) tiene solución en Z (x=-3)
Sin embargo, la ecuación 
 3x = 2 (3) 
 no tiene solución en Z
Q es el conjunto de todas las fracciones.
Notar que la ecuación (3) tiene solución en Q (x= 2/3)
Sin embargo, en la recta numérica existen puntos que representan números que no son racionales (no son fracciones)
 
 
Números Naturales y Reales
Replicando la longitud 1 perpendicularmente a la recta numérica, en el punto 1, construimos un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos tienen ambos longitud 1.
La hipotenusa x de este triángulo, por el Teorema de Pitágoras cumple: 
 x2 =12 + 12 = 2 (4)
Trasladamos la longitud x a la recta numérica y encontramos un punto que no representa a un número racional
En efecto: 
Números Naturales y Reales
En efecto, supongamos que x es un número racional, es decir x tiene la forma x=p/q con p, q enteros. 
Supondremos además que esta fracción no admite simplificación. Entonces: 
 x2 = p2/q2 = 2 
De lo anterior, se obtiene: p2 = 2q2 entonces p2 es par.
De la última condición fluye que p es par (p = 2r)
Reemplazando este valor de p en la última ecuación , se tiene :
4r2 = 2q2 => 2r2 = q2 => q2 es par => q es par (q=2s)
Finalmente x = p/q = 2r/ 2s (simplificable por el factor 2: contradicción)
Se concluye que x no es un número racional
La ecuación x2 =2 no tiene solución en Q
Números Naturales y Reales
5. Números Irracionales : I 
Son todos los números que corresponden a puntos de la recta numérica que no son racionales ( no pueden ser escritos como fracción)
6. Número Reales: R
Resultan de la unión de los conjuntos Q e I (Racionales e Irracionales)
Existe una relación biunívoca entre todos los puntos de la recta y todos los números reales:
A cada punto de la recta corresponde un número real
A cada número real corresponde un punto de la recta 
 
Números Naturales y Reales
Números Naturales y Reales
Axiomas de los Reales: Aceptaremos que en el conjunto R se encuentran definidas dos operaciones (suma y producto), que cumplen:
Números Naturales y Reales
Conjuntos Coordinables
Definición
Dos conjuntos A y B se dirán coordinables ssi puede establecerse una correspondencia uno a uno (biunívoca) entre sus respectivos elementos 
Ejemplo 
Los conjuntos definidos por: 
V={a,e,i,o,u} C= {1,2,3,4,5} son coordinables 
En efecto podemos establecer la siguiente correspondencia:
a 1
e 2
i 3
o 4
u 5
Definición 
Un conjunto se dirá infinito (o de cardinalidad infinita) ssi es coordinable con algún subconjunto de si mismo (Cantor)
Ejemplo
N= {1,2,3,4,5,……….} es infinito
En efecto, consideremos el conjunto O= {2,3,4,5,….}
Notemos que O es subconjunto de N
Además O es coordinable con N, en efecto consideremos:
 2
 3
 4
.
.
n n+1 
Se concluye que el conjunto de los números naturales, N, es infinito 
#(N)= א 0
El conjunto de los números reales, también es infinito. 
Sin embargo #(R) > #(N) = א 0
Podemos visualizar esta afirmación usando nuevamente la coordinación.
Para esto, consideremos un subconjunto de R, formado por todos los números reales comprendidos ente 0 y 1 (sin incluir extremos)
Si llamamos B a este conjunto, entonces:
 B= {xє R / 0 <x <1}
Un elemento cualquiera de B tendrá la forma:
x= 0,a1a2a3……….
Ejemplo: si x= 0,372 a1=3 a2= 7 a3=2
Consideremos ahora una coordinación cualquiera entre N y B 
 x1= 0, a11a12a13a14………..
2 x2= 0, a21a22a23a24…………
3 x3= 0,a31a32a33a34………….
etc
Consideramos ahora el número b= 0,b1b2b3b4………. є B
Con
b1 ≠ a11
b2 ≠ a22
b3 ≠ a33
b4 ≠ a44
etc
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De lo anterior, fluye que hemos encontrado en B un número que no pertenece a la coordinación, cualquiera que esta sea.
Por tanto, B no es coordinable con N, o más precisamente, B tiene más elementos que N
Se trata de un infinito mayor que el de N, denominado el infinito del continuo
Notar que los elementos de N se suceden unos a otros. Dado un número natural, obtengo el siguiente, sumando 1
Esta propiedad no es válida en R, porque R es un conjunto DENSO. Dados dos números reales, siempre existe entre esos dos otro real (por ejemplo el promedio)
En R por tanto, carece de sentido definir el número real que sucede a otro, como tampoco el numero real anterior a otro
Ejemplo: ¿Cuál es el número real anterior a 3?
Respuesta frecuente: el real anterior a 3 es 2,9999999…… (periódico)
Pero si x = 2,999999999999………. entonces,
 10x 29,999999999999
Restando: 9x = 27 y x= 3 
No existe el número real anterior a 3
A
B
C
D
O
E
F
G
H
El trazo AB tiene el mismo número de puntos que el trazo CD
O
A
A’
B
B’
Ambas circunsferencias tienen el mismo número de puntos