Desigualdades_e_Inecuaciones__1_

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Desigualdades e inecuaciones en R
Axiomas de Orden 
Aceptaremos la existencia de un subconjunto de R que denominaremos R+ (Reales positivos) y que satisface los siguientes axiomas
a Є R => [ a Є R+ v a = 0 v -a Є R+ ]
a, b Є R+ => (a+b) Є R+ 
a, b Є R+ => (a•b) Є R+ 
Definiremos sobre R la relación o desigualdad “menor que” denotada “<“ mediante la equivalencia siguiente:
b < a  a > b  [(a-b) Є R+ ]
Notar que b <a  b está a la izquierda de a en la recta numérica
b
a
Desigualdades en R
Propiedades de las desigualdades 
(a)		(a, b Є R) => [ a<b v a = b v b<a ]
En efecto: 
 (a, b Є R) => (a-b) Є R => [ (a-b)Є R+ v (a-b)=0 v -(a-b) Є R+ ] (Axioma 1)
Pero:
(a1) 	(a-b)Є R+  b<a
(a2)	(a-b) =0  a=b
(a3)	 -(a-b)Є R+  (b-a) Є R+  a<b (Definición de desigualdad menor que)
Reemplazando estas equivalencias en la implicación inicial se tiene:
(a, b Є R) => [ a<b v a = b v b<a ]
Esta propiedad se denomina Tricotomía
Desigualdades e inecuaciones en R
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a < b => a+c < b+c
 En efecto: a < b => (b-a) Є R+ (Definición de desigualdad menor que) 
			 => (b-a) + 0 Є R+ (0 es neutro de la suma)
			 
=> (b-a) + (c-c) Є R+ (Propiedad del opuesto aditivo)
		 
=> (b+c) – (a+c) Є R+ (Asociatividad y conmutatividad)
 
			 => a+c < b+c (Definición de desigualdad menor que)
Una desigualdad se preserva al sumar un número cualquiera
Desigualdades e inecuaciones en R
(c)		[(a < b) ^ c Є R+ ] => (ca < cb) 
En efecto: a < b => (b-a) Є R+ (Definición de desigualdad menor que) 
Además: c Є R+ (Axioma 1)
		 => c•(b – a) Є R+ (Axioma 3)
	 => (cb – ca) Є R+ (Distributividad)
 => ca < cb (Definición de desigualdad menor que) 
Una desigualdad se preserva al multiplicar por un número positivo 
Desigualdades e inecuaciones en R
(d)		[(a < b) ^ c ‡ 0 ^ c Є R+ ] => (cb < ca) 
En efecto: a < b => (b-a) Є R+ (Definición de desigualdad menor que) 
Además: -c Є R+ (Axioma 1)
		 => -c•(b – a) Є R+ (Axioma 3)
	 => (ca – cb) Є R+ (Distributividad)
 => cb < ca (ó ca> cb) (Definición de desigualdad menor que) 
Una desigualdad se invierte al multiplicar por un número negativo
Notar que, del Axioma 3 y la propiedad (d) fluye la “regla de los signos” de la multiplicación
Desigualdades e inecuaciones en R
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(e) ( a< b ^ b < c ) => a < c 
En efecto:
(a < b ^ b < c )  [ (b-a) Є R+ ) ^ (c-b) Є R+ ] (Definición de desigualdad) 
	 => (b-a) + (c-b) Є R+ (Axioma 2)
	 => (c-a) Є R+ (Asociatividad y conmutatividad)
	 => a< c (Definición de desigualdad) 
Esta propiedad se denomina Transitividad
Desigualdades e inecuaciones en R
Ejemplo de aplicación 1
Demostrar que: 0 < a < b => a2 < b2
Solución:
(0 < a  a Є R+ ) ^ (0 < b  b Є R+ )
A partir de lo anterior:
(a < b => a2 < ab) ^ (a < b => ab < b2 )
Se tiene entonces: 
a2 < ab ^ ab < b2
Finalmente, se concluye que: a2 < b2
Propuesto: escriba la propiedad usada en cada caso.
Desigualdades e inecuaciones en R
Ejemplo de aplicación 2
Demostrar que: a2 < b2 => a < b 
Solución:
		a2 < b2 => a2 - b2 < 0
		 => (a-b)(a+b) < 0
		 => a- b < 0 
		 => a < b
Propuesto: escriba la propiedad usada en cada caso.
Desigualdades e inecuaciones en R
Definiremos adicionalmente sobre R la relación o desigualdad “menor o igual que” denotada “≤ “ y con propiedades similares a “<“ mediante la equivalencia siguiente:
b ≤ a  [ (b < a) v (a=b) ] 
Ejemplo de aplicación 3 
Demostrar la desigualdad : 
Solución : 0 ≤ (a-b)2 => 0 ≤ a2 -2ab + b2
			
 => 4ab ≤ a2 +2ab +b2
			 =>
			 => 
Propuesto: escriba la propiedad usada en cada caso.
M.G. ≤ M.A. 
Desigualdades e inecuaciones en R
Inecuaciones en R
Una expresión como es llamada desigualdad y se cumple para todos los valores de a y b, salvo algunas restricciones.
Una inecuación en cambio, es una expresión como 3x+5 < 2x2 -7x, que se cumple para algunos valores de x. La solución de una ecuación reside precisamente en encontrar valores de x que la satisfacen (conjunto solución) 
Naturalmente, debe llegarse a la solución mediante los axiomas de orden establecidos y las propiedades demostradas. 
Ejemplo 1: Hallar la solución de la inecuación 5x+1 < 2x +4
Desarrollo: 5x+1 < 2x +4 => 3x < 3 => x < 1 
El conjunto solución es: S = { x Є R / x< 1 } 
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No incluido
Desigualdades e inecuaciones en R
Ejemplo 2 : Hallar la solución de la inecuación x2 -5x + 6 ≤ 0 
Desarrollo: x2 -5x + 6 ≤ 0 => (x-2)(x-3) ≤ 0
 => [(x-2) ≥ 0 ^ (x-3) ≤ 0 ] v [(x-2) ≤ 0 ^ (x-3) ≥ 0 ]
 => [(x ≥ 2) ^ (x ≤ 3)] v [(x ≤ 2) ^ (x ≥ 3)]
 => [ { xЄ R / x ≥ 2} { x Є R / x ≤ 3} ] U [ { xЄ R / x ≤ 2} { x Є R / x ≥ 3} ]
 => { xЄ R / 2 ≤ x ≤ 3 } U φ 
Conjunto solución: { xЄ R / 2 ≤ x ≤ 3 } 
 
 
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Desigualdades e inecuaciones en R
Ejemplo 3 : Hallar la solución de la inecuación 
Desarrollo: 
El análisis de signos en cada factor resulta bastante largo en este caso. En efecto para que se cumpla la inecuación los tres factores o bien uno solo de ellos debe ser negativo (cuatro casos en total)
Por esto se sugiere usar una “tabla de signos” donde se establece la distribución de signos de cada factor y de la expresión total
Desigualdades e inecuaciones en R
A partir de se construye la siguiente tabla: 
Conjunto Solución: { x Є R / x < -1 } U { x Є R / 0 < x < 1 }
-1
0
1
Desigualdades e inecuaciones en R
Desigualdades e inecuaciones en R
Notación de Intervalos Mediante los intervalos, es posible describir subconjuntos de R definidos por desigualdades. 
Intervalo Cerrado: [ a, b ]  { x Є R / a ≤ x ≤ b } 
Intervalo abierto: ] a, b [  { x Є R / a < x < b } 
Intervalo Semiabierto: ] a, b ]  { x Є R / a < x ≤ b } 
Intervalo Semiabierto: [ a, b [  { x Є R / a ≤ x < b } 
Intervalos generalizados 
] - , b]  { x Є R / x ≤ b } y ] - , b [  { x Є R / x < b }
[a, + [  { x Є R / a ≤ x } y ] a, + [  { x Є R / a < x }
] - , + [  R 
 
Desigualdades e inecuaciones en R