Problemario_Calculo-7 - Eduardo Gonzalez Garcia

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Desigualdades y valor absoluto 
En esta sección revisaremos algunas de las técnicas que se utilizan para resolver 
algunas desigualdades que contienen valores absolutos. En las siguientes 
expresiones, vamos a emplear las letras griegas épsilon(𝜀) y delta(𝛿) para denotar 
distancias. 
𝑰 La desigualdad |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 donde 𝛿 > 0 y 𝑐 ∈ ℝ es equivalente a la desigualdad 
−𝛿 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿. 
Lo cual ocurre si y sólo si 
 
𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿 ⟺ 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿)… (1). 
 
En el caso en el cual 𝑐 = 0, se tiene la desigualdad |𝑥| < 𝛿. La cual es equivalente 
a la desigualdad 
−𝛿 < 𝑥 < 𝛿… (2). 
 
Lo cual ocurre si y sólo si 𝑥 ∈ (−𝛿, 𝛿). 
1. Resuelve la siguiente desigualdad |𝑥 − 5| < 1. (𝑐 = 5, 𝛿 = 1) 
 
Solución. La desigualdad |𝑥 − 5| < 1 ocurre si y sólo si 
 
−1 < 𝑥 − 5 < 1 ⟺ 4 < 𝑥 < 5 ⟺ 𝑥 ∈ (4, 6) 
 
2. Resuelve la siguiente desigualdad |𝑥 + 2| < 3. (𝑐 = −2, 𝛿 = 3) 
 
Solución. La desigualdad |𝑥 + 2| < 3 ocurre si y sólo si 
 
−3 < 𝑥 + 2 < 3 ⟺ −5 < 𝑥 < 1 ⟺ 𝑥 ∈ (−5,1) 
 
𝑰𝑰 La desigualdad 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 donde 𝛿 > 0 y 𝑐 ∈ ℝ es equivalente a la 
desigualdad 
−𝛿 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿. 
Junto con la condición de que 𝑥 − 𝑐 ≠ 0. Esto se cumplirá si 𝑥 ≠ 𝑐. 
Por lo tanto, la desigualdad 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ocurre si y sólo si 
𝑥 − 𝑐 < 0… (𝑖) 
𝑥 − 𝑐 > 0… (𝑖𝑖) 
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De la definición de valor absoluto y de las condiciones anteriores se deduce 
 
0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⟺ 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐) ∪ (𝑐, 𝑐 + 𝛿)… (3) 
 
1. Resuelve la siguiente desigualdad 
 
0 < |𝑥 − 5| < 1; 𝑐 = 5 𝑦 𝛿 = 1 
Solución. Para que 0 < |𝑥 − 5| se deben considerar dos casos: 
𝑥 − 5 < 0… (1) 
𝑥 − 5 > 0… (2) 
Si 𝑥 − 5 < 0 entonces por la definición de valor absoluto, la desigualdad 
0 < |𝑥 − 5| < 1. 
Es equivalente a 
0 < −(𝑥 − 5) < 1 
O sea, 
0 < 5 − 𝑥 < 1⟺ −5 < −𝑥 < −4⟺ 4 < 𝑥 < 5 
Por lo tanto, 
𝑥 ∈ (4, 5)… (𝑖) 
Por otra parte, si 𝑥 − 5 > 0 entonces por la definición de valor absoluto, la 
desigualdad 0 < |𝑥 − 5| < 1 es equivalente a 
0 < 𝑥 − 5 < 1 
Es decir 
0 < 𝑥 − 5 < 1 ⟺ 5 < 𝑥 < 6 
Por lo tanto, 
𝑥 ∈ (5, 6)… (𝑖𝑖) 
Finalmente, de las expresiones (𝑖) y (𝑖𝑖) se concluye que: 
0 < |𝑥 − 5| < 1 ⟺ 𝑥 ∈ (4, 5) ∪ (5, 6) 
Tal y como se indica en la expresión (3). Nuevamente, podemos verificar este 
resultado de manera gráfica. 
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Observación. Siempre es mejor hacer el análisis por separado de cada uno de los 
casos que se presentan en este tipo de desigualdades en vez de sólo sustituir los 
valores de 𝑐 y de 𝛿 en la expresión (3). 
𝑰𝑰𝑰 Veamos ahora el siguiente caso. Sea 𝜀 > 0. Si pensamos en |𝑥| como la 
distancia entre el valor de 𝑥 y cero, entonces 
|𝑥| > 𝜀 ⟺ 𝑥 > 𝜀 𝑜 𝑥 < −𝜀 
Por ejemplo, 
|𝑥| > 3 ⟺ 𝑥 > 3 𝑜 𝑥 < −3 
Esto se puede ver en la grafica 6 
 
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 6. 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = |𝑥| > 3 
 
La representación de los intervalos en la recta real se observa en la figura 7 
 
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 7. 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 (−∞,−3] 𝑦 [3,∞) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 
 
1. Resuelve la siguiente desigualdad 
|2𝑥 + 3| > 5 
Solución. Método 1. De acuerdo con la descripción anterior tenemos lo siguiente: 
|2𝑥 + 3| ≥ 5 ⟺ 2𝑥 + 3 ≥ 5 𝑜 2𝑥 + 3 ≤ −5 
Resolviendo la desigualdad 2𝑥 + 3 ≥ 5: 
2𝑥 + 3 ≥ 5 ⟺ 2𝑥 ≥ 2⟺ 𝑥 ≥ 1 
Por lo tanto, la solución de la desigualdad 2𝑥 + 3 ≥ 5 son todos aquellos valores 
de 𝑥 tales que 𝑥 ∈ [1,∞).