Problemario_Calculo-8 - Eduardo Gonzalez Garcia

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Ahora resolvemos la desigualdad 2𝑥 + 3 ≤ −5: 
2𝑥 + 3 ≤ −5 ⟺ 2𝑥 ≤ −8 ⟺ 𝑥 ≤ −4 
Por lo tanto, la solución de la desigualdad 2𝑥 + 3 ≤ −5 son todos aquellos valores 
de 𝑥 tales que 𝑥 ∈ (−∞,−4]. 
Finalmente, concluimos lo siguiente: 
|2𝑥 + 3| ≥ 5 
 ⟺ 2𝑥 + 3 ≥ 5 𝑜 2𝑥 + 3 ≤ −5 
⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−4] ∪[1,∞). 
El conjunto solución de la desigualdad se observa en la figura 8. 
 
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 8. 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = |2𝑥 + 3| 
Método 2. Un procedimiento alternativo es con el uso de las siguientes 
propiedades 
𝑆𝑖 0 < 𝑎 < 𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎2 < 𝑏2 𝑦 |𝑎| = √𝑎2 
 Puesto que 
|2𝑥 + 3| ≥ 5 > 0 
 Entonces al elevar al cuadrado a ambos lados de la desigualdad, nos queda 
52 ≤ |2𝑥 + 3|2 
⟺ 25 ≤ (2𝑥 + 3)2 
⟺ 0 ≤ 𝑥2 + 3𝑥 − 4 
⟺ 0 ≤ (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) 
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La desigualdad equivalente anterior se puede resolver utilizando una tabla de 
signos o analizando los posibles casos, el resultado será el mismo como se 
observa en la figura 9. 
 
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 9. 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) 
Otros tipos de desigualdades con valor absoluto que también pueden resolverse 
utilizando todas las propiedades enunciadas anteriormente se expresan en los 
siguientes ejercicios. 
1. Resuelve la siguiente desigualdad 
|3𝑥 − 9| < |4 − 8𝑥| 
Solución. Método 1. 
Podemos utilizar las propiedades siguientes: 
𝑆𝑖 0 < 𝑎 < 𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎2 < 𝑏2 𝑦 |𝑎| = √𝑎2 
 Puesto que 
0 < |3𝑥 − 9| < |4 − 8𝑥| 
 Entonces al elevar al cuadrado en ambos lados de la desigualdad, se tiene 
|3𝑥 − 9|2 < |4 − 8𝑥|2 
⟺ (3𝑥 − 9)2 < (4 − 8𝑥)2 
⟺ 9𝑥2 − 54𝑥 + 81 < 16 − 64𝑥 + 64𝑥2 
⟺ 65 < 55𝑥2 − 10𝑥 
⟺ 0 < 55𝑥2 − 10𝑥 − 65 
⟺ 0 < (𝑥 −
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) (𝑥 + 1). 
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La solución de la desigualdad anterior está dada si conocemos los valores de 𝑥 
para los que el producto de los factores (𝑥 −
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) y (𝑥 + 1) en ℝ, nos da como 
resultado un número positivo. Para hallar estos valores vamos a utilizar la 
siguiente propiedad: Si 𝑎𝑏 > 0, entonces 𝑎 y 𝑏 tienen el mismo signo. Por lo tanto, 
se tienen dos casos en la desigualdad: 
𝑥 −
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> 0 & 𝑥 + 1 > 0 o bien 𝑥 −
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< 0 y 𝑥 + 1 < 0. 
Caso 1. 𝑥 −
13
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> 0 y 𝑥 + 1 > 0 
De las desigualdades anteriores se tiene: 𝑥 >
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 y 𝑥 > −1. Por lo tanto se deben 
encontrar todas las 𝑥 en ℝ tales que 
𝑥 ∈ (
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,∞) y 𝑥 ∈ (−1,∞) 
Por lo tanto, para este caso en particular los valores de x se deben tomar de tal 
forma que 
𝑥 ∈ (
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,∞) ∩ (−1,∞) = (
13
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,∞). 
Caso 2. 𝑥 −
13
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< 0 y 𝑥 + 1 < 0. 
De las desigualdades anteriores se tiene: 𝑥 <
13
11
 y 𝑥 < −1. Por lo tanto, se deben 
encontrar todas las 𝑥 en ℝ tales que 
𝑥 ∈ (−∞,
13
11
) y 𝑥 ∈ (−∞,−1) 
Por lo tanto, para este caso en particular los valores de x se deben tomar de tal 
forma que 
𝑥 ∈ (−∞,−1) ∩ (−∞,
13
11
) = (−∞,−1) 
De los resultados obtenidos en los casos 1 y 2, se concluye que el conjunto 
solución para la desigualdad |3𝑥 − 9| < |4 − 8𝑥| está dado por 
𝑥 ∈ (−∞,−1) ∪ (
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, ∞). 
Estos conjuntos están representados en la figura 10.