Clase_13_Sucesiones_3_

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Matemáticas I
Clase 13: Sucesiones y ĺımites (3)
Abril de 2021
Apunte de Curso: Págs. 96 a 99
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Agenda
Objetivos de la clase
Propiedad teórica importante: cultura general
El número e
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
� Conocer sobre temas complementarios de ĺımites
� El número e
� La función exponencial y el logaritmo natural.
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Propiedad teórica importante:
cultura general
Sucesión creciente (decreciente)
Una sucesión an se dice que es creciente (decreciente) cuando
an ≤ an+1 (an ≥ an+1).
� Es decir, la sucesión an es creciente cuando en la medida que
aumenta el “n” ocurre que los términos de la sucesión se “mueven”
hacia la derecha, o se mantienen.... (decreciente lo contrario: “se
mueven hacia la izquierda)
Ejemplo
� an = n es creciente
� bn = 1− 1n es creciente
� cn =
1
n es decreciente
� dn = (−1)n no es ni decreciente ni creciente.
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Ejemplo
Se puede probar que la sucesión hn = n
√
n = n
1
n es decreciente desde el
segundo término en adelante.
Figura 1: hn = n
√
n es decreciente
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
-199 1 201 401 601 801 1001
5
Sucesión acotada
Se dice que una sucesión an es acotada superiormente cuando hay una
barrera superior tal que sus términos no la sobrepasan.
� Es decir, la sucesión an es acotada superiormente cuando existe una
constante L tal que an ≤ L para todo n.
De manera análoga se define el concepto de acotada inferiormente: hay
una barrera por debajo que no es sobrepasada por los términos de la
sucesión.
Ejemplo
� La sucesión an = n es acotada inferiormente pero no es acotada
superiormente.
� La sucesión an =
1
n es acotada superior e inferiormente.
� La sucesión an = (−1)n es acotada superior e inferiormente.
6
Resultado sobre sucesiones crecientes y acotadas
Teorema
Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente, es
decir, tiene un ĺımite.
Figura 2: Sucesión creciente y acotada tiene ĺımite
Nota. Resultado también se tiene para sucesiones decrecientes y
acotadas inferiormente.
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El número e
El número e
Definamos la siguiente sucesión:
en =
(
1 +
1
n
)n
.
Por ejemplo,
e1 =
(
1 +
1
1
)1
= 2, e2 =
(
1 +
1
2
)2
= 2, 25, e3 =
(
1 +
1
3
)3
= 2, 370370...
Figura 3: Primeros 200 elementos de en =
(
1 + 1
n
)n
2,000
2,100
2,200
2,300
2,400
2,500
2,600
2,700
2,800
1 9
1
7
2
5
3
3
4
1
4
9
5
7
6
5
7
3
8
1
8
9
9
7
1
0
5
1
1
3
1
2
1
1
2
9
1
3
7
1
4
5
1
5
3
1
6
1
1
6
9
1
7
7
1
8
5
1
9
3
e_n 8
El número e
� Se puede probar que en es creciente:
en ≤ en+1.
� Se puede probar que en es acotada superiormente.
⇒ en converge.
� El ĺımite de en se llama e (que es un número irracional!):
e ≈ 2, 718281828459045235360287471352662497...
9
Función exponencial y función logaritmo natural
� Ya que e ∈ R es un número real, definimos la función exponencial
como f : R→ R++ tal que
f (x) = ex .
Puesto que las funciones exponenciales son biyectivas, su función inversa
es una función logaritmo en base e, que se llama logaritmo natural:
ln : R++ → R : ln(x) = loge(x).
Nota: si la función es f (x) = ax entonces tomando logaritmo en base “a” se
tiene que
y = ax ⇒ loga(y) = loga(a
x) = x ⇒ f −1(y) = loga(y).
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	Objetivos de la clase
	Propiedad teórica importante: cultura general
	El número e