Clase_17_Derivadas_2___2_

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Matemáticas I
Clase 17: Derivadas (2)
Mayo de 2022
Agenda
Objetivos de la clase
Derivada de funciones importantes
Reglas de derivación
Objetivos de la clase
I Conocer las derivadas de las funciones potencia y exponencial.
I Conocer las reglas de derivación: regla de la suma, del producto y
del cociente.
Derivada de función potencia: f (x) = xa
Ejemplo
Considere la función constante: f : R ! R tal que f (x) = 1. Dado x̄ , se tiene:
f 0(x̄) = ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
.
Ya que f (x̄ + h) = 1 y f (x̄) = 1, para h 6= 0 tenemos que
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
=
1� 1
h
= 0 ) f 0(x̄) = 0.
Ejemplo
Dada f : R ! R tal que f (x) = x2, para x̄ se tiene que
f 0(x̄) = ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
.
Ya que f (x̄ + h) = (x̄ + h)2 = x̄2 + 2x̄h + h2 y f (x̄) = x̄2, para h 6= 0 tenemos:
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
=
2x̄ h + h2
h
= 2x̄ + h ) f 0(x̄) = 2 x̄ .
Ejemplo
Dada f : R+ ! R tal que f (x) =
p
x , para x̄ > 0 se tiene que
f 0(x̄) = ĺım
h!0
p
x̄ + h �
p
x̄
h
.
Pero:
p
x̄ + h �
p
x̄ =
p
x̄ + h �
p
x̄ ·
p
x̄ + h +
p
x̄p
x̄ + h +
p
x̄
(1)
=
x̄ + h � x̄p
x̄ + h +
p
x̄
(2)
Luego,
f 0(x̄) = ĺım
h!0
h
h · (
p
x̄ + h +
p
x̄)
=
1
2
p
x̄
.
Ejemplo
Dada f : R \ {0} ! R tal que f (x) = 1x , para x̄ 6= 0 se tiene que
f 0(x̄) = ĺım
h!0
1
x̄+h �
1
x̄
h
.
Pero:
1
x̄ + h
� 1
x̄
=
x̄ � (x̄ + h)
(x̄ + h) x̄
(3)
=
�h
(x̄ + h) x̄
(4)
Luego,
f 0(x̄) = ĺım
h!0
�h
(x̄+h)·x̄
h
= ĺım
h!0
�1
(x̄ + h) · x̄ = �
1
(x̄)2
.
Consecuencia: resultado general
Definida en el dominio que corresponda, se tiene que
Si f (x) = xa entonces
f 0(4) = a ·4a�1.
I f (x) = 1p
x
= x�1/2 entonces f 0(x̄) = � 12 · x̄
�1/2�1
= � 1
x̄3/2
.
I f (x) = x3/2 entonces f 0(x̄) = 3/2 · x̄3/2�1 = 32 ·
p
x̄ .
I f (x) = 1x2 = x�2 entonces f 0(x̄) = �2 · x̄�2�1 = � 2x̄3 .
Figura: Derivada de f (x) = xa
Derivada de función exponencial
Dada f : R ! R tal que f (x) = ex , se tiene que
f 0(x̄) = ĺım
h!0
f (x̄ + h)� f (x̄)
h
= ĺım
h!0
e x̄+h � e x̄
h
= e x̄ · ĺım
h!0
eh � e0
h
.
Luego,
f 0(x̄) = e x̄ · ĺım
h!0
eh � 1
h
Problema: ¿cuánto vale ĺım
h!0
eh�1
h ? Con las herramientas que tenemos,
evaluar ese ĺımite es complicado. Sin embargo, más adelante veremos que
es igual a 1. Por lo tanto,
Si f (x) = ex entonces
f 0(4) = e4.
Figura: Derivada de f (x) = ex
A partir de derivadas conocidas (exponencial y potencia), podemos
obtener derivadas de funciones que son suma, producto y/o cociente de
esas. En lo que sigue, nos damos dos funciones f : R ! R y g : R ! R
(pueden ser otros dominios; lo importante es que sean el mismo para
ambas funciones).
Regla de la suma y la ponderación
I Dada una constante �, definamos h : R ! R tal que
h(x) = f (x) + � · g(x). Es decir, h es la suma de f con � veces g .
I Se tiene entonces que
h0(x) = f 0(x) + � · g 0(x).
Por ejemplo, si f (x) =
p
x y g(x) = ex , dada h(x) = 4 ·
p
x � 6 · ex se
tiene que
h0(x) =
4
2 ·
p
x
� 6 · ex = 2p
x
� 6 · ex .
Regla del producto
I Definamos h : R ! R tal que h(x) = f (x) · g(x). Es decir, h es el
producto de f con g .
I Se tiene entonces que
h0(x) = f 0(x) · g(x) + f (x) · g 0(x).
Por ejemplo, si f (x) =
p
x y g(x) = ex , dada h(x) =
p
x · ex se tiene que
h0(x) =
1
2 ·
p
x
· ex +
p
x · ex .
Regla del cociente
I Definamos h : R ! R tal que
h(x) =
f (x)
g(x)
.
Es decir, h es el cociente de f con g . Note que el dominio h son los
“x” de modo que g(x) 6= 0.
I Se tiene entonces que
h0(x) =
g(x) · f 0(x)� f (x) · g 0(x)
(g(x))2
Por ejemplo, si f (x) =
p
x y g(x) = ex , dada h(x) =
p
x
ex se tiene que
h0(x) =
ex · 1
2
p
x
�
p
x · ex
(ex)2
=
1
2 � xp
x · ex
.
Consecuencia: combinar las reglas...
Se pueden combinar las reglas anteriores para obtener derivadas de
funciones más complicadas. Por ejemplo, si:
h(x) =
ex ·
p
x
1 + x2 � ex ,
entonces
h(x) =
f (x)
g(x)
con f (x) = ex ·
p
x y g(x) = 1 + x2 � ex .
Luego:
h0(x) =
g(x) · f 0(x)� f (x) · g 0(x)
[g(x)]2
=
(1 + x2 � ex) · (ex · 1
2
p
x
+
p
x · ex)� (ex ·
p
x) · (2x � ex)
(1 + x2 � ex)2 .