Clase_14_M3

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Matemáticas III
Clase 14
Profesor:Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Segundas derivadas parciales de funciones de varias variables a valores
reales
Matriz de Hesse de una función de varias variables a valores reales
Objetivos de la clase
1. Conocer las derivadas parciales de segundo orden de una función de
varias variables a valores reales.
2. Conocer la matriz de Hesse de una función de varias variables a
valores reales.
Ejemplo de motivación
Considere la función f : R2++ → R tal que
f (x , y) = xy .
• Sabemos que
∂f (x , y)
∂x
= yxy−1,
∂f (x , y)
∂y
= ln(x)xy .
• Volviendo a derivar las expresiones roja y azul con respecto a “x” e “y”
se obtiene lo siguiente:
(1) :
∂ ROJO
∂x
= y · (y − 1)xy−2, (2) : ∂ ROJO
∂y
= xy−1 + y · ln(x) xy−1,
(3) :
∂ AZUL
∂x
=
1
x
· xy︸ ︷︷ ︸
xy−1
+ ln(x) · yxy−1, (4) : ∂ AZUL
∂y
= (ln(x))2 xy .
En resumen: como ROJO = ∂f(x,y)∂x , los resultados en (1) y en (2) se
escriben como
(1) :
∂
(
∂f (x,y)
∂x
)
∂x
= y ·(y−1)xy−2, (2) :
∂
(
∂f (x,y)
∂x
)
∂y
= xy−1+y ·
(
ln(x) xy−1
)
,
mientras que AZUL = ∂f(x,y)∂y , ocurre que (3) y (4) se escriben como
(3) :
∂
(
∂f (x,y)
∂y
)
∂x
= xy−1+ln(x)·yxy−1, (4) :
∂
(
∂f (x,y)
∂y
)
∂y
= (ln(x))2 xy .
• Las expresiones
(1) :
∂
(
∂f (x,y)
∂x
)
∂x
, (2) :
∂
(
∂f (x,y)
∂x
)
∂y
, (3) :
∂
(
∂f (x,y)
∂y
)
∂x
, (4) :
∂
(
∂f (x,y)
∂y
)
∂y
,
se llaman segundas derivadas parciales de la función f (x , y).
Notación de segundas derivadas parciales
En vez de escribir
(1) :
∂
(
∂f (x,y)
∂x
)
∂x
, (2) :
∂
(
∂f (x,y)
∂x
)
∂y
, (3) :
∂
(
∂f (x,y)
∂y
)
∂x
, (4) :
∂
(
∂f (x,y)
∂y
)
∂y
,
uno escribe
(1) :
∂2f (x , y)
∂x∂x
=
∂
(
∂f (x,y)
∂x
)
∂x
,
(2) :
∂2f (x , y)
∂y∂x
=
∂
(
∂f (x,y)
∂x
)
∂y
,
(3) :
∂2f (x , y)
∂x∂y
=
∂
(
∂f (x,y)
∂y
)
∂x
,
(4) :
∂2f (x , y)
∂y∂y
=
∂
(
∂f (x,y)
∂y
)
∂y
.
Dada f : Rk → R, la derivada parcial de segundo orden respec-
to de las variables xi y xj (es decir, variables “i” y “j”), en esa
secuencia, es dada por
∂2f (x1, x2, . . . , xk)
∂xi∂xj
=
∂
(
∂f (x1,x2,...,xk )
∂xj
)
∂xi
.
• NOTA 1. Si queremos encontrar ∂
2f (x1,x2,...,xk )
∂xi∂xj
, primero se deriva con
respecto a la variable de la derecha en el “denominador”, la variable xj , y
luego, ese resultado, se deriva con respecto a la variable que está a la
izquierda en el “denominador”, la variable xi .
• NOTA 2. En otros textos se usa la siguiente notación (segunda
derivada parcial respecto de la misma variable):
∂2f (x)
∂x2i
=
∂2f (x)
∂xi∂xi
.
Preferimos mantener la notación a la derecha, pues evita confusiones.
Ejemplo 1
Por lo visto previamente: si f (x , y) = xy se tiene que
∂f (x , y)
∂x
= yxy−1,
∂f (x , y)
∂y
= ln(x)xy ,
por lo que
(1) :
∂2f (x , y)
∂x∂x
= y ·(y−1)xy−2, (2) : ∂
2f (x , y)
∂y∂x
= xy−1+y ·
(
ln(x) xy−1
)
,
(3) :
∂2f (x , y)
∂y∂x
= xy−1 + ln(x) · yxy−1, (4) : ∂
2f (x , y)
∂y∂y
= (ln(x))2 xy .
Ejemplo 2
Dada g(x1, x2) = x
2
1 + x1x2 − x1ex2 , se tiene que
∂g(x1, x2)
∂x1
= 2x1 + x2 − ex2 ,
∂g(x1, x2)
∂x2
= x1 − x1ex2 ,
por lo que
∂2g(x1, x2)
∂x1∂x1
= 2,
∂2g(x1, x2)
∂x2∂x1
= 1− ex2 ,
mientras que
∂2g(x1, x2)
∂x1∂x2
= 1− ex2 , ∂
2g(x1, x2)
∂x2∂x2
= −x1ex2 .
• NOTA 1. Se insiste que para obtener
∂2g(x1, x2)
∂x2∂x1
,
primero se obtiene la derivada de g(x1, x2) respecto de la variable más a
la derecha en el “denominador” (variable “x1”) y, segundo, ese resultado
se deriva con respecto a la variable de la izquierda (variable “x2”):
∂g(x1, x2)
∂x1
= 2x1 + x2 − ex2
∂
∂x2=⇒ ∂
2g(x1, x2)
∂x2∂x1
= 1− ex2 .
• NOTA 2. Para una función f : Rk → R hay “k” derivadas parciales de
primer orden y “k2” derivadas parciales de segundo orden.
Derivadas cruzadas son iguales
En los ejemplos anteriores destaca un hecho notable:
• Del Ejemplo 1:
∂2f (x , y)
∂y∂x
= xy−1 +y · ln(x) xy−1 ∧ ∂
2f (x , y)
∂x∂y
= xy−1 + ln(x) ·yxy−1.
• Del Ejemplo 2:
∂2g(x1, x2)
∂x2∂x1
= 1− ex2 ∧ ∂
2g(x1, x2)
∂x1∂x2
= 1− ex2 .
Teorema de Clairaut - Schwarz
Si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas en su
dominio, entonces coinciden:
∂2f (x1, x2, . . . , xk)
∂xi∂xj
=
∂2f (x1, x2, . . . , xk)
∂xj∂xi
.
Ejemplo 3
Si F (K , L) = KαLβ , con α, β ∈ R parámetros, se tiene que
∂F (K , L)
∂K
= αKα−1Lβ ,
∂F (K , L)
∂L
= β KαLβ−1,
por lo que
∂2F (K , L)
∂K∂K
= α (α− 1)Kα−2Lβ , ∂
2F (K , L)
∂L∂K
= αβ Kα−1Lβ−1,
mientras que
∂2F (K , L)
∂K∂L
= αβ Kα−1Lβ−1,
∂2F (K , L)
∂L∂L
= β (β − 1)KαLβ−2.
• Como era de esperar:
∂2F (K , L)
∂L∂K
=
∂2F (K , L)
∂K∂L
= αβ Kα−1Lβ−1.
Ejemplo 4
Supongamos que f : R2 → R tal que
f (x1, x2) =
√
x21 + x
2
2 .
• Se tiene que
∂f (x1, x2)
∂x1
=
2x1
2
√
x21 + x
2
2
=
x1√
x21 + x
2
2
,
∂f (x1, x2)
∂x2
=
x2√
x21 + x
2
2
.
• Por lo tanto (regla del cociente):
∂2f (x1, x2)
∂x1∂x1
=
√
x21 + x
2
2 · 1− x1 ·
x1√
x21+x
2
2
(
√
x21 + x
2
2 )
2
=
x21 + x
2
2 − x21√
x21 + x
2
2 · (x21 + x22 )
=
x22
(x21 + x
2
2 )
3/2
.
• De manera análoga:
∂2f (x1, x2)
∂x2∂x2
=
x21
(x21 + x
2
2 )
3/2
.
• Por último (regla del cociente, derivando con respecto a x2)
∂f (x1, x2)
∂x1
=
x1√
x21 + x
2
2
∂
∂x2=⇒ ∂
2f (x1, x2)
∂x2∂x1
=
√
x21 + x
2
2 · 0− x1 ·
x2√
x21+x
2
2
(
√
x21 + x
2
2 )
2
,
es decir,
∂2f (x1, x2)
∂x2∂x1
=
−x1 · x2
(x21 + x
2
2 )
3/2
.
Matriz de Hesse
• Al desplegar, de manera ordenada, las segundas derivadas parciales en
una matriz se obtiene la matriz de Hesse de una función.
Para f : Rk → R, la matriz de Hesse de f evaluada en el vector
x = (x1, x2, . . . , xk)t ∈ Rk se define como
Hf (x) =

∂2f (x)
∂x1∂x1
∂2f (x)
∂x1∂x2
· · · ∂
2f (x)
∂x1∂xk
∂2f (x)
∂x2∂x1
∂2f (x)
∂x2∂x2
· · · ∂
2f (x)
∂x2∂xk
...
... · · ·
...
∂2f (x)
∂xk∂x1
∂2f (x)
∂xk∂x2
· · · ∂
2f (x)
∂xk∂xk

∈ Rk×k .
• Note ahora lo siguiente:
El hecho que, en general y para nuestros propósitos, las derivadas
cruzadas coinciden, implica que la matriz de Hesse es simétrica.
Ejemplo 5
Para f (x , y) = 2x2 − xy + ln(x + 2y), se tiene que
∂f (x , y)
∂x
= 4x − y + 1
x + 2y
,
∂f (x , y)
∂y
= −x + 2
x + 2y
,
por lo que
∂2f (x , y)
∂x∂x
= 4− 1
(x + 2y)2
,
∂2f (x , y)
∂y∂x
= −1− 2
(x + 2y)2
,
∂2f (x , y)
∂y∂y
=
−4
(x + 2y)2
,
es decir (ordenar los términos):
∂2f (x , y)
∂x∂x
=
4(x + 2y)2 − 1
(x + 2y)2
,
∂2f (x , y)
∂y∂x
=
−(x + 2y)2 − 2
(x + 2y)2
,
∂2f (x , y)
∂y∂y
=
−4
(x + 2y)2
.
• Con todo lo anterior, se tiene que
Hf (x , y) =

∂2f (x,y)
∂x∂x
∂2f (x,y)
∂x∂y
∂2f (x,y)
∂y∂x
∂2f (x,y)
∂y∂y
 =

4(x+2y)2−1
(x+2y)2
−(x+2y)2−2
(x+2y)2
−(x+2y)2−2
(x+2y)2
−4
(x+2y)2
 ∈ R2×2,
es decir,
Hf (x , y) =
1
(x + 2y)2
4(x + 2y)2 − 1 −(x + 2y)2 − 2
−(x + 2y)2 − 2 −4
 ∈ R2×2.
• En lo anterior, a modo de ejemplo, evaluando en x = 1 e y = 0 se
tiene que
Hf (1, 0) =
 3 −3
−3 −4
 ∈ R2×2.
Ejemplo 6
Encontrar Hg (K ,K ) cuando g(K , L) = K
2 + KL2. Para el caso:
∂g(K , L)
∂K
= 2K + L2,
∂g(K , L)
∂L
= 2KL,
por lo que
∂2g(K , L)
∂K∂K
= 2,
∂2g(K , L)
∂L∂K
= 2L,
∂2g(K , L)
∂L∂L
= 2K .
• Con lo anterior:
Hg (K , L) =
 2 2L
2L 2K
 ∈ R2×2.
• Luego, evaluando en K = K y L = K se tiene que
Hg (K ,K ) =
 2 2K
2K 2K
 ∈ R2×2.
Ejemplo 7
Supongamos que (forma cuadrática):
f (x , y) = ax2 + bxy + cy .
• NOTA. Si la forma cuadrática es ax2 + bxy + cy2, los elementos de la
diagonal de la matriz son “a” y “c”, y el elemento fuera de la diagonal
es “ b2”:
A =
[
a b/2
b/2 c
]
.
• Se tiene entonces que
∂f (x , y)
∂x
= 2ax + by ,
∂f (x , y)
∂y
= 2cy + bx ,
por lo que
∂2f (x , y)
∂x∂x
= 2a,
∂2f (x , y)
∂x∂y
= b,
∂2f (x , y)
∂y∂y
= 2c .
• De esta manera,
Hf (x1, x2) =
[
2a b
b 2c
]
= 2
[
a b/2
b/2 c
]
= 2A ∈ R2×2.
• Por ejemplo: si f (x , y) = 3x2 + 8xy + y2, entonces f (x , y) es una
forma cuadrática asociada a la matriz
A =
[
3 4
4 1
]
.
• Por lo anterior, es directo que
Hf (x , y) = 2
[
3 4
4 1
]
︸ ︷︷ ︸
A
.
• Notamos que, en este caso, la matriz de Hesse no depende de la
variables, es decir, es una matriz constante.
NOTA.Lo anterior es “análogo” al hecho que (funciones reales) si
f (x) = ax2, entonces f ′′(x) = 2a.
Ejemplo 8
Suponga que f (x , y) = a11x
2 + a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c , es decir,
f (x , y) es una forma cuadrática más un término lineal, b1x + b2y + c .
• La matriz de la forma cuadrática es A =
[
a11 a12/2
a12/2 a22
]
.
• Se tiene entonces que
∂f (x , y)
∂x
= 2a11x + a12y + b1,
∂f (x , y)
∂y
= 2a22y + a12x + b2.
• Ya que las segundas derivadas parciales del “término lineal” son cero,
es directo que
Hf (x , y) =
[
2a11 a12
a12 2a22
]
= 2
[
a11 a12/2
a12/2 a22
]
= 2A.
NOTA. Este resultado en análogo al caso real cuando
f (x) = ax2 + bx + c , de modo que f ′(x) = 2ax + b, por lo que
f ′′(x) = 2a.
Ejemplo 9
Dados α, β ∈ R y dada
F (K , L) = Kα + Lβ
se tiene que
∂F (K , L)
∂K
= αKα−1,
∂F (K , L)
∂L
= βLβ−1 ⇒
∂2F (K , L)
∂K∂K
= α (α− 1)Kα−2, ∂
2F (K , L)
∂L∂L
= β (β − 1) Lβ−2,
∂2F (K , L)
∂K∂L
=
∂2F (K , L)
∂L∂K
= 0,
por lo que la matriz de Hesse de F (K , L) es una matriz diagonal:
HF (K , L) =
[
α (α− 1)Kα−2 0
0 β (β − 1) Lβ−2
]
∈ R2×2.
Ejemplo 10
Del Ejemplo 4 sabemos que si f (x1, x2) =
√
x21 + x
2
2 , entonces
∂2f (x1, x2)
∂x1∂x1
=
x22
(x21 + x
2
2 )
3/2
,
∂2f (x1, x2)
∂x2∂x2
=
x21
(x21 + x
2
2 )
3/2
,
y que
∂2f (x1, x2)
∂x2∂x1
=
∂2f (x1, x2)
∂x1∂x2
=
−x1x2
(x21 + x
2
2 )
3/2
.
Por lo tanto:
Hf (x1, x2) =
1
(x21 + x
2
2 )
3/2
[
x22 −x1x2
−x1x2 x21 .
]
.
• Aśı, en particular,
Hf (2, 1) =
1
(22 + 1)3/2
[
1 −2
−2 4.
]
=
1√
125
[
1 −2
−2 4.
]
.
• Note que, en general, la matriz de Hesse depende de las variables.
Obviamente que evaluando en un vector dado (numérico) se obtiene una
“matriz numérica”.
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	Segundas derivadas parciales de funciones de varias variables a valores reales
	Matriz de Hesse de una función de varias variables a valores reales