Clase_19_Derivadas_4_

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Matemáticas I
Clase 19: Derivadas (4)
Abril de 2021
Apunte de Curso: Págs. 141 a 147
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Agenda
Objetivos de la clase
Derivadas de orden superior
Polinomio de Taylor
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
� Conocer las derivadas de orden cualquiera de una función
� Conocer el polinomio de Taylor asociado a una función.
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Derivadas de orden superior
Intuición
En lo que sigue, no hacemos referencia al dominio, de modo que la
función es caracterizada por su expresión.
� Si la función es f (x) = x3 − 6x2 + 1, tenemos que
f ′(x) = 3 · x2 − 12 · x .
� Vista la derivada anterior como una nueva función, su derivada es:
[f ′(x)]′ = 6 · x − 12.
� En vez de escribir [f ′(x)]′ se escribe f ′′(x), que se llama segunda
derivada de f (x) evaluada en x :
f (x) = x2 − 6 · x2 + 1 ⇒ f ′′(x) = 6 · x − 12.
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Derivada de orden superior: general
� La primera derivada de función f (x) es f ′(x).
� La segunda derivada de la función f (x) es la “derivada de primera
derivada”, f ′′(x) = [f ′(x)]′.
� La tercera derivada de la función f (x) es la “derivada de segunda
derivada”,
f (3)(x) = [f ′′(x)]′.
� Se continua aśı, para definir la derivada k ∈ N de la función f (x)
como la derivada de la derivada k − 1. La k derivada se denota
como:
f (k)(x).
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Ejemplo
Para una función polinómica de grado k :
f (x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + · · · ak−1xk−1 + ak · xk
se tiene que
f ′(x) = a1 + a2 · 2 · x + a3 · 3 · x2 + · · · + ak−1 · (k − 1) · xk−2 + ak · k · xk−1.
f ′′(x) = a2 ·2+a3 ·2 ·3 ·x + · · ·+ak−1 ·(k−1) ·(k−2)xk−3 +ak ·k ·(k−1) ·xk−2.
Se puede continuar con el proceso de derivación para obtener que la
derivada k de la función polinómica (de grado k) es
f (k)(x) = ak · k · (k − 1) · (k − 2) · · · 3 · 2 · 1.
La cantidad 1 · 2 · 3 · · · k se llama “factorial de k” y se representa como
k!. A este respecto, se acepta la convención de que 0! = 1.
� Usando lo anterior, tenemos que f (k)(x) = ak · k!.
� Por otro lado, note que para s > k se tiene: f (s)(x) = 0.
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Ejemplo
Para la función g(x) = ln(x) se tiene que
g ′(x) =
1
x
= x−1, g ′′(x) = −1·x−2, g (3)(x) = (−1)·(−2)x−3 = 2!·x−3
g (4) = −3! · x−4, g (5)(x) = 4! · x−5
En general:
g (n)(x) =
{
−(n − 1)! · x−n cuando n es par
(n − 1)! · x−n cuando n es impar
.
En lo anterior, se entiende que
g ′ = g (1) y que g ′′(x) = g (2).
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Ejemplo
Para la función f (x) = ex se tiene que para todo n ∈ N
f (n)(x) = f (x) = ex .
Todas de las derivadas de la función exponencial son iguales a la la
propia función.
Considere ahora f (x) = 2x . Por regla de la cadena sabemos que
f ′(x) = ln(2) · 2x . Por lo tanto, es directo ver que para todo n ∈ N se
cumple que (justifique Ud. en forma detallada):
f (n)(x) = (ln(2))n · 2x .
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Polinomio de Taylor
Introducción
Dada f : R→ R (pueden ser otros dominios), sabemos que la ecuación
de la recta tangente al gráfico de f por el punto x0, f (x0)) es dada por
P1(x) = f (x0) + f
′(x0) · (x − x0).
La función P1(x) es una recta (cuyo gráfico es la tangente en comento).
Note ahora que:
� Es directo ver que la función P1(x) evaluada en x0 es igual f (x0)
(P1(x0) = f (x0) + f
′(x0) · (x0 − x0) = f (x0)). Por lo tanto, se
cumple que
P1(x0) = f (x0).
� La derivada de P1(x) es f
′(x0) (constante ya que se trata de una
recta). Por lo tanto, si esa derivada la evaluamos en x0 el resultado
sigue siendo f ′(x0). En consecuencia, se cumple que
P ′1(x0) = f
′(x0)
.
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Continuación
Como consecuencia de lo todo lo anterior, la recta tangente, que hemos
llamado P1(x), cumple con que:
P1(x0) = f (x0) y P
′
1(x0) = f
′(x0).
Consideremos ahora una parábola
P2(x) = a · x2 + b · x + c
tal que se cumplen las siguientes condiciones:
� P2(x0) = f (x0) ⇒ a · x20 + b · x0 + c = f (x0)
� P ′2(x0) = f
′(x0) ⇒ 2 · a · x0 + b = f ′(x0).
� P ′′2 (x0) = f
′′(x0) ⇒ 2 · a = f ′′(x0).
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Continuación...
Resolviendo el sistema anterior se obtienen los valores de a, b y c , que
luego de reemplazar en la expresión de P2(x), y haciendo algo de álgebra,
da como resultado que
P2(x) = f (x0) + f
′(x0) · (x − x0) +
f ′′(x0)
2
· (x − x0)2.
En general, podemos preguntarnos por el siguiente polinomio de grado k
Pk(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ akxk
que cumple las siguientes condiciones:
� Pk(x0) = f (x0),
� P ′k(x0) = f
′(x0),
� P ′′k (x0) = f
′′(x0),
�
...
� P
(k)
k (x0) = f
(k)(x0).
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Conclusión
Resolviendo el “sistema lineal anterior” se obtienen los coeficientes
a0, a1, · · · , ak , que luego de reemplazarlos en la expresión de Pk(x) y
ordenar los términos, da como resultado que
Pk(x) = f (x0)+f
′(x0)·(x−x0)+
f ′′(x0)
2
·(x−x0)2+· · ·+
f (k)(x0)
k!
·(x−x0)k .
El polinomio Pk(x) se llama “polinomio de Taylor de orden k en torno a
x0 de la función f (x).
� Pk(x) es una aproximación polinómica de la función f (x) en torno a x0
(es decir, en las cercańıas de x0).
� Mientras mayor el grado del polinomio, mejor es la aproximación.
� Para ser más precisos, uno debeŕıa escribir algo aśı como Pk,x0 (x) para
denotar el polinomio en cuestión, eso porque depende del grado y del
punto donde se hace la aproximación. Si uno tiene claro cuál es x0, se
omite de la notación (para no enredar).
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Ejemplo importante: función exponencial
Para la función f (x) = ex , para todo k ∈ N se tiene que
f (k)(x) = ex .
Dado x0 = 0, se tiene que (x − x0)k = xk , y f (k)(x0 = 0) = e0 = 1. Por
lo tanto, cuando x0 = 0 se tiene que
Pk(x) = 1 +
x
1
+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ x
k
k!
.
Sobre la base de lo anterior, dado k ∈ N, se tiene que
ex ≈ 1 + x
1
+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ x
k
k!
.
� La aproximación anterior es tanto mejor mientras mayor es k.
� En particular, cuando x = 1 tenemos que una aproximación de e es
como sigue:
e ≈ 1 + 1
1
+
1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
k!
.
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Fórmula del “error de aproximación”
� Pk(x) es solo una aproximación de la función f (x).
� Evaluados en x , se comete entonces un error dado por
|Pk(x)− f (x)|.
� Obviamente ese error es desconocido (si fuese conocido, entonces
tenemos en valor exacto de la función expresado a través de un
polinomio).
Hay diversas expresiones para aproximar el error en cuestión. Una de
ellas, que sirve para “acotar” el error, establece lo siguiente: dado x0 el
punto en torno al cual se determina Pk(x), entonces existe una constante
ξ entre x0 y x tal que
|Pk(x)− f (x)| =
f (k+1)(ξ)
(k + 1)!
· (x − x0)k+1.
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