Clase_20_Derivadas_5_

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Matemáticas I
Clase 20: Derivadas (5)
Abril de 2021
Apunte de Curso: Págs. 149 a 160
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Agenda
Objetivos de la clase
Teorema de valor medio: TVM
Aplicación de TVM: regla de L’Hopital
Crecimiento y derivadas
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
� Conocer el Teorema del Valor Medio y la regla de L’Hopital para el
cálculo de ĺımites especiales.
� Conocer la caracterización del crecimiento de una función según el
signo de la primera derivada.
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Teorema de valor medio: TVM
Valor medio de una función en un intervalo
� Dada f : R→ R (puede ser otro dominio) y dados x0, x1 ∈ R tal
que x0 < x1, el valor medio de la función en el intervalo [x0, x1] es
Valor Medio =
f (x1)− f (x0)
x1 − x0
.
� El valor medio es la pendiente del trazo rojo de la Figura 1.
Figura 1: Valor medio de la función f en [x0, x1]
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Teorema del Valor Medio (TVM)
� TVM sostiene que existe un punto en el intervalo ]x0, x1[ tal que la
derivada de la función en ese punto es igual al valor medio de la
función.
� Es decir:
∃x̄ ∈]x0, x1[ :
f (x1)− f (x0)
x1 − x0
= f ′(x̄).
La siguiente muestra que hay dos puntos que satisfacen la propiedad.
Figura 2: Teorema del Valor Medio
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Aplicación de TVM: regla de
L’Hopital
L’Hopital
Supongamos que:
ĺım
x→x0
f (x) = 0 y que ĺım
x→x0
f (x) = 0.
El problema es calcular
ĺım
x→x0
f (x)
g(x)
.
� Notando que f y g son continuas en x0 (son derivables), tenemos
que f (x0) = g(x0) = 0, es directo que f (x) = f (x)− f (x0) y que
g(x) = g(x)− g(x0).
� Por otro lado, por TVM notamos también que
f (x)− f (x0)
x − x0
= f ′(x̄1) y que
g(x)− g(x0)
x − x0
= g ′(x̄2)
para algún x̄1 y x̄2 entre “x” y “x0”.
Note que cuando x → x0 ocurre que x̄1 → x0 y que x̄2 → x0.
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L’Hopital: continuación
� De todo lo anterior, se tiene que
f (x)
g(x)
=
f (x)−f (x0)
x−x0
g(x)−g(x0)
x−x0
=
f ′(x̄1)
g ′(x̄2)
.
Por lo tanto, ya cuando x → x0 ocurre que x̄1 → x0 y que x̄2 → x0,
tenemos que
ĺım
x→x0
f (x)
g(x)
= ĺım
x→x0
f ′(x)
g ′(x)
.
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Ejemplo
Ejemplo
Volvamos a un ĺımite “antiguo”:
ĺım
x→0
ex − 1
x
,
el cual es de la forma 00 de modo que cumple las condiciones para aplicar
L’Hopital. Se tiene entonces que
ĺım
x→0
ex − 1
x
= ĺım
x→0
ex
1
= 1.
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Ĺımites de la forma ∞∞
La regla de L’Hopital se puede aplicar a ĺımites de la forma
ĺım
x→x0
f (x)
g(x)
cuando
ĺım
x→x0
f (x) = ±∞ y ĺım
x→x0
g(x) = ±∞.
� En particular, se puede aplicar para calcular ĺım
x→∞
f (x)
g(x) cuando
ĺım
x→∞
f (x) = ±∞ y ĺım
x→∞
g(x) = ±∞.
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Ejemplo importante
Considere que f es un polinomio de grado cualquiera, digamos,
f (x) = a0 + a1x + · · ·+ akxk
, y supongamos que g(x) = bx , con b > 1 (exponencial). En ese caso,
para ambas se tiene que:
ĺım
x→∞
f (x) = ±∞ y ĺım
x→∞
g(x) = +∞.
Luego,
ĺım
x→∞
f (x)
g(x)
= ĺım
x→∞
a1 + 2 · a2x + · · ·+ k · ak xk−1
ln(b) · bx
.
� El ĺımite anterior sigue siendo de la forma ∞∞ , por lo que volvemos a
aplicar L’Hopital para obtener
ĺım
x→∞
f (x)
g(x)
= ĺım
x→∞
2 · a2 + · · ·+ k · (k − 1) · ak xk−2
(ln(b))2 · bx
.
� El anterior es nuevamente un ĺımite es de la forma ∞∞ .
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Continuación
� Aplicando L’Hopital k veces obtenemos que:
ĺım
x→∞
f (x)
g(x)
= ĺım
x→∞
k! · ak
(ln(b))k · bx
= 0.
En śıntesis:
Cuando f (x) es un polinomio cualquiera y g(x) = bx con b > 1
(en particular, g(x) = ex), se tiene que
ĺım
x→∞
f (x)
g(x)
= 0.
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Crecimiento y derivadas
Motivación
Los siguientes gráficos corresponden a funciones que son estrictamente
crecientes.
Figura 3: Gráfico de funciones crecientes
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Observación crucial
En todos los gráficos de la Figura 3 se observa que la derivada es
positiva.
Figura 4: Gráfico de funciones crecientes: derivada es positiva
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Resultado fundamental
Lo que sigue se indica para dominio R, pudiendo ser otro dominio.
Una función derivable f : R → R es estrictamente creciente si y
sólo si f ′(x) > 0 en los puntos de su dominio.
Siguiendo con la lógica de lo anterior, se tiene que
Una función derivable f : R→ R es estrictamente decreciente si y
sólo si f ′(x) < 0 en los puntos de su dominio.
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Extensión del resultado
De hecho, más general aún es lo siguiente:
Una función derivable f : R → R es estrictamente creciente en la
región donde su derivada es positiva, y es estrictamente decreciente
en la región donde su derivada es negativa.
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Figura 5: Funciones creciente - decreciente por tramos y
signo de la derivada
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Ejemplo
� Dado b > 0, con b 6= 1, estudiemos el crecimiento de la función
f : R→ R++ tal que f (x) = bx .
� Sobre esa función, ya sabemos que
f ′(x) = ln(b) · bx .
� Notemos ahora que si 0 < b < 1 entonces ln(b) < 0 y que si b > 1
entonces ln(b) > 0. Por lo tanto,
(a) f (x) es estrictamente creciente cuando b > 1.
(b) f (x) es estrictamente decreciente cuando 0 < b < 1.
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Otro ejemplo
Analicemos el crecimiento de f : R→ R tal que f (x) = x
2
ex .
En este caso,
f ′(x) =
ex · 2x − x2 · ex
(ex)2
=
2x − x2
ex
.
� Ya que el denominador de f ′(x) es siempre positivo (ex > 0 para todo x),
el signo de la derivada “lo manda” el numerador. Se tiene entonces que
f ′(x) > 0 ⇒ 2 · x − x2 > 0 ⇒ x · (2− x) > 0.
� La desigualdad anterior se cumple cuando x > 0 y 2− x > 0 (el caso
x < 0 y 2− x < 0 lleva a la misma solución), es decir, cuando
x ∈]0, 2[.
En consecuencia, la función f (x) = x
2
ex
es estrictamente decreciente cuando
x ∈]0, 2[. Caso contrario (es decir, x ∈]−∞, 0[∪]2,+∞[), ocurre que la
función es estrictamente creciente.
� ¿Qué pasa en x = 2 y en x = 0? Para la próxima clase...
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	Objetivos de la clase
	Teorema de valor medio: TVM
	Aplicación de TVM: regla de L'Hopital
	Crecimiento y derivadas