1 CAMPOS PARALELOS

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CAMPOS PARALEOS 
En un espacio ecuclidiano ℝ𝑛 de dimensión 𝑛, un campo de vectores es una regla de 
correspondencia 𝑋que asocia a cada punto 𝑝 de ℝ𝑛 un vector 𝑋(𝑝) de ℝ𝑛 
Los siguientes gráficos corresponden a los campos de ℝ3 dados por 
𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 
y por 
 
Esta definición es necesaria generalizarla para superficies regulares tomando en cuenta que 
estas superficies no tienen que ser ℝ3, pero ¿cómo podemos hacer esto? 
 
La siguiente definición responde a nuestra interrogante 
 
 
 
 
A continuación damos esta definición. 
 
 
 
 
 
Note que si 𝜑: 𝑈 → 𝑆 es una parametrización de 𝑝 entonces dado que {𝜑𝑢, 𝜑𝑣} es una base de 
𝑇𝑝𝑆, esto implica que el campo se expresa localmente en función de esta parametrización una 
vez que 𝑋(𝑝) ∈ 𝑇𝑝𝑆, por lo que 
𝑋 = 𝑎𝜑𝑢 + 𝑏𝜑𝑣 
En este sentido decimos que 𝑋 es diferenciable en 𝑝 si la funciones 𝑎, 𝑏: 𝑈 → ℝ son funciones 
difrenciables en 𝑝, pero 
¿Qué pasa si cambiamos de parametrización? 
Esto es, ¿las nuevas coordenadas de 𝑋 también serían diferenciables? 
La respuesta es afirmativa, pero ¿por qué? 
 
Por lo que decimos que 𝑋 es diferenciable si es diferenciable en todo punto de 𝑆 en cuya situación 
diremos que 𝐗 es un campo diferenciable de vectores 
 
 
 
 
 
 
 
Definición: Sea 𝑆una superficie regular, un campo de vectores 𝑋 definido en un abierto 𝑈 de 
𝑆 es una regla de correspondencia que asocia a cada punto 𝑝 ∈ 𝑈 un vector tangente de 𝑇𝑝𝑆 
esto es, 𝑋(𝑝) ∈ 𝑇𝑝𝑆 
 
La siguiente grafica representa un campo de vectores diferenciables sobre la superficie 
𝑧 = (𝑥2 + 𝑦2). exp (1 − 𝑥2 − 𝑦2) 
 
 
Por otro lado un campo de vectores paralelo 𝑋 de ℝ𝑛 puede entenderse como un campo de 
vectores todos con el mismo sentido, esto es, para cualesquiera para de puntos 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ𝑛, los 
vectores 𝑋(𝑝), 𝑋(𝑞) son paralelos, sin embargo por conveniencia vamos a ponerle una segunda 
condición como la de decir que 𝑋 es un campo paralelo si la regla de correspondencia 𝑋 es 
constante. 
Esta es la propiedad que llevaremos a una superficie regular para definir campos paralelos; sin 
embargo es necesario definir derivada de campos en una superficie regular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definición: Sea 𝑋 un campo diferenciable de vectores definido en un conjunto abierto 𝑈 de 𝑆 y 
𝛼: ]−𝑎, 𝑎[ → 𝑈 una curva diferenciable con 𝛼(0) = 𝑝. Si 𝑋(𝑡)es la restricción del campo 𝑋 a la curva 
𝛼, esto es 𝑋(𝑡) = 𝑋(𝛼(𝑡)), la derivada covariante de 𝑋 en p en relación al vector 𝛼′(0) denotada 
por 
𝐷 𝑋
𝛿 𝑡
(0) 
es la proyección ortogonal de 𝑋′(0) sobre el plano tangente 𝑇𝑝𝑆 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En coordenadas locales, el campo 𝑋 se expresa como 
 
𝑋(𝑢, 𝑣) = 𝑎(𝑢, 𝑣)𝜑𝑢 + 𝑏(𝑢, 𝑣)𝜑𝑣 
 
Y restringiendo a la curva 𝛼, sin pérdida de generalidad podemos escribir 
 
 
 
Usando la regla de la cadena para derivar obtenemos que 
 
𝑋′(𝑡) = 𝑎(𝑢′ 𝜑𝑢𝑢 + 𝑣′ 𝜑𝑢𝑣) + 𝑏(𝑢′ 𝜑𝑣𝑢 + 𝑣′ 𝜑𝑣𝑣) + 𝑎′ 𝜑𝑢 + 𝑏′ 𝜑𝑣 
 
De forma general, la derivada covariante de 𝑋 en p en relación al vector 𝛼′(𝑡) 
denotada por 
𝐷 𝑋
𝛿 𝑡
(𝑡) 
es la proyección ortogonal de 𝑋′(𝑡) sobre el plano tangente 𝑇𝑝𝑆 
 
𝑋(𝑢, 𝑣) = 𝑎(𝑢, 𝑣)𝜑𝑢 + 𝑏(𝑢, 𝑣)𝜑𝑣 
𝑋(𝑡) = 𝑎(𝑡)𝜑𝑢 + 𝑏(𝑡)𝜑𝑣 
 
𝑋′(𝑡) = 𝑎(𝑢′ 𝜑𝑢𝑢 + 𝑣′ 𝜑𝑢𝑣) + 𝑏(𝑢′ 𝜑𝑣𝑢 + 𝑣′ 𝜑𝑣𝑣) + 𝑎′ 𝜑𝑢 + 𝑏′ 𝜑𝑣 
 
Recordando que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y considerando la parte tangente, esto es solo las coordenadas respecto a la base {𝜑𝑢, 𝜑𝑣} se 
obtiene que 
 
 
 
 
 
 
 
Definición: Un campo de vectores 𝑋 a lo largo de una curva parametrizada 𝛼: 𝐼 → 𝑆 es 
llamado de campo paralelo si 
𝐷 𝑋
𝛿 𝑡
(𝑡) = 0 para todo 𝑡 ∈ 𝐼 
 
. 
𝜑𝑢𝑢 = Γ11
1 𝜑𝑢 + Γ11
2 𝜑𝑣 + 𝐿1𝑁 
𝜑𝑢𝑣 = Γ12
1 𝜑𝑢 + Γ12
2 𝜑𝑣 + 𝐿2𝑁 
𝜑𝑣𝑢 = Γ21
1 𝜑𝑢 + Γ21
2 𝜑𝑣 + 𝐿2𝑁 
𝜑𝑣𝑣 = Γ22
1 𝜑𝑢 + Γ22
2 𝜑𝑣 + 𝐿3𝑁 
 
𝑫 𝑿
𝜹 𝒕
(𝟎) = (𝒂′ + 𝒂 𝒖′𝚪𝟏𝟏
𝟏 + 𝒂𝒗′ 𝚪𝟏𝟐
𝟏 + 𝒃𝒖′𝚪𝟏𝟐
𝟏
+ 𝒃𝒗′𝚪𝟐𝟐
𝟏 ) 𝝋𝒖
+ (𝒃′ + 𝒂 𝒖′𝚪𝟏𝟏
𝟐 + 𝒂𝒗′ 𝚪𝟏𝟐
𝟐 + 𝒃𝒖′𝚪𝟏𝟐
𝟐 + 𝒃𝒗′𝚪𝟐𝟐
𝟐 )𝝋𝒖