Material de Lectura - Recta en el plano y en el espacio

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 
FACULTAD REGIONAL VILLA MARIA 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Equipo Docente Página 1 03/06/2020 
 
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
FACULTAD REGIONAL VILLA MARÍA 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
CÁTEDRA: Álgebra y Geometría Analítica AÑO LECTIVO: 2013 
 Ecuación vectorial 
paramétrica. 
 
 
 
ECUACIÓN VECTORIAL Y CARTESIANA DE UNA RECTA EN 
2
 
 
a) Determinada por un punto y su dirección. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OP OP a= 1   Ecuación Vectorial Paramétrica de la Recta 
 
 
Fijando una base en R
2
 y expresando los vectores en coordenadas cartesianas: 
 
OP xi y j
OP x i y j
a a i a j
 
 
 
1 1 1
1 2
 
xi y j x i y j a i a j    ( ) ( )1 1 1 2 
 
xi y j x a i y a j    ( ) ( )1 1 1 2  
 
 
Si dos vectores son iguales sus componentes también lo son, entonces: 
 
x x a
y y a
 
 
1 1
1 2


 Ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta que pasa 
por un punto y tiene una dirección a . 
 
Despejando : 
  
 x x
a
y y
a
1
1
1
2
 y = 
 
  
x x
a
y y
a


1
1
1
2
 Ecuación simétrica de la recta 
 
Consideramos la recta r en el plano, 
de la cual conocemos el punto P1 y su 
dirección dada por el vector a . Un 
punto genérico P puede obtenerse 
como la suma vectorial de 
OP a1 más  , o sea: 
 
 
 
 
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CÁTEDRA: Álgebra y Geometría Analítica AÑO LECTIVO: 2013 
 
 
 
 
 
b) Determinada por dos puntos: 
 
 OP OP P P= 1 1 2  Ecuación 
 Vectorial 
 
 
OP xi y j
OP x i y j
P P x x i y y j
 
 
   
1 1 1
1 2 2 1 2 1( ) ( )
 
 
 xi y j x i y j x x i y y j      ( ) [( ) ( ) )]1 1 2 1 2 1 
 
 
xi y j x x x i y y y j      [ ( )] [ ( )]1 2 1 1 2 1  
 
 
x x x x
y y y y
  
  
RST
1 2 1
1 2 1


( )
( )
 
 
 
 
 




x x
x x
y y
y y
1
2 1
1
2 1
 y =  
x x
x x
y y
y y





1
2 1
1
2 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación vectorial 
paramétrica 
Ecuaciones cartesianas paramétricas 
Ecuación simétrica de la 
recta determinada por 
dos puntos. 
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA EN EL ESPACIO. 
a) Determinada por un punto y su dirección: 
 
 
 
El vector 

a descompuesto en sus bases canónicas es: 
a a i a j a k  1 2 3
   (expresión cartesiana del vector) 
El punto conocido es P1 cuyas coordenadas son (x1 , y1 , z1 ) y consideramos un punto 
genérico P x y z( , , ) . Entonces, vectorialmente decimos que: 
 OP OP P P 1 1 
Ahora vamos a expresar esta ecuación en función de las componentes cartesianas de los 
vectores: 
 OP x i y j z k x i y j z k1 1 1 1 1 1 10 0 0         ( )
 ( )  ( )     
 P P a a i a j a k1 1 2 3     . (  
) 
 
 
 
 
OP x i y j z k      
Reemplazando en la 1º ecuación: 
x i y j z k x y j z k a i a j a k      (   )       1 1 1 1 2 3 
Sumando las componentes homólogas: 
 
x i y j z k x a i y a j z a k ) )    ( ) (  (        1 1 1 2 1 3 
 
 
 
Vamos a hacer algo más: 
 1 1 1 1
Pr
" ".
oyección sobre
Magnitudvectorialel eje x
Magnitud
vectorial
x x a x a    i i i i 
Se quiere encontrar la ecuación de la recta r1 en el 
espacio. 
Para hacerlo necesito dos datos: 1 punto y en vector 
" "

a paralelo a la dirección de la recta. 
Datos: 
 
 
1 1 1 1
1 2 3
, ,
, ,
P x y z
a a a


a
 
 es un escalar que no conozco. 
El vector a es un vector libre que traslado a 
P P1 y que multiplico por  para que coincida 
con el segmento P P1 . 
Componente en 
el eje x Componente en 
el eje x 
Ecuación vectorial 
paramétrica. 
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 1 2 1 2
Pr
" ".
oyección sobre Magnitud vectorial
el eje y
Magnitud
vectorial
y y a y a    j j j j 
 1 3 1 3
Pr
" ".
oyección sobre
Magnitud vectorialel eje z
Magnitud
vectorial
z z a z a    k k k k 
Si dos vectores son iguales sus componentes (módulo de las proyecciones) también lo 
son. Entonces: 
 
 x x a y y a z z a     1 1 1 2 1 3   , , 
 
 
Con cualquier valor de , se va a obtener un punto de coordenada (x, y, z) perteneciente 
a la recta . 
 
Las ecuaciones cartesianas paramétricas están dadas en función de un parámetro, en este 
caso . Si de las ecuaciones despejamos  se obtiene: 
 
 





 
x x
a
y y
a
z z
a
1
1
1
2
1
3
 
 
 a a a N Directores de la recta1 2 3, , º 
 
b) Determinada por dos puntos: 
Ahora, si tenemos como dato dos puntos, P1 y P2 , se hace el mismo análisis vectorial y 
la ecuación de la recta está dada por: 
 
 
 
 
Ahora bien, qué son los números directores? ¿Cómo se obtienen? ¿Es la única manera 
de indicar la dirección de una recta en el espacio? 
A continuación trataremos de dar respuesta a estas preguntas. 
 
 
Ecuaciones cartesianas 
paramétricas de la recta en 
el espacio. 
Ecuación simétrica de la recta. 
 
 
x x
x x
y y
y y
z z
z z








1
2 1
1
2 1
1
2 1
 
 
 A B C 
 Nº Directores de la recta. 
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CÁTEDRA: Álgebra y Geometría Analítica AÑO LECTIVO: 2013 
COSENOS DIRECTORES 
La dirección de una recta cualquiera en el espacio se determina por los ángulos que 
forma con los ejes coordenados. 
Sea l una recta que no pasa por “O” y l’ una recta que pasando por O sea // a l y del 
mismo sentido. 
Entonces los ángulos ,  y  formados por las partes positivas de los ejes x, y y z y la 
recta 'l se llaman ángulos directores de la recta dirigida l . 
 
 
 
Como cos (-) = - cos , si l es de sentido opuesto sus cosenos directores serán: 
 – cos , –cos  y – cos . Por lo tanto cualquier recta en el espacio no dirigida, tiene 
dos sistemas de cosenos directores, iguales en valor absoluto pero de signo contrario. 
 
 
 
Fig. 9 
Vamos a trabajar con la figura 9 para deducir los cosenos directores. 
PV x x
PV y y
PV z z
1 1 2 1
1 2 2 1
1 3 2 1
 
 
 
 
P P d x x y y z z1 2 2 1
2
2 1
2
2 1
2
      b g b g b g 
 
Un ángulo director puede tener cualquier valor entre 0º 
y 180º. 
Si la recta l es de sentido contrario, sus ángulos 
directos son ángulos suplementarios respectivos. 
Para resolver problemas es más conveniente utilizar 
los cosenos de los ángulos directores en lugar de los 
ángulos directores. A estos cosenos se los llama 
cosenos directores de la recta dirigida l . 
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CÁTEDRA: Álgebra y Geometría AnalíticaAÑO LECTIVO: 2013 
cos 



    
x x
d
x x
x x y y z z
2 1 2 1
2 1
2
2 1
2
2 1
2b g b g b g
 ; 2 1 cosx x d    (i) 
 
cos 



    
y y
d
y y
x x y y z z
2 1 2 1
2 1
2
2 1
2
2 1
2b g b g b g
; 2 1 cosy y d    (ii) 
 
cos
( )
 



    
z z
d
z z
x x y y z z
2 1 2 1
2 1
2
2 1
2
2 1
2b g b g b g
; 2 1 cosz z d    (iii) 
 
Observar: que “d” es un número siempre positivo y que el signo de cada coseno se determina por el signo 
del numerador que es la proyección de P P1 2 (segmento dirigido) sobre el correspondiente eje 
coordenado. 
 
Las ecuaciones (i), (ii) y (iii) nos permiten ver que los lados del paralelogramo son 
directamente proporcionales a los cosenos directores. Entonces, en vez de trabajar con 
los cosenos directores trabajamos con 2 1x x , 2 1y y y con 2 1z z que es más sencillo. 
A estos números se les da el nombre de números directores, que de manera general se 
los indica como  , ,a b c . 
Los números directores no son únicos, porque puedo trabajar con 1P , con 2P o con 
cualquier otro que esté sobre l , por lo tanto tenemos infinitas ternas que indican la 
misma dirección, pero todos son proporcionales. 
Por ejemplo, la dirección de la recta l puede estar indicada por  2, 3, 5 o por 
 4, 6, 10 o por  2, 3, 5  , etc. Todos son proporcionales. 
Los números directores pueden ser cero uno o dos a la vez, pero no los tres 
simultáneamente. Es decir l no puede tener por números directores la terna  0, 0, 0 
porque significa (teniendo presente la figura del paralelogramo) que estamos uniendo el 
origen con sí mismo. Es un punto, y por un punto pasan infinitas rectas, entonces es 
indeterminado.