Clase_24_M3 (1)

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Matemáticas III
Clase 24
Profesor: Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
I Recapitular sobre integrales dobles y Teorema de Fubini.
I Extender los resultados conocidos.
I Desarrollar ejemplos.
Recapitulación
Para calcular integrales dobles se aplica el Teorema de Fubini, según el
cual dados a1 < a2 y b1 < b2, se cumple que∫ a2
a1
∫ b2
b1
f (x , y)dydx =
∫ a2
a1
(∫ b2
b1
f (x , y)dy
)
dx
=
∫ b2
b1
(∫ a2
a1
f (x , y)dx
)
dy .
• Como caso particular (pero importante) de lo anterior, si la función
f (x , y) es separable, de modo que f (x , y) = f1(x) · f2(y), se tiene que∫ a2
a1
∫ b2
b1
f (x , y)dydx =
(∫ a2
a1
f1(x)dx
)
·
(∫ b2
b1
f2(y)dy
)
.
Nota
Para calcular ∫ b2
b1
f (x , y)dy
uno debe obtener
∫
f (x , y)dy , donde para integrar se entiende que “x”
es una constante, mientras que calcular∫ a2
a1
f (x , y)dx
uno debe obtener
∫
f (x , y)dx , donde para integrar se entiende que “y”
es una constante. Por ejemplo:∫
xexydy = exy ,
∫
xexydx =
x
y
exy − 1
y2
exy .
En rojo, derivando con respecto a “y” se obtiene el integrando (lo que
está dentro de la integral), y en azul, derivando con respecto a “x” se
obtiene el integrando.
Extensiones
• Los resultados vistos se pueden extender de manera directa para
funciones de más de dos variables. Por ejemplo para una función de tres
variables, f (x1, x2, x3), cuando se escribe∫ a2
a1
∫ b2
b1
∫ c2
c1
f (x1, x2, x3)dx3dx2dx1,
se está informando que
I La variable x3 se mueve entre c1 y c2,
I La variable x2 se mueve entre b1 y b2,
I La variable x1 se mueve entre a1 y a2.
• Por otro lado, para este caso se puede probar una extensión de Fubini
de modo que∫ a2
a1
∫ b2
b1
∫ c2
c1
f (x1, x2, x3)dx3dx2dx1 =
∫ a2
a1
(∫ b2
b1
∫ c2
c1
f (x1, x2, x3)dx3dx2
)
dx1.
• A su vez∫ b2
b1
∫ c2
c1
f (x1, x2, x3)dx3dx2 =
∫ b2
b1
(∫ c2
c1
f (x1, x2, x3)dx3
)
dx2.
• Aśı, una integral triple se va obteniendo de manera escalonada,
calculando tres integrales respecto de cada variable.
• Si la función es separable, f (x1, x2, x3) = f1(x1) · f2(x2) · f3(x3), se
puede mostrar que∫ a2
a1
∫ b2
b1
∫ c2
c1
f (x1, x2, x3)dx3dx2dx1 =
(∫ a2
a1
f1(x1)dx1
)
·
(∫ b2
b1
f2(x2)dx2
)
·
(∫ c2
c1
f3(x3)dx3
)
.
Ejemplo 1
Dados α, β > 0, y dados a, b > 0, obtengamos la siguiente integral
(doble) de la función Cobb-Douglas:∫ a
0
∫ b
0
(
xαyβ
)
dydx .
• Como la función f (x , y) = xαyβ es separable, y teniendo presente que
“x” vaŕıa entre 0 y a y que “y” vaŕıa entre 0 y b, por Fubini se tiene que∫ a
0
∫ b
0
(
xαyβ
)
dydx =
(∫ a
0
xα dx
)
·
(∫ b
0
yβ dy
)
.
• Ya que∫ a
0
xα dx =
1
α + 1
xα+1
∣∣∣a
0
=
aα+1
α + 1
,
∫ b
0
yβ dy =
1
β + 1
yβ+1
∣∣∣b
0
=
bβ+1
β + 1
se obtiene ∫ a
0
∫ b
0
(
xαyβ
)
dydx =
aα+1 bβ+1
(α + 1) (β + 1)
.
Ejemplo 2
Recordando que ∫
xeαxdx =
xeαx
α
− 1
α2
eαx ,
para a > 0, b > 0 se pide obtener el valor de la siguiente integral:∫ a
0
∫ b
0
(x + y) · e−x−ydydx .
• Por Fubini,∫ a
0
∫ b
0
(x + y) · e−x−ydydx =
∫ a
0
(∫ b
0
(x + y) · e−x−ydy
)
dx .
Para obtener la integral roja, notamos que∫ b
0
(x + y) · e−x−ydy =
∫ b
0
x · e−x · e−y dy +
∫ b
0
y · e−x · e−y dy ,
es decir (lo que tiene “x” es constante para la integral)∫ b
0
(x + y) · e−x−ydy = x e−x ·
∫ b
0
e−y dy + e−x ·
∫ b
0
y · e−y dy .
• Usando lo anterior con α = −1, tenemos que∫ b
0
e−y = −e−y
∣∣∣b
0
= 1 − e−b∫ b
0
y · e−y dy =
(
−ye−y − e−y
) ∣∣∣b
0
= 1 − be−b − e−b.
• En consecuencia,∫ b
0
(x + y) · e−x−ydy = xe−x ·
(
1 − e−b
)
+ e−x ·
(
1 − be−b − e−b
)
,
por lo que ∫ a
0
∫ b
0
(x + y) · e−x−ydydx =∫ a
0
(
xe−x ·
(
1 − e−b
)
+ e−x ·
(
1 − be−b − e−b
))
dx .
• Obtener esta última integral es directo usando nuevamente azul para
las integrales con “x”, y teniendo presente que
(
1 − e−b
)
y(
1 − be−b − e−b
)
son constantes.
Ejemplo 3
Obtener ∫ a
0
∫ b
0
∫ c
0
(xyz) dz dy dx .
Se tiene que:
I La variable “x” se “mueve” entre 0 y a.
I La variable “y” se “mueve” entre 0 y b.
I La variable “z” se “mueve” entre 0 y c .
I La función que se integra es separable.
Por lo anterior:∫ a
0
∫ b
0
∫ c
0
xyz dz dy dx =
∫ a
0
x dx ·
∫ b
0
y dy ·
∫ c
0
z dz =
a2
2
· b
2
2
· c
2
2
.
	Objetivos de la clase