matematica para economia

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Matemática para economı́a y finanzas 1
Examen parcial
Profesor: Alberto Castillo
Instrucciones
� Duración: 120 minutos
� Presente su trabajo escrito a mano y con nombre y apellido en cada carilla
� Puede usar material de clase
Parte I
Resuelva cada pregunta justificando adecuadamente sus pasos. Si solo coloca la respuesta sin proced-
imiento, el puntaje será cero.
1. (2 puntos). Sea una economı́a de dos bienes 1 y 2. Un consumidor posee una riqueza de 500 u.m.
y enfrenta precios p1 = 10 y p2 = 5. Se pide
� Graficar el conjunto presupuestario.
� Graficar el conjunto presupuestario ante una duplicación en el precio del bien 2 y un aumento
del 20% en la riqueza.
� Otro consumidor posee una riqueza de 300 u.m., pero el gobierno le subvenciona el bien 1, de
modo que solo paga la mitad por este bien. Encuentre una canasta que tanto el primer consum-
idor (con el precio y riqueza originales) como este otro podŕıan consumir con la condición que
ambos gasten toda su riqueza. También encuentre una canasta que solo el segundo consumidor
podŕıa consumir.
2. (1 puntos). Encuentre la derivada de la siguiente función y halle el o los valores del dominio donde
la derivada se anula.
f(x) = x2 − 2x− 4 lnx.
Observación: tenga cuidado con el dominio de la función (hállelo).
3. (3 puntos). Sea la función
f(x) =
{
−x2 + 2x + 3 x < 2
2
√
2x + 5− 3 x ≥ 2.
Se pide:
� Graficar la función.
� Indicar los intervalos de crecimiento y decrecimiento aśı como máximos y mı́nimos locales (si
existen).
� Hallar f ′(−1) por definición .
4. (1 punto c/u). En los siguientes casos se pide hallar el ĺımite de las siguientes funciones.
� lim
x→+∞
−3x3 + x2 − 2x− 4
4 + x2 − 5x4
.
1
� lim
x→2−
x2 − 3x + 2
x3 − 4x2 + 4x
.
5. (2 puntos). Encuentre un valor de a para que la función
f(x) =
{
x2 + 2ax + a2 x < 2
ln(x2 − 3) x ≥ 2
sea continua.
Parte II
Todos los pasos deben estar justificados, limitarse a dar solamente el valor que cumple con lo solicitado
se califica con cero.
(5 puntos). Sea la función
f(x) =
{
x2 − 4x + 4a + 1 x < a
−2x + 4 x ≥ a
con a > 0. Halle
� El gráfico de f cuando a = 0 (1 punto).
� Un valor de a para que la función sea decreciente (recomendación: recuerde la definición de función
decreciente y no solo la intuición) (1.5 puntos).
� Un valor de a que haga que f sea continua (1.5 puntos).
� Un valor de a que haga que la derivada de f nunca se anule (1 punto).
Parte III
(5 puntos). Una planta tiene función de producción por d́ıa dada por la función
Y = 20A
√
L.
Donde L es la masa laboral (cantidad de empleados), Y la producción diaria y A ∈ [0, 1] es un parámetro
“tecnológico” de productividad. Para efectos de este ejercicio, el valor de A es controlado por la fuerza
laboral: cuando los empleados efectúan A = 1 están en su tope de productividad (se entiende que si A = 0
no tienen ninguna productividad). Lo primero que debe quedarle claro es que la producción depende
de dos y no solo de una variable: tanto el número de empleados como la productividad determinan la
producción. Con esta información, responda a las siguientes preguntas.
� Si actualmente hay 225 empleados que efectúan A = 13 , halle el nivel de producción. Encuentre el
nivel de productividad A que debeŕıan alcanzar los 225 empleados si se desea una producción de
200 unidades.
� Nuevamente fije L en 225 empleados, halle la derivada de Y con respecto a A (es decir, imagine
que A es la variable X). Ahora deje de fijar L y más bien fije A en 0.4. Halle la derivada de Y con
respecto a L (es decir, imagine que L es la variable X).
� Para A = 0.4, halle la derivada en L = 100 y en L = 225. Interprete ambos casos con la perspectiva
de la derivada como constante de proporcionalidad ¿En cuál de los dos casos se necesitaŕıa contratar
más empleados si se quiere aumentar la producción en 10 unidades? (use la aproximación de la
derivada)
� Para L = 100, halle la derivada en A = 0.4. Interprete con la perspectiva de la derivada como
constante de proporcionalidad.
2
� Se sabe que el empleador debe pagar un salario de 40 soles diarios a cada nuevo empleado, pero se
ha dado cuenta que dar un bono de k soles a los empleados que ya tiene hace su productividad se
incremente en k200 . Suponga que actualmente hay L = 100 empleados y la productividad es A = 0.5.
Si se desea conseguir una producción adicional de 20 unidades, diga si lo más barato para conseguir
ese objetivo es dar un bono (en cuyo caso señale el monto del bono) o contratar nuevos empleados
(asuma que en ese caso todos los empleados, nuevos o antiguos, ofreceŕıan la misma productividad
A = 0.5) .
3