GUÍA Desarrollada N 1 Fuerzas y momentos en el plano y espacio

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MECÁNICA ESTÁTICA 
Carlos Urra Simonet 
GUÍA N° 1 FUERZAS Y MOMENTO EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 
1. Calcular la fuerza resultante aplicada sobre el soporte producto de las fuerzas que se 
muestran en las figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) R = (123,168; 13,82) |R| = 123,94 N  = 6,402º 
 b) R = (- 186,44; - 1628,46)  R  = 1639,09 N  = 83,46º 
Solución. 
a) 𝐴 = (75 cos 50; −75 𝑠𝑒𝑛 50) = (48,209; −57,45) 
�⃗⃗� = (60 cos 35; 60 𝑠𝑒𝑛 35) = (49,149; 34,41) 
𝐶 = (45 cos 55; 45 𝑠𝑒𝑛 55) = (25,81; 36,86) 
�⃗⃗� = (123,168; 13,82) 
𝑅 = 123,94 𝛼 = 6,402 
 
b) 𝐴 = (1200 𝑠𝑒𝑛60; −1200 cos 60) = (1039,23; −600) 
�⃗⃗� = (−1600 𝑠𝑒𝑛 50; −1600 cos 50) = (−1225,67; −1028,46) 
�⃗⃗� = (−186,44; −1628,46) 
𝑅 = 1639,09 𝛼 = 83,46° 
 
2) Cuatro fuerzas actúan sobre un perno A, como se muestra en la figura. Determinar la 
resultante de las fuerzas sobre el perno. 
 
 
 
 R: º1,46,199 N
 
 
 
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Solución 
F1= (150 cos 30; 150 sen 30) = (129,903; 75) 
F2= (- 80 sen 20; 80 cos 20) = (- 27,36; 75,15) 
F3= (0; -110) 
F4= (100 cos 15; - 100 sen 15) = (96,59; - 25,88) 
 �⃗⃗� = (199,133; 14,27) 
𝑅 = 199,64 𝛼 = 4,098 
 
3) El elemento CB de la prensa de banco mostrada en la figura ejerce, sobre el bloque B, una 
fuerza P dirigida a lo largo de la línea CB. Si la componente horizontal de P debe tener una 
magnitud de 269 lb. Determinar: a) la magnitud de la fuerza P; b) la magnitud de la fuerza Q 
 
 
 
 
R: P = 351,15 lb; Q = 451,43 lb 
 
 
 
Solución 
La fuerza P aplicada en B, se muestra en la figura. Al ser la componente 
Px= 269 lb y aplicando coseno de 40° se obtiene P 
cos 40° =
𝑃𝑥
𝑃
 𝑃 = 351,15 𝑙𝑏𝑓 
En el punto C, se aplica la fuerza Q y por simetría 2 fuerzas P aplicadas 
hacia arriba como se muestra 
aplicando sumatoria de fuerzas en eje Y 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
−𝑄 + 𝑃𝑐𝑜𝑠 50 + 𝑃𝑐𝑜𝑠 50 = 0 
 Q = 451,42 lbf 
 
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4) Para el sistema de fuerzas que se muestra en la figura, determinar la resultante 
considerando α = 40º 
 
 
 
R: º47,85,202 N
 
 
 
 
Solución 
En este caso, es conveniente utilizar el sistema de referencia inclinado, como se muestra en la 
figura 
F1= (120 sen 40; - 120 cos 40) = (77,13,- 91,92) 
F2= (60; 0) 
F3= (80 cos 40; 80 sen40) = (61,28; 51,42) 
 �⃗⃗� = (198,41; −40,5) 
𝑅 = 202,5 𝛼 = −11,53° 
El ángulo obtenido está en relación al sistema de ejes perpendiculares inclinado. Al referirlo al 
sistema tradicional de ejes, se tiene que los 20° se debe restar el ángulo α obtenido, 
resultando 
φ = 20 -11,53 = 8,47 
 
5) Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por 
los remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchón. Determine 
la tensión en cada una de las cuerdas, sabiendo que α = 45º. 
 
 
 
 
 
 
R: T1 = 3660,25 lb; T2 = 2588,19 lb. 
 
 
 
 
 
 
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Solución 
 La condición planteada es la siguiente 
 
 
Trasladando el vector FBC, a continuación del vector FAB, formando un triángulo de fuerzas, se tiene 
 
 
 
Por lo tanto, el triángulo de fuerzas queda configurado como 
se indica 
 
 
Aplicando teorema del seno 
 5000
𝑠𝑒𝑛 105
= 
𝐹𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛 45
 FAB= 3660,25 lb 
 
5000
𝑠𝑒𝑛 105
= 
𝐹𝐵𝐶
𝑠𝑒𝑛 30
 FBC= 2588,19 lb 
 
 
6) En la figura se representa el esquema de una grúa soportando un peso de 900 kp. El mástil 
AC tiene una longitud de 3 m y la barra AB tiene una longitud de 5 m, con una articulación en 
A y mantenida por el cable CB. Suponiendo que el peso de AB es despreciable, calcular la 
tensión T en el cable y la fuerza de compresión P en AB 
 
 
 
R: T = 1041,798 kp 
 P = 1500 kp 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solución 
En primer lugar, definir que en el punto B, se encuentran tres fuerzas aplicadas y se 
encuentran en equilibrio 
En triángulo de longitudes de la figura y asignando los lados 
“a” “b” y “c” y los ángulos α, β y γ se tiene 
Aplicando teorema del coseno 
𝑐2 = 32 + 52 − 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 𝑐𝑜𝑠43 c= 3,47 
32 = 3,472 + 52 − 2 ∗ 3,47 ∗ 5 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼 
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
32−3,472−52
−2∗3,47∗5
= 0,808 α= 36,089 
Calculando β 
α + β + γ =180 β= 100,91 
Construyendo el triángulo de fuerzas y trasladando los ángulos del triángulo de longitudes y 
aplicando teorema del seno, se tiene 
 
900
𝑠𝑒𝑛 36,089
= 
𝐹𝐶𝐵
𝑠𝑒𝑛 43
 FAB= 1042,029 kp 
 
900
𝑠𝑒𝑛 36,089
= 
𝐹𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛 100,91
 FBC= 1500,29 kp 
 
 
 
7) Los extremos de una cuerda de 11 m de longitud se unen a dos ganchos colocados en un 
techo horizontal y separado entre sí. A los 4 m de uno de los extremos de la cuerda se une 
un peso de 100 kp. Calcular la tensión en los segmentos de la cuerda. 
 
 
R: T1 = 94,41 kp T2 = 69,56 kp 
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Solución 
 
Considerando el triángulo de longitudes dado y calculando los 
ángulos interiores 
 
Aplicamos teorema del coseno 
72 = 42 + 9 2 – 2*4*9*cosα α= 48,18 
42 = 72 + 9 2 – 2*7*9*cosβ β= 25,20 
conocidos 2 ángulos, el tercer ángulo se obtiene por la suma de ángulos del triángulo 
γ= 106,62 
El triángulo de fuerzas, se construye a partir de la fuerza conocida, 
en este caso, la fuerza vertical de 100 kp, Se trazan líneas paralelas 
a las fuerzas por calcular en el inicio y término del vector de 100 
kp, y se obtiene el triángulo de fuerzas de la figura 
De esta forma, el triángulo de fuerzas resulta 
Aplicando teorema del seno 
 
100
𝑠𝑒𝑛 73,38
=
𝑇1
𝑠𝑒𝑛 41,82
 𝑇1 = 69,58 𝑘𝑝 
 
100
𝑠𝑒𝑛 73,38
=
𝑇2
𝑠𝑒𝑛 64,8
 𝑇2 = 94,93 𝑘𝑝 
 
 
 
 
8) La barra AC ejerce sobre la articulación C una fuerza dirigida a lo largo de la línea AC. 
Considerando un ángulo α = 50º. Determinar la magnitud de la fuerza y la tensión en el 
cable BC 
 
 
R: FAC = 169,69 lb; TBC = 347,73 lb 
 
 
 
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Solución 
En este caso, se conocen los ángulos interiores del triángulo, 
calculando el tercer ángulo por diferencia respecto a los 180° 
 
Construyendo el triángulo de fuerzas a partir de la fuerza 
conocida, trazando paralelas al inicio y término del vector 
conocido, se tiene 
 
 
 
 
De esta forma, se obtiene el siguiente triángulo de fuerzas. 
 
Aplicando teorema del seno 
 
400
𝑠𝑒𝑛 95
=
𝐹𝑎𝑐
𝑠𝑒𝑛 25
 𝐹 𝑎𝑐 = 169,69 𝑙𝑏 
 
 
400
𝑠𝑒𝑛 95
=
𝐹 𝑏𝑐
𝑠𝑒𝑛 60
 𝐹 𝑏𝑐 = 347 73 lb 
 
 
9) Una torre de transmisión se sostiene 
por medio de tres alambres anclados 
con pernos B, C y D. Si las tensiones 
en los alambres son: AB es 1500 N; 
AC es 1400 N; AD es de 1260 N. 
Determine las componentes de las 
fuerzas ejercidas por los alambre 
sobre los pernos colocado en B, C y D 
 
R: FAB = (285, 1428, - 357) 
 FAC = (- 711,8; 1186,4; - 213,6) 
 FAD = (200, 1000, 740) 
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Solución 
Coordenadas 
A= (0; 20; 0) B= (-4; 0; 5) C= (12; 0; 3,6) D= (-4; 0: -14,8) 
La fuerza 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐴 − �⃗⃗� = (4; 20; −5) BA= 21 
𝑏�̂� =
(4; 20; −5
21
= (0,19; 0,95; −0,23) 
𝐹𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 1500 ∗ (0,19; 0,95; −0,23) = (285; 1425; −345) 
𝐹𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 1500 ∗
(4; 20; −5)
21
= (285,71; 1428,57; −357,14) 
La fuerza 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴 − 𝐶 = (−12; 20; −3,6) BA= 23,6 
𝑏�̂� =
(−12;20; −3,6
23,6
= (−0,5169; 0,8474; −0,1525) 
𝐹𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 1400 ∗ 𝑏�̂� = (−711,86; 1186,44; −213,55) 
La fuerza 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐴 − �⃗⃗⃗� = (4; 20; 14,8) BA= 25,2 
𝑏�̂� =
(4; 20; 14,8)
25,2
= (0,1587; 0,7936; 0,5873) 
𝐹𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 1260 ∗ 𝑏�̂� = (200; 1000; 740) 
10) Dos cables BG y BH están unidos al marco ACD como se indica la figura. Si la tensión en el 
cable BG es de 450 N y en el cable BH es 360 N. Determine las componentes de la fuerza 
ejercida por los cables BG y BH sobre el marco en el punto B 
 
R: (- 80, 610, - 400) 
 
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Solución 
Coordenadas de los puntos 
B= (1; 0; 1,5) G= (0; 1,85; 0,7) H= (1,75; 1,5; 0) 
Vector BG 
𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗� − �⃗⃗� = (−1; 1,85; −0,8) 
𝑏�̂� =
(−1; 1,85; −0,8)
2,25
 
𝐹𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 450 ∗ 𝑏�̂� = (−200; 370; −160) 
Vector BH 
𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = �⃗⃗⃗� − �⃗⃗� = (0,75; 1,5: − 1,5) 
𝑏ℎ̂ =
(0,75; 1,5; −1,5)
2,25
 
𝐹𝐵𝐻⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 360 ∗ 𝑏ℎ̂ = (120; 240; −240) 
Los dos vectores actúan en punto B, la resultante de estos 2 vectores es 
 �⃗⃗� = (−80; 610; −400) 
 
11) La barra OA soporta una carga P y está sostenida por dos cables, según se muestra en la 
figura. Si en cable AB la tensión es de 510 N y en cable AC es de 765 N. Determine la 
magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables. 
 
 
R: 1122 N; θx = 147,7º; θy = 61,6º; θz = 
104,2º 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Coordenadas de los puntos 
A= (600; 0; 0) B= (0; 360; 270) C= (0; 320; - 510) 
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Vector AB 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗⃗� − 𝐴 = (−600; 360; 270) 
𝑎�̂� =
(−600; 360; 270)
750
 
𝐹𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 510 ∗ 𝑎�̂� = (−408; 244,8; 183,6) 
Vector AC 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 − 𝐴 = (−600; 320: − 510) 
𝑎�̂� =
(−600; 320: − 510)
850
 
𝐹𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ = 765 ∗ 𝑎�̂� = (−540; 288; −459) 
Los dos vectores actúan en punto A, la resultante de estos 2 vectores es 
 �⃗⃗� = (−948; 532,8; −275,4) 𝑅 = 1121,79 
Aplicando los cosenos directores, se obtiene los ángulos directores 
cos 𝜃𝑥 = 
−948
1121,79
 𝜃𝑥 = 147,68 
cos 𝜃𝑦 = 
532,8
1121,79
 𝜃𝑦 = 61,64 
 
cos 𝜃𝑧 = 
−275,4
1121,79
 𝜃𝑧 = 104,21 
 
12) Para enderezar el poste de 
sujeción CD se emplea un 
tensor. Si la tensión en el 
cable BC es 1040 N y 
d= 1,9 m. Calcular el momento 
respecto a D de la fuerza que 
ejerce el cable en C 
descomponiendo esa fuerza 
en sus componentes 
horizontal y vertical aplicadas 
en (a) en el punto C, (b) en el 
punto E 
 
R: a) 760 Nm b) 760 Nm 
 
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Solución 
a) En primer lugar, es necesario descomponer la 
fuerza aplicada en el punto C, en sus 
componentes Fx y Fy. Para ello se debe 
calcular el ángulo α, el cual se calcula por 
𝑡𝑔 𝛼 = 
0,875
2,1
, dando como resultado 
α = 22,61 
De esta forma, se tiene, 
Fx= 960 N Fy= 400 N 
Calculando el momento respecto al punto D, producto de 
las fuerzas Fx y Fy, se tiene 
MD= + 960* 0,875 - 400*0,2 = 760 Nm 
b) De la misma forma, se calcula el momento en el punto D, con la fuerza aplicada en E 
En este caso, el momento resultante es 
MD= 960*0 - 400*1,9 = - 760 Nm 
Nota: la componente Fx, no produce momento porque pasa por el punto donde se 
calcula el momento (punto D) 
 
13) Una válvula de pedal de un 
sistema neumático está 
articulada en B. Si  = 28º 
Calcular el momento respecto a 
B de la fuerza de 16 N: 
a. Descomponiéndola en sus componentes horizontal y vertical 
b. Descomponiendo la fuerza en sus componentes según la recta ABC y la 
perpendicular a ésta 
 
R: 1,27 Nm 
 
 
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Solución 
El ejercicio se puede representar de la 
siguiente forma, donde el ángulo 
formado entre la fuerza de 16 N y la 
horizontal es 8°, producto de la diferencia 
entre el valor de α y 20° 
Calculando las componentes de la fuerza 
Fx = 16 cos 8 = 15,84 N 
Fy= 16 sen 8 = 2,23 N 
 
 
considerando el triángulo de la figura, para 
determinar las distancias “x” e “y” 
 
Aplicando funciones trigonométricas 
 
 
 cos 20 = 
𝑥
170 
 𝑥 = 159 75 
sen 20 = 
𝑦
170 
 𝑦 = 58,14 
Calculando el momento de las Fx y Fy respecto al punto B y considerando los brazos 
perpendiculares se tiene 
∑ 𝑀𝐵 = + 𝐹𝑥 ∗ 𝑦 + 𝐹𝑦 ∗ 𝑥 = 15,84 ∗ 58,14 + 2,23 ∗ 159,75 = 1277,18 𝑁 𝑚𝑚 = 1,27 𝑁𝑚 
 
a) Determinando las componentes tangenciales y perpendiculares de la fuerza de 16 N 
F tang= 16 cos 28= 14,12 
F perp= 16 sen 28= 7,51 
Calculando el momento respecto a B 
∑ 𝑀𝐵 = + 𝐹𝑡𝑎𝑛𝑔 ∗ 0 + 𝐹𝑝𝑒𝑟𝑝 ∗ 170 = 14,12 ∗ 0 + 7,51 ∗ 170 = 1276,7 𝑁 𝑚𝑚 = 1,27 𝑁𝑚 
 
 
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14) A una palanca de cambios de un automóvil, se le aplica una 
fuerza P de 40 N. Calcular: 
a. El momento de P respecto a B cuando  es de 25º 
b. El módulo de la fuerza P más pequeña, que respecto a B tiene 
un momento de 26,25 Nm en sentido horario 
 
R: a) – 23,31 Nm b) 45,10 N 
Solución 
Descomponiendo la fuerza de 40 N en sus componentes, se tiene 
Fx= 40 cos 25 Fx= 36,25 N 
Fy= 40 sen 25 Fy= 16,904 N 
Por lo tanto, el momento en el punto B 
MB = - 36,25 * 0,55 – 16,904 * 0,2 MB= -23,31 Nm 
a) Para que la fuerza sea la más pequeña, está debe ser perpendicular al brazo. Por lo tanto, 
si el momento producido en B es – 26,25, se necesita calcular el brazo, que corresponde 
en este caso, a la hipotenusa del triángulo 
 
𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜 = √202 + 552 = 58,52 𝑚𝑚 = 0,58 𝑚𝑚 
MB= F*brazo - 26,25 = - F *0,58 
 F= 45,25 N 
 
15) Sobre la palanca se aplica una fuerza de 
100 N, según la dirección que se indica. 
Determinar el momento que produce la 
fuerza F sobre el punto O 
 
F = 100 N 
a = 50 mm 
b = 300 mm 
θ = 30º 
φ = 60º 
 
 
 
 R: -19,329 Nm 
 
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Solución 
En primer lugar, descomponer la fuerza en Fx y Fy 
Fx= 100 * cos 30° = 86,6 N Fy= 100 sen 30° = 50 N 
Utilizando el siguiente triángulo, para calcular las distancias “x” e “y” 
cos 60 = 
𝑥
300
 𝑥 = 150 𝑚𝑚 
𝑠𝑒𝑛 60 =
𝑦
300
 𝑦 = 259,807 𝑚𝑚 
Calculando el momento respecto al punto O, se tiene 
MO= - 86,6 * (50 + 259,807) + 50 * 150 = - 19329,28 Nmm = -19,329 Nm 
 
16) El portón trasero de un automóvil está soportado por un freno hidráulico BC. Si este ejerce 
una fuerza de 625 N, dirigida según su eje geométrico, sobre la rótula B. Calcular el 
momento de esa fuerza respecto a A para cada figura 
 
 
 R: 174,052 Nm y 191,7 Nm 
 
Solución 
a) En el caso de la figura (a) y simplificando el esquema, se tiene 
 
 
 
 
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Calculando α se tiene 𝑡𝑔 𝛼 =
0,06
0,30
 𝛼 = 11,309 
Determinando las componentes de la fuerza 
Fx= 625 cos α = 612,86 N Fy= 625 sen α= 122,56 N 
Calculando el momento en el punto A 
MA = + 612,86*(0,30+0,06) – 122,56*0,38 MA= 174,056 Nm 
b) De la misma forma, para la situación (b) 
 
 
 
 
 
 
Calculando α se tiene 𝑡𝑔 𝛼 =
0,19
0,43
 𝛼 = 23,83 
Determinando las componentes de la fuerza 
Fx= 625 cos α = 571,17 N Fy= 625 sen α= 252,51 N 
Calculando el momento en el punto A 
MA = + 571,71*0,11 + 252,51*0,51 MA= 191,66 Nm 
17) La biela AB ejerce sobre la manivela BCuna fuerza de 2,5 KN dirigida hacia abajo y hacia 
el lado izquierdo a lo largo de la línea central de AB. Determine el momento de esa fuerza 
respecto a C en las dos situaciones mostradas en las figuras 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 140 Nm; 140 Nm 
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18) Una tabla de madera AB, utilizada como 
puntal provisional de un tejadillo, ejerce en 
el punto A del mismo una fuerza de 285 N. 
Hallar el momento de esa fuerza respecto a 
C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: -197,28 i +37,31 j + 269,27 k 
 
19) La rampa ABCD está sujeta mediante los cables DE (200 N) y CG (200 N) en las esquinas C 
y D. Hallar el momento respecto a A de la fuerza que el cable ejerce en (a) en D, (b) en C 
 
R: MD= (-306,6; 0; -60,093) 
 MC= (-306,6; 360; 457,3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20) La llave de la figura, se utiliza para 
soltar un perno ubicado en el origen 
del sistema de coordenadas. Si la 
fuerza aplicada por la mano es de 
80 N, según la dirección que se 
muestra. Determinar el momento 
que se produce en el perno. 
a = 300 mm 
b = 500 mm 
F = 80 N 
θ1 = 30º 
θ2 = 45º 
 
 R: 5,31 i - 14,69 j + 24,49 k 
 
 
 
21) La pluma de la figura sostiene una plancha como se indica en la figura. Determinar 
el momento que produce: 
a. La fuerza FBA aplicada en el punto B respecto al punto D 
b. La fuerza FCA aplicada en el punto C respecto al origen 
 
FBA = 350 lb 
FCA = 500 lb 
FDA = 400 lb 
a = 3 ft 
b = 3 ft 
c = 6 ft 
d = 14 ft 
e = 3 ft 
f = 3 ft 
g = 2 ft 
 
 
 R: 
 a) -3667,8 i - 916,65 j - 916,95 k 
 b) 1435,53 i + 1435,53 j