Integral definida

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Integral Definida
Dpto. Académico de Matemática
Universidad Nacional Agraria La Molina
Ciclo: 2020 - II
Dpto. Académico de Matemática (UNALM) Integral Definida Ciclo: 2020 - II 1 / 13
Contenido
1 2.2 Interpretación geométrica de la integral definida
2 2.3 Propiedades de la integral definida
3 2.4 Teoremas fundamentales del cálculo
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2.2 Interpretación geométrica de la integral definida
La interpretación de la integral definida como un área, se resume en el siguiente teorema.
Teorema
Si f es continua y no negativa sobre un intervalo [a, b], entonces el área de la región acotada
por la gráfica de f , el eje X y las rectas verticales x = a y x = b está dada por
Área =
∫ b
a
f (x)dx .
Ejemplo. Halle el área de la región acotada por la gráfica de f (x) = x2 − 2x + 2, el eje X y
las rectas verticales x = −1 y x = 2.
Solución. El área de la región es
Área =
∫ 2
−1
f (x)dx =
∫ 2
−1
(x2 − 2x + 2)dx
Usando sumas de Riemann, tenemos: Área = 6u2.
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Definición
1 Si f está definida en x = a, definimos
∫ a
a
f (x) = 0.
2 Si f es integrable en [a, b], entonces se define
∫ a
b
f (x)dx = −
∫ b
a
f (x)dx .
Ejemplo
1
∫ π
4
π
4
tan xdx = 0.
2
∫ −1
2
(x2 − 2x + 2)dx = −
∫ 2
−1
(x2 − 2x + 2)dx = −6.
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2.3 Propiedades de la integral definida
(1) Linealidad. Sean f y g funciones integrables en [a, b] y α, β ∈ R, entonces αf + βg
también es integrable en [a, b] y∫ b
a
(αf (x)± βg(x)) dx = α
∫ b
a
f (x)dx ± β
∫ b
a
g(x)dx .
(2) Conservación de orden. Si f y g son funciones integrables en [a, b] y f (x) ≤ g(x) para
todo x ∈ [a, b], entonces se cumple la siguiente desigualdad∫ b
a
f (x)dx ≤
∫ b
a
g(x)dx .
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Propiedades de la integral definida
(3) Si f es integrable y no negativo en [a, b], entonces
0 ≤
∫ b
a
f (x)dx .
(4) Si f es una función integrable en [a, b], entonces |f | también es integrable en [a, b] y se
verifica ∣∣∣∣∫ b
a
f (x)dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f (x)|dx .
(5) Si c ∈ [a, b] y f es integrable sobre [a, b] entonces f es integrable sobre [a, c ] y sobre
[c , b], y se verifica la siguiente igualdad∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx .
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2.4 Teoremas fundamentales del cálculo
Los teoremas fundamentales del cálculo relacionan la diferenciación y la integración, y
muestran que hasta cierto punto la integración es la inversa de la diferenciación.
Teorema (Primer teorema fundamental)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x cualquier número en [a, b],
entonces
d
dx
∫ x
a
f (t)dt = f (x)
Teorema (Segundo teorema fundamental del cálculo)
Si la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de f en [a, b],
entonces ∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a).
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Ejemplo. Evalúe las siguientes integrales:
(a)
∫ 3
−1
(3x2 + 5x − 1)dx (b)
∫ π
0
cos
(x
2
)
dx (c)
∫ e2
e
1
x ln x
dx
Solución. Por el segundo teorema fundamental del cálculo, se tiene:
(a)
∫ 3
−1
(3x2 + 5x − 1)dx =
(
x3 +
5
2
x2 − x
) ∣∣∣3
−1
= 44
(b)
∫ π
0
cos
(x
2
)
dx = 2 sen
(x
2
) ∣∣∣π
0
= 2 sen
(π
2
)
− 2 sen
(
0
2
)
= 2
(c)
∫ e2
e
1
x ln x
dx = ln(ln x)
∣∣∣e2
e
= ln(ln e2)− ln(ln e) = ln 2
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Consecuencias del primer teorema fundamental
Teorema (Generalización del primer teorema fundamental)
Si f es continua en [a, b] y g es una función diferenciable con valores en [a, b], entonces
d
dx
∫ g (x)
a
f (t)dt = f (g(x))
d
dx
(g(x)).
Teorema
Con las hipótesis del teorema anterior y suponiendo que h sea un función diferenciable con
valores en [a, b], se cumple
d
dx
(∫ g (x)
h(x)
f (t)dt
)
= f (g(x))g ′(x)− f (h(x))h′(x).
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Ejemplo. Si F (x) =
∫ ex
x2
sen(t2)dt, halle F ′(0).
Solución. Derivando con respecto de x , obtenemos:
F ′(x) =
d
dx
(∫ ex
x2
sen(t2)dt
)
= sen(e2x )(ex )− sen(x4)(2x)
=⇒ F ′(0) = sen(1).
Ejemplo. Sea f un función continua tal que
∫ x
0
t · f (t)dt = sen x − x cos x .
Halle f ′(π2 ).
Solución. Derivando ambos miembros, tenemos
d
dx
(∫ x
0
t · f (t)dt
)
= cos x − (cos x − x sen x)
=⇒ xf (x) = x sen x =⇒ f (x) = sen x
Finalmente, f ′(π2 ) = 0.
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Teorema (del valor medio para integrales)
Si f es una función continua en [a, b], entonces existe un número c ∈]a, b[ tal que∫ b
a
f (t)dt = f (c)(b− a).
Teorema (de simetŕıa)
Sea f una función continua en R.
1 Si f es una función par, entonces
∫ a
−a
f (x)dx = 2
∫ a
0
f (x)dx .
2 Si f es una función impar, entonces
∫ a
−a
f (x)dx = 0.
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Ejemplo. Halle el valor de
∫ 3
−3
(
x
|x − 1|+ 1 + xe
x2
)
dx .
Solución.∫ 3
−3
(
x
|x − 1|+ 1 + xe
x2
)
dx =
∫ 3
−3
x
|x − 1|+ 1dx +
�
�
�
�
��
∫ 3
−3
xex
2︸︷︷︸
impar
dx
=
∫ 1
−3
x
−(x − 1) + 1dx +
∫ 3
1
x
(x − �1) + �1
dx
=
∫ 1
−3
x
2− x dx +
∫ 3
1
dx
= −
∫ 1
−3
(
1 +
2
x − 2
)
dx + x
∣∣∣3
1
= − (x + 2 ln |x − 2|)
∣∣∣1
−3
+ 2
= 5 ln(5)− 2.
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Ejemplo. Sea f una función impar continua en R tal que
∫ 1/2
2
f (2x)dx = −5.
Evalúe
∫ −4
16
f (
u
4
)du.
Solución. Como
∫ 1/2
2
f (2x)dx = −5 entonces
∫ 2
1/2
f (2x)dx = 5. Aśı, haciendo un cambio de
variable t = 2x , tenemos
∫ 4
1
f (t)
dt
2
= 5 =⇒
∫ 4
1
f (t)dt = 10.
Por otro lado,∫ −4
16
f (
u
4
)du = −
∫ 16
−4
f (
u
4
)du = −4
∫ 4
−1
f (θ)dθ︸ ︷︷ ︸
Haciendo θ= u4
= −4
(∫ 1
−1
f (θ)dθ +
∫ 4
1
f (θ)dθ
)
Luego, como f es impar, tenemos que
∫ 1
−1
f (θ)dθ = 0.
∴
∫ −4
16
f (
u
4
)du = −4
∫ 4
1
f (θ)dθ = −4(10) = −40.
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	2.3 Propiedades de la integral definida
	2.4 Teoremas fundamentales del cálculo