TP 15 ANALISIS 2021

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Análisis Matemático I 
• Ing. Roberto Lamas
• Prof. Adjunto Análisis Matemático I
Trabajo Practico N° 15
Integral definida: Suma de Riemann- Función 
Integral- Regla de Barrow- Calculo de Áreas.
Como calculamos el área de las siguientes figuras?
A = ??
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Conceptos previos:
Una partición del intervalo [ a , b] es una subdivisión del 
mismo en subintervalos de la forma :
[ a, x1], [x1,x2] , [x2 , x3], ……., [xn-1 , b ] donde a = x0 y b = xn , se 
verifica que x0 < x1 < x2 < …… < xn
Para la división se toman puntos arbitrarios.
Notación: Pn { a = x0 , x1 , x2, x3 , ….., xn-1, xn = b }
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Ejemplo: [ 2 , 9 ]
Tomaremos 5 subintervalos: P5 { 2 ; 3 ; 4,5 ; 5 ; 7,5 ; 9 }
La partición del intervalo [ 2, 9 ] será única ? Obvio que no .
Cuantas hay ¿ Infinitas!!!
Cual será la longitud de cada subintervalo? 
long([a,b]) = b – a 
Long ( [x0 , x1 ]) = x1 – x0 = ∆x1
Long ( [ xi- 1 , xi ]) = xi – xi-1 I = 1,…..n
En nuestro caso : ∆x1 = 1 ; ∆x2 = 1,5 ; ∆x3 = 0,5 ; ∆x4 = 2,5 
; ∆x5 = 1,5 
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Norma de la partición: 
A la mayor longitud de los intervalos se llama norma de la 
partición.
 , 
Ejemplo || P5 || = 2,5
Aumento de la partición: Se llama aumento de la partición 
al conjunto formado por los n puntos tomados 
arbitrariamente 1 de cada subintervalo de la partición.
T = { t1, t2, t3, … , tn} ti [ xi-1 , xi] 
Algunos autores lo denotan como ∗
Ejemplo: T = { 2,1; 3; 5; 6; 8 }
Por cada partición existen infinitos aumentos.
Suma de Riemann: Dada la función f , definida en [ a, b] , P una 
partición de [ a , b ] y T un aumento de la misma P, se llama 
Suma de Riemann :
Ejemplo: f(x) = 2x + 3 
S(2x+3, P5 ,T5 ) = f(2,1) 1 + f(3) 1,5 + f(5) 0,5 + f(6) 2,5 + f(8) 1,5 =
= 7,2 + 9 * 1,5 + 13 * 0,5 + 15 * 2,5 + 19 * 1,5 = 93,2
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Integral definida: Sea f definida en [ a , b ] , sea P 
partición de [ a , b ] , sea T un aumento de la partición 
, sea , se define integral definida 
de f en [ a, b ] según Riemann como:
→
Siempre que el limite exista sin depender de P ni de T.
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Notación: 
→ →
= 
símbolo de integración
[a , b] intervalo de integración.
a: límite inferior de integración.
b: límite superior de integración.
f : integrando
dx : diferencial de x
El resultado ha de ser un número.
Ver el ejemplo en la guía de practica , TP 15
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Teoremas de integrabilidad:
Si el limite existe y es finito se dice que es integrable en [ a, b ]
1.- Si f es continua en [ a, b ] ⇒ f es integrable en [ a , b]
2.- Si f es monótona y acotada en [ a, b ] ⇒ f es integrable en [ a , b]
3.- Si f presenta un numero finito de discontinuidades finitas en [ a, b ] 
⇒ f es integrable en [ a , b]
4.- Si f es integrable en [ a, b ] ⇒ f es acotada en [ a , b]
De esta última por lo general se utiliza o es más útil la 
contrarreciproca:
Si f no es acotada en [ a, b ] f no es integrable en [ a , b]
Las tres primeras proposiciones representan condiciones 
suficientes, mientras que la última representa una condición 
necesaria.
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Ejemplos:
Propiedades de la Integral definida:
Si f es integrable en [ a, b ]
1) a) 
b) 
2) 
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3) Propiedad de linealidad: Sean f g integrables en [ a , b ] y 
k R
a) 
b) 
4) Ley de monotonía: Sean f g integrables en [ a , b ] 
a) ( 
Vale )
b) ( Vale )
c) 
5) Aditividad del intervalo de integración:
Sea f una función integrable en un intervalo cerrado que contiene 
los números a, b , c dados en cualquier orden ⇒
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
6)Integración de una función con paridad:
Sea f integrable en [ – a, a ] ∧
a) f es par ⇒ ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 
b) f es impar ⇒ ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
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Teorema del Valor Medio del Calculo Integral
Sea f continua en [ a , b ] ⇒ ∃ 𝛼 ∈ 𝑎 , 𝑏 /
 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝛼 (𝑏 − 𝑎)
Interpretación gráfica: Sea f(x) ≥ 0 
Demostración:
I) Si a = b , ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 ∧ 𝑓 𝛼 𝑏 − 𝑎 = 0
II) Si f es cte se verifica para todo 𝛼.
III) Si a < b como la función es continua, aplicamos el Teorema de los Valores 
extremos ( T. de Weistrass) 
∃ 𝑐 , 𝑑 ∈ 𝑎 , 𝑏 / 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑑 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
Aplicamos integral definida m.a.m. 
𝑓 𝑐 𝑑𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑓 𝑑 𝑑𝑥
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Por propiedad de la integral definida, integral de una función constante.
𝑓 𝑐 𝑏 − 𝑎 ≤ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑓(𝑑) 𝑏 − 𝑎
Dividiendo m.a.m. por ( b – a ) > 0
𝑓 𝑐 ≤
1
𝑏 − 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑓(𝑑)
Sea 𝑦 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
y0 es un valor entre dos valores de una función continua.
Se puede aplicar a f el Teorema del Valor Intermedio:
∃ 𝛼 ∈ 𝑐, 𝑑 ⊂ 𝑎, 𝑏 / 𝑓 𝛼 = 𝑦
𝑓 𝛼 = 
1
𝑏 − 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝛼 𝑏 − 𝑎
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Función integral 
Sea f integrable en [ a , b ] y sea x [ a , b ] , se define 
función integral de f a la función F / 
Se cambia la variable para que no se confunda con la x.
x [ a , b ] , t [ a , x ] 
Ejemplo: Función integral correspondiente a f / f(x) = 2x+3 
con x [ 2 , 9 ] es 
Teoremas que relacionan Integral definida con integral 
indefinida.
T1: Sea f continua en [ a , b ] F la integral correspondiente 
a f ( ) ( )
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Sea 𝐹 𝑥 = lim
 →
( )
𝐹 𝑥 + ℎ − 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
= 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
= 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
f es continua en [ a , b ] en consecuencia lo es en 
𝑥 , 𝑥 + ℎ 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∃𝛼 ∈ (𝑥. 𝑥 + ℎ)
𝑥 + ℎ , 𝑥 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ∃𝛼 ∈ (𝑥 + ℎ. 𝑥)
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥 + ℎ − 𝑥 𝑓 𝛼 = ℎ𝑓(𝛼)
𝑆𝑖 ℎ → 0 ⇒ 𝛼 → 𝑥
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En consecuencia 𝐹 𝑥 = lim
→
( )
= lim
→
𝑓(𝛼) = 𝑓(𝑥)
El teorema afirma que toda función continua en [ a, b] tiene 
una primitiva que es la función integral.
T2: Sea f continua en [ a , b ] G una primitiva de f en [ a , b ] 
Ver las copias 
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Demostración: Por Teorema 1 F / 𝐹 𝑥 = ∫ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 es primitiva de f ( se 
puede aplicar porque f es continua en [ a , b]).
Por hipótesis 2 G es una primitiva de f en [ a , b] y por el primer teorema 
de Integral indefinida todas las primitivas difieren en una constante.
𝐺 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝐺 𝑏 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶
𝐺 𝑎 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 
 𝐺 𝑏 − 𝐺 𝑎 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 − 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 − 𝐶
𝐺 𝑏 − 𝐺 𝑎 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
El resultado no depende del nombre de la variable.
Nota1: La fórmula esta recibe el nombre de Regla de Barrow.
Nota2: De las infinitas primitivas de f cual se toma?
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑥 + 𝐶 = 𝐺 𝑏 + 𝐶 − 𝐺 𝑎 − 𝐶
En consecuencia es indiferente tomar cualquiera.
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Ejemplo:
Método de sustitución para integrales definidas.
( )
( )
con u = g(x)
Ejemplo:
Con u = x2+1 , si x = 0 u = 1 ; si x = 2 u = 5
Método de integración por partes para integrales definidas.
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
Ejemplo:
𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
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u = ln x du = 1/x dx
dv = x dx v = x2 / 2