Ejercicios resueltos Dominio y Rango

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Ejercicios resueltos – Lunes 10/08 
 
1. Determine por extensión el conjunto 𝐴 y analice si define una función. 
𝐴 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ 𝑍, 2𝑥2 − 3𝑥 − 5 ≤ 0; 𝑦 =
𝑥 + 2
𝑥 + 3
} 
Solución 
 
Primero, resolvemos la inecuación: 
 2𝑥2 − 3𝑥 − 5 ≤ 0 → (2𝑥 − 5)(𝑥 + 1) ≤ 0 → 𝑥 ∈ [−1;
5
2
] 
Luego intersectamos: 𝑥 ∈ [−1;
5
2
] ∧ 𝑥 ∈ 𝑍 
Tenemos: 𝑥 ∈ {−1; 0; 1; 2} 
Ahora, 𝑠𝑖 𝑥 = −1 → 𝑦 =
1
2
; 𝑠𝑖 𝑥 = 0 → 𝑦 =
2
3
; 𝑠𝑖 𝑥 = 1 → 𝑦 =
3
4
; 𝑠𝑖 𝑥 = 2 → 𝑦 =
4
5
 
 𝐴 = {(−1;
1
2
) ; (0;
2
3
) ; (1;
3
4
) ; (2;
4
5
)} 
 Efectivamente, A define una función pues ninguna primera componente se 
repite. 
 
2. Si 𝐹 define una función, determine los valores de 𝑎 y 𝑏. 
𝐹 = {(−1; −3), (0; 4), ( −1; 𝑎2 − 2𝑏), (0; 𝑎 + 𝑏 + 1)} 
Solución 
Como 𝐹 define una función, igualamos las segundas componentes de los pares 
ordenados con primeras componentes iguales, tenemos: 
𝑎2 − 2𝑏 = −3 ∧ 𝑎 + 𝑏 + 1 = 4 
Despejamos 𝑏 en la ecuación lineal y reemplazamos en la primera ecuación: 
𝑏 = 3 − 𝑎 → 𝑎2 − 2(3 − 𝑎) + 3 = 0 
Resolvemos:𝑎2 − 2(3 − 𝑎) + 3 = 0 → 𝑎2 + 2𝑎 − 3 = 0 → 𝑎 = 1 ˅ 𝑎 = −3 
𝑆𝑖 𝑎 = 1 → 𝑏 = 2 
𝑆𝑖 𝑎 = −3 → 𝑏 = 6 
 
3. Si 𝐹 define una función, determine los valores de 𝑎 y 𝑏. 
𝐹 = {(4; 4), (−2; 𝑏 − 𝑎3), ( 4; 2𝑎 − 𝑏), (1; 7), (−2; 0)} 
 
Solución 
Como 𝐹 define una función, igualamos las segundas componentes de los pares 
ordenados con primeras componentes iguales, tenemos: 
4 = 2𝑎 − 𝑏 ∧ 𝑏 − 𝑎3 = 0 
Luego, 𝑏 = 𝑎3 → 4 = 2𝑎 − 𝑎3 
Resolviendo la ecuación, tenemos: (𝑎 + 2)(𝑎2 − 2𝑎 + 2) = 0 → 𝑎 = −2 
Si 𝑎 = −2, entonces 𝑏 = −8. 
 
4. Determine el dominio de la función definida por: 
 
𝑓(𝑥) = √
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑥2 − 𝑥 − 2
 
Solución 
Para que la función 𝑓 esté bien definida: 
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑥2 − 𝑥 − 2
≥ 0 
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
≥ 0 
El dominio de 𝑓 es: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−2; −1[ ∪ [1; 2[ ∪ [3; +∞[ 
 
5. Determine el dominio y rango de la función definida por: 
 
𝑓(𝑥) = √
𝑥2−16
𝑥2−1
. 
El dominio de 𝑓 es: 
𝑥2−16
𝑥2−1
≥ 0 →
(𝑥−4)(𝑥+4)
(𝑥+1)(𝑥−1)
≥ 0 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ]−∞; −4] ∪ ]−1; 1[ ∪ [4; +∞[ 
Ahora, determinemos el rango de 𝑓: 
𝑦 ≥ 0 ∧ 𝑦 = √
𝑥2 − 16
𝑥2 − 1
 
Elevando al cuadrado y despejando 𝑥, tenemos: 
𝑦 = √
𝑥2 − 16
𝑥2 − 1
→ 𝑦2(𝑥2 − 1) = 𝑥2 − 16 → (𝑦2 − 1)𝑥2 + 16 − 𝑦2 = 0 
𝑥 =
±√−4(𝑦2 − 1)(16 − 𝑦2)
2(𝑦2 − 1)
 
Tenemos la restricción 
−4(16 − 𝑦2)(𝑦2 − 1) ≥ 0 → 4(𝑦2 − 16)(𝑦2 − 1) ≥ 0 
4(𝑦 + 4)(𝑦 − 4)(𝑦 + 1)(𝑦 − 1) ≥ 0 
𝑦 ∈ ]−∞; −4] ∪ [−1; 1] ∪ [4; +∞[ 
Además, no existe 𝑥 para el cual 𝑦 = 1, por lo tanto: 𝑦 ≠ 1 
Luego intersectamos, 𝑦 ≥ 0 ∧ 𝑦 ∈ ]−∞; −4] ∪ ]−1, 1[ ∪ [4; +∞[ 
𝑅𝑎𝑛(𝑓) = [0; 1[ ∪ [4; +∞[ 
6. Grafique: 
 
a) 𝑓(𝑥) = {
2𝑥; 𝑥 ≤ −2
3 − 𝑥; 𝑥 ≥ 0
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = {
 𝑥2; −4 < 𝑥 ≤ −1
𝑥3; 0 < 𝑥 ≤ 2
 
 
 
 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 4𝑥 + 5, 𝑥 < 4
(𝑥 − 4)3; 𝑥 ≥ 4
 
 
 
 
d) 𝑓(𝑥) = {
− 𝑥2 + 4; −4 < 𝑥 ≤ 1
−(𝑥 − 1)3; 1 < 𝑥 ≤ 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Zelideth Pérez