Elaboración de la poligonal, técnicas de expresión gráfica

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TOPOGRAFIA Y GEODESIA
Poligonación
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POLIGONACIÓN
Logro de sesión: el estudiante conoce tipos de 
poligonales, calculo y expresión gráfica.
Generalidades
Cuando el terreno es de mediana o gran extensión y no es
posible realizar el levantamiento topográfico de una sola
estación, se hace configurar una red que apoye y facilite el
trabajo tanto en el campo como en gabinete.
Una red de apoyo planimétrico se define como el conjunto de
estaciones unidas por medio de líneas imaginarias o
direcciones y que forman el armazón del levantamiento, a partir
del cual puede lograrse la toma de los datos de campo para la
posterior representación del terreno.
Tipos de Redes
Entre los tipos de redes de apoyo planimétricos se tiene:
La poligonal: es la red de apoyo que como su nombre lo indica
tiene la forma de polígono, es utilizada en terrenos de mediana
extensión, aunque si se conforma una red de varias poligonales, se
puede utilizar en levantamiento de extensiones considerables por la
forma de cálculo se hace necesario contar con las longitudes de los
lados y la amplitud de sus ángulos, motivo por el cual no es
recomendable cuando el terreno es accidentado
Tipos de Redes
Entre los tipos de redes de apoyo planimétricos se tiene:
La triangulación: es la red de apoyo que la base de sus formas es
el triángulo, de allí su nombre, en esta red es necesario medir con
precisión todos sus ángulos y respecto a sus medidas
longitudinales, se mide únicamente la base (un lado) o en algunos
casos también la base de comprobación, lógicamente que dicha
longitud debe medirse lo mas preciso y exacto posible. Es muy
utilizada en levantamientos de grandes extensiones y su precisión
es mayor que la de una poligonal.
Factores que inciden en la selección de la red
Extensión y características topográficas del terreno:
Este factor incide en la elección de la red de apoyo a utilizar debido
a que la triangulación es la red que otorga buenos resultados
cuando los terrenos son de gran extensión; mientras que por otro
lado con la poligonal se tendría dificultades en terrenos donde
existe una topografía accidentad, ya la medida de los lados sería
dificultoso.
Ventaja que ofrece cada red:
La poligonal es más versátil y fácil de aplicar tanto en el trabajo de
campo como en gabinete, y es utilizada en terrenos de topografía
de llana a ondulada y en algunos casos accidentada, donde por la
configuración del terreno permita la medición directa de los lados;
en cambio la triangulación, el trabajo de campo como el de gabinete
requiere de trabajos y cálculos adicionales y su aplicación es
terrenos de gran extensión. En una poligonal se requiere un menor
numero de visuales que en una triangulación
Factores que inciden en la selección de la red
Equipo disponible:
En la poligonal se requiere menos equipo que para la triangulación,
debido a que para la poligonal se necesita por ejemplo medir la
base con mucha precisión, lo que obliga a contar con un
dinamómetro, un termómetro, si es medida con wincha de acero y
para la medición de acero y para la medición de los ángulos, el
teodolito debe ser de mayor precisión que el utilizado para una
poligonal
Personal de apoyo para el levantamiento:
El personal de apoyo que se necesita para la poligonal debe tener
un entrenamiento menor que el utilizado en una triangulación ya
que los trabajos en campos son menores en una poligonal que en
una triangulación.
Definición de poligonal
Es la serie de
segmentos de líneas
rectas que unen
puntos o estaciones a
lo largo de un
itinerario de
levantamiento.
Estaciones o Vértices
Lados
Azimut
Son los puntos
de intersección
de la línea
quebrada o
itinerio.
Son segmentos de
línea recta que unen
a dos vértices
consecutivos de una
poligonal
Son aberturas entre dos
lados que se intersecan en
una estación. Es el ángulo
que parte del norte y gira en
sentido horario a cualquier
punto.
Elementos
Tipos de Poligonal
Poligonación 
Abierta
Poligonación 
Cerrada
Este tipo de poligonal es
conveniente cuando se
trata de levantamientos
donde el terreno es de
forma alargada y con
poco ancho y la precisión
a lograrse es baja.
Planteamiento de 
la poligonal.
Labores que 
comprenden 
una poligonal
Son
La poligonal es conveniente en terrenos de pequeña y mediana
extensión en las que la topografía y características del terreno,
permitan la medición de los lados de la poligonal.
La poligonal es ventajosa ante la Poligonación abierta ,
principalmente por tener la posibilidad de llevar a cabo la
comprobación de los datos medidos .
Toda poligonal requiere de un número de visuales que una
triangulación.
Planteamiento de la poligonal
Reconocimiento
Ubicación de 
los Vértices
Es la etapa de
inspección directa en
el terreno y que tiene
como objetivo
Determinar la
conveniencia de la
poligonal
Ubicación de las
estaciones
Solución del método a
seguir para la medida de
lados , ángulos, equipo,
personal y tiempo que
demanda el trabajo
Todo vértice de la
poligonal deberá
encontrarse en sitios
totalmente definidos
De ser posible,
preferentemente los
vértices se seleccionarán
de modo que
Difíciles de reconocer y
confundir
O en todo caso se tomarán
las precauciones debidas ,
para evitar los
inconvenientes que puede
traer la pérdida de un
estaca o vértice de la red.
Se logre formar un
polígono de lados
equiláteros o
longitudinales iguales
Labores que 
comprenden una 
poligonal
Medición de
los lados de la
poligonal
La medición
de los lados
puede ser
ejecutada por
Estadía o
mira
Método que se
emplea cuando se
trata de poligonales
ligeras referenciales
y de baja precisión.
Barra Invar
La medición con
wincha o cinta
métrica
Método que se emplea
principalmente cuando se
cuenta con el equipo
necesario, se tiene topografía
accidentada, obstáculos que
imposibilitan la medición a
wincha y que se quiere aligerar
y avanzar el trabajo.
Es el más empleado ya 
que no requiere de equipo 
adicional, aparte del 
Teodolito y en algunos 
casos de un termómetro , 
tensiómetro , nivel de 
ingeniero, que es el 
equipo mínimo necesario 
para los levantamientos 
taquimétricos. 
Labores que 
comprenden 
una poligonal
L
A
B
O
R
E
S
Q
U
E
C
O
M
P
R
E
N
D
E
N
U
N
A
P
O
L
I
G
O
N
A
L
Medición de
los ángulos de
la poligonal
Medición del
azimut de uno
de los lados
La medición de los ángulos se
realizara a visuales totalmente
definida, clara y que no se presten a
falsas interpretaciones
Generalmente los ángulos que se
miden son internos, pero en las
poligonales de precisión deberán
medirse también ángulos exteriores a
fin de que pueda ejecutarse la
compensación de vértices (suma de
ángulos interiores y ángulos
exteriores debe ser igual a 360°).
A fin de referir la orientación de una
poligonal ( consecuentemente el
plano levantado) , respecto de los
puntos cardinales , debe ejecutarse
la medición del azimut de uno de los
lados de la misma ,siendo de uso
general el empleo de la brújula del
teodolito , cuando el caso lo exija , se
medirá el azimut verdadero o
geográfico (poligonales de alta
precisión).
Cálculo de 
la poligonal
G
A
B
I
N
E
T
E
Condición de 
ángulo
En toda poligonal cerrada, la
condición que deberá cumplir
los ángulos promedios de la
misma es:
Suma de ángulos
internos =180(n-2)
……..(I)
Suma de ángulos
externos= 180(n+2)
Siendo n el número de ángulos o
vértices de la poligonal.
El azimut de un lado, es el
ángulo medido en sentido
horario desde la orientación
Norte hasta el lado en
referencia. El valor del
azimut puede estar
comprendido entre los
valores 0° y 360°
180º
A
Azimut
CALCULO 
POLIGONAL
RUMBO
El rumbo de una lado, es 
el ángulo medido o bien 
desde el norte o biendesde el sur y hacia el 
este o el oeste y sin que 
su valor sea mayor de 
90°.
Si se conoce el azimut de un 
lado, por simple operación 
aritmética, es posible encontrar 
el valor de su rumbo si es que se 
realiza la definición tanto de 
azimut como de rumbo ya que 
existe una estrecha relación entre 
ambos.
Si el azimut del lado se encuentra 
comprendido entre los valores: 
0°y 90°, el rumbo se encuentra 
en el cuadrante Nor Este y tienen 
por valor:
R = Azimut
Si el azimut del lado se encuentra 
comprendido entre los valores: 
90° y 180°, el rumbo se 
encuentra en el cuadrante Sur Este 
y tiene por valor:
Rumbo = 180° - Azimut
RELACIÓN ENTRE LOS
PUNTOS CARDINALES
Y EL SISTEMA DE
COORDENADAS
El sistema de puntos cardinales no es mas 
que un sistema de coordenadas cartesianas, 
por lo que para el caso de los planos se 
toma la dirección del eje XX paralela a la 
dirección Oeste Este y la dirección del YY, 
paralela a la dirección Norte Sur.
CÁLCULO DE
PROYECCIONES
Si se ha tomado la relación 
de sistemas de 
coordenadas anteriormente 
indicado, entonces:
Proyección en “X” = Lado * 
Seno Rumbo
Proyección en “Y” = Lado * 
Coseno Rumbo
SIGNOS DE LAS PROYECCIONES
Los signos de las proyecciones de un lado están íntimamente 
relacionados con la ubicación que tome su respectivo rumbo, tal como 
se indica en la figura.
Rumbo Nor Este: Proyección “X” (+) Proyección “Y” (+)
Rumbo Sur Este: Proyección “X” (+) Proyección “Y” (-)
Rumbo Sur Oeste: Proyección “X” (-) Proyección "Y” (-)
Rumbo Nor Oeste: Proyección “X(-) Proyección en “Y” (+)
Regla de la Brújula
“La corrección que debe aplicarse a la proyección 
de un lado en uno u otro eje, es igual a la corrección 
total a aplicar en dicho eje, por la distancia lineal 
del lado entre la suma de las longitudes de todos 
los lados de la poligonal.” 
Es decir: 
CONDICIONES QUE DEBEN CUMPLIR LAS 
PROYECCIONES DE UNA POLIGONAL CERRADA
En una poligonal cerrada, las proyecciones de los lados deben
cumplir las siguientes ecuaciones de condición:
Suma de proyecciones en el eje “X” = 0
Suma de proyecciones en el eje “Y” = 0
Si no cumplieron las ecuaciones anteriores, deberá procederse a la
compensación de proyecciones, siempre y cuando los errores sean
inferiores a los máximos tolerables.
Los criterios más empleados para efectuar la compensación de
proyecciones en una poligonal son:
EJEMPLO DE CALCULO 
DE UNA POLIGONAL 
CERRADA
ANGULOS IINTERNOS:
Norte
LONGITUD DE LOS LADOS, (m): 
Fig. Nº 1
Azimut A B = 126º 12’ 30”
Croquis Fig. Nº 1
Coordenadas A =(5,000.00 , 10,000.00)
Se desea: calcular las coordenadas de los vértices restantes, debiendo realizar la compensación de 
proyecciones por la regla de la brújula.
EJEMPLO:
EN LA MEDICIÓN DE UNA POLIGONAL CERRADA, SE HA 
OBTENIDO LOS SIGUIENTES DATOS:
Vértice 1ra Medición 4ta Medición 
A 85º 12’ 35” 340º 51’ 20”
B 119º 34’ 10” 118º 17’ 12”
C 75º 35’ 00” 302º 20’ 20”
D 79º 38’ 20” 318º 33’ 32”
Lado 1ra Medición 2da Medición 3ra Medición 
A B 238.11 238.16 238.15
B C 375.78 375.72 375.69
C D 401.23 401.30 401.25
D A 433.40 433.42 433.44
Z = 126º 12’ 30”
A
B
C
D
SOLUCION:
1º.- Calculo de los ángulos promedios:
A = 340º 51’ 20” = 85º 12’ 50”
4
B = 360º+118º17’12” = 119º 34’ 18”
4
C = 302º 20’ 20” = 75º 35’ 05”
4
D = 318º 33’ 32” = 79º 38’ 23”
4 _________
Suma 360º 00’ 36”
2º.- Compensación de ángulos:
A = 85º 12’ 50” – 9” = 85º 12’ 41”
B = 119º 34’ 18” – 9” = 119º 34’ 09”
C = 75º 35’ 05” – 9” = 75º 34’ 56”
D = 79º 38’ 23” – 9” = 79º 38’ 14”
______________ = __________
360º 00’ 36” 36” 360º 00’ 00”
3º.- Calculo de longitud promedio de los lados:
A B = 238.00 + _1_ (0.11+0.16+0.15) = 238.14 m
3
B C = 375.00 + _1_ (0.78+0.72+0.69) = 375.73 m
3
C D = 401.00 + _1_ (0.23+0.30+0.25) = 401.26 m
3
D A = 433.00 + _1_ (0.40+0.42+0.44) = 433.42 m
3 _______
1,448.55 m
4º.- Calculo del azimut y rumbo:
Z A B = 126° 12’ 30” + R A B = S 53°47’30” E
180°
Z B A = 306° 12’ 30” +
B = 119° 34’ 09”
425° 46’ 39” –
360°
Z B C = 65° 46’ 39” + R B C = N 65°46’39” E
180°
Z C B = 245° 46’ 39” +
C = 75° 34’ 56”
Z C D = 321° 21’ 35” + R C D = N 38°38’25” O
180°
Z D C = 141° 21’ 35” +
D = 79° 38’ 14”
Z D A = 220° 59’ 49” + R DA = S 40°59’49” O
180°
Z A D = 40° 59’ 49” +
A = 85° 12’ 41”
Z A B = 126° 12’ 30” (Comprobación)
5º.- Calculo de las proyecciones de los lados:
Empleando las formulas que dan los valores de las proyecciones 
en cada eje y teniendo en cuenta el cuadrante que ocupa el rumbo, 
puede llegarse al siguiente cuadro:
Lado Longitud(m)Rumbo lado proyecc. X Proyecc. Y
A B 238.14 S 53º47’30” E + 192.15 m - 140.67 m
B C 375.73 N 65º46’39” E + 342.65 m + 154.15 m
C D 401.26 N 38º38’25” O - 250.56 m + 313.42 m
D A 433.42 S 40º59’49” O - 284.33 m - 327.12 m
__________ __________
Suma - 0.09 m - 0.22 m
Proyección en X = Lado x Sen Rumbo
Proyección en Y = Lado x Cos Rumbo
6º.- Calculo de errores en los ejes, error de cierre y error relativo:
Los errores en los ejes se obtienen por suma algebraica de las 
proyecciones, siendo para el caso, los siguientes :
Ex = - 0.09 m Ey = - 0.22 m
error de cierre o error absoluto, será 
el error relativo, será = Ec / Suma long. Prom. de lados
Er = 0.25 = 1 , tomándose 1/5,500
1,448.55 5,794
Ec y Er : Son índices de la precisión alcanzada en la medición, por lo que 
en base a estos valores se clasifican las precisiones de los poligonales. 
Tolerancia para trabajos de levantamientos topográficos o replanteos 
topográficos en zonas urbanas es 1/10,000
7º.- Calculo de las correcciones de las proyecciones:
Lado Corrección en eje X Corrección en eje Y
A B 0.09 x 238.14 = + 0.01m0.22 x 238.14 = + 0.04 m
1,448.55 1,448.55
B C 0.09 x 375.73 = + 0.02 m 0.222x 375.73 = + 0.06 m
1,448.55 1,448.55
C D 0.09 x 401.26 = + 0.03 m 0.22 x 401.26 = + 0.06 m
1,448.55 1,448.55
D A 0.09 x 433.42 = + 0.03 m 0.22 x 433.42 = + 0.06 m
1,448.55 1,448.55
_______ ________
+ 0.09 m + 0.22 m
Corrección en X = (Ex x Long. Prom.AB)/Suma prom. lados
Corrección en Y = Ey x Long. Prom.AB)/Suma prom. lados
8º.- Calculo de las proyecciones compensadas:
Eje X Eje Y
A B: + 192.15 + 0.01 = + 192.16 - 140.67 + 0.04 = - 140.63
B C: + 342.65 + 0.02 = + 342.67 + 154.15 + 0.06 = + 154.21
C D: - 250.56 + 0.03 = - 250.53 + 313.42 + 0.06 = + 313.48
D A: - 248.33 + 0.03 = - 284.30 - 327.12 + 0.06 = - 327.06
_______ _______
0.00 0.00
9º.- Calculo de las coordenadas de las estaciones:
Estaciones x y
A 5,000.00 + 10,000.00 -
192.16 140.63
B 5,192.16 + 9,859.37 +
342.67 154.21
C 5,534.83 - 10,013.58 +
250.53 313.48
D 5,284.30 - 10,327.06 -
284.30 327.06
A 5,000.00 10,000.00 
Vértice Ang. Medido
Múltiplos de 
corrección
Corrección 
redondeada
Diferencias 
Sucesivas
Angulo 
ajustado
A
B
C
D
360° 00´ 38¨
85º 12’ 50”
119º 34’ 18”
75º 35’ 05”
79º 38’ 25”
9.5
19.0
28.5
38.0
10
19
29
38
10¨
9¨
10¨
9¨
38¨/4 = 9.5
85º 12’ 40”
119º 34’ 09”
79º 38’ 16”
75º 34’ 55”
360° 00´ 00¨