S02_PPT_EA_NEGOCIOS (2016-2)

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CASO: B&C Electrónica
Como gerente de marketing de B&C Electrónica, usted está considerando
vender un nuevo modelo de televisor. En el pasado, 40% de los nuevos
modelos de televisores han tenido éxito, en tanto que 60% no lo han
tenido. Antes de introducir el nuevo modelo de televisor, el departamento
de investigación de mercados realiza un amplio estudio y entrega un
informe, ya sea favorable o desfavorable. En el pasado, 80% de los
nuevos modelos de televisores que tuvieron éxito recibieron informes de
investigación de mercados favorables, en tanto que 30% de los nuevos
modelos de televisores que no tuvieron éxito recibieron informes
favorables. Para el nuevo modelo de televisor que se está considerando
vender, el departamento de investigación de mercados entregó un informe
favorable, ¿cuál es la probabilidad de que el televisor tenga éxito?
Aplicaciones
TEOREMA DE BAYES Y PROBABILIDAD TOTAL
LOGRO DE APRENDIZAJE
Al término de la sesión, el estudiante
resuelve ejercicios de Teorema de Bayes
y Probabilidad Total, así como también
distribución de variable aleatoria, función
de probabilidad usando las propiedades
de las desigualdades y las leyes de
probabilidades, utilizando el procedimiento
adecuado en el tiempo establecido.
TEOREMA DE BAYES Y PROBABILIDAD TOTAL
1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )n nP B P A P B A P A P B A P A P B A   
P(B) = P(B  A1) + P(B  A2) + P( B  A3) + …. + P( B  An) 
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes 
de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces 
podemos calcular la probabilidad de B como la suma:
PROBABILIDAD TOTAL
Ω
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los n
componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de
sucesos, entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a
posteriori) de ocurrencia de cada Ai, (i = 1, 2, ... , n):
P(B)
) AP(B
 |B) P(A ii


TEOREMA DE BAYES
TEOREMA DE BAYES
1 1
1
1 1 2 2
( ) ( / )
( / )
( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )n n
P A P B A
P A B
P A P B A P A P B A P A P B A

  
El gerente de la empresa «SAGA
PLUS», sabe que el 75% de los
productos que exporta son para
varones. De ellos el 20% son para
niños. El 30% del producto de damas
son para niñas. ¿Cuál es la
probabilidad que al seleccionar un
producto , ésta sea para niños?
Producto
Varones
Adulto
Niño
Adulta
Niña
0,75
0,2
0,3
0,25
0,7
0,8
Damas
P(F) = P(N∩V) + P(N∩D) = P(N|V) P(V) + P(N|D) P(D) 
= 0,75 · 0,2 + 0,25 · 0,3 = 0,225 
PROBABILIDAD TOTAL
Eventos:
V: Varones D: Damas
N: Niños
Ejemplo
En el problema anterior: Se 
elige a un producto al azar 
y resulta que es para niños 
(niño o niña). ¿Cuál es la 
probabilidad que sea para 
damas?
P(D) = 0,25; P(N) = 0,225
P(D|N) = P(N ∩ D)/P(N) = P(N|D) P(D) / P(N) 
P(D|N) = 0,25·0,3 / 0,225 = 0,33
TEOREMA DE BAYES
Producto
Varones
Adulto
Niño
Adulta
Niña
0,75
0,2
0,3
0,25
0,7
0,8
Damas
Ejemplo
¿ QUÉ HEMOS APRENDIDO HASTA EL MOMENTO?
DEFINIR:
 PROBABILIDAD TOTAL.
 TEOREMA DE BAYES
AHORA, FRENTE AL CASO INICIAL DE “B&C ELECTRÓNICA”
PODEMOS AYUDAR AL GERENTE CON SU PROBLEMA.
CASO: EMPRESA ELECTRONIC S.A.
Calos Antonio es dueño de la empresa
Electronic S.A., que se dedica a la venta de
chips para computadoras. Últimamente ha
notado que existe muchos reclamos de sus
clientes por fallas en los chips. Entonces toma
diez chips al azar de su almacén, los analiza, y
sus resultados son:
W={bbbbbbbbbb, bdbbbbbbbb, …,
dddddddddd}
Donde: b: chip bueno, d: chip defectuoso
a. Carlos Antonio no sabe mucho de
estadística, pero piensa que para espacios
muestrales como el anterior, cuyos puntos
de muestra son grandes, debe existir un
proceso más simple (que posiblemente
involucre funciones matemáticas) para
calcular probabilidades. ¿Qué le dirías?
b. Supón, además, que Carlos esté
considerando la posibilidad de comprar
una póliza de seguros.
x (pérdidas anuales) P(x)
0 0.93
10000 0.02
25000 0.015
30000 0.015
50000 0.01
100000 0.01
Total 1
Para ello ha hecho una evaluación de los
posibles riesgos de la pérdida de su
almacén debido a una catástrofe (robo,
incendios, etc.) aunque las pérdidas
anuales en nuevos soles se pueden deber
a muchas causas, Carlos ha resumido las
pérdidas anuales (x) en la siguiente tabla:
c. Si Carlos va a contratar una póliza de
seguros contra cualquier catástrofe para su
almacén, ¿Qué valor aproximadamente le
convendría pagar? Ayudemos a Carlos a
encontrar este valor.
VARIABLE ALEATORIA
12
Variable aleatoria
Una variable aleatoria X es una función que asocia a 
cada suceso del espacio muestral Ω de un experimento 
aleatorio un valor numérico real:
X: Ω  IR
w  X(w)
VARIABLE ALEATORIA (V.A.)
W: El tiempo de espera para ser atendido en un banco
X: La suma que aparece al lanzar un par de dados.
Y: Peso de 20 animales después de 30 días de 
alimentarlos de la misma manera. 
Z: El número de errores que se encuentran 
en la página de un libro contable.
TIPOS DE VARIABLE
V.A. DISCRETA 
Es aquella que 
solo puede tomar 
un número finito o 
infinito numerable 
de valores. 
X : Ω  IN
V.A CONTINUA 
Es la que puede 
tomar un número 
infinito no 
numerable de 
valores. 
X : Ω  IR
VARIABLES ALEATORIAS
Ejemplos de variables aleatorias
DISCRETAS:
Experimento Variable 
aleatoria
Valores 
posibles 
V.A
Llamar a cinco 
clientes
W: Cantidad 
de clientes
0, 1,2,3,4,5
Inspeccionar 
un embarque 
de 40 chips
X: Cantidad 
de chips 
defectuosos
0,1,2,….,40
Funcionamient
o de un 
restaurante 
durante un día 
Y: Cantidad 
de clientes
0,1,2,3…….
Vender un 
automóvil
Z: Sexo 
Cliente
0: hombre y 
1: mujer
Ejemplos de variables aleatorias
CONTINUAS:
Experimento Variable 
aleatoria
Valores 
posibles V.A
Funcionamiento 
de un banco
Tiempo en 
minuto, entre 
llegadas de 
clientes
X>=0
Llenar una lata 
de bebida 
(máx =12.1 
onzas)
Cantidad de 
onzas 0<=x<=12.1
Proyecto para 
construir un 
biblioteca
Porcentaje de 
terminado del 
proyecto
0<=x<=100
Ensayar un 
nuevo proceso 
químico
Temperatura 
cuando se lleva 
a cabo la 
reacción 
deseada (min 
150º F; máx
212ºF)
150<=x<=212
Inspeccionar 
50 autos
Funcionamiento de 
una bombilla eléctrica
¿En los siguientes experimentos que v.a. podría 
definirse y cuales serían sus posibles valores?
17
Ejemplo de variable aleatoria discreta: 
Número de caras al lanzar 
2 monedas.
Elementos del 
espacio muestral SS CS SC CC
Nº reales
(# de caras) 0 1 2 caras
Ley de 
correspondencia
Establecer una variable aleatoria 
para un experimento aleatorio no 
es más que una manera de asignar 
de "manera natural" números a los 
eventos.
Función de probabilidad o distribución
Una vez definida una variable aleatoria X, podemos
definir una función de probabilidad o distribución
de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma:
)()(
]1,0[:
xXPxpx
p


La función de probabilidad debe cumplir:
 

x
xpii
xxpi
1)()(
1)(0)(
(Suma sobre todos los posibles valores 
que puede tomar la variable aleatoria). 
Función de probabilidad discreta
Valores Probabilidad 
0 1/4 = 0.25
1 2/4 = 0.50
2 1/4 = 0.25
SS
S
S
Ejemplo: Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X, 
número de caras obtenidas. La función de probabilidad de X es
Es habitual expresar la función 
de probabilidad en una tabla de 
la forma:
xi 0 1 2
fX (xi)
1
4
2
4
1
4
La función de probabilidad se puede expresar también:
fX (x) =
1
4
si x = 0 o 2
1
2
si x = 1
0 en otro caso
 




1
1)()2
,0)1
i
i
xf
ixf
   ii xXPxf 
Observa que se tiene que cumplir
21
Función de distribución (acumulada)
Dada una variable aleatoria discreta X se llama 
función de distribución a la función F definida 
como:
)()(
]1,0[:
xXPxFx
F


En nuestro ejemplode las dos monedas: 
F(1) = P(X  1) = P(x = 0 ó x = 1)
F(1) = 1/4 + 2/4 = 3/4
xi 0 1 2
F(xi)
1
4
3
4
1
Función de Distribución (Acumulada)
Ejemplo : Sea X La función de probabilidad de la variable aleatoria X
viene dada por la tabla.
xi 0 1 2 3
fX (xi) 0,2 0,3 0,1 0,4
Representar la función de probabilidad y la función de distribución de X
Función de Distribución (Acumulada)
Juntamos en una tabla la función de probabilidad y la función de 
distribución de X
xi 0 1 2 3
fX (xi) 0,2 0,3 0,1 0,4
FX (xi) 0,2 0,5 0,6 1
Función de probabilidad Función de distribución (Acumulada)
ESPERANZA MATEMATICA Y VARIANZA PARA V.A DISCRETAS
Media aritmética:





i
ii
i
ii
fx
N
nx
x
Varianza:
222
2
2 xfxx
N
nx
s
i
ii
i
ii


 

 
 




i
ii
i
ii
fxx
N
nxx
s
2
2
2
Desviación típica: 2ss 
Media aritmética o esperanza:
  
i
ii xfx
Varianza:
  222  
i
ii xfx
    
i
ii xfx
22 
Desviación típica: 2 
o bien:
o bien:
Variable estadística X que toma 
valores x1, …, xi, …
Variable aleatoria X que toma 
valores x1, …, xi, …
Hallar la esperanza, la varianza y la desviación típica de la variable 
aleatoria X, dada por la función de probabilidad.
Primero se calcula la esperanza matemática=E(X)=
E(X)= = x1·p(x1) + x2·p(x2) + x3·p(x3) + x4·p(x4) =
= 0 · 0,1 + 1 · 0,2 + 2 · 0,4 + 3 · 0,3 = 1,9
La varianza:
2 = 02 · 0,1 + 12 · 0,2 + 22 · 0,4 + 32 · 0,3 − 1,92 = 0.89
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza:
94,089,0 
2
4
2
43
2
32
2
21
2
1
2 )()()()(   xpxxpxxpxxpx
xi 0 1 2 3
pX (xi) 0,1 0,2 0,4 0,3
EJEMPLO
Una pizzería que atiende pedidos por correo tiene cinco líneas telefónicas. Sea X la
variable aleatoria que representa el número de líneas en uso en un momento
específico. Supongamos que la función de probabilidad f de X está dada en la
siguiente tabla:
x 0 1 2 3 4 5
f(x) 0,2 0,25 0,1 0,15 0,09 0,21
Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:
a) Menos de 4 líneas estén en uso.
b) Por lo menos 3 líneas están en uso.
c) Entre 2 y 4 (ambas inclusive) líneas estén en uso.
d) Determine el número medio de líneas en uso y su desviación estándar. Interprete.
Ejercicio
¿ QUÉ HEMOS APRENDIDO HOY?
DEFINIR E IDENTIFICAR:
 VARIABLE ALEATORIA Y SU CLASIFICACION
 CALCULAR E INTERPRETAR PROBABILIDADES DE UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA.
 CALCULAR E INTERPRETAR EL VALOR ESPERADO Y VARIANZA
DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.
AHORA, PODEMOS AYUDAR A CARLOS ANTONIO CON SU
PROBLEMA.
BIBLIOGRAFIA BASICA:
Nro.
CODIG
O
AUTOR TITULO AÑO
1
519.2
SCHE
SCHEAFFER Mc.
CLAVE
PROBABILIDAD Y
ESTADÍSTICA PARA
INGENIERÍA
2005
2
519.5
LEVI/P
LEVINE-KREHBIEL-
BERENSON
ESTADÍSTICA PARA
ADMINISTRACIÓN.
2006
3
519.2
HINE
WILLIAM W. HINES
DOUGLAS C.
MONTGOMERY
DAVID M. GOLDSMAN
CONNIE M. BORROR
PROBABILIDAD Y
ESTADÍSTICA PARA
INGENÍERIA
2011
Estimado estudiante, puedes revisar los siguientes textos que se encuentran en
tu biblioteca:
«El conocimiento es una cuesta que pocos pueden subir, mientras 
que el deber es una senda que todos pueden seguir»
Morris