SEMANA 6 EXTRAORDINARIO 2021

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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1 
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS 
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA 
CENTRO PREUNIVERSITARIO 
Habilidad Lógico Matemática 
 
EJERCICIOS DE CLASE SEMANA Nº 6 
 
1. En una cena familiar se observa lo siguiente: Los esposos Gonzales tienen cuatro 
hijas, cada hija tiene un hermano, y cada hijo varón de los Gonzales tiene un sobrino 
y dos sobrinas. ¿Cuál es el número mínimo de personas que conforman esta 
familia? 
 
 A) 9 B) 10 C) 13 D) 11 E) 12 
 
2. Sofía se encuentra en el mercado y observa que un kilo de manzanas contiene de 6 
a 10 manzanas y el precio de un kilo de estas varía de S/ 4 a S/ 8. ¿Cuánto es el 
precio mínimo que se tendría que pagar por 6 decenas de manzanas? 
 
 A) S/ 48 B) S/ 40 C) S/ 24 D) S/ 60 E) S/ 30 
 
3. Juana tiene 10 fichas de madera como muestra la figura (I) y 10 fichas como la figura 
(II), además estas fichas están formadas por cuadraditos de 1 cm de lado. Si quiere 
formar el cuadrado más grande juntando en igual cantidad ambas fichas y sin dejar 
espacios vacíos, ¿cuántas fichas en total utilizará? 
 
 A) 12 
 
 B) 14 
 
 C) 20 
 
 D) 16 
 
 E) 18 
 
4. En la figura, manteniendo la misma disposición de las fichas, ¿cuál es la mínima 
cantidad de fichas que deben ser intercambiadas de posición para que la suma de 
los números ubicados horizontalmente sea el doble a la de los ubicados 
verticalmente? 
 
 A) 2 
 
 B) 4 
 
 C) 6 
 
 D) 5 
 
 E) 3 
 
 
 
 
 
Figura 
II 
Figura 
I 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 2 
5. Carlos se demora media hora en ir de su casa al teatro, pregunta a su madre qué 
hora es y ella le responde: «Dentro de 25 minutos faltarán para las 18 horas, 15 
minutos más que los minutos transcurridos desde las 15 horas». Si Carlos sale 
inmediatamente, ¿qué hora llegará al teatro? 
 
 A) 15:40 h B) 16:10 h C) 16:50 h D) 16:40 h E) 17:00 h 
 
6. Carlos compró un reloj y observó que hace ya 45 horas que dicho reloj se adelanta 
3 minutos cada 5 horas. Si son las 6:00 p.m., ¿qué hora señalará el reloj cuando 
sean las 11:00 p.m.? 
 
 A) 11:27 p.m. B) 11:24 p.m. C) 11:30 p.m. 
 D) 11:33 p.m. E) 11:35 p.m. 
 
7. A partir de las 6:00 a.m. de hoy lunes, un reloj empieza a atrasarse por cada 2 horas 
3 minutos. ¿Qué hora estará marcando el próximo martes a las 6:00 p.m.? 
 
 A) 5:06 p.m. B) 5:10 p.m. C) 5:18 p.m. D) 5:16 p.m. E) 4:56 p.m. 
 
8. Un reloj de manecillas se adelanta 18 minutos cada 3 horas y otro se atrasa 
24 minutos cada 2 horas, ambos relojes se ponen a la misma hora. ¿Después de 
cuánto tiempo ambos relojes marcaran la misma hora nuevamente? 
 
A) 40 h B) 48 h C) 24 h D) 36 h E) 30 h 
 
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 6 
 
1. En una cena familiar se encuentran reunidos tres padres, tres hijos, tres hermanos, 
tres tíos, tres sobrinos y tres primos. Si cada uno de ellos pidió un plato de comida 
que costaba S/ 15, ¿cuánto es el costo mínimo de consumo de dicha familia? 
 
 A) S/ 105 B) S/ 90 C) S/ 120 D) S/ 75 E) S/ 135 
 
2. Camila se dedica a la compra y venta de frutas, el precio de compra del kilo de 
durazno varía de S/ 4 a S/ 7, el precio de venta de un kilo de durazno varía de S/ 6 a 
S/ 8 y además un kilo de durazno contiene de 8 a 12 duraznos. Si Camila desea 
obtener la máxima ganancia de 6 docenas de duraznos, ¿cuánto es dicha ganancia? 
 
 A) S/ 24 B) S/ 18 C) S/ 36 D) S/ 40 E) S/ 28 
 
3. Juana tiene varias fichas de madera como muestra la figura (I) y la figura (II), 
además estas fichas están formadas por cuadraditos de 1 cm de lado. Si quiere 
formar el cuadrado más pequeño juntando en igual cantidad ambas fichas y sin dejar 
espacios vacíos, ¿cuántas fichas en total utilizará? 
 
 A) 14 
 
 B) 16 
 
 C) 10 
 
 D) 12 
 
 E) 8 
Figura II Figura I 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 3 
4. Mario tiene en una caja 20 monedas, todas de S/ 2; y en otra caja, 26 monedas, 
todas de S/ 5. Si quiere que en ambas cajas haya la misma cantidad de dinero, 
¿cuántos intercambios de monedas como mínimo deberá realizar? 
 
 A) 14 B) 16 C) 15 D) 12 E) 10 
 
5. Manuel pregunta la hora a su hermano mayor y este le responde: «Dentro de 
20 minutos faltará para las 7:00 p.m. los mismos minutos que transcurrieron desde 
las 4:00 p.m. hasta hace 30 minutos. ¿Qué hora será dentro de una hora? 
 
 A) 6:35 p.m. B) 5:35 p.m. C) 5: 55 p.m. D) 6:10 p.m. E) 5:45 p.m. 
 
6. Un reloj se adelanta 5 minutos por cada 2 horas. Si empieza correctamente a las 12 
del mediodía del día jueves 10 de marzo, ¿cuándo volverá a señalar la hora 
correcta? 
 
 A) 20 de marzo B) 21 de marzo C) 23 de marzo 
 D) 22 de marzo E) 18 de marzo 
 
7. Carmen observa el reloj del parque y sabe que se atrasa 20 minutos cada 5 horas. 
Si hace 8 horas que ha sido sincronizado con la hora correcta y ahora está 
marcando las 8:17 p.m., ¿cuál será la hora correcta dentro de 20 minutos? 
 
 A) 8:59 p.m. B) 8:45 p.m. C) 9:05 p.m. D) 9:15 p.m. E) 9:09 p.m. 
 
8. Dos relojes se sincronizan simultáneamente a las 12 del mediodía, uno de ellos se 
adelanta 3 minutos cada hora y el otro se atrasa 2 minutos cada hora. ¿Qué hora 
marcará el reloj que se atrasa si la separación entre los relojes malogrados es de 
media hora? 
 
A) 5:42 p.m. B) 5:45 p.m. C) 5:48 p.m. 
 D) 5:39 p.m. E) 5:36 p.m. 
 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 4 
Habilidad Verbal 
 
SEMANA 6A 
 
LA EXTRAPOLACIÓN 
 
 La extrapolación consiste en una lectura metatextual en la medida en que presenta 
una condición que va más allá del texto. Se sitúa el texto en una nueva situación no 
descrita ni planteada en el esquema textual y se predice la consecuencia de tal operación. 
La extrapolación puede realizarse de dos maneras básicas: cognitiva y referencial. 
 
 A. Extrapolación cognitiva: Consiste en hacer un viraje radical en las ideas del 
texto y establecer la consecuencia que se desprende de tal operación. 
 
B. Sobre extrapolación referencial: Es una modalidad que consiste en modificar 
las condiciones del referente textual y determinar el efecto que se proyecta en esta 
operación. Generalmente, sigue el procedimiento de aplicar el contenido del texto a otra 
situación (otra época, otro espacio, otra disciplina). 
 
 
TEXTO A 
 
 En la economía de mercado, los lentos pierden y los rápidos ganan. Vivimos en lo 
que se denomina «la economía de la velocidad», en la que las empresas se someten a 
una competencia brutal. Los rápidos comen a los lentos, los que frenan pierden la carrera; 
por ello, un gurú de la nueva economía recomienda «ganar el mayor porcentaje posible 
del mercado en el mínimo tiempo posible, para que los que vengan después no tengan 
oportunidades». Llegar antes que la competencia puede ser decisivo para el éxito o 
fracaso. 
 La economía actual avanza sustentada por una aceleración dramática de los 
procesos de innovación tecnológica. Los plazos en los que suceden los cambios 
tecnológicos son cada vez más cortos. Antes de la revolución industrial, surgían 
innovaciones importantes solo cada 200 o 300 años. Luego aparecían cada veinte años. 
Al empezar el siglo XXI, los intervalos para las innovaciones que revolucionan el mercado 
son solo de un par de años. 
 
Si un epistemólogo demostrara que las innovaciones tecnológicas realmente 
significativas suceden cada siglo, 
 
A) la llamada revolución industrial jamás habría ocurrido. 
B) el planteamiento del autor del texto quedaría debilitado. 
C) los economistas no podrían profesar que ganemos el mercado. 
D) los mercados
mundiales perderían sus valiosos negocios. 
E) los lentos siempre ganarían cuando se trate de negocios. 
 
TEXTO B 
 
Ciencia y filosofía forman un continuo. La filosofía es la parte más global, reflexiva y 
especulativa de la ciencia, la arena de las discusiones que preceden y siguen a los 
avances científicos. La ciencia es la parte más especializada, rigurosa y bien contrastada 
de la filosofía, la que se incorpora a los modelos estándar y a los libros de texto y a las 
aplicaciones tecnológicas. Ciencia y filosofía se desarrollan dinámicamente, en constante 
interacción. Lo que ayer era especulación filosófica hoy es ciencia establecida. Y la 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 5 
ciencia de hoy sirve de punto de partida a la filosofía de mañana. La reflexión crítica y 
analítica de la filosofía detecta problemas conceptuales y metodológicos en la ciencia y la 
empuja hacia un mayor rigor. Y los nuevos resultados de la investigación científica echan 
por tierra viejas hipótesis especulativas y estimulan a la filosofía a progresar. 
 
Si elimináramos la influencia de la reflexión filosófica en el ámbito científico, 
probablemente 
 
A) las ciencias matemáticas llegarían a su máximo apogeo. 
B) los seres humanos alcanzarían la utópica felicidad. 
C) las sociedades caerían en una profunda anarquía. 
D) los avances científicos disminuirían considerablemente. 
E) los políticos despreciarían la opinión de los científicos. 
 
TEXTO C 
 
En un mundo como el actual donde la economía está globalizada, y en el que, en 
consecuencia, el mercado mundial es un gran campo de batalla, solo vencen o logran 
mantenerse, aquellas empresas que entre otras cosas cuentan con una buena estrategia 
de marketing. Esto se hace patente en la medida en que las empresas que logran 
imponerse o por lo menos mantenerse en el mercado, no son necesariamente las que 
ofrecen productos de calidad y a buenos precios, sino principalmente las que logran 
hacerlos atractivos e indispensables para el público consumidor, conociendo y 
direccionando la sicología de los potenciales compradores mediante una adecuada y 
abundante publicidad, entre otras cosas fundamentales de un buen marketing. 
 
De acuerdo con las conclusiones sobre el marketing en los negocios, se puede 
extrapolar que, en el ámbito de la política, probablemente 
 
A) los partidos ofrecerían a los electores buenas ideas y honestidad. 
B) en las elecciones los partidos deberían actuar éticamente y sin demagogia. 
C) ganaría las elecciones el partido que ofrezca más y tenga gran publicidad. 
D) los partidos deberían conocer las necesidades reales de los electores. 
E) en política no sería importante el uso del marketing en las elecciones. 
 
TEXTO D 
 
 En la actualidad, la gente no distingue bien entre explicar, comprender, justificar y 
compartir, pues no se captan sutiles diferencias. Un caso reciente puede ayudarnos a 
establecer las debidas distinciones. Erika es una muchacha que está acusada de haber 
acuchillado a su madre y a su hermano pequeño. ¿Se puede explicar este hecho? Sin 
duda, y deberían hacerlo los psicólogos y psiquiatras. ¿Se puede comprender a Erika? Si 
me explican que era presa de un ataque de locura, la puedo comprender, porque un loco 
no razona. ¿Se puede justificar? Desde luego que no, y es preciso que un tribunal 
condene su acto y actúe con ella de tal forma que no pueda volver a hacer daño. ¿Se 
puede compartir lo que ha hecho en el sentido de que nosotros también lo haríamos? 
Espero que no, de lo contrario nos convertiríamos en uno de esos descerebrados que le 
envían mensajes de solidaridad. 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 6 
Si quisiéramos explicar que la corrupción en un hospital conlleva a la muerte de los 
pacientes, el autor sostendría que 
 
A) inevitablemente sería una labor imposible en nuestro contexto. 
B) sería inaplicable la explicación en estos casos de corrupción. 
C) resultaría superflua esta tarea en la difícil situación actual. 
D) eso conllevaría a la justificación de horrendos sucesos. 
E) sería una tarea que deben emprender los científicos. 
 
TEXTO E 
 
 Algunos de los consejos que los vendedores deben seguir para mantener y 
acrecentar una buena cartera de clientes son los siguientes: brindar un servicio 
personalizado, no agobiar con productos prescindibles o inútiles, facilitar el pago de la 
deuda en cómodas cuotas, no recargar mucho los intereses y realizar visitas 
oportunamente. Seguir estos consejos ha probado que los clientes mantienen la 
curiosidad en los productos que se les ofrecen y un nivel de compras a un ritmo 
sostenido. 
 
De acuerdo con las conclusiones sobre las técnicas de ventas, podemos determinar 
que, en el ámbito de las relaciones amicales, 
 
A) los amigos deben estar para ayudarnos en cualquier momento o circunstancia. 
B) las ventas deben ser utilizadas para estrechar los lazos entre los familiares. 
C) no debemos molestar a los amigos con nuestros problemas y necesidades. 
D) las ventas son el medio propicio para interesar a los amigos en diversos temas. 
E) las técnicas de venta no son un recurso para establecer vínculos comerciales. 
 
COMPRENSIÓN LECTORA 
 
TEXTO 1 
 
El probar una hipótesis implica por lo menos cuatro actividades diferentes. Primero, 
la hipótesis debe ser examinada en cuanto a su consistencia interna. Una hipótesis 
autocontradictoria debe ser rechazada. Segundo, la estructura lógica de una hipótesis 
debe ser examinada para averiguar si tiene valor explicativo; esto es, si hace al fenómeno 
observado inteligible en algún sentido, si ayuda a comprender por qué el fenómeno 
ocurre de hecho como se observa. La hipótesis establece relaciones generales entre 
ciertas condiciones y sus consecuencias. Por ejemplo, el movimiento de los planetas 
alrededor del Sol es explicado como consecuencia de la gravedad. 
Tercero, la hipótesis debe ser examinada en cuanto a su consistencia con teorías 
comúnmente aceptadas en el campo particular de la ciencia; es decir, si representa algún 
avance con respecto a hipótesis alternativas bien establecidas. La carencia de 
consistencia no siempre es razón para rechazar una hipótesis, aunque a menudo lo sea. 
Algunos de los grandes avances científicos ocurren precisamente cuando se muestra que 
una hipótesis ampliamente sostenida es reemplazada por otra nueva, que explica los 
mismos fenómenos explicados por la hipótesis preexistente, y otros que la hipótesis 
preexistente no podía explicar. Un ejemplo es el reemplazo de la mecánica newtoniana 
por la teoría de la relatividad. 
La cuarta y más distintiva de las pruebas a que debe someterse una hipótesis es la 
siguiente: una hipótesis científica debe ser probada empíricamente indagando si las 
predicciones acerca del mundo de la experiencia derivadas de la hipótesis concuerdan 
con lo que se observa o no. Éste es el elemento crítico que distingue a la ciencia empírica 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 7 
de otras formas de conocimiento: el requerimiento de que las hipótesis científicas sean 
empíricamente refutables. 
 
1. ¿Cuál es el tema central del texto? 
 
 A) Las diferencias entre la ciencia y la tecnología 
 B) Los procedimientos para probar una hipótesis 
 C) Los grandes avances de la ciencia empírica 
 D) Las concepciones científicas contemporáneas 
 E) La consistencia de las hipótesis empíricas 
 
2. El antónimo contextual del término INTELIGIBLE es 
 
 A) imposible. B) indubitable. C) ineluctable. 
 D) insondable. E) inmutable. 
 
3. Según el autor, una hipótesis consistente es aquella que no admite 
 
 A) contraejemplos en su verificación. 
 B) contradicciones en su estructura. 
 C) progreso
de las ciencias empíricas. 
 D) ser reemplazada por otra hipótesis. 
 E) conclusiones o predicciones derivadas. 
 
4. El texto establece que las hipótesis tienen valor explicativo en tanto 
 
 A) muestran contradicciones en su estructura teórica interna. 
 B) sus predicciones pueden ser comprobadas sin experimentación. 
 C) establecen una relación de causa y efecto entre fenómenos. 
 D) son consideradas como claros aportes a la ciencia empírica. 
 E) son percibidas como formas de conocimiento alternativas. 
 
5. Si las consecuencias deducidas de una hipótesis no pudiesen compararse con lo 
que acaece en el mundo, dicha hipótesis sería 
 
 A) ejemplo de una creación metafísica. 
 B) separada de las ciencias empíricas. 
 C) verificada a través de la observación. 
 D) considerada en libros de divulgación. 
 E) aceptada por todos los matemáticos. 
 
TEXTO 2 
 
 «Mecer» es un peruanismo que quiere decir «mantener largo tiempo a una persona 
en la indefinición y en el engaño, pero no de una manera cruda, sino amable y hasta 
afectuosa, adormeciéndola, sumiéndola en una vaga confusión, dorándole la píldora, 
contándole un cuento, mareándola y aturdiéndola de tal manera que se crea que sí, 
aunque sea no, de manera que por cansancio termine por abandonar y desistir de lo que 
reclama o pretende conseguir». La víctima, si ha sido «mecida» con talento, pese a darse 
cuenta en un momento dado de que le han metido el dedo a la boca, no se enoja, termina 
por resignarse a su derrota y queda hasta contenta, reconociendo y admirando incluso el 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 8 
buen trabajo que han hecho con ella. «Mecer» es un quehacer difícil, que requiere talento 
histriónico, parla suasoria, gracia, desfachatez, simpatía y solo una pizca de cinismo. 
 
Detrás del «meceo» hay, por supuesto, informalidad y una tabla de valores trastocada. 
Pero también una filosofía frívola, que considera la vida como una representación en la 
que la verdad y la mentira son relativas y canjeables, en función, no de la 
correspondencia entre lo que se dice y lo que se hace, sino de la capacidad de 
persuasión del que «mece» frente a quien es «mecido». En última instancia, la vida, para 
esta manera de actuar y esta moral, es teatro puro. El resultado práctico de vivir 
«meciendo» o siendo «mecido» es que todo se demora, anda mal, nada funciona y reina 
por doquier la confusión y la frustración. Pero esa es una consideración mezquina del 
arte de «mecer». La generosa y artística es que, gracias al «meceo», la vida es pura 
diversión, farsa y juego. 
 
 Si los peruanos invirtieran toda la fantasía y la destreza que ponen en «mecerse» 
unos a otros, en hacer bien las cosas y cumplir sus compromisos, ese sería el país más 
desarrollado del mundo. ¡Pero qué aburrido! 
 
1. Centralmente, el autor intenta realizar 
 
A) un análisis lingüístico del peruanismo «mecer». 
B) una reflexión en torno al peruanismo «mecer». 
C) un estudio sociológico en torno a las estafas. 
D) una investigación sobre el arte de engañar. 
E) una apología al empleo del término «mecer». 
 
2. El sentido contextual de MEZQUINA es 
 
A) pétrea. B) escasa. C) engañosa. 
D) inverosímil. E) ilusoria. 
 
3. Se puede inferir que la expresión DORAR LA PÍLDORA alude a 
 
A) embaucar encubriendo los hechos reales. 
B) maquillar las noticias que son dolorosas. 
C) eliminar el uso de modalidades de estafa. 
D) explicar una forma de engaño muy usual. 
E) introducir estrategias sutiles de engaño. 
 
4. Resulta incompatible con el texto afirmar que «mecer» implica 
 
A) una labor sencilla de persuasión. 
B) la tergiversación de los valores. 
C) la teatralización del accionar. 
D) trastocar la noción de verdad. 
E) versatilidad en la argumentación. 
 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 9 
5. Si el engaño se produjese de modo burdo, 
 
A) la persona afectada siempre se daría cuenta. 
B) los valores aceptados incluirían la sinceridad. 
C) los peruanos carecerían de talento histriónico. 
D) sería un caso paradigmático por su efectividad. 
E) estaría fuera de lo que se denomina «mecer». 
 
SEMANA 6B 
TEXTO 1 
 
 Ordinariamente, no tienes dudas sobre la existencia del piso bajo tus pies, el árbol 
fuera de la ventana o tus propios dientes. De hecho, la mayoría del tiempo incluso no 
piensas sobre los estados mentales que te hacen consciente de esas cosas: pareces 
estar consciente de ellas de manera directa. Pero, ¿cómo sabes que realmente existen? 
¿Las cosas te parecerían de alguna manera diferentes, si, de hecho, todas esas cosas 
existieran solo en tu mente –si todo lo que consideramos que es el mundo real exterior 
fuera solo un sueño o una alucinación gigantesca de la cual nunca despertarás? 
 Si así fuera, entonces, por supuesto, no podrías despertar como puedes hacerlo de 
un sueño, porque eso significaría que no hay un mundo «real» en el cual despertar. Por 
consiguiente, no sería exactamente como un sueño o una alucinación normales. 
Asumimos que los sueños normales dependen de lo que está sucediendo en el cerebro 
de quien sueña mientras duerme. Pero, ¿no podrían todas tus experiencias ser como un 
gigantesco sueño sin un mundo externo fuera de él? ¿Cómo puedes saber que no es eso 
lo que está pasando? Si todas tus experiencias fueran un sueño con nada fuera, entonces 
cualquier evidencia que intentaras usar para probarte a ti mismo que hay un mundo 
exterior sería solamente parte del sueño. Si golpearas la mesa o te pellizcaras, 
escucharías el golpe y sentirías el pellizco, pero eso sería solamente una cosa más 
sucediendo en el interior de tu mente, como lo es todo lo demás. Eso no es útil: si quieres 
averiguar si lo que está en el interior de tu propia mente es de alguna manera una guía 
para lo que está fuera de ella, no puedes depender de cómo las cosas parecen – desde el 
interior de tu mente— para darte la respuesta. 
 
Pero, ¿de qué otra cosa podemos depender? Toda tu evidencia sobre cualquier cosa 
tiene que llegar a tu mente –ya sea en la forma de percepción, el testimonio de libros u 
otra gente o la memoria— y es completamente consistente, con todo de lo que eres 
consciente, que nada exista en absoluto, excepto el interior de tu mente. Es incluso 
posible que no tengas un cuerpo o un cerebro –ya que tus creencias al respecto llegan 
solamente de la evidencia de tus sentidos. Nunca has visto tu cerebro – simplemente 
asumes que todos tienen uno, pero incluso si lo has visto, o piensas que lo has hecho, 
esa sería solamente otra experiencia visual. Quizá tú, el sujeto de la experiencia, eres la 
única cosa que existe y no hay mundo físico en absoluto –ni estrellas, ni tierra, ni cuerpos 
humanos. Quizá incluso no hay espacio. 
 La conclusión más radical que podemos extraer de esto sería que tu mente es la 
única cosa que existe. Esta postura es llamada solipsismo. Es una postura muy solitaria y 
no mucha gente la ha sostenido. Si yo fuera un solipsista, probablemente no escribiría 
estas líneas, ya que no creería que haya alguien más para leerlas. Quizá tú eres un 
solipsista: en ese caso considerarías este libro como producto de tu propia mente, 
viniendo a la existencia en tu experiencia mientras lo lees. Obviamente, nada de lo que 
pueda decir puede probarte que realmente existo o que esta hoja existe como objeto 
físico. 
 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 10 
1. Principalmente, la postura del autor frente al solipsismo consiste en 
 
A) aceptar esa tesis y todas sus consecuencias. 
B) rechazar la existencia de contenidos mentales. 
C) soslayar la reflexión crítica sobre ese tema. 
D) negar la posibilidad de refutar ese argumento. 
E) asumir que creer que existimos es inútil.
2. El término RADICAL se refiere a una postura filosófica 
 
A) extrema. B) ambigua. C) extendida. 
D) genuina. E) fundamentada. 
 
3. El divulgar su reflexión sobre lo «real» es para el autor una muestra de 
 
A) pesimismo respecto del avance científico. 
B) ausencia de consideraciones filosóficas. 
C) oposición al escepticismo más radical. 
D) candidez en torno a las paradojas lógicas. 
E) insistencia en cuestiones sin importancia. 
 
4. Se infiere que cuando un científico debate en un seminario sobre la clasificación de 
plantas 
 
A) presupone la falsedad de las tesis solipsistas. 
B) refuta todo intento de fundamentación cognitiva. 
C) anula la posibilidad de una tesis de índole realista. 
D) problematiza en torno a las bases de la ciencia. 
E) posibilita, con su mente, que el mundo subsista. 
 
5. Resulta incompatible con el texto afirmar que 
 
A) los solipsistas sostienen que solo existen sus propios contenidos mentales. 
B) la tesis solipsista y sus consecuencias son poco populares entre los filósofos. 
C) para un solipsista cabe la posibilidad de que nada exista fuera de su mente. 
D) las evidencias de las características de los objetos siempre pasan por la mente. 
E) la existencia del mundo externo está plenamente garantizada por la ciencia. 
 
6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría ser sostenida por un solipsista? 
 
A) Podemos ser cerebros en una cubeta a quienes se les conecta a una realidad 
virtual. 
B) Hay evidencia empírica irrefutable sobre la existencia de conciencia en los 
animales. 
C) La naturaleza está gobernada por regularidades que no dependen de la mente. 
D) El mundo seguiría existiendo si la especie humana desapareciera de la Tierra. 
E) La materia no se crea ni se elimina pues solo se transforma y está hecha de 
átomos. 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 11 
7. Si alguien sostuviese que la materia es solo una invención de la mente, entonces 
 
A) escribiría libros para que los demás acepten su tesis. 
B) asumiría que Dios existe y ha creado todas las cosas. 
C) sería un auténtico representante del solipsismo. 
D) se hallaría en las antípodas de todo escepticismo. 
E) negaría la posibilidad de conocer su mente. 
 
8. A lo largo del texto, la imposibilidad de refutar el solipsismo radica en 
 
A) la incapacidad de pellizcarse muy fuerte uno mismo. 
B) la circularidad de la posible prueba basada en la mente. 
C) la imposibilidad de soñar que uno está despierto. 
D) las paradojas lógicas que cautivan a los matemáticos. 
E) el desorden mental que padecen todos los filósofos. 
 
TEXTO 2 
 
 Los niños finlandeses de hoy estarán el día de mañana entre los profesionales más 
preparados del mundo. No lo predice ninguna bola de cristal, lo auguran datos objetivos. 
Desde que la OCDE comenzara en el año 2000 a elaborar su informe PISA, Finlandia ha 
acaparado los primeros puestos del podio en Europa por su excelente nivel educativo. 
 Apenas un 8% de los alumnos finlandeses no terminan sus estudios obligatorios (en 
España uno de cada tres jóvenes dejan sus estudios antes de acabar la enseñanza 
secundaria). Dispuesto a dar con la clave del éxito finlandés, el psicólogo escolar y 
entonces director del colegio Claret de Barcelona, Javier Melgarejo, comenzó a estudiar 
este sistema educativo hace más de una década. Su primera sorpresa fue constatar que a 
los 4 y 5 años menos de la mitad de los niños finlandeses acuden a guarderías y no 
empiezan el colegio hasta los 7 años. Dos años después, sus puntuaciones son mejores 
que el resto de los países estudiados por la OCDE. 
 Durante los primeros seis años de la primaria, los niños tienen en todas o en la 
mayoría de las asignaturas el mismo maestro, que vela por que ningún alumno quede 
excluido. Es una manera de fortalecer su estabilidad emocional y su seguridad. Hasta el 
5to no hay calificaciones numéricas. No se busca fomentar la competencia ni las 
comparaciones entre alumnos. 
 La educación gratuita desde preescolar hasta la universidad incluye las clases, el 
comedor, los libros y hasta el material escolar, aunque si alguien lo pierde está obligado a 
pagárselo. La jornada escolar suele comenzar sobre las 8,30-9 de la mañana hasta las 3 
de la tarde, con el paréntesis del almuerzo a las 12-12,30 horas. En total, suman 608 
horas lectivas en primaria, frente a las 875 horas de España, con deberes en casa que no 
son excesivos. ¿Cómo consiguen mejores resultados en menos tiempo? 
 «El éxito finlandés se debe a que encajan tres estructuras: la familia, la escuela y los 
recursos socioculturales (bibliotecas, ludotecas, cines...)», explica Melgarejo. Los tres 
engranajes están ligados y funcionan de forma coordinada. «Los padres tienen la 
convicción de que son los primeros responsables de la educación de sus hijos, por 
delante de la escuela» y complementan el esfuerzo que se hace en el colegio. 
 «En Finlandia el 80% de las familias van a la biblioteca el fin de semana», añade el 
psicólogo escolar catalán, para quien este estímulo de la lectura en casa resulta 
fundamental. El sistema social finlandés contribuye con numerosas ayudas oficiales a las 
familias para que puedan conciliar su trabajo con la atención de sus hijos. 
 
 
 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 12 
1. El tema central que desarrolla el texto es 
 
A) la familia, el eje principal del éxito de la educación en Finlandia. 
B) los factores que inciden en el excelente nivel educativo de Finlandia. 
C) el futuro de los niños finlandeses: los mejores preparados del mundo. 
D) el informe PISA de OCDE: Finlandia, el primero en excelencia educativa 
E) los mejores resultados en menos tiempo de la educación en Finlandia. 
 
2. En el texto, la palabra PARÉNTESIS connota 
 
A) fruición. B) suspensión. C) escisión. 
D) servicio. E) descanso. 
 
3. Del texto se deduce que las familias finlandesas 
 
A) Invierten su tiempo y ahorros para que sus hijos sean profesionales 
 competentes. 
B) El reciben numerosas ayudas oficiales para que sus hijos sean profesionales de 
éxito. 
C) Se sienten orgullosas de que sus hijos terminen sus estudios a muy temprana 
edad. 
D) Recurren a las guarderías infantiles para iniciar con la socialización de sus 
infantes. 
E) Tienen sumo interés de conciliar su tiempo de trabajo con la atención de sus 
 hijos. 
 
4. Es incompatible con el estudio realizado por el psicólogo Javier Melgarejo aseverar 
que 
 
A) investigó la puntuación alcanzada por niños finlandeses de 9 años. 
B) indagó el porcentaje de deserción escolar en la educación finlandesa. 
C) estableció la vital importancia de las guarderías en la socialización de los niños. 
D) concluyó que en el éxito de la labor educativa intervienen factores sociales. 
E) tuvo especial interés por conocer el por qué del éxito educativo finlandés. 
 
5. Si los niños finlandeses mostraran aversión por la lectura, 
 
A) el estudio de Javier Melgarejo carecería de consistencia sólida. 
B) los padres de familia se considerarían los primeros responsables. 
C) la educación de los infantes comenzaría a muy temprana edad. 
D) varios docentes se harían cargo de las asignaturas escolares. 
E) perderían el derecho a la educación gratuita y y al material escolar. 
 
TEXTO 3 
 
 El sistema educativo chileno fomenta la desigualdad y la exclusión, según un informe 
difundido hoy por la Unesco en Santiago. El estudio, a cargo de la Oficina Regional de 
Educación para América Latina y el Caribe de la Unesco, analiza la disponibilidad, 
aceptabilidad y adaptabilidad del sistema educativo chileno y lo compara con las 
legislaciones educativas de Argentina, Uruguay y Finlandia. 
 Entre los retos más significativos para Chile, el informe destaca la "debilidad" de la 
legislación del
país austral para hacer frente a la desigualdad. "El sistema que caracteriza 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 13 
la educación chilena está orientado por procesos de privatización, que tienden a causar 
segmentación, exclusión, discriminación y desencadenar mecanismo selectivos", critica el 
informe, liderado por el ex relator de Naciones Unidas sobre el derecho a la educación, 
Vernor Muñoz. "No hay duda de que las pruebas de admisión establecen criterios y 
efectos de diferenciación, que en la práctica conducen a la selectividad y probablemente a 
la estigmatización", añade el estudio, que precisa que la legislación chilena prohíbe la 
discriminación en el trato a los estudiantes. 
 Según la Unesco, el sistema de becas y subvenciones del sistema educativo de 
Chile "protege y beneficia a la iniciativa privada", lo que excluye la interpretación del 
concepto de educación entendida como bien público. Lo contrario ocurre en las 
legislaciones de Argentina y Uruguay, que resultan "muy explícitas" a la hora de restringir 
cualquier posibilidad de mercantilización de la educación, o de la finlandesa, que otorga 
garantías de oportunidades, señaló la Unesco. 
 "En Chile la ley deposita en los padres y las comunidades un alto nivel de 
responsabilidad en términos de asegurar la educación, impedir la discriminación u ofrecer 
una educación de calidad, en desmedro del rol del Estado que debiera ser el garante de 
este derecho", explica el informe. 
 El estudio recuerda que Chile ha firmado tratados internacionales, en particular el 
Pacto Internacional de Derechos Económicos, Sociales y Culturales, que lo obliga en su 
artículo segundo a tomar medidas "inmediatas y no postergables" para lograr 
gradualmente la gratuidad en la educación secundaria y universitaria. 
 
1. El autor tiene la intención principal de 
 
A) criticar al gobierno chileno por pretender la privatización e instaurar la 
discriminación en el ámbito educativo. 
B) presentar a la Unesco como el organismo de la ONU que supervisa la educación 
en América Latina. 
C) exigir a Chile que cumpla con los tratados internacionales que lo obligan a 
instaurar la gratuidad de enseñanza. 
D) comparar los sistemas educativos de países como Chile, Argentina, Uruguay y 
Finlandia. 
E) hacer conocer los resultados de un estudio de la Unesco con respecto a la 
educación en Chile. 
 
2. Se infiere que quienes redactaron las legislaciones educativas en Argentina y 
Uruguay 
 
A) son muy cuestionados por la comunidad educativa de Chile. 
B) son partidarios de que la Unesco sancione al gobierno chileno 
C) son partidarios del fortalecimiento de la educación pública y gratuita. 
D) son muy explícitos cuando condenan la privatización de la educación. 
E) restringen la posibilidad de cuestionar la educación como bien público. 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 14 
3. Si la Oficina Regional de Educación para América Latina y el Caribe de la Unesco 
renunciara a caracterizar la educación como bien público, 
 
A) aun así, su posición crítica frente al sistema educativo chileno se mantendría 
inalterable. 
B) promovería el sistema de becas y subvenciones en el sistema educativo de su 
jurisdicción. 
C) concordaría con la orientación de la educación que hoy prevalece en esta parte 
del continente americano 
D) cambiaría radicalmente la orientación de los sistemas educativos de Argentina y 
Uruguay 
E) se restringiría la participación de la iniciativa privada en el sistema de becas y 
subvenciones. 
 
4. Es incompatible con el carácter del sistema educativo de Chile afirmar que 
 
A) el Estado renuncia a su obligación de garantizar una educación de calidad. 
B) los sistemas de admisión se contraponen al derecho a una educación inclusiva. 
C) es incongruente con los compromisos asumidos mediante tratados 
internacionales. 
D) la iniciativa privada asume la responsabilidad de asegurar la calidad educativa. 
E) la discriminación en contra de las mayorías estudiantiles se extiende y 
profundiza. 
 
5. En el texto, el vocablo RETO alude a 
 
A) interrogante. B) riesgo. C) amenaza. 
D) componente. E) problema. 
 
SEMANA 5C 
TEXTO 1 
 
 La idea de que todas las especies descienden de ancestros comunes había sido 
sugerida por otros pensadores, incluido Jean-Baptiste Lamarck, mucho antes de que 
Darwin publicara El origen de las especies, en 1859. Lo que hizo que el libro de Darwin 
fuera tan notable cuando apareció, y tan influyente con el paso del tiempo, fue porque 
ofreció una explicación racional sobre cómo debe ocurrir la evolución. Tuvo la misma 
percepción, pero de manera independiente, Alfred Russell Wallace, un joven naturalista 
que realizaba trabajos de campo en el archipiélago malayo a fines de la década de 1850. 
En los anales históricos, aunque no en la conciencia popular, Wallace y Darwin comparten 
el prestigio de haber descubierto la selección natural. 
 La esencia del concepto es que pequeñas diferencias fortuitas y hereditarias entre 
los individuos se traducen en diferentes oportunidades de supervivencia y reproducción –
éxito para algunos, muerte sin descendencia para otros- y que la selección natural 
conduce a cambios importantes en la forma, el tamaño, la fuerza, las armas, el color, la 
bioquímica y la conducta de los descendientes. El crecimiento excesivo de la población 
incita a la lucha competitiva. Puesto que los competidores menos exitosos producen 
menos crías que sobrevivan, las variaciones inútiles o negativas tienden a desaparecer, 
mientras que las útiles tienden a ser preservadas e incrementadas gradualmente por toda 
una población. 
 Esa es una parte del proceso evolucionista, conocida como anagénesis, durante la 
cual una sola especie se transforma. Pero existe también una segunda parte conocida 
como especiación. Algunas veces los cambios genéticos se van acumulando dentro de un 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 17 
 
1. El tema central del texto es 
 
A) el carácter histórico de la novela de Tolstoi: Guerra y paz. 
B) el arduo y prolongado proceso de escritura de Guerra y paz. 
C) las distintas versiones de Guerra y paz escritas por Tolstoi 
D) la decisiva influencia de Pushkin en la escritura de Guerra y paz. 
E) la profusa información de las guerras napoleónicas en Guerra y paz. 
 
2. En el texto, el término AJUSTAR se puede reemplazar por 
 
A) incorporar. B) constreñir. C) aducir. 
D) limitar. E) adecuar. 
 
A) perdió el temor de escribir según la tradición literaria imperante. 
B) renunció a incluir en su obra pasajes históricos del año 1812. 
C) escribió con un lenguaje que se ajustaba al estilo de su época. 
D) superó sus temores y escribió de acuerdo a sus convicciones. 
E) describió a importantes personajes según los documentos históricos. 
 
4. Es incompatible con Sofía Behrs, esposa de Tolstoi, afirmar que 
 
A) alentó a este a escribir como los escritores más destacados. 
B) velo por el contenido moral de la versión final de Guerra y paz. 
C) era una mujer muy culta y con definidas convicciones morales. 
D) conoció con minuciosidad las primeras versiones de Guerra y paz. 
E) con justicia se debe reconocer que es coautora de Guerra y paz. 
 
5. Si Napoleón Bonaparte hubiera aplastado la resistencia rusa en 1812, 
 
A) no se habría extendido en miles la cantidad de páginas de Guerra y Paz. 
B) la nación rusa habría carecido en su historia de las páginas más gloriosas. 
C) Bien está lo que bien acaba no habría sido el título provisional de Guerra y paz. 
D) habría repercutido en el estilo de escritura de la novela Guerra y Paz de Tolstoi. 
E) S. Behrs no habría restituido
la versión de 1879 en la escritura final de Guerra y 
paz. 
Nicolás I. Las raíces de los decembristas se remontan a las guerras napoleónicas, y es 
posible que esa época, que provocó un gran auge del sentimiento nacional, le 
proporcionara una base mucho más amplia para la parte histórica de la obra que los 
rebeldes de 1825. Además, la victoria sobre Napoleón fue y sigue siendo una de las 
páginas más gloriosas de la historia rusa y no ha de olvidarse que uno de los títulos 
provisionales que dio a la novela fue Bien está lo que bien acaba. En 1864, cinco años 
antes de que se publicaran los últimos volúmenes de Guerra y paz, escribió en una breve 
introducción al nuevo comienzo de la novela titulado «Un día en Moscú»: «Innumerables 
veces he empezado y abandonado la historia de 1812 [...] Sobre todo, me entorpecían las 
tradiciones de forma y contenido. Temía utilizar un lenguaje que no fuera como el de 
todos los demás; temía que lo que escribiera no se ajustara a categoría alguna, novela, 
cuento, poema o historia; temía que la necesidad de describir importantes personajes de 
1812 obligara a guiarme por los documentos históricos y no por la verdad [...]. He decidido 
dejar de lado todos estos temores y escribir lo que necesito expresar, sin preocuparme 
más por lo que será el resultado y sin dar un título a mi obra». 
3. Se deduce del texto que en la última versión de Guerra y paz, Tolstoi 
 
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Semana Nº6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 18 
Aritmética 
SEMANA 6 
 
TEORIA 
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 
MAGNITUD: Es todo lo susceptible de variación (aumento o disminución) y que 
puede ser cuantificado. Dos magnitudes tienen cierta relación de proporcionalidad 
si al variar una de ellas, entonces la otra también varía en la misma proporción. 
Dicha relación de proporcionalidad puede ser de dos tipos: 
 
A) MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (D.P.) 
 
Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales (D.P.) cuando al 
aumentar los valores de una de ellas los valores correspondientes en la otra 
magnitud también aumentan en la misma proporción o viceversa. 
 
Observación 1: 
 
 La magnitud “A” es directamente proporcional a la magnitud “B” equivale a: 
A D.P. B  
A
B
= cte. 
 
VALORES NUMÉRICOS 
 
A a1 a2 a3 … an 
B b1 b2 b3 … bn 
 
 31 2 n
1 2 3 n
aa a a
...
b b b b
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Distancia 100 200 300 400 
Velocidad 20 40 60 80 
a1 a2 
B 
A a3 
b1 
b2 
b3 
A
cte.
B
 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 19 
B) MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES ( I.P.) 
 
Dos magnitudes son inversamente proporcionales (I.P.) cuando al aumentar los 
valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra magnitud 
disminuyen en la misma proporción o viceversa. 
Es decir si los valores de una de ellas se duplica; triplica;…los valores 
correspondientes se reducen a, su mitad, tercera parte….respectivamente. 
 
 
Observación 2: 
 
La magnitud “A” es inversamente proporcional a la magnitud “B” equivale a: 
A I.P. B  A x B = cte. 
 
VALORES NUMÉRICOS 
 
A a1 a2 a3 … an 
B b1 b2 b3 … bn 
 
a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 = … = an bn 
 
AB=cte 
 b1 
 
 b2 
 
 b3 
 
 b4 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES 
 
I) Si; A D.P B  B D.P C  A D.P C 
II) Si; A I.P B  A D.P 
1
B
 
 
III) Si A D.P B (C es constante) 
 Si A D.P C (B es constante) 
  A D.P B x C  
A
BxC
= cte. 
 
IV) Si A I.P B (C es constante) 
 A I.P C (B es constante) 
V 50 100 200 250 500 
T 20 10 5 4 2 
a1 a2 a3 a4 
A 
 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 20 
1 2
1
a b
x
b

1 1
2
a b
x
b

  A I.P B x C  A x B x C = cte. 
 
V) Si A D.P B  (valor A)n 
 (valor B)n 
 
VI) Si A I.P B  (valor A)n x (valor B)n = cte. 
 
REPARTO PROPORCIONAL 
 
Es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste en dividir una 
cantidad en varias partes, las cuales deben ser proporcionales a un conjunto de 
números o cantidades llamados índices de reparto. 
 
REPARTO DIRECTAMENTE PROPORCIONAL 
 
Sea “C” la cantidad a repartir donde C = P1 + P2 + P3 + …+ Pn además 
P1; P2; P3;…;Pn es D.P. a las cantidades a1; a2; a3; … an entonces 
31 2 n
1
1 2 3 n
PP P P
... k
a a a a
   
 
REPARTO INVERSAMENTE PROPORCIONAL 
 
Sea “C” la cantidad a repartir donde C = P1 + P2 + P3 +…+ Pn además 
P1; P2; P3;…;Pn es I.P. a las cantidades a1; a2; a3; … an entonces 
31 2 n
2
1 2 3 n
PP P P
... k
1 1 1 1
a a a a
   
 
REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA 
 
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: 
 
Se utiliza esta regla cuando intervienen 2 magnitudes directamente proporcionales. 
El esquema es el siguiente: 
 
 
 A B 
 a1 b1  
 x b2 
 
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: 
 
Se utiliza esta regla cuando intervienen 2 magnitudes inversamente 
proporcionales. El esquema es el siguiente: 
 
 A B 
 a1 b1  
 x b2 
 
 
 
= cte. 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 21 
REGLA DE TRES COMPUESTA: 
 
Se utiliza esta regla cuando intervienen 3 o más magnitudes, siendo cada magnitud 
directa o inversamente proporcional a una de ellas. El esquema es el siguiente: 
 
 A B C 
 a1 b1 c1 
 x b2 c2 
 
Supongamos que las magnitudes A con B son directas y A con C son inversas, 
entonces 
 1 2 1
1 2
a b c
x
b c
 
 
REGLA DEL TANTO POR CIENTO 
 
Es un caso particular de la regla de tres simple directa. 
El porcentaje es una cantidad que se considera con relación a 100 partes iguales. 
 
NOTACIÓN: % ; Obs: 
a
a%
100
 
 
 CASOS MERCANTILES 
 
I) PV = PC + G 
II) PV = PC – P 
III) PV = PF – D 
 
PV : Precio de venta ; PC : Precio de compra (Costo) 
 PF : Precio fijado ( Precio de Lista) 
 G : Ganancia ; P : Pérdida ; D : Descuento 
 
 Nota: Cuando no se indica, La ganancia y la pérdida es sobre el PC; 
 y el descuento es sobre el PF. 
 
EJERCICIOS DE CLASE N°6 
 
1. Juana invirtió su dinero en un negocio y ganó el 50%. Colocó el total obtenido en 
otro negocio y perdió el 25%. Por último, invirtió lo que le quedaba en una empresa y 
ganó el 12%. Si la ganancia final por sus tres negocios fue de S/ 650, ¿cuál fue la 
cantidad que invirtió Juana en el segundo negocio? 
 
A) S/ 2463 B) S/ 2912 C) S/ 3200 D) S/ 3470 E) S/ 3750 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 22 
2. Si el área de un cuadrado aumentó en 156%, ¿en qué porcentaje aumentó su 
perímetro? 
 
 A) 20% B) 70% C) 17% D) 24% E) 60% 
 
3. Se vende una cocina en S/ 560 ganándose el 40% del costo. Si por la inflación el 
costo se incrementa en 15%, ¿en cuántos soles se debe vender ahora cada cocina 
para seguir ganando el mismo porcentaje? 
 
 A) 792 B) 546 C) 339 D) 464 E) 644 
 
4. Roberto fijó el precio de un producto incrementando en 55% su costo. Al momento 
de venderlo hizo un descuento del 20%, y observó que si hubiera hecho esta rebaja 
sobre el incremento estaría ganando S/ 40 más. ¿En cuánto fijó Roberto el precio 
de su producto? 
 
 A) S/ 320 B) S/ 330 C) S/ 310 D) S/ 321 E) S/ 283 
 
5. El largo de un rectángulo aumenta sucesivamente en 20% y 50%, y su ancho 
disminuye sucesivamente en 20% y 50%. ¿En qué tanto por ciento varía su área? 
 
 A) Disminuye en 40% B) Aumenta en 10% C)
Disminuye en 28%
 
 D) Aumenta en 15% E) No aumenta ni disminuye 
 
6. Un sastre planificó confeccionar cierto número de pantalones en 20 días, pero tardó 
10 días más por trabajar dos horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó 
diariamente? 
 
 A) 6 B) 8 C) 4 D) 5 E) 7 
 
7. Una obra debe ser realizada por 20 obreros en 12 días. Si 4 días después de 
iniciada la obra se retiraron 10 obreros, ¿en cuántos días harán lo que falta de la 
obra los que quedaron? 
 
 A) 12 B) 18 C) 16 D) 9 E) 15 
 
8. En 30 días, un grupo de 12 obreros construye la octava parte de una obra. ¿Cuantos 
días empleará otro grupo de 24 obreros triplemente hábiles, que los anteriores, para 
terminar dicha obra? 
 
 A) 48 B) 35 C) 23 D) 26 E) 32 
 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 23 
9. Una obra debe ser realizada en 12 días. Al comienzo 8 obreros trabajando 6 horas 
diarias hicieron 1/5 de la obra. Luego con la ayuda de otros dos obreros, doblemente 
hábiles que los anteriores, terminaron la obra a tiempo trabajando todos dos horas 
más cada día. ¿Cuántos días trabajaron solos los 8 obreros? 
 
 A) 5 B) 6 C) 4 D) 8 E) 7 
 
10. Se repartió S/ 6 500 entre tres personas, en forma DP a m , 
2
m y 
3
m . Si la menor 
cantidad repartida fue S/ 500, ¿cuánto fue la mayor cantidad de dinero que recibió 
una de esas tres personas? 
 
A) S/ 3 500 B) S/ 4 050 C) S/ 4 500 D) S/ 5 000 E) S/ 5 050 
 
EVALUACIÓN DE CLASE N°6 
 
1. El 62% de la población estudiantil de la UNMSM juega fútbol, el 36% juega básquet 
y el 20% juega ambos deportes. ¿Qué porcentaje de dicha población no juega estos 
deportes? 
 
 A) 6% B) 30% C) 22% D) 40% E) 16% 
 
2. Para aumentar en un 125% el área de un círculo, ¿en qué porcentaje se debe 
aumentar su radio? 
 
 A) 50% B) 10% C) 30% D) 25% E) 22% 
 
3. Un recipiente contiene 40 litros de mezcla alcohólica al 60%. Se extrae 1/3 del 
volumen total reemplazando por agua. Luego de la mezcla resultante, se extrae el 
50% para volver a reemplazarlo por agua. Si finalmente se extrajo el 75% del resto y 
se volvió a reemplazar por agua, ¿cuántos litros de alcohol puro quedó en la mezcla 
final? 
 
A) 6 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5 
 
4. Para fijar el precio de un artículo, un negociante aumentó su costo en un x%, pero al 
momento de venderlo hace un descuento equivalente al 25% de su costo, con lo 
cual su ganancia fue del 20% de su precio de venta. ¿Cuál es el valor de x? 
 
 A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 75 
 
5. Ismael pensaba vender su auto ganando el 42% del costo, sin embargo lo vendió 
ganando el 35% del precio de venta, ganándose así $ 770 más de lo que pensó 
ganar inicialmente. ¿Cuánto le costó su auto a Ismael? 
 A) $ 7880 B) $ 6500 C) $ 6860 D) $ 8950 E) $ 6790 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 24 
6. Veinticuatro agricultores siembran un terreno circular en 18 días, trabajando 8 horas 
diarias. ¿En cuántos días sembrarán otro terreno circular con diámetro igual a la 
mitad del anterior, otros 10 agricultores, 20% más eficientes que los anteriores, 
trabajando 6 horas diarias? 
 
 A) 15 B) 18 C) 20 D) 12 E) 16 
 
7. Miguel repartió cierta cantidad de manzanas en forma I.P. a los números 3; 5 y 8. Si 
la mayor de las partes excede en 50 manzanas a la menor de las partes, ¿cuál fue 
la cantidad de manzanas que repartió Miguel? 
 
 A) 158 B) 480 C) 148 D) 132 E) 164 
 
8. Una familia de 4 miembros tiene víveres para 30 días, pero como recibieron la visita 
de tres sobrinos, los víveres se terminaron 12 días antes. ¿Cuántos días estuvieron 
de visita los sobrinos? 
 
 A) 16 B) 15 C) 13 D) 18 E) 14 
 
9. Trabajando 6 horas diarias durante 45 días, 28 obreros han hecho los 3/5 de una 
obra. Para terminar el resto de la obra se contrató adicionalmente 6 obreros de doble 
rendimiento que los anteriores y todos trabajaron 9 horas diarias. ¿En cuántos días 
se realizó toda la obra? 
 
 A) 56 B) 49 C) 59 D) 52 E) 65 
 
10. Una cantidad es repartida en tres partes que son DP a 
24
3
n
, 
32
5
n
y 
1
16
n
 e IP a 
n2
9 , 
1
25
n
 y 
34
2
n
respectivamente. Si la mayor parte excede en 490 a la menor, 
¿cuánto fue lo que se repartió en total? 
 
 A) 1120 B) 1050 C) 960 D) 1150 E) 1260 
 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 25 
d(x) MCD p(x),q(x)    
Álgebra 
SEMANA Nº6 
 
Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común Múltiplo (MCM) 
de polinomios 
 
Sean p(x) y q(x) dos polinomios no nulos. 
 
DEFINICIÓN 
 
Se dice que el polinomio d(x) es el máximo común divisor de p(x) y q(x) si se cumple las 
dos condiciones siguientes: 
 
I) d(x) divide a p(x) y d(x) divide a q(x); es decir, d(x) es divisor común de p(x) y q(x). 
 
II) Si D(x) divide a p(x) y D(x) divide a q(x), entonces D(x) divide a d(x). 
 
En este caso denotamos 
 
 
OBSERVACIÓN 
 
d(x) MCD p(x),q(x)    es mónico, existe y es único en K[x] , donde 






C
Q
K R 
 
DEFINICIÓN 
 
Se dice que el polinomio m(x) es el mínimo común múltiplo de p(x) y q(x) si se cumple 
las dos condiciones siguientes: 
 
I) p(x) divide a m(x) y q(x) divide a m(x); es decir, m(x) es múltiplo común de p(x) y 
q(x). 
 
II) Si p(x) divide a M(x) y q(x) divide a M(x), entonces m(x) divide a M(x). 
 
En este caso denotamos m(x) = MCM [p(x),q(x)] 
 
PASOS PARA HALLAR EL MCD Y EL MCM DE DOS O MÁS POLINOMIOS 
 
1. Factorizamos los polinomios en el campo que se indique. 
 
2. Para el MCD consideramos solo los factores primos comunes elevados a su menor 
exponente. 
 
3. Para el MCM consideramos los factores primos comunes elevados a su mayor 
exponente y los factores no comunes con su propio exponente. 
 
 
 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 319
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 26 
Ejemplo 1: 
 
Sean 5 4 2 2 4 4p(x,y) x xy y q(x,y) (x y )(x y )     , halle el  MCD p(x,y),q(x,y) 
y 
   MCM p(x,y),q(x,y) en Z x,y . 
 
Solución: 
 
 
 
5 4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
p(x,y) x xy x(x y ) x(x y ) (x y ) x(x y)(x y)(x y )
q(x,y) (x y )(x y ) (x y ) (x y ) (x y) (x y) (x y )
Entonces,
MCD p(x,y),q(x,y) (x y)(x y)(x y )
MCM p(x,y),q(x,y) x(x y) (x y) (x y )
          
         
   
   
 
 
PROPIEDAD 
 
)x(q)x(p)]x(q),x(p[MCM)]x(q),x(p[MCD  
 
 
Ecuaciones de Grado Superior 
 
Forma general 
 3nn,0a,0axa...xaxa
n01
1n
1n
n
n 

 N (I) 
 








C
Q
Z
Kdonde;Ka...,a,a 01nn
R
 
 
TEOREMA DE CARDANO Y VIETTE 
 
Sea la ecuación (I), con n soluciones x1, x2, …, xn; entonces se cumple: 
1 2 n
n 1
n
a
x x x
a
     
n 2
1 2 1 3 n 1 n
n
a
x x x x x x
a


    
 
n 0
1 2 3 4 n 1 n
n
a
x x x x ...x x ( 1)
a

  
 
 
 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 320
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 27 
Observaciones 
 
1. Si la ecuación (I) tiene coeficientes reales, las soluciones complejas se presentan 
por pares conjugados. 
 
2. Si la ecuación (I) tiene coeficientes racionales, las soluciones irracionales se 
presentan por pares conjugados. 
 
3. Para resolver la ecuación (I), generalmente se utiliza el método de factorización. 
 
Ejemplo 2 
 
Si una solución de la ecuación 3 2x 12x 39x n 0    es la semisuma de las otras 
dos, halle el valor de M n 3.  
 
Solución:
i) Si r, s y 
r s
t
2

 son soluciones de 3 2x 12x 39x n 0    
ii) Por T. Cardano y Viette: 
 r+s+t=12 → r+s=8 y t= 4 
 rs+rt+st=39 → rs+4( 8 )=39 → rs =7 
 rst =n → 7( 4)= n → n = 28 
 
M n 3 28 3 5      . 
 
Ecuaciones Bicuadráticas 
 
Forma general 
 
 0a,0cbxax 24  . . . (II) 
 
Esta ecuación tiene soluciones de la forma , – ,  y – ; y se resuelve en forma similar 
a una ecuación de segundo grado. 
 
Por el teorema de Cardano y Viette se obtiene 
 
1.  +( – ) +  + (– ) = 0 
2. – 2 – 2 = 
a
b
 ó 2 + 2 = – 
a
b
 
3. 2 . 2 = 
a
c
 
 
Ejemplo 3: 
 
En la ecuación bicuadrática 2 4 16 2 2(2n 3)x (8n 2)x n 4 0      , el producto de sus 
soluciones es igual a la unidad. Determine el cociente de la menor solución con la mayor. 
 
 
 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 321
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 28 
 Solución 
 
i) Por dato : 
2
2
n 4
Producto de soluciones 1
(2n 3)

 

 
 
2 2 2n 4 2n 3 n 1      
ii) La ecuación queda así: 
4 2 4 25x 10x 5 0 x 2x 1 0       
  
2
2 2x 1 0 x 1 x 1        
 1 es la mayor solución de multiplicidad 2 
 -1 es la menor solución de multiplicidad 2 
 iii) 
1
1
1

   . 
 
Ecuaciones Binómicas 
 
Son aquellas ecuaciones enteras que solamente tienen dos términos. 
 
Forma general 
axn + b = 0, a  0 
 
Ejemplo 3: 
 
Halle la suma de cuadrados de las soluciones no reales de la ecuación binómica 
 6x 1 0  
 
Solución : 
 
En , como , tenemos soluciones no reales, luego por Cardano, si son sus 
soluciones 
En , como , tenemos soluciones no reales, luego por Cardano, si son sus 
soluciones 
La suma de cuadrados de las soluciones no reales esta dado por 2 2 2 2 2       . 
 
 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 322
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 29 
Ecuaciones en 
 
Ecuaciones con radicales 
 
Son aquellas ecuaciones que tienen la variable dentro de algún radical. 
 
Por ejemplo: 3x2  = 3, 1x5  = 2, x + 2x  = x. 
 
Propiedades 
 
 1. )x(p  0,  p(x)  0. 
 2. )x(p = 0  p(x) = 0. 
 
 Veamos la siguiente ecuación 
 n )x(p = q(x) ……….. )( ; n  Z+ par 
 
 Procedimiento para resolver 
 
 1º Resolvemos: * p(x)  0, y se obtiene el conjunto solución U1 
 * q(x)  0, y se obtiene el conjunto solución U2 
 
 2º Resolvemos la ecuación p(x) = [q(x)]n y se obtiene el conjunto solución 
3
U 
 
 Luego, el conjunto solución de )( es 
321
UUU  . 
 
Observaciones 
 
 1) De manera análoga al procedimiento anterior se resuelve una ecuación en la 
que aparecen varios radicales de índice par. 
 
 2) Para resolver la ecuación  n);)...(x(q)x(pn Z+ impar, se procede como 
en 2º, obteniéndose el conjunto U3 y los elementos del conjunto solución serán 
aquellos elementos de U3 que verifiquen )(  . 
 
Ejemplo 4: 
 
Halle el menor elemento del conjunto solución de la ecuación 3x43x46  . 
 
Solución 
 
 33x4x46  
1º 



2
3
,U0x46:U 11 
 


 ,
4
3
U03x4:U 22 
 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 323
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 30 
2º Elevando al cuadrado la ecuación 
 
 33x4x4623x4x46  
 
 Cancelando se tiene 03x4x46  
 
 Entonces 03x40x46  
 Luego 
4
3
x
2
3
x  
 Es decir 







4
3
,
2
3
U3 
 
.
4
3
es.S.Cdelelementomenorel
4
3
,
2
3
UUUCS 321








 
 
Ecuaciones con valor absoluto 
 
 Recordando la definición de valor absoluto 






0x,x
0x,x
x 
 
 Propiedades 
 
1. )x(p = 0  p(x) = 0. 
2. )x(p = )x(p ; 2)x(p = (p(x))2. 
3. )x(q)x(p = )x(p )x(q . 
4. )x(p = )x(q  [ p(x) = q(x)  p(x) = – q(x) ]. 
5. )x(p + )x(q = 0  p(x) = 0  q(x) = 0. 
6. )x(p = q(x)  q(x)  0  [ p(x) = q(x)  p(x) = – q(x) ]. 
 
EJERCICIOS DE CLASE Nº6 
 
 
1. En el borde de un terreno rectangular se desea plantar árboles, incluyendo las 
esquinas, que tengan la misma y máxima distancia entre ellos, si el largo mide 
3 2x 5x 8x 4   metros y éste excede al ancho en 6x + 12 metros, x 1 , determine 
cuántos árboles será posible plantar en uno de los lados mayores del terreno. 
 A) 
2x 2x 3  B) 2x 3x 3  C) 2x 3x 3  
 D) 
2x 3x 5  E) 2x x 2  
 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 324
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 31 
2. Halle la suma de los coeficientes del máximo común divisor de los polinomios 
    
6
2 2p(x) x 4 x 3x 9    y 
4 3 2q(x) x 2x 2x 8x 8     en Z[x] . 
 A) – 3 B) 2 C) 6 D) 3 E) – 2 
 
3. Si x2 + a es el máximo común divisor de los polinomios 
p(x) = x3 – (a – 2)x2 – x – a – 4 y q(x) = x3 + (b – 2)x2 + ax – c + 4, en R[x] , halle a 
+ b – c. 
 
A) 1 B) – 3 C) 0 D) –5 E) – 6 
 
4. Una empresa repartidora de perfumes para damas desea construir cajas 
rectangulares sin tapa a partir de piezas de cartón de 25 cm de ancho y 35 cm de 
largo, recortando cuadrados de igual tamaño en las cuatro esquinas de cada pieza de 
cartón y doblando hacia arriba los lados. Si el volumen de la caja debe ser de 1875 
cm3, ¿cuál es la longitud del lado del cuadrado que se recorta? (Considere solo la 
solución entera) 
 
 A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 6 cm 
 
5. El polinomio 4 3 2p(x) x ax 2x bx c     tiene como raíz doble a – 2 y como raíz 
simple a 3. ¿ Cuál es el valor de 2a c b  ? 
 
 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2 
 
6. Una solución de la ecuación bicuadrática 
   24 3x a 1 2 x 5 b x 16b 128a 0 , donde a 0        , 
 es el doble de la otra. Halle el producto de los valores de b. 
 
 A) - 30 B) - 40 C) - 32 D) - 60 E) - 25 
 
7. Con respecto a la ecuación 2x|2x3|10x|9x3x|x2 22  
 Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 
 I. El conjunto solución es {–1} 
 II. Es una ecuación compatible indeterminada. 
 III. Es una ecuación incompatible. 
 
 A) VVF B) FVV C) VFV D) FFV E) VVV 
8. Las dimensiones de un rectángulo son x 3 metros de largo y x metros de 
ancho. Si aumentamos 4 metros a cada dimensión anterior, obtenemos que el 
perímetro del rectángulo final es de 30 metros. Determine el área del rectángulo 
inicial. 
 
 A) 210 m B) 220 m C) 230 m D) 225 m E) 215 m 
 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 325
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 32 
20 m
EVALUACIÓN DE CLASE Nº6 
 
1. Si p(x) = (x4 – 1) (x3 + 1), q(x) = (x2 – 1) (x3 – 1), halle el MCD de p(x) y q(x) en Z[x]. 
 
 A) (x–1) (x + 1) B) (x + 1)x C) (x – 1)x 
 D) (x + 1)2 E) (x – 1)2 
 
2. Si p(x) = ax2 + 2x – b y q(x) = ax2 – 4x + b son dos polinomios factorizables tal que 
 a;b  y MCM [p(x) , q(x)] = x3 – x2 – 9x + 9 en x   , halle el valor de 1b5  . 
 
 A) 3 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 
 
3. Isabel quiere hacer banderas de un solo color y, para ello dispone de telas de color 
azul, blanco y celeste, cuyas medidas ( de largo) en metros, son respectivamente 
 5x x 1  ,  4 2x x 1  y  3 2x x x 2   ; donde x Z y x > 2. Si las telas 
tienen el mismo ancho, ¿cuántas banderas del mismo tamaño, y que tengan la 
mayor área posible puede hacer Isabel; sin que sobre pedazo de tela alguno? 
 
 A) x3 B) x3 + 2 C) x2 D) x2 + 3 E) x2 + x + 1 
 
 
4. Si el polinomio 4 3 2p(x) mx nx 4x 29x 15     es divisible por 2d(x) x 4x 3   , 
halle la suma de los cuadrados de las soluciones de la ecuación 
4 3 2x (m 3)x 28x (5n 1)x 84 0    
  
 
 A) 10 B) 30 C) 40 D) 60 E) 80 
 
5. Una empresa productora de malta de cebada solicita a su Departamento de 
Proyectos que diseñe un depósito de granos de cebada, el cual tendrá la forma de 
un cilindro circular recto, con un techo semiesférico, tal como se muestra en la figura 
adjunta. La parte cilíndrica debe tener una altura de 20 m y todo el depósito (desde 
el piso hasta el techo) un volumen de 198 m3. Determine la longitud del radio de la 
base del depósito que satisface las especificaciones mostradas. 
 
 A) 3 m 
 B) 4m 
 C) 5 m 
 D) 1,5 m 
 E) 6 m 
 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 326
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 33 
6. Si a es la solución de la ecuación: | 4 – 2x | – | x – 2 | = 3x + 4, halle el valor de 
1 a( a)  . 
 
 A) 
4
2
 B) 
2
2
 C) 2 D) 
2
1
 E) 
8
1
 
 
7. Si la edad de Jade es solución de la ecuación x22x25|1x|  y 
dicha edad dentro de 3 años no es más de 8 años , halle la edad de Jade dentro de 
10 años. 
 
 A) 14 años B) 10 años C) 12 años D) 13 años E) 15 años 
 
8. Determine el mayor valor entero de “t” para que la ecuación 
x4 + (3 – t) x2 + 3(t – 6) = 0 
 tenga solo dos raíces reales. 
 
 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
Trigonometría 
SEMANA Nº 6 
 
 
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
I. TRANSFORMACIONES EN PRODUCTO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE 
SENOS Y COSENOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 sen A + sen B = 2 sen 







 
2
BA
cos 







 
2
BA
 
 sen A  sen B = 2 cos 







 
2
BA
sen 







 
2
BA
 
 
 cos A + cos B = 2 cos 







 
2
BA
cos 







 
2
BA
 
 cos A  cos B = – 2 sen 







 
2
BA
sen 







 
2
BA
 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 327
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 34 
II. TRANSFORMACIONES EN SUMAS O DIFERENCIAS DEL PRODUCTO DE 
SENOS Y COSENOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 6 
 
1. Simplifique 2 21 sen 2 cos 4 cos6 cos2     . 
 A) 1 B) 
1
2
 C) 2 D) 
1
2
 E) 1 
2. Simplifique la expresión 
osen18 tg24 4sen12 cos12 .    
 
 A) 2cos18 B) 2sen18 C) 4sen72 D) cos72 E) cos18 
 
3. Si 6x es un ángulo positivo y menor que una vuelta, calcule el valor de 
2sen5xcos sen4x
(2cos4x 1)cos2x


x
. 
 
 A) tg6x B) ctg6x C) sen6x D) 1 E) cos6x 
 
4. Calcule el perímetro de un terreno de forma triangular cuyos lados 
miden  2 2 2
4 4
1 cos x km, sen x km y sen ( x) km
3 3
    
     
   
. 
 
 A) 1km B) 8 km C) 1.5 km D) 5 km E) 2 km 
 
5. Calcule el valor de sen40 2cos20 sen70 2sen75 cos35 .     
 
 A) 2 3 B) 1 C) 1 D) 0 E) 
2
2
 
 
 
 2 sen A cos B = sen ( A + B ) + sen ( A  B ) 
 
 2 sen A sen B = cos ( A  B )  cos ( A + B ) 
 
 
 2 cos A sen B = sen ( A + B )  sen ( A  B ) 
 
 2 cos A cos B = cos ( A + B ) + cos ( A  B ) 
 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 35 
6. Simplifique la expresión cos50° + 2sen220° + 2 cos5° +sen270°. 
 
 A) 2cos70° B) 2cos50° C) sen40° D) sen50° E) 2sen50° 
 
7. Calcule el menor ángulo positivo  que satisface la siguiente igualdad 
sen3x senx cosx
 
sen4x sen2x cos2x cos


  
 . 
 
 A) 15 B) 60 C) 30 D) 75 E) 45 
 
8. Si se cumple que 
m n
sen
m n

 

 , halle 2tg
4 2
  
 
 
 . 
 
A) 
2m
n
 B) 
n
m
 C) 
m
n
 D) 
2m
n
 E) 
2
m
n
 
 
9. Si ,  y  son ángulos en progresión aritmética de razón positiva (0 )      y 
se cumple 
sen sen
k
cos cos
  

  
 , halle el valor de k. 
 
A) sen B) 2tg  C) ctg  D) tg E) sec 
 
10. Transforme a producto la siguiente expresión 
sen86 sen88 sen84 1   
 
 A) 4cos2 sen3 sen1   B) 4cos1 sen2 sen3   
 C) 4cos3 sen2 sen1   D) 4cos2 sen3 sen1   
 E) 4cos3 sen1 sen2   
 
EVALUACION Nº 6 
 
1. Si 24x – 5 = 0, calcule el valor de la expresión 
cos6xcos4x cos2x
sen6x

. 
 
 A) – 
2
3
 B) – 
2
1
 C) 
2
3
 D) 
2
1
 E) 
2
2
 
 
2. Simplifique 4senx.cos2x.cos3x + sen4x – sen2x. 
 
 A) cos4x B) 1 – cos5x C) 1 + cos4x D) 2sen23x E) sen6x 
 
3. Halle el valor de cos2x, si se cumple que 5sen3xcosx 7cos3xsenx 3senxcosx  . 
 
 A) 
21
24
 B) 
5
13
 C) 
5
24
 D) 
5
12
 E) 
12
13 
 
 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 329
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 36 
Q
4. Halle el valor de la siguiente expresión 
2 4 6
cos cos cos
7 7 7
       
      
     
.
 
 
A) 
1
2
 B) 
1
3
 C) 
1
2
 D) 
3
5
 E) 
3
2

 
 
5. Si 
2

     , transforme a producto la expresión 2 2 2sen sen cos   . 
 
A) 2sen cos sen    B) 2sen sen sen   C) 2sen sen sen    
D) 2sen cos sen    E) 2sen sen cos    
 
Geometría 
SEMANA Nº 6 
GEOMETRÍA DEL ESPACIO 
 
1.- Determinación de un plano 
 
1.1.- Axioma: Tres puntos no colineales determinan un plano. 
 
1.2.- Notaciones 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.- Observaciones: Un plano está determinado por 
 
 - Una recta y un punto exterior a dicha recta 
 - Dos rectas secantes 
 - Dos rectas paralelas 
 
2.- Posiciones relativas de dos planos 
 
2.1.- Paralelos 2.2.- Secantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P y Q secantes 
 P  Q L 
 
 
 
) Notación P // Q 
) P y Q paralelos 
 PQ =  
A B
C
: Plano 
ABC: Plano ABC
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 330
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 37 
3.- Rectas Alabeadas 
 
3.1.- Definición: Son dos rectas que no se intersecan y no están contenidos en un mismo 
plano. 
 
3.2.- Angulo entre dos rectas alabeadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sean L1 y L3 alabeadas, 
 Si L2 // L1 , entonces  es la medida del ángulo entre L1y L3 
 
3.3.- Observación.- Si  = 90° entonces L1 y L3 son rectas ortogonales o 
perpendiculares. 
 
4.- Distancia entre dos rectas alabeadas 5.- Recta perpendicular al plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si L1 y L2 son rectas alabeadas entonces 
 la distancia entre ellas es la longitud del 
 segmento perpendicular a ambas. 
 
 
6.- Teorema de las tres perpendiculares 
 
L H en O L1H tal que 
 
L1 AO (A H)entonces 
 
PA L1(independiente de P L) 
 
Notación: L H 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 38 
cara
7.- Ángulo entre una recta y un plano 
 
 
 
 
 
 : medida del ángulo entre L y H 
 
 
Poliedros o sólidos 
 
Poliedro es el sólido geométrico que 
se encuentra limitado por cuatro o 
más regiones poligonales planas no 
coplanares que tienen dos a dos un 
lado común. 
 
 
 
 
 
Teorema de Euler 
 C : número de caras 
 V : número de vértice 
 A : número de aristas 
 
POLIEDROS REGULARES 
 
Son aquellos cuyas caras son polígonos regulares, es decir, tienen aristas iguales, 
ángulos poliedros iguales y ángulos diedros iguales. 
 
“Existen sólo cinco clases de *poliedros regulares” 
 
TETRAEDRO REGULAR EXAEDRO REGULAR OCTAEDRO REGULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 triángulos equiláteros 6 cuadrados 8 triángulos equiláteros 
 
DODECAEDRO REGULAR ICOSAEDRO REGULAR 
12 pentágonos regulares 20 triángulos equiláteros 
 
 
 
 
C + V = A
+ 2 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 332
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 39 
A C
F
E
B
D
cara
lateral
Sección
recta
Base
E
D
B
A C
F
h
P
Base
PRISMA 
Es un sólido geométrico determinado por 2 caras congruentes y paralelas (bases), las 
demás caras son regiones paralelográmicas cuyas vértices pertenecen a las bases 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PRISMA RECTO PRISMA OBLICUO 
 
Elementos: 
 Bases : ABC, DEF 
 Arista lateral : AD , BE ,CF 
 Arista básica : AB , BC , AC 
 DE , EF , DF 
 Altura : CP 
 
Área lateral 
ALAT = PSR · a PSR : perímetro de la sección recta 
 a : arista lateral 
Área total 
ATOT = ALAT + 2B B : área de la base 
 
Volumen 
V = B · h h : altura 
V = SR · a SR : área de la sección recta 
 
PARALELEPÍPEDORECTÁNGULO 
 
 
 Es aquel prisma recto cuya base es una región rectangular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sección recta (SR): 
 
 Es la sección determinada por 
un plano perpendicular a las 
aristas laterales. 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 333
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 40 
M P
A
B
C
N
V
h1
h2
PIRÁMIDE 
 
Es aquel poliedro donde una de sus caras es una región poligonal cualesquiera y las 
demás caras son regiones triangulares que tienen vértice común. 
 
Elementos: 
 
 Vértice o cúspide : V 
 
 Arista lateral : AV , BV , CV , DV ,EV 
 
 Arista básica : AB , BC , CD , ED , AE 
 
 Altura : VM 
 
 Base : ABCDE 
 
 Caras laterales : AVE, EVD, DVC, 
BVC, AVE 
PIRÁMIDE REGULAR 
 
Es aquella pirámide cuya base es una región poligonal regular y el pie de su altura es el 
centro de la base. 
 
Área Lateral 
 
AL = (Semiperímetro de la base) (apotema) 
 
Área Total 
 
AT = AL + A Base 
 
Volumen 
V= 
3
1
 (A Base) (Altura) 
  Apotema de la pirámide: VM 
PROPIEDADES 
 
Si se traza un plano secante a una pirámide, de tal manera que sea paralela a la base, se 
cumple lo siguiente: 
 
1) La sección resultante, llamada sección transversal,es semejante a la región 
poligonal de la base. 
 
MNP ABC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 41 
2) Las áreas de las bases son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de los 
elementos homólogos. 
 
2
2
2
1
2
2
2
2
ABC
MNP
h
h
AC
MP
VA
VM
A
A
 
 
3) Los volúmenes de las pirámides determinadas son proporcionales a los cubos de 
las longitudes de sus elementos homólogos. 
 
 
3
2
3
1
3
3
3
3
ABCV
MNPV
h
h
AC
MP
VA
VM
V
V



 
 
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 06 
 
1. En un cuadrado ABCD, P es un punto de AB , Q de BC y PR es perpendicular al 
plano que contiene al cuadrado ABCD. Si AP = BQ = 4 m, PB = 3 m y PR = 12 m, 
halle QR. 
 
 A) 10 m B) 12 m C) 13 m D) 15 m E) 16 m 
 
2. En la figura, se tiene una escuadra de 30° y 60°, apoyada en un libro que esta 
puesto perpendicularmente sobre la mesa ( B y C están en la mesa). Si AB > BC, 
mPCB = 45° y BC = 15 2 cm, halle el largo del libro. 
 
 A) 28 cm 
 B) 30 cm 
 C) 32 cm 
 D) 36 cm 
 E) 24 cm 
 
3. En la figura se tiene una puerta abierta por un niño tal que la distancia del punto 
medio M de CD a AB es igual al ancho de la puerta. Halle la medida del diedro 
determinado por la puerta en la posición inicial y final. 
 
 A) 60° 
 B) 30° 
 C) 40° 
 D) 45° 
 E) 53° 
 
 
 
------------------- CICLO EXTRAORDINARIO 2020 -------------Página 335
 
Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 42 
4. Un poliedro convexo tiene cuatro caras hexagonales regulares y cuatro caras 
triangulares regulares. Halle el número de vértices del poliedro. 
 
 A) 9 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15 
 
5. En la figura, ABCD–EFGH es un hexaedro regular, AM = MG y MN 2 2 m . Halle el 
volumen del hexaedro. 
 
 A) 72 m2 
 B) 64 m2 
 C) 58 m2 
 D) 68 m2 
 E) 100 m2 
 
 
6. En un prisma recto ABC–DEF, AB = BC= 4m, m ABC = 120°, M es punto medio de y 
la distancia de M a DF es 2 3 m. Halle el volumen del prisma. 
 
 A) 214 2 m B) 216 6 m C) 215 2 m D) 224 6 m E) 218 2 m 
 
7. En la figura, ABCD–EFGH es un hexaedro regular, la figura sombreada es una 
carpa cuya base tiene un área de 21)m54(  .Halle la cantidad de lona que se 
necesita para confeccionar dicha carpa. 
 
 A) 16 m2 
 B) 18 m2 
 C) 20 m2 
 D) 24 m2 
 E) 30 m2 
 
 
8. En una pirámide P–ABCD, AP es la altura y ABCD es un trapezoide simétrico. Si 
AP = AB = AD = 3 2 m , mABC = 90° y mBCD = 60°, halle el volumen de la 
pirámide. 
 
 A) 212 3 m B) 224 3 m C) 218 3 m D) 212 6 m E) 218 6 m 
 
9. En una pirámide regular P– ABCD, O es el centro de la base y M es punto medio de 
PC . Si AO = OM = 3 m, halle el volumen de la pirámide. 
 
 A) 315 3 m B) 328 3 m C) 332 3 m D) 318 3 m E) 324 3 m 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 43 
10. En la figura, ABC–DEF es un prisma regular, AM = MC y BN = NE. Halle la razón de 
los volúmenes de la pirámide. N – DMF y del prisma ABC-DEF. 
 
 A) 
1
2
 
 B) 
1
3
 
 C)
2
3
 
 D) 
3
4
 
 E) 
2
5
 
 
11. En un poliedro convexo de 6 vértices, el número de aristas es igual al doble del 
número de caras menos tres. Halle el número de caras del poliedro. 
 
 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 
 
12. En la figura, MN es perpendicular al plano que contiene al cuadrante AOB. Si 
 mAM 60 y AM = MN = 4m, halle la distancia de N a OB . 
 
 A) 2 2 m 
 B) 2 3 m 
 C) 2 5 m 
 D) 2 6 m 
 E) 2 7 m 
 
13. En un prisma regular ABCD–EFGH, el área de la cara ABFE es el doble del área de 
la base EFGH. Si AG 2 6 m , halle el área lateral del prisma. 
 
 A) 24 m2 B) 32 m2 C) 18 m2 D) 36 m2 E) 42 m2 
 
14. En una pirámide P–ABCD, ABCD es un cuadrado y la cara APB es una región 
triangular regular contenida en un plano perpendicular a la base. Si AB = 3 2 m , 
halle el volumen de la pirámide. 
 
 A) 39 3 m B) 312 3 m C) 36 6 m D) 39 6 m E) 36 3 m 
v 
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Semana Nº 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 44 
EVALUACIÓN Nº 06 
 
1. En la figura ABCD–EFGH es un hexaedro regular y las regiones triangulares EFH y 
BFQ son equivalentes. Si BQ = 6 m, halle el área total del hexaedro. 
 
 A) 96 m2 
 B) 118 m2 
 C) 112 m2 
 D) 108 m2 
 E) 144 m2 
 
 
 
 
2. Una semicircunferencia de diámetro AB y un triángulo rectángulo ABC están 
contenidos en planos perpendiculares. Si AB = BC = 2 2 m , halle la distancia entre 
los puntos medios de AB y AC . 
 
 A) 2 m B) 3 m C) 2 m D) 6 m E) 3 m 
 
3. Raúl debe construir un depósito que tiene la forma de un prisma regular de base 
cuadrada cuya capacidad es de 500 dm3. Si el lado de la base mide 5 dm, halle la 
longitud de la altura del prisma. 
 
 A) 20 dm B) 15 dm C) 12 dm D) 18 dm E) 21 dm 
 
4. Con un cartón rectangular ABCD se construye una caja sin tapa cortando regiones 
cuadradas en cada esquina de 144 cm2 de área. Si AB = 64 cm y BC = 84 cm, halle 
el volumen de la caja. 
 
 A) 24400 cm3 B) 28800 cm3 C) 36000 cm3 D) 42000 cm3 E) 32000 cm3 
 
5. En la figura, la región sombreada es congruente con la cara lateral FBCG del prisma 
regular ABCD-EFGH. Si el área de la región EPQH es 27 m2 y AE = 2AD, halle el 
volumen del prisma. 
 
 A) 39 m3 
 B) 36 m3 
 C) 42 m3 
 D) 52 m3 
 E) 54 m3 
 
 
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6. En