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Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites 362
se encuentran comprendidas entreL � "=2 y LC "=2, por lo que, usando el ejercicio8, obte-
nemos que:
L � "
2
<
xnC1 � xk
ynC1 � yk
< LC "
2
(7.10)
cualquiera sean>k. Teniendo en cuenta ahora la igualdad
xnC1
ynC1
�LD xk �Lyk
ynC1
C
�
1 � yk
ynC1
��
xnC1 � xk
ynC1 � yk
�L
�
deducimos que: ˇ̌
ˇ̌xnC1
ynC1
�L
ˇ̌
ˇ̌6
ˇ̌
ˇ̌xk �Lyk
ynC1
ˇ̌
ˇ̌C
ˇ̌
ˇ̌xnC1 � xk
ynC1 � yk
�L
ˇ̌
ˇ̌ : (7.11)
Como lKım
n!1
˚
.xk �Lyk/=ynC1
	
D 0, existe un número naturalq tal que, para todon>q, se
verifica ˇ̌
ˇ̌xk �Lyk
ynC1
ˇ̌
ˇ̌ < "
2
Teniendo en cuenta (7.10) y (7.11), deducimos que para todon> mKaxfk; qg se verifica que
ˇ̌
ˇ̌xnC1
ynC1
�L
ˇ̌
ˇ̌ < ":
Hemos probado, pues, que lKım
n!1
˚
xn=yn
	
DL.
Supongamos ahora queL D C1. En tal caso, para todon 2 N suficientemente grande,
se tendrá quexnC1 � xn > ynC1 � yn > 0, por lo que la sucesiónfxng es, a partir de un
término en adelante, estrictamente creciente. Supondremos, pues no es restrictivo hacerlo, que
dicha sucesión es toda ella estrictamente creciente y quexqC1 � xq > yqC1 � yq para todo
q2N. Sumando estas desigualdades desdeqD 1 hastaqD n, resultaxnC1�x1 > ynC1�y1.
Y, como fyng ! C1, deducimos quefxng ! C1. Podemos usar ahora lo ya probado,
intercambiando las sucesionesfxng e fyng, para obtener que
lKım
�
yn
xn
�
D lKım
�
ynC1 � yn
xnC1 � xn
�
D 0:
De donde se sigue quefxn=yng ! C1.
El casoLD�1 se reduce al previo cambiando la sucesiónfxng por f�xng. 2
Es importante observar que, aún en las hipótesis del Criterio de Stolz, puede ocurrir que�
xn
yn
�
sea convergente pero no lo sea
�
xnC1 � xn
ynC1 � yn
�
; es decir, el Criterio de Stolz da una
condición suficiente pero no necesaria para la convergenciao divergencia defxn=yng (ver
ejercicio175).
Observa que el criterio de Stolz recuerda a la regla de L’Hôpital donde las derivadas han
sido sustituidas por las diferencias consecutivas. Del Criterio de Stolz se deducen dos útiles
criterios para estudiar la convergencia de sucesiones de medias aritméticas o geométricas.
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Prof. Javier Pérez
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Sucesiones y límite funcional 363
7.38 Proposición(Criterio de la media aritmética). Supongamos quefang ! L dondeL es
un número real, oLDC∞, o LD�∞. Entonces se verifica que
�
a1C a2C � � � C an
n
�
! L:
Demostración. Basta aplicar el Criterio de Stolz a las sucesionesxnD a1C a2C � � � C an,
ynD n. 2
7.39 Proposición(Criterio de la media geométrica). Supongamos quefang ! L donde
fang es una sucesión de números positivos yL es un número real o bienLDC∞. Entonces
se verifica que n
n
p
a1a2 : : : an
o
! L:
Demostración. Lo afirmado se deduce del criterio de la media aritmética teniendo en cuenta
que
log
�
n
p
a1a2 : : :an
�
D log.a1/C log.a2/C � � � C log.an/
n
y la proposición7.46. 2
7.40 Corolario. Supongamos que
�
xnC1
xn
�
! L dondefxng es una sucesión de números
positivos yL es un número real o bienLDC∞. Entonces se verifica quef n
p
xn g ! L:
Demostración. Basta aplicar el criterio de la media geométrica a la sucesión fang definida por
a1D1, anC1D
xnC1
xn
para todon2N. 2
7.3.1. Sucesiones y límite funcional
El siguiente resultado establece una relación entre límitefuncional y límite de sucesiones
que es de gran utilidad práctica, pues proporciona una estrategia general para calcular límites de
sucesiones y permite utilizar para ello las técnicas conocidas para calcular límites funcionales.
7.41 Proposición.Seaf WA! R una función y seana;L2R [ fC∞;�∞g. Equivalen las
afirmaciones:
i) lKım
x!a
f .x/DL.
ii) Para toda sucesiónfxng de puntos deA tal que fxng ! a con xn ¤ a, se verifica que
ff .xn/g ! L.
Demostración. i/÷i i/. Supongamos que lKım
x!a
f .x/ D L y seafxng ! a con xn 2 A y
xn¤a. Debemos probar quesucf .xn/! L. Consideremos el caso en quea y L son números
reales. Dado" > 0, por hipótesis, existeı > 0 tal que para todox2A conx¤ a y jx � aj < ı
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Sucesiones y límite funcional 364
se verifica quejf .x/�Lj < ". Comofxng ! a, existe un númeron0 2N tal que para todo
n > n0 se verifica quejxn � aj < ı. Por tanto, para todon > n0 tenemos quexn 2A, xn ¤ a
y jxn � aj < ı; en consecuencia, se verificará quejf .xn/ �Lj < ". Hemos probado así que
ff .xn/g ! L.
Para probar quei i/÷i/, probaremos quenoi/÷noi i/. Quef no tiene límite ena igual
a L, quiere decir queexisteun "0 > 0, tal quepara todoı > 0 hayalgún puntoxı 2A, con
xı¤ a y jxı � aj < "0 perojf .xı/ �Lj> "0. Tomando para cadan2N ıD 1n , obtenemos un
xn2A conxn ¤ a y jxn � aj < 1n perojf .xn/ �Lj> "0. Claramente se tiene quefxng ! a,
conxn2A y xn ¤ a peroff .xn/g no converge aL.
Los demás casos en que o biena o L son infinitos se hacen de manera parecida. 2
Una consecuencia inmediata de este resultado es que todo límite funcional que conozcas te
va a permitir resolvermuchoslímites de sucesiones. En particular, de la lista de límitesbásicos
que debes conocer se deducen los siguientes resultados.
7.42 Proposición.Para toda sucesiónfxng ! 0 se verifica que
lKım
n!1
senxn
xn
D 1 lKım
n!1
arc senxn
xn
D 1 lKım
n!1
1 � cosxn
x2n
D 1
2
lKım
n!1
tgxn
xn
D 1 lKım
n!1
arc tgxn
xn
D 1 lKım
n!1
exn �1
xn
D 1
lKım
n!1
xn � senxn
.xn/3
D 1
6
lKım
n!1
.1C xn/˛ � 1
xn
D ˛ lKım
n!1
log.1C xn/
xn
D 1
lKım
n!1
tgxn � xn
.xn/3
D 1
3
lKım
n!1
log.1C xn/ � xn
x2n
D �1
2
7.43 Estrategia. Una estrategia para calcular límites de sucesiones consiste en convertir el
límite de la sucesión que tienes que calcular en un caso particular de un límite funcional. El
por qué de esta estrategia es que para calcular límites de funciones disponemos de muchas más
herramientas que las que tenemos para trabajar directamente con sucesiones.
Según esta estrategia, para calcular el límite de una sucesión fyng lo que hay que hacer
es relacionar dicho límite con un límite funcional. Debemosinventarnos una función,f , y
una sucesión convergente,fxng ! a, de forma que se tengayn D f .xn/. Entonces, podemos
asegurar que si lKım
x!a
f .x/D ˛, también es lKımfyng D ˛.
7.44 Ejemplo. Se trata de calcular el límite de la sucesiónyn D
log.n/
n. n
p
n � 1/ .
Para ello nos fijamos en que en el denominador aparecen
p
n � 1. Poniendoxn D n
p
n,
sabemos quexn ! 1. La sucesión cuyo límite queremos calcular recuerda el límite funcional
lKımx!1
logx
x � 1 D 1. Pongamosf .x/D
logx
x � 1 . Como caso particular de este límite funcional,
tenemos quef .xn/! 1, y es claro queynDf .xn/. Hemos probado así queyn ! 1 y todo lo
que hemos tenido que hacer es relacionar dicho límite con un límite funcional que ha resultado
ser (cosa muy frecuente) una derivada: la derivada de la función logx en el puntox D 1. �
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