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Ejercicios resueltos 374
7.51 Observación.Hemos visto en el ejercicio resuelto161 que Hn � logn, pero
de aquí no puede deducirse directamente que log.Hn/ � log.logn/ que es lo que he-
mos probado. La razón es que no es cierto en general que sifxng � fyng también sea
log.xn/ � log.yn/. Por ejemplo, las sucesionesfe
1
n g y fe
1
n2 g son asintóticamente equi-
valentes porque ambas convergen a1, pero sus logaritmos son las sucesionesf1
n
g y f 1
n2
g
que no son asintóticamente equivalentes.
En general, no hay garantías de que una equivalencia asintótica entre sucesiones se con-
serve por una determinada función.
c) Tomando logaritmos tenemos que:
logxn D n log
�
1C logn
n
�
� lognD n
�
log
�
1C logn
n
�
� logn
n
�
Esta expresión es de la forma log.1C un/ � un dondeun ! 0. Recordemos que:
lKım
x!0
log.1C x/� x
x2
D�1
2
Tenemos que:
logxn D
log
�
1C logn
n
�
� logn
n
�
logn
n
�2
.logn/2
n
Poniendoun D lognn , comoun ! 0, deducimos que la primera de las dos fracciones
anteriores converge a�1
2
y la segunda.logn/
2
n
! 0. Concluimos que logxn ! 0 y, por
tanto,fxng ! 1.
e)xn D
1
n
nX
kD1
1
k
log
kY
jD1
�
1C 1
j
�j
. Pongamos:
zk D
1
k
log
kY
jD1
�
1C 1
j
�j
D
kX
jD1
j log
�
1C 1
j
�
k
:
De esta forma, se tiene que:
xn D
nX
kD1
zk
n
:
Comofzng es la sucesión de las medias aritméticas de la sucesiónyn D n log
�
1C 1
n
�
,
y lKımfyng D 1, se sigue, por el criterio de la media aritmética, quefzng ! 1. Como
fxng es la sucesión de las medias aritméticas defzng, volviendo ahora a aplicar el mismo
criterio, deducimos quefxng ! 1.
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
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Ejercicios resueltos 375
f) xn D
.2 n
p
n� 1/n
n2
. Pongamos:
xn D
�
2 n
p
n � 1
n
p
n2
�n
D
 
2
n
r
1
n
� n
r
1
n2
!n
Se trata de una sucesión de potencias de la formaxn D uvnn dondeun D 2 n
q
1
n
� n
q
1
n2
y vn D n. Claramenteun ! 1, por lo que se trata de una indeterminación del tipo11.
Aplicaremos el criterio de equivalencia logarítmica.
vn.un � 1/D n
 
2
n
r
1
n
� n
r
1
n2
� 1
!
D�n
 
n
r
1
n
� 1
!2
�
� �n
 
log
n
r
1
n
!2
D logn
n
! 0:
Deducimos quexn ! 1.
g) La sucesiónxn D logn
��
log.nC 1/
logn
�n
� 1
�
es de la formabn.an � 1/ donde
an D
�
log.nC1/
logn
�n
, bn D logn. Veamos quefang ! 1. Para ello, como se trata de una
indeterminación del tipo11, aplicamos el criterio de equivalencia logarítmica:
n
�
log.nC 1/
logn
� 1
�
D
n log
�
1C 1
n
�
logn
D
log
�
1C 1
n
�n
logn
! 0
Por tanto,fang ! 1. Podemos aplicar ahora el criterio de equivalencia logarítmica a la
sucesiónbn.an � 1/. Tenemos que:
abnn D
�
log.nC 1/
logn
�n logn
Esta sucesión es una indeterminación del tipo11 y podemos volver a aplicarle el criterio
de equivalencia logarítmica.
n logn
�
log.nC 1/
logn
� 1
�
D n log
�
1C 1
n
�
! 1:
Concluimos quefxng ! 1.
h) xnD n
s
.pn/!
.qn/pn
dondep; q2N. Es una sucesión del tipoxnD n
p
zn dondeznD .pn/!.qn/pn .
Tenemos que:
znC1
zn
D .pnC p/!
.qnC q/pnCp
.qn/pn
.pn/!
D .pnC 1/.pnC 2/ � � � .pnC p/
.qnC q/p
�
n
nC 1
�pn
La fracción .pnC1/.pnC2/���.pnCp/
.qnCq/p es un cociente de dos polinomios en la variablen
del mismo gradop y coeficientes líder iguales app y qp respectivamente, por tanto su
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Ejercicios resueltos 376
límite es igual a
�p
q
�p
. La sucesión
�
n
nC1
�pnD
�
1� 1
nC1
�np
converge a e�p. Por tanto,
en virtud del corolario7.40, la sucesión dada converge a
�
p
q e
�p
.
k) xnD n
n
p
e� esen.1=n/
1 � n sen.1=n/ D
e
1
n � esen. 1n /
1
n
� sen.1
n
/
. Consideremos la funciónf .x/D e
x � esenx
x � senx .
Pongamosyn D 1n . Tenemos quexn D f .yn/. Comoyn ! 0, el límite defxng es igual
al límite def .x/ enx D 0. Tenemos que:
f .x/D e
x � esenx
x � senx D e
senx e
x�senx �1
x � senx � e
senx � 1 .x ! 0/
Donde hemos usado que la funcióne
x�senx �1
x�senx es de la forma
eh.x/�1
h.x/
donde lKım
x!0
h.x/D0,
por lo que dicha función tiene límite igual a 1 enx D 0. ©
Ejercicio resuelto 172 Sabiendo quefang ! a, calcula el límite de las sucesiones:
a)xn D n. n
p
an � 1/
b) xn D
exp.a1/C exp.a2=2/C � � � C exp.an=n/ � n
logn
c) xn D
a1 C a2=2C � � � C an=n
logn
Solución.b) Es una sucesión del tipoxn D unvn . Aplicaremos el criterio de Stolz.
unC1 � un
vnC1 � vn
D
exp
�anC1
nC1
�
� 1
log
�
1C 1
n
� � n anC1
nC 1 ! a:
Donde hemos usado la equivalencia asintótica ezn �1 � zn válida siempre quezn ! 0
y log.1C yn/ � yn, válida siempre queyn ! 0. Concluimos quefxng ! a. ©
Ejercicio resuelto 173 Seafxng una sucesión de números positivos tal que
n
xnC1
xn
o
!L>0.
Calcula el límite de la sucesiónn
r
xn
n
p
x1x2 � � � xn
.
Solución.Es una sucesión del tipown D n
p
yn dondeyn D
xn
n
p
x1x2 � � � xn
. Aplicaremos
el corolario7.40. Tenemos que:
ynC1
yn
D xnC1
xn
�
x1x2 � � � xn
� 1
n
�
x1x2 � � � xnxnC1
� 1
nC1
� L 1
nC1pxnC1
�
x1x2 � � � xn
� 1
n.nC1/
En virtud, del citado corolario, se tiene quenC1
p
xnC1 ! L. SeaznD
�
x1x2 � � � xn
� 1
n.nC1/ .
Consideremos la sucesión:
logzn D
log.x1/C log.x2/C � � � C log.xn/
n.nC 1/
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