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Capı́tulo8
Integral de Riemann
8.1. Introducción
El cálculo integral tiene sus orígenes en los llamadosproblemas de cuadraturas. Inicial-
mente, en la antigua Grecia, dichos problemas eran geométricos y consistían en construir, si-
guiendo reglas precisas, un cuadrado con área igual a la de una figura plana dada. En el siglo
XVII, con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geométricos de estos problemas
pasaron a un segundo plano y las técnicas de cálculo ocuparonsu lugar, los problemas de cua-
draturas pasaron a ser simplemente problemas de cálculo de áreas y de volúmenes. Se atribuye
a Eudoxo la invención del método deexhausción, una técnica para calcular el área de una re-
gión aproximándola por una sucesión de polígonos. Arquímedes perfeccionó este método y,
entre otros resultados, calculó el área de un segmento de parábola y el volumen de un segmento
de paraboloide, así como el área y el volumen de una esfera.
Sorprende que, siendo tan antiguos sus orígenes, la primeradefinición matemática de in-
tegral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy. Una posible explicación
es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integración fue considerada como la operación
inversa de la derivación; el cálculo integral consistía esencialmente en el cálculo de primiti-
vas. Naturalmente, se conocía la utilidad de las integralespara calcular áreas y volúmenes,
pero los matemáticos de la época consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva
y no vieron la necesidad de precisar su significación matemática. Los trabajos de Joseph Fou-
rier (1768-1830) sobre representación de funciones por series trigonométricas, hicieron que el
concepto de función evolucionara, desde la idea restrictiva de función como fórmula, hasta la
definición moderna de función dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la in-
tegral de estas nuevas funciones más generales se vio la necesidad de precisar matemáticamente
los conceptos de área y de volumen.
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Introducción 387
La definición de la integral de Cauchy seguía la tradicional aproximación del área por
rectángulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar a
la integral como un objeto matemático merecedor de estudio por sí mismo, y en el propósito de
atribuirle un significado independiente de las técnicas quepudieran utilizarse en los cálculos.
Este significado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de área. Ningún
matemático anterior al siglo XIX había considerado necesario elaborar una teoría matemática
del concepto de área; es en dicho siglo cuando el concepto de área adquiere un significado
matemático preciso o, mejor dicho, varios significados matemáticos, porque dicho concepto
evolucionó hasta que, en la primera década del siglo XX, adquirió esencialmente su forma
actual.
Puede que a ti el concepto de área te parezca tan evidente que te resulte extraño que se
dedicaran tantos esfuerzos a elaborar una teoría matemática del mismo. Es natural que pienses
así. Las regiones planas y los sólidos que usualmente nos interesan para calcular su área o
su volumen no son tan complicados que puedan hacernos dudar de si realmente tienen área o
volumen: polígonos o poliedros, regiones limitadas por curvas o por superficies que pueden
definirse por sus respectivas ecuaciones, todos ellos tieneclaramente su área o su volumen y
el problema real es calcularlos y no se entiende por qué hay que empeñarse en definirlos. Así
pensaban también los matemáticos hasta el siglo XIX. Pero cuando empezaron a considerarse
funciones cada vez más generales, las cosas cambiaron mucho. Hay funciones para las que no
es evidente que su gráfica determine una región con área. El siguiente ejemplo te ayudará a
entender lo que quiero decir.
8.1 Ejemplo. Considera la funciónf W Œ0; 1�! R que vale2 en los números racionales y1
en los irracionales.
¿Te imaginas cómo es la gráfica de esa función? Pare-
cería como la de la figura: dos segmentos de línea recta,
uno de ellosy D 1 sobre el que tendríamos que marcar
solamente los puntos irracionales del mismo, y otro
y D 2 sobre el que tendríamos que marcar los puntos
racionales. La región del plano comprendida entre el in-
tervalo Œ0; 1� y la gráfica def sería el conjunto formado
por todos los segmentos verticales de altura1 levantados
sobre los puntos irracionales deŒ0; 1�, y por todos los
0
1
2
0 1
segmentos verticales de altura2 levantados sobre un punto racional deŒ0; 1�. ¿Tiene área este
conjunto? Si decidimos que tiene área, su valor ¿es 1? ¿es 2? ¿qué significado tiene la integral
r 1
0 f .x/dx ? �
Este ejemplo pone claramente de manifiesto que el concepto deárea requiere ser precisado
matemáticamente. Debes tener claro que se trata de una necesidad teórica que solamente se
presenta en el estudio de la integración de funciones muy generales. Para las aplicaciones más
usuales del cálculo integral puede valernos perfectamentela idea intuitiva de área o de volumen.
La teoría de la integral que actualmente se considera matemáticamente satisfactoria, la llamada
integral de Lebesgue, es difícil y, en mi opinión, innecesaria para los estudios de ingeniería;
es una teoría imprescindible para los matemáticos y físicosteóricos, pero no lo es para la gran
mayoría de los ingenieros.
En este capítulo vamos a considerar la integral desde un punto de vista esencialmente prác-
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Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Aproximaciones al área 388
tico. Nos interesa la integral como herramienta de cálculo y, aunque para ese propósito la inte-
gral de Cauchy sería suficiente para nosotros, estudiaremosla integral de Riemann, que es más
general sin ser más complicada, y que aporta la ventaja de su gran poder heurístico como ten-
dremos ocasión de comprobar. He reducido la teoría al mínimoindispensable para una correcta
comprensión del Teorema Fundamental del Cálculo cuya demostración se da con detalle, no
así las de otros resultados y propiedades de la integral, de fácil comprensión conceptual, cuyas
demostraciones, bastante previsibles, no me ha parecido conveniente incluir.
La integración es una de las herramientas más versátiles delCálculo, sus aplicaciones no
se limitan a calcular áreas de regiones planas o volúmenes desólidos, también se utiliza para
calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, áreas de superficies, para
representar magnitudes físicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presión, o la energía
potencial en un campo de fuerzas.
8.2. Aproximaciones al área
Sea f W Œa; b�! R una función acotada. Representaremos porG.f; a; b/ la región del
plano comprendida entre la gráficay D f .x/, el eje de abscisas y las rectasx D a y x D b.
Llamaremos a dicha región elconjunto ordenado def entrea y b.
a b
y D f .x/
Figura 8.1. Conjunto ordenadoG.f; a; b/ de una función
Nos proponemos calcular el área de regiones de este tipo. Puesto que, en general,G.f; a; b/
no puede descomponerse en triángulos o rectángulos, no hay una fórmula que nos permita
calcular directamente su área.
En situaciones como esta, una estrategia básica consiste enobtenersoluciones aproxima-
das que permitan definir el valor exacto del área como límite de las mismas. Fíjate que, al
proceder así,estamos definiendo dicho valor exacto, es decir,estamos dando una definición
matemática del concepto intuitivo de área1. Naturalmente, queremos que dicha definición sea
lo más general posible,lo que depende del tipo de soluciones aproximadas que elijamos. Las
aproximaciones consideradas en la teoría de la integral de Lebesgue conducen a un concepto
de área muy general. En lo que sigue vamos a considerar las aproximaciones que conducen a
la integral de Riemann.
1Ello trae como consecuencia inevitable que haya regiones extrañas en el plano que, según la definición dada,
no tengan área.
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	Aproximaciones al área