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Aproximaciones al área 389
Como los conceptos que vamos a introducir se interpretan conmás facilidad cuando la
funciónf es positiva, es conveniente tener bien presente en lo que sigue el siguiente artificio
que permite representar cualquier función como diferenciade dos funciones positivas.
Cualquier funciónf puede escribirse como diferencia de dos funciones positivas:
f C.x/D jf .x/j C f .x/
2
DmKaxff .x/; 0g f �.x/D jf .x/j � f .x/
2
DmKaxf�f .x/; 0g
Es claro quef .x/D f C.x/� f �.x/ y quef C.x/> 0, f �.x/> 0. La funciónf C se llama
parte positiva def , y la funciónf � se llamaparte negativadef . Si f .x/> 0 se tiene que
f .x/Df C.x/ y f �.x/D0; mientras que sif .x/60 se tiene quef .x/D�f �.x/ y f C.x/D0.
Fíjate que, a pesar de su nombre y de la forma en que se simboliza, la funciónf � es una función
positiva. También es consecuencia de las definiciones dadasque jf .x/j D f C.x/C f �.x/.
a b
y D f .x/
a b
yDf C.x/
a b
yDf �.x/
Figura 8.2. Partes positiva y negativa de una función
En la integral de Riemann el área del conjuntoG.f; a; b/ se aproxima por rectángulos.
Para ello, primero se divide el intervaloŒa; b� en un número finito de subintervalosŒxk�1;xk �,
1 6 k 6 n, cuyas longitudes pueden ser distintas y con la única condición de que no se solapen:
aD x0 < x1 < x2 < � � � < xn�1 < xn D b
Se dice que estos puntos constituyen unapartición de Œa; b�. A continuación se elige en cada
subintervalo un puntotk 2 Œxk�1;xk �, y se forma el rectángulo cuya base es el intervalo
Œxk�1;xk � y altura igual af .tk/. Finalmente se forma la suma
nX
kD1
f .tk/.xk � xk�1/.
8.2 Definición. SeaP D faD x0;x1;x2; : : : ;xn�1;xn D bg una partición del intervaloŒa; b�,
y elijamos un puntotk 2 Œxk�1;xk � en cada uno de los intervalos de la misma. El número:
�.f;P /D
nX
kD1
f .tk/.xk � xk�1/
se llama unasuma de Riemanndef para la particiónP .
8.3 Observaciones.
� Fíjate que, como hay libertad para elegir los puntostk 2 Œxk�1;xk �, para cada partición
fijadaP puede haber infinitas sumas de Riemann.
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Dpto. de Análisis Matemático
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Aproximaciones al área 390
� Cuando la funciónf es positivay suficientemente “buena”, y las longitudes de todos
los subintervalos de la partición son suficientemente pequeñas, el número�.f;P / es una buena
aproximación del área de la regiónG.f; a; b/.
� Observa que el rectángulo de altura igual af .tk/ está en el semiplano superior si
f .tk/ > 0 y en el semiplano inferior sif .tk/ < 0. Cuando la funciónf toma valores positivos
y negativos podemos escribir:
�.f;P / D
nX
kD1
f .tk/.xk � xk�1/D
nX
kD1
.f C.tk/ � f �.tk//.xk � xk�1/D
D
nX
kD1
f C.tk/.xk � xk�1/ �
nX
kD1
f �.tk/.xk � xk�1/D �.f C;P / � �.f �;P /
En este caso�.f;P / es una aproximación del área deG.f C; a; b/menos el área deG.f �; a; b/.
En la siguiente figura puede apreciarse esta aproximación.
a b
y D f .x/
a b
y D f .x/
Figura 8.3. Aproximación por sumas de Riemann
8.4 Definición. Dada una particiónP DfaDx0;x1;x2; : : : ;xn�1;xnDbg del intervaloŒa; b�,
definamosMk D supf Œxk�1;xk �, mk D Kınf f Œxk�1;xk �. Los números
S.f;P /D
nX
kD1
Mk.xk � xk�1/; I.f;P /D
nX
kD1
mk.xk � xk�1/
se llaman, respectivamente,suma superiory suma inferior def para la particiónP 2.
8.5 Observaciones.
� Puesto que para todotk 2 Œxk�1;xk � esmk 6 f .tk/ 6 Mk , deducimos que para toda
suma de Riemann,�.f;P /, def para la particiónP esI.f;P /6 �.f;P /6 S.f;P /.
� Para cada partición hay una única suma superior y otra inferior.
� Cuandof es positivay suficientemente “buena”, y las longitudes de todos los subinter-
valos de la partición son suficientemente pequeñas, el número S.f;P / es unvalor aproximado
2Es para definir estas sumas para lo que se precisa quef esté acotada enŒa; b�.
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Definición y propiedades básicas de la integral 391
por excesodel área de la regiónG.f; a; b/, y el númeroI.f;P / es unvalor aproximado por
defectodel área de la regiónG.f; a; b/.
� Cuando la funciónf toma valores positivos y negativos, el númeroS.f;P / es un
valor aproximado por excesodel área deG.f C; a; b/ menos el área deG.f �; a; b/, y el nú-
meroI.f;P / es unvalor aproximado por defectodel área deG.f C; a; b/ menos el área de
G.f �; a; b/.
En la siguiente figura pueden apreciarse estas aproximaciones.
a b
y D f .x/
a b
y D f .x/
Figura 8.4. Aproximación del área por sumas inferiores y superiores
8.2.1. Definición y propiedades básicas de la integral
Supongamos que la funciónf es positiva enŒa; b�. Es claro que, en tal caso, el valor exacto
del área de la regiónG.f; a; b/ debe ser un número mayor o igual que toda suma inferior,
I.f;P /, y menor o igual que toda suma superiorS.f;P /. Tenemos, en consecuencia,dos
números que son posibles candidatos para el área deG.f; a; b/, a saber:
Kınf fS.f;P / W P 2P Œa; b�g y supfI.f;P / W P 2P Œa; b�g :
Donde hemos representado porP Œa; b� el conjunto detodaslas particiones del intervaloŒa; b�.
Llegados aquí, podemos ya dar la definición principal de la teoría de la integral de Riemann.
8.6 Definición. Seaf una función acotada y positiva enŒa; b�. Se dice que el conjuntoG.f; a; b/
tiene áreacuando
Kınf fS.f;P / W P 2P Œa; b�g D supfI.f;P / W P 2P Œa; b�g
Dicho valor común es, por definición, el valor del área y lo representaremos por�.G.f; a; b//.
Cuando esto ocurre, se dice también que la funciónf es integrable Riemannen Œa; b� y, por
definición, la integral def en Œa; b� es igual a�.G.f; a; b//. Simbólicamente escribimos:
bw
a
f .x/dx D �.G.f; a; b//
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