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Definición y propiedades básicas de la integral 392
En el caso general en que la funciónf toma valores positivos y negativos, se dice quef es
integrable Riemann enŒa; b� cuando lo son las funcionesf C y f �, en cuyo caso se define la
integral def en Œa; b� como el número:
bw
a
f .x/dx D �.G.f C; a; b// � �.G.f �; a; b//
8.7 Observaciones.
� No te confundas con la notación. El símbolo
r b
a f .x/dx representa un número. La
variablex que figura en él se suele decir que es unavariable muda. Naturalmente, la letrax no
tiene ningún significado especial y puede sustituirse por laque tú quieras o no poner ninguna;
por ejemplo:
bw
a
f .t/dt ;
bw
a
f .s/ds ;
bw
a
f
son tres formas de escribir lo mismo. Volveremos sobre esta notación más adelante cuando
estudiemos técnicas de integración.
� La definición anterior debes entenderla como una primera aproximación matemática al
concepto intuitivo de área. Aunque te pueda parecer extraño, el concepto de área (y de integral)
que acabamos de definir es bastante restrictivo.
� En el caso en que la funciónf toma valores positivos y negativos, observa que la
gráfica def � se obtiene por simetría respecto al eje de abscisas de las partes de la gráfica de
f en las quef .x/ < 0. Como regiones simétricas respecto de una recta tienen la misma área,
se sigue que:
�.G.f; a; b//D �.G.f C; a; b//C �.G.f �; a; b//D �.G.f C C f �; a; b//D
D �.G.jf j; a; b//D
bw
a
jf .x/j dx
Seamos prácticos. ¿Cómo podemos, a partir de la definición dada, calcular
r b
a f .x/dx ?
Una primera idea en este sentido consiste en observar que cuanto mayor sea el número de
intervalos de la partición y más pequeña la longitud de cada uno de ellos cabe esperar que la
aproximación obtenida sea mejor. Para precisar esta idea, definimosel paso de una partición
P , y lo representamos por�.P /, como la mayor de las longitudes de los subintervalos de
dicha partición.
8.8 Teorema(Convergencia de las sumas integrales). Seaf W Œa; b�! R una función inte-
grable,fPng una sucesión de particiones deŒa; b� tal quef�.Pn/g ! 0 y �.f;Pn/ una suma
de Riemann def para la particiónPn. Se verifica entonces que:
lKım
n!1
S.f;Pn/D lKım
n!1
�.f;Pn/D lKım
n!1
I.f;Pn/D
bw
a
f .x/dx (8.1)
Este resultado permite en algunos casos particulares y con bastante esfuerzo e ingenio
calcular ciertas integrales. Como más adelante aprenderemos a calcular integrales con facilidad,
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es más interesante usar dicho resultadosensu contrariopara calcular los límites de ciertas
sucesiones. Para ello se usa con frecuencia el siguiente corolario.
8.9 Corolario. Para toda funciónf integrable enŒ0; 1� se verifica que:
lKım
n!1
1
n
nX
kD1
f
�
k
n
�
D
1w
0
f .x/dx (8.2)
Teniendo en cuenta que cualesquiera sean las funcionesf;g y los números̨ ; ˇ, se verifica
que�. f̨ C ˇg;P /D ˛�.f;P /C ˇ�.g;P /, para toda particiónP , se deduce, haciendo uso
del teorema8.8, que la integral es lineal. Esta propiedad, junto con otras propiedades básicas
de las integrales se recogen en el siguiente resultado.
8.10 Proposición(Propiedades básicas de la integral).
i) Linealidad. Sif;g son integrables enŒa; b� y ˛; ˇ son números reales, se verifica que la
función f̨ C ˇg también es integrable enŒa; b� y
bw
a
. f̨ .x/C ˇg.x//dx D ˛
bw
a
f .x/dx C ˇ
bw
a
g.x/dx :
ii) Conservación del orden. Si f;g son integrables enŒa; b� y f .x/ 6 g.x/ para todo
x2 Œa; b�, entonces se verifica que:
bw
a
f .x/dx 6
bw
a
g.x/dx
En particular, sif es integrable enŒa; b� y m 6 f .x/ 6 M para todox 2 Œa; b�, entonces se
verifica la siguiente desigualdad:
m.b � a/6
bw
a
f .x/dx 6 M.b � a/ (8.3)
iii) Si f es integrable enŒa; b� tambiénjf j (función valor absoluto def ) es integrable en
Œa; b� y se verifica la desigualdad:
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌
bw
a
f .x/dx
ˇ̌
ˇ̌
ˇ̌6
bw
a
jf .x/jdx (8.4)
iv) El producto de funciones integrables Riemann también esuna función integrable Rie-
mann.
v) Aditividad respecto del intervalo. Seaa < c < b. Una funciónf es integrable enŒa; b�
si, y sólo si, es integrable enŒa; c� y enŒc; b�, en cuyo caso se verifica la igualdad:
bw
a
f .x/dx D
cw
a
f .x/dx C
bw
c
f .x/dx
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Ha llegado el momento de preguntarse por condiciones que garanticen que una función es
integrable Riemann. Nos vamos a contentar con una respuestaparcial a esta pregunta, que es
suficiente para nuestros propósitos.
8.11 Teorema(Condiciones suficientes de integrabilidad Riemann). Sea f W Œa; b�! R .
Cada una de las siguientes condiciones garantizan quef es integrable Riemann enŒa; b�.
i) f está acotada enŒa; b� y tiene un número finito de discontinuidades enŒa; b�. En parti-
cular, toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es integrable en dicho intervalo.
ii) f es monótona enŒa; b�.
Demostración. Según la definición dada, una funciónf positiva y acotada en un intervaloŒa; b�
es integrable enŒa; b� cuando las aproximaciones superiores están arbitrariamente próximas
de las aproximaciones inferiores al área del conjunto ordenado def . En otros términos, una
funciónf positiva y acotada en un intervaloŒa; b� es integrable enŒa; b� si, y sólo si, para todo
" > 0, hay una particiónP" de Œa; b� tal queS.f;P"/ � I.f;P"/ 6 "3. Probaremos que las
funciones continuas y las funciones monótonas enŒa; b� satisfacen esta condición.
Sesf W Œa; b�! R continua enŒa; b�, entonces sabemos quef está acotada enŒa; b�. En
particular, hay un númeroM tal quef .x/ 6 M para todox 2 Œa; b�. Por tanto la función
M � f es continua y positiva enŒa; b� y, como las funciones constantes son integrables, la
integrabilidad de la funciónM � f equivale a la integrabilidad def . Podemos, por tanto,
suponer quef es positiva enŒa; b�. En virtud del teorema7.59la funciónf es uniformemente
continua enŒa; b�. Por tanto, dado" > 0, hay un númeroı > 0, tal que para todosx;y 2 Œa; b�
conjx � yj < ı se verifica quejf .x/ � f .y/j < "=.b � a/. SeaP" una partición del intervalo
Œa; b� cuyos subintervalosIk D Œxk�1;xk � tienen longitud menor queı. En virtud del teorema
4.29 hay puntosuk ; vk enIk en los que la funciónf alcanza su valor mínimo y máximo
absolutos respectivamente en el intervaloIk . Tenemos que:
S.f;P"/ � I.f;P"/D
nX
kD0
�
f .vn/ � f .un/
�
.xk�1 � xk/ <
"
b � a
nX
kD0
.xk�1 � xk/D ":
Lo que prueba quef es integrable enŒa; b�.
Supongamos ahora quef es continua en�a; bŒ y acotada enŒa; b� pudiendo tener dis-
continuidades en los extremos del intervalo. Comof está acotada enŒa; b�, podemos seguir
suponiendo, por las mismas razones anteriores, quef es positiva enŒa; b�. SeaM > 0 tal
que f .x/ 6 M para todox 2 Œa; b�. Dado " > 0, consideremos un intervaloŒc;d � donde
a < c < d < b y c � a < "=3M , b � d < "=3M . Por la ya demostrado, comof es inte-
grable enŒc;d �, hay una particiónQ de Œc;d � tal queS.f;Q/ � I.f;Q/ < "=3. Ampliamos
dicha partición a una partición del intervaloŒa; b� añadiéndole los puntosa y b. Llamemos a la
partición deŒa; b� así obtenidaP". Tenemos que:
S.f;P"/ � I.f;P"/6 .c � a/M C S.f;Q/ � I.f;Q/C .b � d/M < ":
Lo que prueba quef es integrable enŒa; b�. Si ahora se suponemos quef está acotada enŒa; b�
y tiene un número finito de discontinuidades enŒa; b�, llamandod1 < d2 < � � � < dp a las
3Esta caracterización de la integrabilidad es válida para cualquier función acotada enŒa; b� sin necesidad de
suponer que sea positiva.
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