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Integración por partes 431
� Cuando la integral
r
v.x/u 0.x/dx es del mismo tipo que la integral de partida, pero
más sencilla, de manera que reiterando el proceso se llega a una integral inmediata. Este es el
caso cuandof .x/ es de la formaP .x/eax, P .x/ sen.ax/, P .x/ cos.ax/, dondeP .x/ es una
función polinómica. En todos los casos se eligeu.x/DP .x/, y v 0.x/Deax, v 0.x/D sen.ax/,
v 0.x/D cos.ax/.
8.38 Ejemplo.
w
P .x/eax dx D
2
4
uD P .x/! du D P 0.x/dx
dv D eax dx ! v D e
ax
a
3
5D P .x/e
ax
a
� 1
a
w
P 0.x/eax dx
La última integral esdel mismo tipo que la primera pero con el grado del polinomio rebajado
en una unidad. El proceso se repite tantas veces como sea necesario. �
� Cuando la integral
r
v.x/u 0.x/dx es parecida a la de partida, de forma que al volver a
aplicar el proceso la integral de partida se repite y es posible despejarla de la igualdad obtenida.
8.39 Ejemplo.
w
cos.logx/dx D
2
4 uD cos.logx/! du D�
1
x
sen.logx/dx
dv D dx ! v D x
3
5D
D x cos.logx/C
w
sen.logx/dx D
2
4 uD sen.logx/! du D
1
x
cos.logx/dx
dv D dx ! v D x
3
5D
D x cos.logx/C x sen.logx/ �
w
cos.logx/dx
deducimos que
w
cos.logx/dx D x
2
�
cos.logx/C sen.logx/
�
. �
8.6.4.1. Integración por recurrencia
La técnica de integración por partes permite en algunas ocasiones relacionar una integral
de la formaIn D
r
f .x;n/dx en la que interviene un parámetron (con frecuencia un número
natural) con otra del mismo tipo en la que el parámetro ha disminuido en una o en dos unidades.
Las expresiones así obtenidas se llaman fórmulas de reducción o de recurrencia y permiten el
cálculo efectivo de la integral cuando se particularizan valores del parámetro. Los siguientes
ejemplos son ilustrativos de esta forma de proceder.
8.40 Ejemplo.
w
.logx/n dx D
2
4 uD .logx/
n ! du D n.logx/
n�1
x
dx
dv D dx ! v D x
3
5Dx.logx/n�n
w
.logx/n�1 dx
�
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Integración por partes 432
8.41 Ejemplo.
In D
w
xn eax dx D
2
4
uD xn ! du D nxn�1
dv D eax dx ! v D e
ax
a
dx
3
5D 1
a
.xn eax �nIn�1/
�
8.42 Ejemplo(Fórmulas de Wallis y de Stirling).
Jn D
w
senn x dx D
"
uD senn�1 x ! du D .n� 1/ senn�2 x cosx dx
dv D senx dx ! v D� cosx
#
D
D� cosx senn�1 x C .n � 1/
w
senn�2 x cos2x dxD
D� cosx senn�1 x C .n � 1/
w
senn�2 x dx � .n � 1/Jn
Y deducimos fácilmente que
w
senn x dx D �1
n
cosx senn�1 x C n � 1
n
w
senn�2 x dx . En
particular:
In D
�=2w
0
senn x dx D n � 1
n
�=2w
0
senn�2 x dx D n � 1
n
In�2:
ComoI0 D �=2 eI1 D 1, se deducen fácilmente las igualdades:
I2nC1 D
2 � 4 � 6 � � � .2n/
3 � 5 � 7 � � � .2nC 1/ ; I2n D
�
2
1 � 3 � 5 � � � .2n � 1/
2 � 4 � 6 � � � .2n/ nD 1; 2; : : : (8.22)
Como la sucesiónfIng es decreciente, tenemos queI2nC1< I2n< I2n�1, de donde:
1 <
I2n
I2nC1
<
I2n�1
I2nC1
D 2nC 1
2n
Por el principio del as sucesiones encajadas, deducimos quelKım
n!1
I2n
I2nC1
D 1. Puesto que:
1 � I2n
I2nC1
D �
2
1 � 3 � 5 � � � .2n� 1/
2 � 4 � 6 � � � .2n/
3 � 5 � 7 � � � .2n� 1/.2nC 1/
2 � 4 � 6 � � � .2n/ D
D � 2nC 1
2
�
3 � 5 � 7 � � � .2n� 1/
2 � 4 � 6 � � � .2n/
�2
� �n
�
3 � 5 � 7 � � � .2n� 1/
2 � 4 � 6 � � � .2n/
�2
Deducimos la llamada fórmula de Wallis:
� D lKım
n!1
1
n
�
2 � 4 � 6 � � � .2n/
3 � 5 � 7 � � � .2n� 1/
�2
: (8.23)
Teniendo en cuenta que:
.n!/222np
n.2n/!
D
�
2 � 4 � 6 � � � .2n/
�2
p
n
�
2 � 4 � � � .2n/
��
3 � 5 � � � .2n � 1/
� D 1p
n
2 � 4 � 6 � � � .2n/
3 � 5 � � � .2n � 1/ ;
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Integración por partes 433
deducimos que:
p
� D lKım
n!1
.n!/222np
n.2n/!
: (8.24)
Definamos:
an D
n! en
nn
p
n
:
Es de comprobación inmediata que:
.n!/222np
n.2n/!
D a
2
np
2a2n
Supongamos que la sucesiónfang converge a un númeroL > 0 (lo que probaremos después).
Entonces también seráfa2ng ! L y de la igualdad anterior y la (8.24) se deduce que:
p
� D lKım
n!1
D a
2
np
2a2n
D L
2
p
2L
D Lp
2
:
Por tantoLD
p
2� . Obtenemos así la fórmula de Stirling:
lKım
n!1
n! en
nn
p
n
D
p
2�:
Que suele escribirse en la forma:
lKım
n!1
n!p
2�n nn e�n
D 1: (8.25)
Se trata de un límite muy útil porque proporciona la equivalencia asintótica para el factorial:
n! �
p
2�n nn e�nD
p
2�n
�n
e
�n
(8.26)
Nos que probar que la sucesiónfang converge a un número positivo. Probaremos que es decre-
ciente.
an
anC1
D n! e
n
nn
p
n
.nC 1/nC1
p
nC 1
.nC 1/! enC1
D 1
e
�
1C 1
n
�nC 1
2
Tomando logaritmos:
log
an
anC1
D
�
nC 1
2
�
log
�
1C 1
n
�
� 1:
Usaremos ahora el teorema de Taylor Young. El polinomio de Taylor de orden3 de la función
log.1C x/ en0 esx � x2=2C x3=3. Por tanto.
log.1C x/D x � x
2
2
C x
3
3
C o.x3/: (8.27)
Te recuerdo que usamos la notación de Landauo.x3/ simplemente para indicar que:
lKım o.x
3/
x3
D lKım
x!0
log.1C x/� x C x2
2
� x3
3
x3
D 0:
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Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
	Integral de Riemann
	Técnicas de cálculo de Primitivas
	Integración por partes
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