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Ejercicios propuestos 437
No olvides que la fórmula del cambio de variables puede usarse en un sentido (de izquierda a
derecha) o en otro (de derecha a izquierda) según convenga.
Puede ocurrir que al hacer un cambio de variable en una integral corriente obtengamos
una integral impropia. No hay que preocuparse porquepara estudiar la convergencia de una
integral pueden hacerse cambios de variablebiyectivos: ello no altera la eventual convergencia
de la integral ni su valor.
8.43 Ejemplo. Con frecuencia se hacen cambios de variable para quitar radicales.
2w
2=
p
3
1
x2
p
x2 C 4
dx D
2
4 x D 2 tg t; dx D
2
cos2 t
2=
p
3D 2 tg.�=6/; 2D 2 tg.�=4/
3
5D 1
4
�=4w
�=6
cost
sen2 t
dt D
D 1
4
� �1
sent
��=4
�=6
D 2�
p
2
4
�
8.44 Ejemplo. Un cambio de variable en una integral impropia. Consideremos la integral:
bw
a
1p
.x � a/.b � x/
dx
Suponemos quea < b. El cambio que hacemos consiste en llevar el intervalo� � 1; 1Œ al �a; bŒ
por una biyección del tipog.t/D ˛t C ˇ. Las condicionesg.�1/D a, g.1/ D b nos dan que
˛ D .b � a/=2, ˇ D .b C a/=2. Con ello:
bw
a
1p
.x � a/.b � x/
dx D
2
4x D g.t/; dx D
b � a
2
aD g.�1/; b D g.1/
3
5D
1w
�1
dtp
1 � t2
D �
�
8.6.7. Ejercicios propuestos
396. Calcula las siguientes integrales utilizando el cambio de variable indicado.
�=4w
0
sen3 x
cos4 x
dx x D arc cost I
�=4w
��=4
sen2x
cos4 x
dx x D arc tgt I
C1w
1
dx
exC1 x D log t
397. Calcula las integrales:
p
3w
�
p
3
p
4 � x2 dx ;
w dx
x
p
x2 � 1
;
e4w
e
dx
x
p
logx
;
4w
1
1
x2
r
1C 1
x
dx ;
w exC3 e2x
2C ex dx
398. Seaa > 0. Prueba que sif es impar, es decir,f .�x/D�f .x/, entonces
r a
�a f .t/dt D0.
Y si f es una función par, es decir,f .�x/Df .x/, entonces
r a
�a f .t/dt D2
r a
0 f .t/dt .
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Integración de funciones racionales 438
8.6.8. Integración de funciones racionales
Dadas dos funciones polinómicasP .x/ y Q.x/, queremos calcular
w P .x/
Q.x/
dx . Si el grado
deP es mayor o igual que el deQ, podemos dividir los dos polinomios obteniendo
P .x/
Q.x/
DH.x/C G.x/
Q.x/
;
dondeH.x/ y G.x/ son polinomios y el grado deG es menor que el grado deQ. Por tanto,
supondremos siempre que el grado deP es menor que el grado deQ. Supondremos también
que el coeficiente líder del polinomioQ es1. La técnica para calcular la integral consiste en
descomponer la fracción
P .x/
Q.x/
en otras más sencillas llamadas“fracciones simples”. Estudia-
remos dos formas de hacerlo: el método de los coeficientes indeterminados y una variante del
mismo conocida como Método de Hermite.
Paso 1. Descomposición del denominador en factores irreducibles
Descomponemos el denominador,Q.x/, como producto de factores de grado uno y de
factores de grado dos irreducibles:
Q.x/D .x � a1/˛1 � � � .x � an/˛n.x2 C b1x C c1/ˇ1 � � � .x2 C bmx C cm/ˇm (8.31)
8.45 Observaciones.
� Esto se dice muy pronto, pero puede ser muy difícil de hacer sino imposible. Afortunada-
mente, en los casos prácticos esta descomposición o se conoce o es muy fácil de realizar.
� En la descomposición (8.31) cadaaj es una raíz real de orden̨j del polinomioQ, y los
factores cuadráticos del tipo.x2 C bj x C cj / ǰ corresponden a raíces complejas conjugadas
de ordeň j . Tales factores cuadráticos son irreducibles, es decir, sudiscriminante es negativo
o, lo que es igual,x2 C bj x C cj > 0 para todox2R.
Paso 2. Descomposición en fracciones
8.6.8.1. Método de los coeficientes indeterminados
Escribimos el cociente
P .x/
Q.x/
como suma de fracciones de la siguiente forma:
� Por cada raíz realaj de orden̨ j escribimos̨ j fracciones cuyos numeradores son cons-
tantesAkj que hay que determinar, y los denominadores son de la forma.x � aj/kj dondekj
toma valores de 1 hastąj .
� Por cada factor cuadrático irreducible.x2 C bj x C cj / ǰ escribimoš j fracciones cuyos
numeradores son de la formaBkj xCCkj siendoBkj y Ckj constantes que hay que determinar,
y los denominadores son de la forma.x2 C bj x C cj /kj dondekj toma valores de 1 hastǎj .
� La descomposición es de la forma:
P .x/
Q.x/
D
nX
jD1
2
4
j̨X
kj D1
Akj
.x � aj /kj
3
5C
mX
jD1
2
4
ǰX
kj D1
Bkj x C Ckj
.x2 C bj x C cj /kj
3
5 (8.32)
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8.6.8.2. Método de Hermite
Escribimos el cociente
P .x/
Q.x/
de la siguiente forma:
P .x/
Q.x/
D A1
x � a1
C � � � C An
x � an
C B1x C C1
x2 C b1x C c1
C � � � C Bmx C Cm
x2 C bmx C cm
C
C d
dx
�
F.x/
.x � a1/˛1�1 � � � .x � an/˛n�1.x2 C b1x C c1/ˇ1�1 � � � .x2 C bmx C cm/ˇm�1
� (8.33)
dondeA1; : : : ;An;B1; : : : ;Bm;C1; : : : ;Cm son coeficientes que tenemos que determinar y,
en la fracción que aparece con una derivada,F.x/ es un polinomio genérico de grado uno
menos que el denominador. En resumen, se trata de escribir
P .x/
Q.x/
como suma de fracciones
simples, una por cada factor deQ.x/, más la derivada de un cociente que tiene por denominador
Q.x/ con sus factores disminuidos en una unidad y como numerador un polinomio genérico
con coeficientes indeterminados de grado uno menos que el denominador. Observa queen
ambos métodos hay que calcular tantos coeficientes como el grado deQ.
Paso 3. Determinación de los coeficientes
Tanto en un caso como en otro, se reducen todas las fraccionesa común denominador
(que seráQ.x/), y se iguala aP .x/ el numerador resultante. Esto nos producirá un sistema
de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los coeficientes Aj ;Bj ;Cj (y en el método de
Hermite también los coeficientes deF.x/), cuya resolución nos dará el valor de todos ellos.
Naturalmente, en el método de Hermite hay que efectuar la derivada antes de reducir a común
denominador.
8.46 Observaciones.
� En ambos métodos tenemos que calcular el mismo número de coeficientes pero en el mé-
todo de Hermite la obtención del sistema de ecuaciones es mástrabajosa debido a la presencia
de la derivada.
� A pesar de lo dicho en el punto anterior, cuando hay raíces imaginarias múltiples, lo que da
lugar a factores cuadráticos de orden elevado, puede ser interesante aplicar el método de Her-
mite porque las fracciones simples que aparecen en dicho método son muy fáciles de integrar.
Paso 4. Integración de las fracciones simples
En el método de Hermite, una vez escrita la función racional
P .x/
Q.x/
de la forma8.33, es
fácil calcular su integral:
w P .x/
Q.x/
dx D
w A1
x � a1
dx C � � � C
w B1x C C1
x2 C b1x C c1
dx C � � � C
C F.x/
.x � a1/˛1�1 � � � .x � an/˛n�1.x2 C b1x C c1/ˇ1�1 � � � .x2 C bmx C cm/ˇm�1
Sólo nos queda calcular las integrales de las fracciones simples.
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