Problemas de calculo vectorial-8

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22 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables22 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables22 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables
92 x2 + 2y2 + z2 = 1.
93 x2 + 2y2 − z2 = −1.
94 x2 − 2y2 + z2 = 1.
95 x2 + 2y2 − z = 0.
96 x2 − z2 = 0.
97 x2 + 4y2 = 100.
98 x2 + y2 + z + 4 = 0.
99 4x = y2 − 2z2.
100 x2 + 2y2 + z2 + 4y + 2z = 0.
101 x2 + 2y2 − z2 + 4x− 4y = 0.
102 x2 + 4y2 + z2 − 2x = 0.
103 4x2 − y2 + z2 + 8x+ 8z = −24.
104 9x2 + y2 − z2 − 2y + 2z = 0.
105 yz = 1.
106 4x2 + y2 + 4z2 + 8x− 4y − 8z = −8.
107 2x2 + 3y2 − 4z2 + 4x+ 9y − 8z = −10.
108 x2 − y2 − z2 − 4x− 4y = 0.
109 x2 + y2 − 4z2 + 4x− 6y − 8z = 13.
Solución:
106 La técnica de completación de cuadrados da lugar a la ecuación
4(x+ 1)2 + (y − 2)2 + 4(z − 1)2 = 4,
que corresponde a un elipsoide5 de centro (−1, 2, 1), con secciones
Y circulares.
108 La simplificación de la ecuación mediante la completación de cua-
drados proporciona
(x− 2)2 − (y + 2)2 − z2 = 0,
que representa un cono6 circular de eje y = −2, z = 0 (paralelo a
X), de vértice (2,−2, 0).
5La ecuación de un elipsoide de centro el origen y semiejes a, b y c es
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
6La ecuación de un cono de vértice el origen y eje Z es x
2
a2
+ y
2
b2
− z
2
c2
= 0.
0.3 Coordenadas polares, cilı́ndricas y esféricas 23
110 Probar que la intersección entre el cono x2 + y2 = z2 y el plano z = 1 es
un ćırculo.
111 Probar que la proyección en el plano XY de la intersección entre el cono
x2 + y2 = z2 y el plano 2z = y + 1 es una elipse.
Solución 111:
Como sabemos, la intersección de dos curvas corresponde al conjunto de
puntos que satisface ambas ecuaciones. Por otro lado, la proyección de
un punto (x, y, z) sobre el plano XY es el punto (x, y, 0). Es decir, dicha
proyección se calcula haciendo “desaparecer” la coordenada z. Aśı, la
ecuación de la proyección se obtiene despejando z de ambas ecuaciones
e igualando. Esto es,
x2 + y2 =
1
4
(y + 1)2,
que puede escribirse como la elipse x2 + 34 (y − 13 )2 = 13 .
112 Probar que la proyección en el plano XY de la intersección del plano z = 2y
y el paraboloide z = x2 + y2 es un ćırculo.
113 Probar que la proyección en el plano XZ de la intersección de los parabo-
loides y = 2x2 + 3z2 e y = 5− 3x2 − 2z2 es un ćırculo.
0 3
COORDENADAS POLARES, CIĹINDRICAS Y ESFÉRICAS
� Convertir las siguientes coordenadas de cartesianas a polares:
114 (0, 3).
115 (
√
3, 1).
116 (−1,
√
3).
117 (−2,−2).
Solución 116:
Las fórmulas del cambio son bien conocidas
r =
√
x2 + y2, θ = arctan
(y
x
)
,
donde hay que tener en cuenta la ambigüedad que supone esta arcotan-
gente. De este modo, si x = −1 e y =
√
3, tendremos
r =
√
1 + 3 = 2, θ = arctan(−
√
3) = 2π3 .
� Convertir las siguientes coordenadas de polares a cartesianas:
24 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables24 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables24 Capı́tulo 0 Geometrı́a de las funciones de varias variables
118 (1, π4 ).
119 (2, π3 ).
120 (1,−π3 ).
121 (3, 3π2 ).
Solución 121:
Las fórmulas del cambio de polares a cartesianas son
x = r cos θ, y = r sen θ.
En este caso concreto, tendremos
x = 3 cos 3π2 = 0, y = 3 sen
3π
2 = −3.
� Convertir las siguientes coordenadas cartesianas a ciĺındricas:
122 (1,−1, 0).
123 (−
√
3,−1, 1).
124 (6, 0,−2).
125 (
√
2,
√
2, 1).
126 (0, 6,−2).
127 (−1, 0, 3).
Solución 123:
Las fórmulas del cambio de coordenadas cartesianas a ciĺındricas son
r =
√
x2 + y2, θ = arctan
(y
x
)
, z = z,
por tanto, en este ejemplo concreto tendremos
r = 2, θ =
7π
6
, z = 1.
� Convertir las siguientes coordenadas ciĺındricas a cartesianas:
128 (1, π2 , 0).
129 (1, π6 , 4).
130 (0, π18 , 6).
131 (3, π4 , 8).
132 (2,−π4 , 3).
133 (2, π, 3).
Solución 132:
Las fórmulas del cambio de ciĺındricas a cartesianas son
x = r cos θ, y = r sen θ, z = z.
En este caso concreto
x =
√
2, y = −
√
2, z = 3.
� Convertir las siguientes coordenadas cartesianas a esféricas:
	Geometría de las funciones de varias variables
	Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas